1 Die zweite Ableitung

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1 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig und deren Graphen Die zweite Ableitung S. Um den Graphen der Ableitung zu skizzieren, sucht man zuerst die Punkte mit waagrechten Tangenten. so erhält man die Nullstellen der Ableitung bei etwa 3,5; 0, und. An dazwischenliegenden Punkten liest man die Tangentensteigung ab, z. B. bei =,5 etwa Steigung 3, bei = etwa die Steigung,5 usw. O F() 0 Um den Graphen der Integralunktion : (t) dt zu skizzieren, sucht man zuerst die Nullstellen von. Dort hat die Integralunktion Etremstellen. In den Bereichen, in denen > 0 steigt die Integralunktion und in den Bereichen, in denen < 0 ällt die Integralunktion. Die Wendestellen von sind die Nullstellen der Integralunktion. S. 5 a) () = 5 + _ ; () = 30 ; () = 9 b) () = c 3 3 ; () = + 9 e 3 3 ; () = 3 c) () = (3 5); () = ; () = d) () = sin ( ); () = cos ( ); () = e) () = () = 0; () = 0 ) () = 9_ (3 + 3) _ ; () = 7 (3 + 3) _ + 9 ( 3 + 3) _ ; () = 7 + = 3 g) () = + ( + ) ; () = _ ( + ) 3 ; () = h) () = 3 3 ; ( 3) () = + ( 3) ; () = 7_ 3 () = ; () = 50 + ; qqq () = ; () () = 00 ; (5) () = 300 ; () () = 300 a) () = 3 + cos ; () = sin ; b) (t) = t 5 + 0, t 3 ; (t) = 0 t +, t c) () = ; () = d) t () = 3 t 3 + ; t () = t e) a () = a ; a () = 0 ) h () = ( 3 _ sin ) ( + cos ) _ ; h () = ( _ cos ) ( + cos ) _ _ ( 3 _ sin ) ( 3 sin ) ( + cos ) 3_ g) p (t) = t 3 t ; p (t) = 3 t + t ; p (t) = t t 3 h) g () = ; g () = ; g () = + i) h (z) = (z + ) 3 ; h (z) = (z + ) = (z + ) ; h (z) = 9 (z + ) 5 = 9_ (z + ) 5 k) (z) = 5 z 3_ z 3_ z 5 ; (z) = 0 z3 + _ z 5 + 5_ z Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 3

2 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig m 5 a) () = + + ; () = + b) () = sin + cos ; () = cos sin O ' O ' c) () = 3 = _ 3 ; () = = _ d) () = 5 + e ; () = e ' ' O ' O Individuelle Lösungen, z. B. O 7 a) () = e b) () = sin oder () = cos oder () = e Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen

3 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig a) Funktion zur Berechnung der Kreisläche A (r) = r π; A (r) = π b) Funktion zur Berechnung des Umangs eines Rechtecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge a U (a) = ; U (a) = O c) Funktion zur Berechnung der Oberläche eines Zlinders in Abhängigkeit von der Höhe O (h) = π r ; O (h) = O d) Funktion zur Berechnung des Kegelvolumens V (r) = π r ; V (r) = π r d) Funktion zur Berechnung des Kegelvolumens in Abhängigkeit von der Höhe V (h) = _ 3 π r ; V (h) = O ) Funktion zur Berechnung der Oberläche eines Kegels in Abhängigkeit vom Radius der Grundläche O (r) = π s + r π; O (r) = π 9 a) () = cos (III) b) () = sin (II) c) () = sin cos (I) 0 Einacher werden: ; ( cos ); 3 5 ; Schwieriger werden: _ sin ; _ ; _ + a) Der rot gezeichnete Graph ist der Graph der. Ableitung, der orange gezeichnete Graph ist der Graph der. Ableitung. b) Der rot gezeichnete Graph ist der Graph der. Ableitung, der orange gezeichnete Graph ist nicht der Graph der. Ableitung, da z. B. (). a) Der rot gezeichnete Graph ist der Graph der. Ableitung, der orange gezeichnete Graph ist nicht der Graph der. Ableitung, da die Ableitung einer quadratischen Funktion keine konstante Funktion ist. a) lg (, ) = lg (30 0, ) lg + lg, = lg 30 + lg 0, (lg, lg 0,) = lg 30 lg lg 30 lg =, lg, lg 0, b) Substitution: 0, = u u u = u u u = 0 u = 3; 0, _ = 3 lg 0, = lg 3 = lg 3,99 lg 0, u = ; 0, = nicht deiniert. Krümmung von Graphen S. Strecke entspricht dem Auschrieb. S. g () = 5 3 ; da g eine streng monoton allende Funktion ist, ist der Graph von g rechtsgekrümmt. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 5

