Übungsaufgaben II zur Klausur 1

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1 Übungsaufgaben II zur Klausur. Ableitungen 0. Führen Sie für g mit f ( +,9 8 eine vollständige Kurvendiskussion (siehe S. 9f durch. Markieren Sie alle von Ihnen bestimmten Punkte in der abschließenden Zeichnung des Funktionsgraphen.. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f nur gerade Eponenten auftreten, ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten f( und + f (, weil der höchste Eponent von, der im Funktionsterm auftritt, gerade ist (n und sein Koeffizient negativ ist ( a. 0. Schnittpunkt mit der y-achse 0 Bedingung: f (0 0 +, , somit: ( 0 / 8 S. y. Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f ( 0 0 z z, ± z, ± z 9 9 ± +,9 (, 80 z 8 z +,9 z 8 z 9z , ±, Substitution : : ( 0 pq Formel Rücksubstitution : ±,7 z,7 also: N(, 7 / 0 ; N ( / 0, N ( / 0 und N (, 7 / 0 z 7. Etrempunkte f ( +,9 8 0 f ( +, 8 + f (,8 I. notwendige Bedingung: f (,,8 +,8 (, ( 0 ± (0 +, ( : ausklammern p q Formel,8 II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von,8: f ( f ( ( +,8 ( ( +,8 (,,8, Bei,8 findet also ein (+/--Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : f (, f ( ( +,8 ( +,8, Bei findet also ein (-/+-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Überprüfung von,8: f ( f (, ( +,8 ( Bei,8 findet also ein (+/--Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor.

2 ALTERNATIV: f ( +,8 0 (,8 +,8, 0 f (,8 <,d.h. RK also liegt hier ein HP vor. ( 0 +,8,8 0 f (0 >,d.h. LK also liegt hier ein TP vor. (,8 +,8, 0 f (,8 <,d.h. RK also liegt hier ein HP vor. Überprüfung von, : f (0 f ( ( 0 +,8, 8 ( +,8 0 +,8, Bei, findet also ein (+/--Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt (Übergang LK/RK vor. (Da, keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f : f (,8 f (0 f (,8 (,8 +,9 (,8 8,08 +,0 8, 0 0 ( 0 +,9 ( (,8 +,9 (,8 8,08 +,0 8, 0 0 Somit ergeben sich die Punkte: HP (,8/,0, HP (,8/,0 und TP ( 0 / 8 ALTERNATIV: Überprüfung mit f ( (,,8 0 f (, also liegt hier ein WP vor. (Da hier keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. (,,8 0 f (, also liegt hier ein WP vor. (Da hier keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. III. y-koordinate des Wendepunktes bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f : f (, (, +,9 (, + 8, +,0 8, 0 8. Wendepunkte I. notwendige Bedingung: f ( +,8 : (,,8 ( 0 ± (0 +,, II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von, : f ( f (0 ( +,8 0 +,8, ( 0 +,8, 8 Bei, findet also ein (-/+-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt (Übergang RK/LK vor. (Da, keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. f (, (, +,9 (, 8, +,0 8, 0 Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP (, /,, und WP (, /,. 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: f ( und + f (, das heißt es eistiert ein tiefster Punkt des Graphen, der absolute Tiefpunkt. Die y-koordinate des Tiefpunktes begrenzt die auftretenden y-werte. Da HP (,8/,0 und HP (,8/,0 (auf Grund der Achsensymmetrie zur y-achse gilt für die Wertemenge: { y IR,0 } W y -,7 -,8 - -, 0, -,8 -,7 Eigenschaften N HP N 0,0 0 -, -8 -, 0,0 0 WP S y TP WP N HP N

