Jahrgangsstufe 11. f(x) = 1 12 x4 1 3 x3 3 2 x2 nach allen Regeln der Kunst und zeichnen Sie ihren Graphen.

Transkript

1 Jahrgangsstufe. Diskutieren Sie die Funktion f mit der Gleichung f) = nach allen Regeln der Kunst und zeichnen Sie ihren Graphen. Lösung: NS: 0 =,69, 0 = 0, 03 = + 6,69 lim f) = + ± f ) = f ) = 3 rel. Minimum bei 3 5) )),5,05) rel. Maimum bei 0 0) rel. Minimum bei 3 + 5) 9 )) 3 5 5,5 7,) Wendepunkt bei 3 ) =,03) Wendepunkt bei 3 63 ) = 3 5,75). Die Abbildung zeigt den Grafen der Funktion f mit der Gleichung f) = 5 +5)+9) Beschreiben Sie, wie der ebenfalls dargestellte Graf der Funktion g aus dem Grafen von f hervorgeht und entwickeln Sie schrittweise die Gleichung von g. Zeichnen Sie beschriftete Hilfsfunktionen in die gegebene Abbildung. Überprüfen Sie die gefundene Gleichung durch die Berechnung der Werte g3,5), g6,5) und g).

2 y f g 0 3 Lösung: f spiegeln an der -Achse f ) = f) f strecken mit Zentrum 0 0) in -Richtung mit Faktor und in y-richtung mit Faktor 3 f ) = 3 f ) = +5)+9) f verschieben um nach rechts und um nach oben g) = f )+ = ) )+5) )+9) g3,5) =, g6,5) =,5, g) = g) = ) ) 7)+

3 y f g 0 3 f f 3. Beschreiben Sie, wie der Graf der Funktion 3 f) = sin π ) +3 aus dem Grafen der Funktion g) = sin hervorgeht und zeichnen Sie beide Grafen. Lösung: f) = sin π 3) ] +3 Streckung in -Richtung mit dem Faktor 3 Verschiebung um π 3 nach rechts Streckung in y-richtung mit dem Faktor Verschiebung um 3 nach oben. Oder: Verschiebung um π nach rechts Streckung in -Richtung mit dem Faktor 3 Streckung in y-richtung mit dem Faktor Verschiebung um 3 nach oben.. Streckt man den Grafen der Funktion f) = sin zuerst in -Richtung mit dem Faktor k = und verschiebt ihn dann nach links um a = π, dann erhält man den 3 Grafen von g. Verschiebt man den Grafen von f zuerst um a nach links und streckt ihn dann in -Richtung mit dem Faktor k, dann erhält man den Grafen von h. Schreiben Sie die Gleichungen von g und h hin. Wie weit und in welche Richtung muss man den Grafen von g verschieben, um den Grafen von h zu erhalten? [ ] [ 3 Lösung: g) = sin k +a) = sin + π ) ] = sin + 3π ] 3

4 [ h) = sin h) = sin ] k +a = sin + π + π ) π ] = g ] = sin π ) + π ) ] 6 = Verschiebung um π nach rechts. 5. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f) = 3 + und D f =R. a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie und Monotonie und zeichnen Sie den Grafen von f im Intervall [ 3;3] in der Einheit cm. b) In welchem maimalen Intervall, das den Ursprung enthält, besitzt f eine Umkehrfunktion g = f? Zeichnen Sie den Grafen von g in das schon vorhandene Diagramm. Beweisen Sie, dass die Gleichung von g für 0 durch gegeben ist. g) = 3 9 Lösung: a) f ) = 3 = f) = Punktsymmetrie zum Ursprung. + f ) = 3+ ) 3 + ) = 3 ) + ) = 3 + ) }{{ ) } >0 f ) > 0 > 0 < < < f streng steigend in [ ;], und streng fallend in ] ; ] und in [;+ [. f) y 0 0,5 0,5,,0,5,5,3,0, g,5,03 3,0 0,9 f b) g eistiert in [ ;]. fg)) = = ) = ) ) = =