4 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläuig 3 () = ; () = p () = ; p () = h () = ; h () = g () = ; g () = k () = ; k () = Ja, er hat recht. Die zweiten Ableitungen sind Vielache des Terms T () = Es gilt T () > 0 (T () < 0) alls > 0,9 ( < 0,9). Damit sind die Graphen im Intervall ] 0,9 ; [ (] ; 0,9 [ ) links-(rechts-)gekrümmt. Individuelle Lösungen, z. B. () = e mit D = R oder g () = mit D g = R oder h () = mit D h = R oder k () = _ mit D k = R +. 5 a) ] ; [, ] ; [, ] ; [ b) Individuelle Lösungen a) Graph linksgekrümmt in Intervallen ] ;,5 [ und ],5 ; [, Graph rechtsgekrümmt im Intervall ],5 ;,5 [. b) () = _ 3 3 9_ ; () = 9_ () > 0 alls > 9_ ; also > 3_, d. h. Graph linksgekrümmt alls * ] ;,5 [ oder * ],5 ; [. () < 0 alls < 3_, d. h. Graph rechtsgekrümmt alls * ],5 ;,5 [. 7 a) () = > 0, also Graph von linksgekrümmt b) () = _ < 0, also Graph von rechtsgekrümmt c) () = 3 + > 0, da > 0 ür alle * D, also Graph von linksgekrümmt d) () = 300 < 0, da > 0 ür alle * D, also Graph von rechtsgekrümmt e) () = e > 0, also Graph von linksgekrümmt ) () = + > 0 ür >, also Graph dann linksgekrümmt a) Zum Beispiel: O 3 5 b) Da die Funktion streng monoton wachsend ist, kann der Graph höchstens einen Schnittpunkt mit der -Achse haben. c) Da das Vorzeichen der ersten Ableitung augrund der strengen Monotonie nicht wechselt, hat die Funktion keine Etrema. d) Ja. Der Graph müsste allerdings stärker gekrümmt sein als beim Beispiel bei a). S. 9 9 a) Gegenbeispiel: () = ür * R. () = < 0, also streng monoton allend ür < 0, obwohl () = ür < 0 streng monoton wachsend ist. b) Gegenbeispiel: () = ; ür = 0 gilt (0) = 0. c) Gegenbeispiel: () = 3 ; () =. Es gilt (0) = 0 und (0) = 0. d) Gegenbeispiel: () = cos ; F () = sin und () = sin sind bezüglich der -Achse zueinander smmetrisch und haben so unterschiedliches Krümmungsverhalten. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen

5 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläuig 0 a) Falsch. Graph von ist eine Gerade, also muss der Graph von eine Parabel sein, deren Monotonieverhalten beim Etremum wechselt. b) Keine Aussage möglich. Aus dem Graphen von kann man nur etwas über das Monotonieverhalten von aussagen, nicht aber etwas über die Funktionswerte. c) Richtig. Da () > 0 ür > 0 ist der Graph von linksgekrümmt. d) Richtig. Man betrachtet die. Ableitung von, also. Es gilt () > 0 ür alle, also ist linksgekrümmt. e) Falsch. Z. B. F () = _ _ + mit F () = () = _ ; G F linksgekrümmt in ] ; [ und ] ; [ und rechtsgekrümmt in ] ; [, () = _ wie in der Zeichnung. ) Falsch, da F mindestens ein Etremum hat und dort das Monotonieverhalten wechselt. m a) () = ; () = + () > 0 alls >, also G in ] ; [ linksgekrümmt; () < 0 alls <, also G in ] ; [ rechtsgekrümmt. b) () = ( ) _ ; () = ( ) 3_ () < 0 ür alle > 0, also G in ] 0 ; [ rechtsgekrümmt c) () = 7 5 e 5 ; () = 5 e 5 () < 0 ür alle * R, also G überall rechtsgekrümmt d) () = 3 + ; () = () > 0 ür >, also G in ] ; [ linksgekrümmt; () < 0 ür < <, also G in ] ; [ rechtsgekrümmt; () > 0 ür <, also G in ] ; [ linksgekrümmt. e) () = 3 +, ; () = 3 + 3,5 30 () > 0 alls <,3, also G in ] ;,3 [ linksgekrümmt; () < 0 ür,3 < <,3, also G in ],3 ;,3 [ rechtsgekrümmt. () > 0 ür >,3, also G in ],3 ; + [ linksgekrümmt. ) () = ; () = (Nullstellen über CAS/Funktionsplotter) () < 0 ür <,05, also G in ] ;,05 [ rechtsgekrümmt; () > 0 ür,05 < < 0,9, also G in ],05 ; 0,9 [ linksgekrümmt; () < 0 ür 0,9 < < 0,7, also G in ] 0,9 ; 0,7 [ rechtsgekrümmt; () > 0 ür > 0,7, also G in ] 0,7 ; + [ linksgekrümmt. g) () = ; () = + () > 0 alls < _ 3, () < 0 alls > _ 3, h) () = _ sin ; () = _ cos () > 0 ür π_ < < 3_ π, () < 0 ür 3_ π < < 5_ π, also G in ] ; _ 3 [ linksgekrümmt; also G in ] _ 3 ; [ rechtsgekrümmt. also G in ] π_ ; 3_ π [ linksgekrümmt; also G in ] 3_ π ; 5_ π [ rechtsgekrümmt. G g muss monton allend und linksgekrümmt sein. G g 3 Ja, er hat recht.? Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 7

