Mathematik Name: Nr.1 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Transkript

1 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Pflichtteil (etwa 0 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe 1: Leiten Sie ab und vereinfachen Sie gegebenenfalls (denken Sie an die Produktregel, die Kettenregel und an das Umformen der Funktionen vor dem Ableiten) a) [P] f () sin( ) b) [P] f () cos() c) [P] f () Lösungsvorschlag 1: Zu a) f '() cos( ) 6 (Kettenregel anwenden) Zu b) f () cos() cos() Wer Probleme beim Ableiten hat, leitet ausführlich ab, etwa wie folgt: f '() ' cos() ' Ableiten der Summanden cos() ' 1 cos cos ' Produktregel beim. Summanden cos sin cos sin Kurzfassung: f '() 1 cos() sin cos sin Merke: Der zweite Summand des Terms ist ein Produkt, also nur diesen mit der Produktregel ableiten (Die Ableitung steht hier in einer Klammer!) der erste Summand wird etra abgeleitet. Zu c) Hier benötigen wir zuerst die Produktregel und dann - bei der Ableitung des zweiten Faktors die Kettenregel [. Wir müssen dabei nur den Term in der 1 Klammer ableiten, dabei benutzen wir (ohne Umformung): '. Danach müssen wir zusammenfassen. Wer Probleme beim Ableiten hat, leitet ausführlich ab, etwa wie folgt: 1

2 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: f '() ' ' Produktregel anwenden 1 innere Ableitung von 1 0 letzter Faktor jetzt vor der Klammmer 8 Kurzfassung mit weiterem Vereinfachen in der letzten Zeile (nicht unbedingt verlangt) 1 f '() WICHTIG: Punkt vor Strich Termteile die mit mit dem Rest verbunden werden, werden etra abgeleitet (ohne Verknüpfung mit dem Rest. Wenn zwischen zwei Termteilen von ein Mal steht, immer die Produktregel anwenden aber die Termteile, die parallel mit einem Plus verbunden sind, gehören etra abgeleitet dieser Fehler war recht häufig (siehe oben: Punkt vor Strich. Wenn ein Termteil eine Hintereinanderausführung ist, dann ist die Ableitung ein Produkt, das sich aus der Kettenregel ergibt. Generell empfehle ich nicht, dass ihr die einzelnen Ableitungen ausgliedert (u= v= ). Viele haben dann beim Zusammensetzen Probleme. Meine Erfahrung ist, dass die meisten dann den Überblick verlieren oder sehr viel schreiben müssen. Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die Etrema und die Wendepunkte von 1 1 f Lösungsvorschlag : Es ist sinnvoll, klar und erkennbar zu gliedern. Bei der Lösung habe ich eine klare Gliederung erwartet (siehe unten die fett gedruckten Wörter. Leider war bei den meisten ein wildes Durcheinander, oft sogar ohne Zusammenhang. Ich erwarte, dass ihr das Vorgehen gut versteht. Lest die