5 6. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit der Gleichung f) = cos )+sin 3) ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge. Lösung: f ) = sin ) +sin3)cos3) 3 cos )+sin 3) = sin )+3sin6) cos )+sin 3) 7. Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung z 00 = i, deren Realteil zwischen 0,60 und 0,65 liegt. Lösungen in Polar- und in Normalform. Lösung: z = Eϕ) = z 00 = E00ϕ) = E90 )) = 00ϕ = 90 +k 360, k Z ϕ k = 0,9 +k 3,6, Rez k ) = cosϕ k, 0,60 < cosϕ k < 0,65 = 53,3 > ϕ k > 9,6 =,5 > k > 3,5 = k =, ϕ = 5,3 306,7 < ϕ k < 30,5 =,99 < k < 6,0 = ϕ 5 = 306,9, ϕ 6 = 30,5 z = E5,3 ) = 0,65+0,70i z 5 = E306,9 ) = 0,600 0,7997i z 6 = E30,5 ) = 0,69 0,760i. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f) = im maimalen Definitionsbereich D f =R. a) Berechnen Sie die Nullstellen von f. b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und auf Etremwerte. c) Ermittlen Sie das Krümmugsverhalten von f und die Wendepunte. d) Zeichnen Sie den Grafen von f im -Intervall [ 0,5;] in der Einheit cm. Lösung: a) f) = +36 ) = 6) f) = 0 = 0 = 0, 0 = 6 b) f ) = = ) f ) = 0 = + = =, = 6, f ist eine nach oben geöffnete Parabel = f } ) > 0 und f streng steigend in ] ;[ und in ]6; [ f = ) < 0 und f streng fallend in ];6[ c) f ) = 3 3 f ) = 0 = = = f } ) < 0 und f rechtsgekrümmt in ] ;[ f = Wendepunkt bei ) ) > 0 und f linksgekrümmt in ]; [ 5 { rel. Ma. bei ) rel. Min. bei 6 0)

6 d) f) 0,5, ,5 3 3, ,65 7 0,75 f ) -,5 6 +,5 f ) 0,75 3 WP Der letzte Weg des Bären Bruno wird durch die Funktion f mit der Gleichung Lösung: a) f) = und D f =R + beschrieben. a) Zeichnen Sie den Grafen von f mit der Einheit 5cm im -Intervall [0,;]. b) Der Bär wandert gemächlich von links nach rechts auf dem Grafen von f. Im Ursprung O des Koordinatensystems sitzt ein feiger Jaga, der Bruno genau dann erlegt, wenn er von ihm die kleinste Entfernung hat. Drücken Sie die Entfernung s zwischen dem Bären und dem Schützen durch die -Koordinate des Bären aus und berechnen Sie die Koordinaten von Brunos Schicksalsort B 0 y 0 ). Nachweis nicht vergessen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt! c) Wie lang ist die tatsächliche Schussweite s 0 = OB, wenn der in a) gezeichnete Weg einer Karte im Maßstab :000 entspricht? y b) s) = +f) = s ) = 5 +f) + s 0 ) = 0 = 0 = 6, B y 0 = f 0 ) = 3 0,7937 so yo lim = + und lim s) = + 0 +s) + und nur eine Nullstelle von s = relatives Minimum bei B 0 y 0 ) O o c) s 0 = 0 +y0 = 3 3,375 6

7 In der Zeichnung hat s 0 die Länge 5,375cm = 6,75cm, in der Wirklichkeit also 000 6,75cm = 37,5m. 0. Berechnen Sie in nachvollziehbarer Weise die folgenden Grenzwerte: a) lim 0 + Lösung: a) lim 0 + b) lim = lim 0 + = lim ) c) lim 0 sin3 +sin = 0 0 b) lim = = 3cos3 = lim 0 +cos = 3 = c) lim 0 sin3 +sin 7