6 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläuig b) c) a) d) 5 n = 0: a; () = 0; keine Krümmung n = : a ; () = 0; keine Krümmung n = : a ; () = a; a > 0 linksgekrümmt, a < 0 rechtsgekrümmt n = 3: a 3 ; () = a ; a > 0: ür > 0 linksgekrümmt, ür < 0 rechtsgekrümmt a < 0: ür < 0 linksgekrümmt, ür > 0 rechtsgekrümmt allgemein: Für n = 0 und n = keine Krümmung ür n gerade: a > 0 linksgekrümmt, a < 0 rechtsgekrümmt ür n ungerade: a > 0 ür > 0 linksgekrümmt, ür < 0 rechtsgekrümmt a < 0 ür < 0 linksgekrümmt, ür > 0 rechtsgekrümmt.??? m t CAS lieert Wendestellen. a) ] π ; 0,9509 [ rechtsgekrümmt; c) c) b) ] 0,9509 ;,33 [ linksgekrümmt; ],33 ; π [ rechtsgekrümmt b) ] ;,979 [ linksgekrümmt; a) ],979 ; 0,5 [ rechtsgekrümmt; ] 0,5 ; [ linksgekrümmt c) ] ; [ rechtsgekrümmt; 3 O 3 ] ; [ linksgekrümmt; ] ; [ rechtsgekrümmt 7 a) () ist an der Stelle 3 am größten. b) () ist an der Stelle am größten. c) () ist an der Stelle am kleinsten. d) () ist an der Stelle am größten. e) () ist an der Stelle am kleinsten. ) F () ist an der Stelle am größten. B _ B P (A B) = 0,; A 0, 0 % = 0, 0,3 _ A 0, 0,5 0,7 _ 5 = 0, 0, P (A B) _ P A (B) = = 0, P (A) 0,3 = 0, _ Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen

7 Schülerbuchseite 50 5 Lösungen vorläuig 3 Wendepunkte, Art der Etrema S. 50 Die Abtragung wechselt an den Stellen des Flusses, wo die Linkskrümmung (-biegung) in eine Rechtskrümmung (-biegung) wechselt und umgekehrt. S. 5 a) () = 3 ; () = 7 ; () = 0 ür = _ 3 und = _ 3 ( _ 3 ) 0; ( _ 3 ) 0, also Wendestellen _ 3 und _ 3 b) () = ; () = 0 7 ; () = 0 ür = 0 und = 0,9; (0) = 0 und (0) hat keinen Vorzeichenwechsel; (0,9) 0, also Wendestelle = 0,9 c) () = + ; () = ; () = 0 ür = _ 7 ( _ 7 ) 0, also Wendestelle _ 7 d) () = _ _ ; () = 3_ 5_ () = 0 ür = _ ( _ ) 0, also Wendestelle _ e) () = 30; () = ; () = 0 ür = und = ( ) 0; ( ) 0, also Wendestellen und ) () = ; () = ; () = 0 hat keine Lösung, also keine Wendestelle. 3 Wendepunkte Linkskrümmung Rechtskrümmung a) (,7), ( 0,3), (,5) ] ; [; ] ; [ ] ; [; ] ; [0,3 b) ( ), (,5), ( 3), ( 0) ] ; [; ] ; [; ] ; + [ 0,7 a) () = ; () = ; () = keine Etremstelle Wendestelle: = 0 ( (0) 0) Linkskrümmung im Intervall: ] 0 ; [; Rechtskrümmung im Intervall: ] ; 0 [ b) () = 5 + ; () = Etremstellen: = _ 5 ; = _ 5 Wendestelle: = 0; (0) hat Vorzeichenwechsel Linkskrümmung im Intervall: ] ; 0 [; Rechtskrümmung im Intervall: ] 0 ; [ c) () = ( ); () = Etremstelle: = kein Wendepunkt, der Graph ist überall linksgekrümmt. d) () = e ; () = e Etremstelle: = 0 kein Wendepunkt, der Graph ist überall linksgekrümmt. e) () = ; () = Wendestelle: = _ kein Wendepunkt, der Graph ist überall rechtsgekrümmt. ) () = ( 3); () = ; () = 3 Etremstellen: = 0; = ; 3 = Wendestellen: = ; 5 = ( () 0, ( ) 0) Linkskrümmung: ] ; [; ] ; [; Rechtskrümmung: ] ; [; ] ; + [ g) () = 3 ( ) ; () = ( ) 3 Etremstellen: = _ + _ ; = _ _ ; kein Wendepunkt Linkskrümmung: ] _ ; + [ ; Rechtskrümmung: ] + ; _ [ h) () = ( ); () = ; () = Etremstellen: = 0; = ; 3 = Wendestellen: = _ 3 ; 5 = _ 3 ( ( _ 3 ) 0; ( _ 3 ) 0 ) Linkskrümmung: ] ; _ 3 [ ; ] _ 3 ; [ Rechtskrümmung: ] _ 3 ; _ 3 [ Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 9

8 Schülerbuchseite 5 53 Lösungen vorläuig 5 a) () = sin Wendepunkte: W (0 0), W (π 0), W 3 ( π 0) Linkskrümmung: ] π ; π [ ; ] 0 ; π [ Rechtskrümmung: ] 0 ; π [ ; ] ; [ b) () = cos sin Wendepunkte: W ( 3_ π 0 ), W ( 7_ π 0 ) Linkskrümmung: ] 3_ π ; 7_ π [ Rechtskrümmung: ] 0 ; 3_ π [ ; ] 7_ π ; π [ c) () = cos Wendepunkte: W ( π_ 0 ), W ( 3_ π 0 ) Linkskrümmung: ] 0 ; π_ [ ; ] 3_ π ; π [ Rechtskrümmung: ] π_ ; 3_ π [ d) () = sin Wendepunkte: W (0 0), W ( π _ π ), W 3 ( π π) Linkskrümmung: ] π ; π [ Rechtskrümmung: ] 0 ; π [ a) Der Graph hat Ende September die größte Steigung, sodass etwa hier die größte Umsatzsteigerung war, der größte Umsatzrückgang war Ende Januar. b) Da der Graph rechtsgekrümmt ist, wird der Umsatz zunächst immer langsamer weiter wachsen. Im ungünstigsten Fall kann er au Dauer wieder sinken. 7 a) () = a + b; () = a Ist a > 0, so ist () = a > 0 ür alle * R, damit ist der Graph von überall linksgekrümmt. Ist a < 0, so ist () = a < 0 ür alle * R, damit ist der Graph von überall rechtsgekrümmt. b) () = n (n + ) n + ; () = n n + () > 0 ür gerades n. Damit ist ür gerades n der Graph von in R \{0} überall linksgekrümmt. a () = 3 a ; a () = a a () = 0 lieert = _ 3 a Da a bei = _ 3 a einen Vorzeichenwechsel hat, hat an der Stelle = _ 3 a einen Wendepunkt. W ( _ 3 a _ 7 a ) S a) Falsch. Für * ] 0,5 ; [ nimmt () sowohl Werte größer als auch kleiner Null an. b) Richtig. hat an der Stelle = eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von+ nach. c) Ja, P ( 0 (0) )kann ein Terrassenpunkt sein. d) Falsch. hat an der Stelle = 0, ein Maimum, hat somit an dieser Stelle eine Nullstelle, ändert sein Krümmungsverhalten nicht. 0 a) () = 3 ; () = Wendepunkt W (0 0) ist Terrassenpunkt, da (0) = 0 Wendetangente: = 0; D = R b) () = 3 ; () = 3 Wendepunkte: W (0 0), W (0,5 0,575), W 3 ( 0,5 0,59375) Wendetangenten: = ; = + 0,; = 0, D = R c) () = 0 + 0,; () = 0 3 Wendepunkt: W (0 0) Wendetangente: = 0, D = R d) () = 3 ; () = Wendepunkte: W ( ), W ( ) Wendetangenten: = + ; = + D = R Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 30