3 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: sehr ausführliche Darstellung gewissenhaft durch und löst die Aufgabe danach nochmals selbständig. Wichtig ist das Verständnis für notwendig und hinreichend (lernt evtl. zuerst das Schema und überlegt Euch danach, warum man dies so macht): Mit einer notwendigen Bedingung grenzt man die zu untersuchenden Punkte ein, die dann mit der hinreichenden Bedingungen untersucht werden. Wenn ein Etremum vorliegt, dann muss die Ableitung Null sein (alle Punkt, die keine Nullstellen der Ableitung sind, sind also keine Etrema). Die Nullstellen der Ableitung werden anschließend mit der hinreichenden Bedingung untersucht. Es ist oft nicht nötig, die Funktionswerte auszurechnen, aber ihr solltet die Punkte als HP, TP, WP hinschreiben, für den y-wert könnt ihr meist nur f(-wert) schreiben. Bitte lernt diese Vorgehensweise, übt sie, siehe auch auf der HP der Klasse K1 den Beginn von C. Ausführliche Lösungen von Tetaufgaben a) Ableitungen: f ' 6 f '' 6 f ''' 6 b) Notwendige Bedingung für Etrema: Sei ein Etremum, dann ist die Ableitung Null. Also gilt für dieses gilt: 6 0 / ausklammern 6 0 Damit ist entweder = 0 oder 6 0 MNF / / 1 Damit müssen wir nur noch die drei Stellen = 0,, und - genauer untersuchen. c) Hinreichende Bedingungen der möglichen Etrema ( d.h. der Nullstellen von f ()): (beachte die Mehrzahl Bedingungen jedes mögliche Etremum muss separat untersucht werden!!!) für die drei möglichen Etrema: f '' Hier liegt also ein Maimum vor. f '' Also liegt hier ein Minimum vor. '' f Damit gibt es hier ebenfalls ein Minimum. d) Angabe der Etrema: Für = 0 gilt: f 0, HP(0/)

4 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Für = gilt: f 9 7, 5 6 1, 75 Also TP(/-1,75) Für = - gilt: f Also TP(-/-,) e) Notwendige Bedingung für WP: f ()=0 Wenn also ein WP ist, dann gilt 6 0 / MNF / Damit kommen nur zwei Punkte als WP in Frage. f) Hinreichende Bedingungen für die möglichen WPe: (beachte wieder die Mehrzahl,) 1 19 f ''' Wer will kann noch notieren, dass bei 1 19 eine Rechts- in eine Linkskurve übergeht, bei 1 19, eine Links- in eine Rechtskurve. (Eigentlich ist das klar, da ja die Kurve von einem Tiefpunkt immer stärker ansteigt, also eine Linkskurve ist). g) Die Koordinaten der beiden WP sind damit WP1 / f und WP1 / f Die Werte genauer zu bestimmen macht wenig Sinn, wenn man die Funktionsdefinition ansieht. h) ANMERKUNG: Die Funktion kann man jetzt übrigens einfach zeichnen, was aber nicht verlangt war. Einfach die Etrema und die Wendepunkte einzeichnen. Oft wird auch noch verlangt, dass man davor die Nullstellen bestimmt. Das ist bei dieser Funktion aber (zumindest in der Schule) nicht möglich.

5 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Graph der Funktion der Aufgabe, wie man ihn nach dem Abarbeiten des Schemas leicht zeichnen kann. Aufgabe : [P] Zeichnen Sie den Graphen der Ableitung Lösungsvorschlag : 5

6 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Aufgabe : [P] Eine Funktion f hat folgende Eigenschaften: a) b) und f hat einen Vorzeichenwechsel von + nach - c) und f "'() 0 f ( ) f '() 0 f "() 0 Beschreiben Sie für jede dieser drei Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Lösungsvorschlag : Zu a) Dies Gleichung besagt, dass die Funktion durch den Punkt P(-/) geht Zu b) f hat in = einen Hochpunkt Zu c) f hat in einen Wendepunkt. Bitte merkt Euch, dass bei diesen Aufgaben oft nur ein kurzer Tet verlangt ist, bei dem auch abgefragt wird, ob ihr Sachlagen klar und deutlich ansprecht oder durch weitschweifiges Schreiben eure Unsicherheit zeigt. Benutzt Euren Verstand, habt dabei Mut. 6