3 0. Funktionsgraph Zu a Die Schnittstellen mit der -Achse müssen bestimmt werden! Bedingung für S: NR ( G +, + 8 ( ( ± ( + + ± 8 0 ( pq Formel Da maimal sein kann (siehe Aufgabenstellung, gilt für die Definitionsmenge ID [ 0;].. Die Firma Hundi GmbH stellt für den Baumarkt Prakti Hundefutter her. Peter führt dort ein Praktikum durch und erzählt, dass sich die Gewinne, die die Firma bei dieser Produktion erzielt durch die Gewinnfunktion G mit G ( +, + 8 näherungsweise angeben lassen. Dabei steht das für die Menge der produzierten Dosen (in Mio. Stück und der Funktionswert gibt den zu erwartenden Gewinn an (in Aus technischen Gründen kann maimal sein, daher gilt: ID [ 0 ;]. a Bestimmen Sie die Gewinnzone, die sich für diese Produktionsbedingungen ergibt. Berücksichtigen Sie dabei, dass die Funktion G folgendermaßen zerlegt werden kann: ( ( + 8 G ( +, Geben Sie auch die Teilintervalle der Definitionsmenge an, in denen die Firma Verluste hat. Weisen Sie für jedes Teilintervall nach, ob dort tatsächlich Gewinne oder Verluste erzielt werden. b Überprüfen Sie, für welche Produktionsmenge der maimale Gewinn erzielt wird. Weisen Sie nach, dass dort tatsächlich das Gewinnmaimum vorliegt und bestimmen Sie, wie groß der Gewinn dann ist? Daher sind die folgenden Intervalle zu überprüfen: 7 I [ 0 ; [ G( ( +, ( + ( 8 + +, 8, 87 8 I ] ; 8 [ G ( ( +, ( + ( I ] 8 ; ] G ( 0 ( 0 +, ( 0 + ( Im Intervall I [ 0 [ macht die Firma somit Verluste, im Intervall ] 8 [ ; I ; Gewinne (dieses Intervall entspricht daher der Gewinnzone und im Intervall ] 8 ] I ; treten wieder Verluste auf. c Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Kostenfunktion K mit ( K - innerhalb des Definitionsbereiches - kein (relatives Ma- imum besitzt und erläutern Sie, was dies für die Kosten dieser Produktion bedeutet.

4 Zu b Überprüfen Sie, für welche Produktionsmenge das Gewinnmaimum erzielt wird und bestimmen Sie, wie groß es dann ist? I. notwendige Bedingung: G ' ( G ' (, ± ( + ±, 9 + 0, II. hinreichende Bedingung: ( pq Formel Da nur, innerhalb der Gewinnzone liegt, muss lediglich dieser Wert überprüft werden. G ' ( G ( + 7 Zu c Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Kostenfunktion K mit ( K - innerhalb des Definitionsbereiches - kein relatives Maimum besitzt und erläutern Sie, was dies für die Kosten dieser Produktion bedeutet. ( K und K (, I: notwendige Bedingung: K (, ± ( ( ± 9 ± 9 unlösbar : (, pq Formel G ' ' (, (, + 7, , 9 III. Produktionsmenge bestimmen: G(, (, +, (, + (, 8 d.h. hier liegt eine RK, somit liegt hier tatsächlich ein HP vor. Somit kann die Kostenfunktion kein (relatives( Maimum besitzen. QED Dies bedeutet, dass die Kosten für den betrachteten Definitionsbereich streng monoton steigen, so dass die maimalen Kosten am rechten Rand des betrachteten Intervalls auftreten. 7, , +, 8, 7 Bei,, d.h. bei einer Produktion von ca. 00 Dosen wird ein maimaler Gewinn von,7 GE (also 7 erreicht.