9 Schülerbuchseite 53 Lösungen vorläuig e) () = 5 + ; () = 30 + Wendepunkt: W ( _ 5 0, ) Wendetangente: =, 0,0; D = R ) () = 5 ; () = 30 7 kein Wendepunkt D = R \{0} g) () = + + ; () = 5 ( + 9) ( + 9) 3 kein Wendepunkt D = R \{ 9} h) () = _ _ 7 ; () = _ _ 7 Wendepunkte: W ( _ 3 5_ 9 ) ; W ( _ 3 5_ 9 ) Wendetangenten: = _ 3 _ 3 ; = _ 3 _ 3 D = R i) () = 5 +, ; () = 0 +, kein Wendepunkt D = R \{0} k) () = ( + 3) ; () = _ ( + 3) 3 kein Wendepunkt D = R \{ 3} l) () = sin ; () = cos Wendepunkt: W ( _ π 0 ) Wendetangente: = + _ π D = R a) Die Zunahme der Tierpopulation ist an der Wendestelle am größten. (etwa bei =,) b) Die Gerade = s ist die Wachstumsschranke, sie begrenzt die maimale Größe der Tierpopulation.??? m t CAS lieert Wendepunkte. a) W (,09,355 ), W (0,3 0,0 ), W 3 (0 0) c) d) b) W (0,30 0,5 ) c) W ( 0,0 5,0 ) d) W ( ) 3 a) O 3 b) 3 a) z. B. () = (oder () = 3) b) z. B. () = 5 (oder () = 5 + ) c) z. B. () = sin (oder () = cos ) d) z. B. () = (oder () = 3 ) a) () = a 3 + b + c + d; () = 3 a + b + c; () = a + b Aus () = a + b = 0 olgt 0 = b_ 3 a ; es muss a 0 gelten, sonst wäre der Grad der Funktion nicht 3. Wegen des Vorzeichenwechsels liegt ein Wendepunkt vor. b) Wegen b = 0 ergibt sich 0 = 0. Damit liegt der Wendepunkt au der -Achse. c) () = a 5 b 3 + c; () = 5 a 3 b + c; () = 0 a 3 b Aus () = 0 olgt = 0; = _ 3 b 0 a ; 3 = _ 3 b 0 a. Wegen des Vorzeichenwechsels liegen jeweils Wendepunkte vor. Da der Graph smmetrisch zum Ursprung ist, liegen die Wendepunkte _ b au einer Ursprungsgeraden; ihre Gleichung ist = ( c 00 a ). Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 3

10 Schülerbuchseite 53 5 Lösungen vorläuig 5 z. B. a) () = b) () = ( )3 c) () = 3 3 d) () = e b) c) O a) d) a) () Etremstellen: Minimum bei Maimum bei Wendestelle bei = 0 () Etremstellen: Minimum bei keine Wendestelle (3) Etremstellen: Minimum bei () Etremstellen: Minimum bei Maimum bei Wendestelle bei = 0 (5) Etremstellen: Minimum bei Terrassenpunkt bei = 0 Wendestelle bei =,5,;,; b) = 0,5; = =,; =,; ionen? Funkt = c) b) O a) d) S. 5 7 () = 3 + b + c; () = + b Es muss gelten: () = 0 und () = 0. Also I 3 + b + c = 0 II + b = 0 = _ 3 b in I: ( ) ( ) 3 _3 b + b _3 b + c = 0 c = _3 b a) Richtig. Wenn () = cos au ganz R deiniert ist, hat, da der Graph periodisch verläut, unendlich viele Wendepunkte. n+ () = cos hat unendlich viele Nullstellen n = _ π, n * Z, also hat unendlich viele Wendestellen. 3 b) Falsch. Gegenbeispiel: () = 3 mit Wendepunkt (0 0). _ = _, () =, also _ < (). () () c) Richtig. () = a + b + c, a 0; () = a + b; () = a; also gibt es keinen Wendepunkt. d) Falsch. Beim Ableiten wird der Grad der Funktion jedes Mal um eins kleiner, also hat die Funktion maimal n Wendepunkte. Beispiel: () = 5 mit () = 0 3 hat nur einen Wendepunkt (0 0). e) Richtig. Da sich zwischen zwei Etremstellen das Krümmungsverhalten ändern muss, liegt zwischen den beiden Etremstellen immer auch eine Wendestelle und damit zwischen zwei Wendepunkten ein Etrempunkt. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN II W eitere Eigenschaten von Funktionen und deren Graphen 3