7 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Wahlteil (etwa 0 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 5: [5P] Eine Elektronikfirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 5. Die Marktforschungsabteilung der Firma hat festgestellt, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von 1 um jeweils 00 Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatlichen Einnahmen am größten? Wie groß sind sie dann? Lösungsvorschlag 5: Man muss sich das Folgende zumindest klar machen: Gesucht ist die Stückpreissenkung, die die größten Einnahmen bringt. Dies machen wir mit der Funktion, die einer Ermäßigung um die Einnahmen zuordnet. Die Einnahmen sind ein Produkt aus Preis pro Stück und Anzahl der verkauften Teile. Sinnvollerweise steht im Heft: Bei einer Ermäßigung von (in ) ist der Verkaufspreis 5-. Es werden dann 5000+*00 Stück verkauft. Im Heft sollte jetzt auf alle Fälle stehen. f : Ermäßigung in Einnahmen Die notwendige Bedingung für ein Maimum ist f ()=0. Der GTR liefert hierfür Das Maimum ist bei =,17, der maimale Wert Da die Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist dies der einzige Hochpunkt. Damit ergibt sich, dass beim Stückpreis von 0,80 die monatlichen Einnahmen mit etwa am größten sind. So schnell kann man sich im Abi einige Anfangspunkte verdienen. Allerdings kommen im Abi dann zwei oder drei weitere Teilaufgaben, die sicher immer schwerer werden. (Anmerkung GTR: Selbstverständlich muss man die Bedienung des GTR beherrschen auch wenn dies nicht Mathematik ist, auch wenn nicht schreiben soll, wie man den GTR bedient. Sinnvolle Unterlagen zum GTR, siehe: w.gzg-fn.de > GTR > ) Tipps und w.gzg-fn.de > gtr > 1c) Kurzanleitung Klett. Um das Maimum mit dem GTR zu bestimmen, gibt es drei Möglichkeiten: a) Im Graphik-Modus die Funktion zeichnen Vorsicht, man sollte sich überlegen, in welchem Bereich die Funktionswerte liegen: da 5000*5 = sind, sollte man den Zeichenbereich von 0 bis einstellen. X zwischen 0 und vielleicht 10. Wenn der Graph nicht zu erkennen ist, muss man den Zeichenbereich anpassen (siehe Kurzanleitung Klett, S.9-1 über w.gzg-fn.de erreichbar). 7

8 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Mit shift/g-solv kann man auch dann, wenn der Graph nur ein Strich ist, das Maimum bestimmen. b) Im Run-Modus: OPTN > F/Calc > F6 > F/FM wählen, die Funktion eingegeben, Komma setzen und eine untere und obere Grenze eingeben (hier etwa bis 10??) Siehe w.gzg-fn.de > gtr > Tipps > Tipp 16 c) Die Ableitungsfunktion zeichnen und deren Nullstelle bestimmen. Im Graph-Menü geht das etwa mit: OPTN > F/Calc > F1/d/d, dann Vars > F/Graph > F1/Y > 1 (wenn Y1 die Funktion ist) und dann Eingabe von XθT im leeren Kasten Wenn Y1 nicht mehr gezeichnet werden soll, bitte abwählen und einen besseren Zeichenbereich eingeben gesucht ist ja die Nullstelle. Die Nullstelle der Ableitung bestimmt man dann mit Shift/G_Solv > F1/Root. Es ist auch möglich (und sinnvoll!), die Ableitung zu bestimmen und deren Nullstelle zu berechnen. Mitunter kann das schneller sein, als das langwierige Rechnen mit dem GTR. Am Einfachsten formt man die Funktion dazu um f Damit ist f ' Die Nullstelle Mit dem GTR ergibt sich der Funktionswert Aufgabe 6 [5P] Eine oben offene Kiste mit quadratischer Grundfläche soll so hergestellt werden, dass bei einem Volumen von V= Liter die Oberfläche möglichst klein wird. Wie sind die Maße der Kiste zu wählen? Lösungsvorschlag 6: (Evtl. skizziert man hier eine Kiste) Wenn die Seitenlänge des Bodenquadrates und die Höhe der Kiste y ist, so ergibt sich für das Volumen V y (alle Einheiten in dm) und für die Oberfläche A y Da wir die Fläche minimieren sollen, müssen wir in A eine der beiden Variablen ersetzen. Die Gleichung mit V ergibt y. Damit erhalten wir folgende Funktion: f : Seitenlänge in dm Oberfläche 18 Variante 1 (GTR): (Wir können zur Lösung wieder wie in Aufgabe 5 den GTR zu Hilfe nehmen. Wir notieren im Heft:) Wenn ein Minimum ist, so muss 8