5 . Gegeben ist die Funktion f mit g ( + +. Geben Sie jeweils die Teilintervalle von ID IR an (und begründen Sie dies für jedes Intervall auf denen die Funktion f a positive bzw. negative Funktionswerte besitzt, Um diese Intervalle angeben zu können müssen die Schnittpunkte mit der -Achse bestimmt werden. Die Einteilung der Injtervalle erfogt anhand der ermittelten -Werte. Dies erfolgt mit Hilfe der notwendigen Bedingung Bedingung: g ( b streng monoton wächst bzw. streng monoton fällt,. Um die Monotonieintervalle angeben zu können müssen die potentiellen Etremstellen (HP / TP bestimmt werden. Dies erfolgt mit Hilfe der notwendigen Bedingung für Etrema. Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung (und damit die Festlegung wo jeweils ein HP bzw. TP liegt ist für die Angabe der Intervalle nicht erforderlich. (Man kann jedoch auch anhand der jeweiligen hinreichenden Bedingung die Begründung für das Monotonieverhalten der jeweiligen Intervalle formulieren. ( ( + 8,,08 +, ± ( : ( ausklammern + ±,8,88 pq Formel Die Überprüfung der jeweiligen Intervalle erfolgt, indem man für einen Wert aus dem Intervall die y-koordinate ermittelt (die anderen Stellen in diesem Intervall müssen dann das gleiche Vorzeichen besitzen, indem man diese Werte in f ( einsetzt. Es ergeben sich folgende Intervalle: + g ( + notwendige Bedingung: g ( ( 0 0,, +, +, + 9,, ± + 9 +, + 9 ( +,, ±,9, : ( +, 9 g ( +, ausklammern pq Formel Intervall Begründung Funktionswerte I ] ;,08 [ ] ; 0 [ I,08 I ] 0 ;,88 [ g ( +, da ungerader, höchster Eponent und pos. Koeffizient g( ( + ( +, g( ( + +,9 > 0 + ( + ( + ( positive Funktionswerte (+ negative Funktionswerte ( positive Funktionswerte (+ I ],88 ; + [ g ( negative + Funktionswerte ( An den Stellen,, ist also die Steigung null, (potentielle Etremstellen, daher werden diese beiden Werte benutzt um die -Achse in Intervalle zu unterteilen. Die Überprüfung der jeweiligen Intervalle erfolgt, indem man für einen Wert aus dem Intervall das jeweilige Steigungsverhalten ermittelt (die anderen Stellen in diesem Intervall müssen dann das gleiche Steigungsverhalten - d.h. das gleiche Vorzeichen besitzen, indem man diese Werte in f ( einsetzt. Es ergeben sich folgende Intervalle:

6 Intervall I ] ;, [ ] ; 0[ I, I I ] 0 ;,[ ], + [ ; Begründung ( ( +, ( + 9( 0, 8 +, 8 ( ( ( 0 +,(, + 9,9 > 0 ( ( +,( +, + 9 8, > 0 ( +,( + 9( +, , + 9( + 9( c eine Rechtskurve bzw. eine Linkskurve bildet. Steigungsverhalten Negative Steigung ( Positive Steigung (+ Positive Steigung (+ Negative Steigung ( Um die Intervalle mit Links- bzw. Rechtskurven angeben zu können müssen die potenziellen Wendestellen bestimmt werden. Dies erfolgt mit Hilfe der notwendigen Bedingung für Wendepunkte. Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung (und damit die Festlegung wo jeweils ein WP liegt ist für die Angabe der Intervalle nicht erforderlich. (Man kann jedoch auch anhand der jeweiligen hinreichenden Bedingung die Begründung für das Kurvenverhalten der jeweiligen Intervalle formulieren. An den Stellen,, ist also die zweite Ableitung gleich null (potentielle Wendestellen. Daher wird dieser Wert benutzt um die -Achse in Intervalle zu unterteilen. Die Überprüfung der jeweiligen Intervalle erfolgt, indem man für einen Wert aus dem Intervall das jeweilige Kurvenverhalten ermittelt (die anderen Stellen in diesem Intervall müssen dann das gleiche Kurvenverhalten besitzen, indem diesen Wert in f ( folgende Intervalle: Intervall I ] ;, [ ] [ I,;0 I ] 0;, [ I ], ;+ [ Begründung g ( 0( +,8( ,, > 0 g ( 0( +,8 8, g ( 0( +,8( 0 +,8 + 8,8 > 0 g ( 0( +,8( + 8( , +,8 +,8( + 8( + 8( + 8( einsetzt. Es ergeben sich Kurvenverhalten LK RK LK RK + g ( + +, 9 g ( + g ( 0 +,8 + 8 notwendige Bedingung: g ( ( ,8 + 8 ausklammern +, ,8 + 8 : ( 0 8,8 pq Formel 0,,, ± ( +,8, ±,,