11 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig??? m 9 a) () = _ 3_ ; () = 3_ 3 O S W S 3 5 ; W (,5 0,75) Wendetangente t: =,5 +,55 b) Schnittpunkte: S (0,55), S (,7 0) A = 0,5 g h = 0,5,7,55,9 c) Stammunktion von : z. B. F () = _ _ : 3 0 (t) dt = F (0) F ( 3) = _ _ = O ( _ _ )= _ 33 =,5 3 0 a) a () = 3 a ; a () = a i) a () = 0 (3 a) = 0 = 0 oder = _ 3 a a ( _ 3 a ) = a a ( _ 3 a ) > 0 ür a > 0. Also T ( _ 3 a a ( _ 3 a ) ) Tiepunkte ür a > 0 Ortslinienbestimmung: = _ 3 a a = 3_, a > 0: 3_ () = _ t : _ ii) Analog i) H ( _ 3 a a ( _ 3 a ) ) Hochpunkte ür a < 0 t : _ Ortslinie aller Tiepunkte Ortslinie aller Hochpunkte iii) a () = 0 = _ 3 a; a () = 0 ür alle * D a Ortslinienbestimmung: = _ 3 a a = 3 ; 3 () = 3 + t 3 : 3 + b) a () = 3 a; a () = a W a ( _ 3 a _ 7 a 3 ) Ortslinie aller Tiepunkte Wendetangente t: = _ 3 a + _ 7 a 3 + _ Wendetangente durch (0 0): a3 7 + = 0, also a 0 = 3 c) T (0 ) H 5 H ( 5) W ( 3) G t; = 3 W 3 3 O 3 d) A = : g h 3 t (t t + ) dt = _ t + t 3 + t 5 = 3_ + =,5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 33

12 Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig a) G () = 9,95 (0,00 3 0, ,5) = 0, ,05 + 7,95 0,5 b) G () = 0, , + 7,95 G () = 0 =,05, = 95,7939 G ( ) = 9,7709 H (95,79 9,77 ) Bei 9 Packungen macht die Firma den größten Gewinn, nämlich etwa 300. c) Nullstellen N (0 0) und N (,3 0) Produziert die Firma mehr als Packungen, so macht sie Verlust. a) Die Population startet mit 3500 Tieren, wächst dann bis zu 500 Tieren zur Jahresmitte, um dann wieder au 3500 Tiere zurückzuallen. b) H (0,5 500), T (0 3500), T ( 3500) Nach einem halben Jahr hat die Population ihre Bestandsspitze bei 500 Tieren, ein Bestandsminimum gibt es zu Beginn bzw. am Ende eines Jahres mit 3500 Tieren. c) Das größte Wachstum hat die Population nach einem Vierteljahr (Wendepunkt W (0,5 (0,5)), die größte Abnahme nach einem Dreivierteljahr (Wendepunkt W (0,75 (0,75)) O Population = () t in Jahren 0,5 3 a) t () = _ + ( 3 + _ 5 t ) + 5; t () = _ 5 t Wendepunkt au der -Achse, dann W (0 (0)), also t (0) = 3 + _ 5 t t = 5 b) F () = _ + ( _ + _ 30 t ) 3 + 5_ + t 0 c) : (s) ds = _ + ( _ + _ 30 t ) 3 + 5_ 0 + t 5 = ( _ 3 ( _ + _ 30 t ) + 0 t ) = _ 3 + _ 5 t 0 Aus : (s) ds = _ 9 olgt _ 3 + _ 5 t = _ 9, also t = 79_ 9 OA = ( ) ; OA = ; OB = ( 3 ) ; OB = AB = ( 3 Å,5 OD = 7,5 (,5 Å ) ( = 3 CD =,5 AB OD =,5 OB OC =,5 OA Å ) ; AB = ) ; OD = OC = 0 ( 5,5 5,75 CD = 7,5 Å0 (,5,5 OAB und OCD sind ähnlich (SSS-Satz).,5 ) ; OC = ,5 ) ( =,5 5 ) ; 5 a) (0 9) = b) = c) ( ) = ( ) = 5 ( ) = ,5 CD = ,5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 00 Lösungen und Materialien Klasse ISBN und deren Graphen 3

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