9 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: notwendigerweise eine Nullstelle der Ableitung sein. Das hinreichende Kriterium für ein Minimum ist dann f ()>0. Der GTR liefert dabei = als Minimum (Das Problem ist, dass die Funktion nur große Werte annimmt, so dass man mit shift/v-windows einen entsprechenden Bereich wählen muss. Wenn ihr am GTR nichts seht, einfach den Zeichenbereich vergrößern. Hier empfiehlt sich etwa min = 0 ma = 10, ymin = 0 yma = 100. Wenn wir dann die Funktion zeichnen erhalten wir Mit sh/g_solv und Min erhalten wir das Minimum) Wir notieren im Heft: der GTR liefert für das Minimum = f()=y= 8 Damit hat eine Kiste vom Volumen V=dm eine minimale Oberfläche, wenn die Seitenkante des Bodenquadrats = dm beträgt und die Höhe y 16 dm ist. Die Oberfläche ist dann O = 8 dm^. Variante (ohne GTR): Wir können hier aber auch einfach die Ableitung von Hand berechnen und deren Nullstellen bestimmen. 18 Es gilt f ' Notwendige Bedingung: Sei eine Nullstelle von f, dann gilt: oder 5 6. Damit kommt als einziges Minimum in Frage. Hinreichende Bedingung: Die. Ableitung ist f '' 8. Damit ist f '' 8 0. Also sagt uns die hinreichende Bedingung, dass = ein Minimum ist. Y berechnet sich zu 16 Die Oberfläche berechnet sich zu f und y ist 16 Der Antwortsatz im Heft ist dann Die Kiste vom Volumen V= dm hat eine minimale Oberfläche, wenn die Seitenkante des Bodenquadrats = dm beträgt und die Höhe y 16 dm ist. Die Oberfläche ist dann O = 8 dm^. 9

10 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: Anmerkung: Der sich ergebende Körper ist ein durchgeschnittener Würfel. Wie in der Ebene ein Quadrat bei gegebenem Umfang die kleinste Fläche hat, so hat ein Würfel bei gegebenen Volumen die kleinste Oberfläche. Wenn wir ihn halbieren, erhalten wir einen oben offenen Körper mit der kleinsten Fläche bei gegebenem Volumen. Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Punkte, in denen die Tangente der Funktion a) [P] parallel zur Geraden b) [P] durch den Punkt (/-8)) geht. y ist, bzw. 1 f () Geben Sie die Tangentengleichungen jeweils an. Lösungsvorschlag 7: Die Tangente im Punkt a ist wegen f ' 1 1 t f ' a a f a a a a a a Zu a) Wenn die Tangente parallel zur Geraden y ist, dann muss die Steigung der Tangente m = sein. Also ist a =. (Parallele Geraden haben dieselbe Steigung und wenn Geraden dieselbe Steigung haben, sind sie parallel das sind verschiedene Dinge, wirklich!) Damit lautet die Tangente im Punkt P ( 0) t Zu b) Wenn die Tangente im Punkt a durch den Punkt (/-8) geht, dann liegt der 1 Punkt auf der Tangente. Also gilt: t a a 8 Diese Gleichung müssen wir nach a auflösen: 1 a a 8 0 oder nach Multiplikation mit (-) und Umordnen a a1 0 Der GTR liefert (mit dem EQUA-Menü) als Lösungen 1 6 und Damit sind die Punkte 6 /16 1 Die Tangenten sind also Q und Q / 0 t bzw t ANMERKUNG: Durch jeden Punkt außerhalb der Parabel kann man genau zwei Tangenten ziehen, siehe z.b.: Folgenden Graphen 10

11 K1 Punkte: /0 Note: Schnitt: