Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018

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1 Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich E R G E B N I S S E der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 08

2 Ergebnisse zur. Übung am Thema: Logik, Mengenlehre. (a) (b) (c) (d) (e) 6 (f) 9 (g) 6 (h) 8 (i) (j) (k) + (l) 7 0. Eine Aussage ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, dem eindeutig ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. (a) ist eine Aussage; sie ist wahr (b) ist eine Aussage; sie ist falsch (c) ist keine Aussage ( ist nicht spezifiziert) (d) ist eine Aussage; sie ist wahr. (a) p ist wahr, q ist wahr, r ist falsch (b) p: ist eine gerade Zahl. falsch r: ist nicht durch teilbar. wahr p q: ist sowohl ungerade als auch eine Primzahl. wahr p r: ist sowohl ungerade als auch durch teilbar. falsch p q: ist ungerade oder eine Primzahl (oder beides). wahr p r: ist ungerade oder durch teilbar (oder beides). wahr p r: besitzt nicht die Eigenschaft, sowohl ungerade als auch durch teilbar zu sein. wahr p r: ist sowohl gerade als auch nicht durch teilbar. bzw. ist weder ungerade noch durch teilbar. falsch p r: ist gerade oder nicht durch teilbar (oder beides). wahr. (a) Es eistiert (mindestens) eine reelle Zahl, für die gilt: =. wahr (b) Es eistiert (mindestens) eine natürliche Zahl n, für die gilt: n =. (c) Für jede reelle Zahl gilt 0. (d) Für jede reelle Zahl gilt > 0. (e) Für jede natürliche Zahl n gilt n n. wahr falsch falsch (f) Es eistiert eine natürliche Zahl n, für die gilt: n n. wahr (g) Es eistiert eine reelle Zahl, sodass für alle reellen Zahlen gilt:. (h) Zu jeder reellen Zahl eistiert eine reelle Zahl, sodass gilt: <. falsch wahr falsch. (a)(a) ist keine notwendige, aber eine hinreichende Bedingung für. (a) ist sowohl eine notwendige als auch eine hinreiche Bedingung für. (a) > ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für. (b)(b) Dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist. (b) Dass alle Seiten gleich lang sind, ist weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.

3 (b) Dass alle Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel rechte Winkel sind, ist keine notwendige, aber eine hinreichende Bedingung dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist. (c)(c) f ( ) = 0 ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung dafür, dass eine lokale Etremstelle von f ist. (c) f ( ) 0 ist weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung dafür, dass eine lokale Etremstelle von f ist. (c) Dass f ( ) = 0 und f ( ) 0 gilt, ist keine notwendige, aber eine hinreichende Bedingung dafür, dass eine lokale Etremstelle von f ist. 6. (a) A B = {, }, A B = {,,,, 6}, A \ B = {, }, B \ A = {6} A und B sind nicht disjunkt. Keine der beiden Mengen ist Teilmenge der anderen. (b) A B = {,, }, A B = {,,,,, 6}, A \ B = {,, 6}, B \ A = A und B sind nicht disjunkt. B ist eine Teilmenge von A. (c) A B =, A B = {,,,,, 7, 9,, 6, }, A \ B = {,, 9, 6, }, B \ A = {,,, 7, } A und B sind disjunkt. Keine der beiden Mengen ist Teilmenge der anderen. 7. (a) A = {,, }, B = {,, }, C = {, } 8. (b) A B C = {,,,, } A B C = {} (A B) C = {,, } (A C) (B C) = {,, } (A C) \ B = {, } B \ (A C) = {} (a) A = {,,, } (b) B = {0, 60, 90, 0,...} (c) C = {0,,, 9, 6,...} (d) D = (e) E = {, } 9., {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, } 0. Darstellung der angegebenen Mengen: (a) (b) (c) (d) C C C C A B A B A B A B. (a) A B C (b) B \ (A C) (oder auch (B \ A) (B \ C)) (c) (A B) C (oder auch (A C) (B C)) (d) (A B) \ C. (a) A B = (, ], A B = (0, ), A \ B = (0, ], B \ A = (, ) A - 0 B (b) A B =, A B = [0, ), A \ B = [0, ], B \ A = (, ) A - 0 B (c) A B = {}, A B = [0, ), A \ B = [0, ), B \ A = (, )

4 A - 0 B. (a) A = [, ) (b) B = (, ] (, ) (c) C = (, ] (, ] (7, ) (d) D = [, ] (e) E = (, ) (f) F = [ 6, ) [, 6]. A B = {(, ), (, )(, ), (, ), (, ), (, )} A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Im Folgenden ist links A B und rechts A dargestellt (jeweils grau gefärbt, beide Mengen bestehen nur aus einzelnen Punkten) (a) A B = {(, ), } (b) A B = {(, ) <, 0 < } (c) A B = {(, ) {,, }, } Im Folgenden sind die Mengen A B dargestellt (jeweils grau gefärbt) links für (a), in der Mitte für (b), rechts für (c) (a) richtig (b) falsch (c) richtig (d) richtig (e) richtig (f) falsch (g) richtig (h) falsch (i) richtig (j) richtig (k) falsch (l) richtig (m) richtig (n) richtig (o) falsch (p) falsch (q) richtig (r) richtig (s) richtig (t) falsch (u) richtig

5 Ergebnisse zur. Übung am Thema: Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen. (a) + (e) (b) (f) + (g) + (i) + (j) ( + )( + ) (k) + (c) (d) 9 (h) (l) + 7 (m) + (n). (a) 68 (b) 769 (c) 0000 (d) (e) 800 (f) (a) 8 (b) (c) (d) (e) (f) n+ (g) n (h) (i) () 8 (j) = (k) 8 (l) +. (a) = a (b) = a + (c) = a 6 (d) = a 0 (e) = 6 a + (f) = a + a + (g) = 7 a (j) = 0a + 7 a + (h) = a (k) = a (i) = 7 a + 7. (a) Am Vorzeichen des Vorfaktors vor lässt sich erkennen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten. (b) Beispiele für quadratische Funktionen mit den entsprechenden Eigenschaften: Parabel nach oben geöffnet Parabel nach unten geöffnet genau reelle Nullstellen = = + genau reelle Nullstelle = = keine reelle Nullstelle = + = 6. In dieser und den nachfolgenden Aufgaben wird mit L die Lösungsmenge der Gleichung oder Ungleichung bezeichnet. (a) L = {, } (b) L = { }, 0 (c) L = {, } (d) L = (e) L = (g) L = {, } {, } (f) L = { } (h) L = { 7, } (i) L = {, 6}

6 7. Lösungsmengen bei Beibehaltung von und : ( (a) L = [, ] (b) L =, ] [, ) (c) L = R (d) L = [, ] Lösungsmengen, wenn und durch < und > ersetzt wird: ( (a) L = (, ) (b) L =, ) (, ) (c) L = R \ {} (d) L = (, ) 8. { } (a) L = {, } (b) L =, (c) L = {} { } (d) L =, (e) L = (f) L = { }, 9. Lösungsmengen bei Beibehaltung von und : (a) L = [, ] (b) L = (, ] [, ) (c) L = (, ] (d) L = [ 7, ) Lösungsmengen, wenn und durch < und > ersetzt wird: 0. (a) L = (a) L = (, ) (b) L = (, ) (, ) (c) L = (, ) (d) L = ( 7, ) { } { } 8, (b) L = 9,, (c) L = {0}, (d) L = { }. Lösungsmengen bei Beibehaltung von : ( (a) L =, ] (, ) (b) L = [, 0) [, ) (c) L = (, ) [, ) Lösungsmengen, wenn durch < ersetzt wird: ( (a) L =, ) (, ) (b) L = (, 0) (, ) (c) L = (, ) (, ). (a) L = {7}, (b) L = {0, }, (c) L = {9}, (d) L = {} 6

7 Ergebnisse zur. Übung am Thema: Gleichungen und Ungleichungen mit zwei Variablen, Hilfsmittel aus der Kombinatorik, reelle Zahlenfolgen. (a) (a) 9 (a) (a) 6 (b)(b) Es wird die Summe der ersten n positiven natürlichen Zahlen berechnet, also die Summe aller natürlichen Zahlen von bis n. (b) Es wird die Summe der ersten n positiven Quadratzahlen berechnet. (b) Es wird die Summe der ersten n (positiven) ungeraden Zahlen berechnet. (b) Es wird n mal die Zahl addiert. (Die Summe ist offenbar gleich n.) (c) = (d) n = 6. (a) In der folgenden Abbildung sind die vier Geraden dargestellt. + = 0 = = = (b) m: Anstieg der Geraden; n: -Koordinate des Schnittpunktes der Gerade mit der -Achse (c) Die Gerade schneidet die -Achse im Punkt ( a, 0) und die -Achse im Punkt (0, b ).. (a) In der folgenden Abbildung sind die vier Parabeln dargestellt. = + = ( ) = = (b) In der folgenden Abbildung sind die vier Parabeln dargestellt. + = = = ( + ) = + -. (a) Mittelpunkt (0, 0), Radius (b) Mittelpunkt (, ), Radius (c) Mittelpunkt (, ), Radius (d) Mittelpunkt (, ), Radius In der folgenden Abbildung sind die vier Kreise dargestellt. 7

8 (d) (b) (c) (a) (a) Smmetriepunkt (0, 0), Halbachsenlängen: a =, b = (b) Smmetriepunkt (, ), Halbachsenlängen: a =, b = (c) Smmetriepunkt (0, ), Halbachsenlängen: a =, b = In der folgenden Abbildung sind die drei Ellipsen dargestellt. (a) (c) (b) 6. Sind Begrenzungskurven nur gestrichelt, dann bedeutet das, dass sie selbst nicht mit zum Bereich dazugehören. Bereiche in den Teilaufgaben (a) (d): Bereiche in den Teilaufgaben (e) (h): (a) (b) (c) 0 (d) (e) 0 (f) (g) (h) n 8. (a) Es gibt 0 Teilmengen von A, die genau zwei Elemente haben: {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }. 8

9 (b) Allgemein hat eine Menge mit n Elementen ( n k) Teilmengen mit genau k Elementen. 9. (a) 0 (b) 9 (c) (c) 0 (c) 7980 (c) 89 (d) (d) 680 (d) (a) a =, a =, a =, a =, a =, a 6 = 6 (b) a 0 =, a = 8, a =, a = 8, a = 7, a = 9 8 (c) a 0 = 0, a =, a =, a =, a =, a = 6 (d) a =, a =, a =, a =, a =, a 6 = In den folgenden Abbildungen ist der Verlauf der Folgen aus (a) und (b) dargestellt. a n a n n n - In den folgenden Abbildungen ist der Verlauf der Folgen aus (c) und (d) dargestellt. 9 8 a n - a n n n Diskussion von Monotonieverhalten, Beschränktheit und Konvergenzeigenschaften der Folgen: (a) streng monoton fallend, beschränkt, konvergent gegen 0 (b) streng monoton wachsend, beschränkt, konvergent gegen (c) weder monoton wachsend noch monoton fallend, beschränkt, unbestimmt divergent (d) weder monoton wachsend noch monoton fallend, unbeschränkt, unbestimmt divergent. (a) für q = : a 0 =, a =, a =, a = 8, a = 6, a = für q = : a 0 =, a =, a =, a =, a =, a = 9

10 (b) für q = : a 0 =, a =, a =, a = 8, a = 6, a = für q = : a 0 =, a =, a =, a = 8, a = 6, a = für q = : a 0 =, a =, a =, a =, a =, a = für q = : a 0 =, a =, a =, a = 8, a = 6, a = Für q < ist die Folge (a n ) mit a n = q n weder monoton wachsend noch monoton fallend und außerdem unbeschränkt. Die Folge ist unbestimmt divergent. Für q = ist die Folge (a n ) mit a n = q n = ( ) n weder monoton wachsend noch monoton fallend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist unbestimmt divergent. Für < q < 0 ist die Folge (a n ) mit a n = q n weder monoton wachsend noch monoton fallend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist konvergent gegen 0. Für 0 < q < ist die Folge (a n ) mit a n = q n streng monoton fallend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist konvergent gegen 0. Für q = ist die Folge (a n ) mit a n = q n = n konstant, denn es gilt offenbar a n = für alle n N. Als konstante Folge ist sie sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend (aber nicht streng) sowie beschränkt. Offensichtlich ist die Folge konvergent gegen. Für q > ist die Folge (a n ) mit a n = q n streng monoton wachsend und unbeschränkt. Die Folge ist bestimmt divergent gegen +.. (a) 0000 (b) 0 (c) (d) (e) 7. Fall : p <. Dann konvergiert die Folge (a n ) gegen Null. Fall : p =. Dann konvergiert die Folge (a n ) gegen. Fall : p >. Dann ist die Folge (a n ) bestimmt divergent gegen +. 0

11 Ergebnisse zur. Übung am Thema: Reelle Funktionen. (a) (b) 0 (c) (d) (e). 7 (a) (b) (c) (d). Abbildungen für die Teilaufgaben (a) (c): (e) (f) (g) (h) In (a) und (c) handelt es sich bei der Gleichung um die Funktionsgleichung einer reellen Funktion, in (b) nicht.. (a) Abbildungen für die Teilaufgaben (a) (a): -π -π 0 π π - = sin() = sin() -π -π 0 π π - = sin() = sin() - - Abbildungen für die Teilaufgaben (a) (a): = sin() -π -π 0 π π - - = sin() -π -π 0 π π - = sin() = sin( π ) - - (b) = a f(): Streckung (falls a > ) bzw. Stauchung (falls a (0, )) des Graphen von f in -Richtung = f(a): Streckung (falls a (0, )) bzw. Stauchung (falls a > ) des Graphen von f in -Richtung = f() a: Verschiebung des Graphen von f um den Wert a in -Richtung = f( a): Verschiebung des Graphen von f um den Wert a in -Richtung. (a) Graphen der drei Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind):

12 (b) Graphen der drei Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind): (c) Graphen der drei Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind): (d) Graphen der beiden Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind): (e) Graphen der vier Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind): (f) Graphen der vier Funktionen (in der Reihenfolge, in der sie in der Aufgabenstellung angegeben sind):

13 6. (a) Die Funktion f ist streng monoton fallend, ihr Wertebereich ist W f = (, ]. Die Umkehrfunktion von f hat den Definitionsbereich D f = (, ], den Wertebereich W f = [, ) und die Vorschrift f () = ( ) + ( ). (b) Die Funktion f ist streng monoton wachsend, ihr Wertebereich ist W f = R. Die Umkehrfunktion von f hat den Definitionsbereich D f W f = (, ) und die Vorschrift = R, den Wertebereich f () = (e ) ( R). 7. (a) D f = R, W f = [, ) (b) D f = [, ), W f = [, ) (c) D f = R \ { }, W f = R \ {} (d) D f = (, ), W f = R (e) D f = R \ { }, W f = R Funktionsgraphen für die Funktionen aus (a) (c): Funktionsgraphen für die Funktionen aus (d) (e): (a) f () = 6, f () = 6 (b) f () = e e, (c) f () =, f () = f () = e 9. Zunächst eine Bemerkung: Wir nennen das Argument der äußeren Funktion g im Folgenden h (um zu verdeutlichen, dass die Funktion h die innere Funktion der Verkettung ist, also f() = g(h()) gilt). Natürlich ist der Name des Arguments unerheblich und könnte genauso gut heißen. (a) h() = + 8, g(h) = h (b) h() = cos(), g(h) = h

14 (c) h() = sin(), g(h) = h 0. (a) =, = (b) =, =, =, = (c) k = kπ, k Z (d) =, =. (a) linkss. Grenzwert: lim f() =, rechtss. Grenzwert: lim f() = 0, <, > Links- und rechtsseitiger Grenzwert eistieren zwar beide, stimmen aber nicht überein. Folglich eistiert der Grenzwert lim f() nicht. Damit kann f auch nicht stetig an der Stelle = sein. (b) linkss. Grenzwert: lim f() =, rechtss. Grenzwert: lim f() =, <, > Links- und rechtsseitiger Grenzwert eistieren beide und stimmen überein. Folglich gilt auch für den Grenzwert lim f() =. Da dieser Grenzwert gleich f() ist, ist f stetig an der Stelle =. (c) linkss. Grenzwert: lim f() =,, < rechtss. Grenzwert: eistiert nicht Da der rechtsseitige Grenzwert nicht eistiert, kann auch der Grenzwert lim f() nicht eistieren. Damit kann f auch nicht stetig an der Stelle = sein. (d) linkss. Grenzwert: lim f() = 0, rechtss. Grenzwert: lim f() = 0, <, > Links- und rechtsseitiger Grenzwert eistieren beide und stimmen überein. Folglich gilt auch für den Grenzwert lim f() = 0. Da aber dieser Grenzwert nicht gleich f() = ist, ist f nicht stetig an der Stelle =.. Mit p () = + 0 gilt f() = ( + ) p (). restliche Nullstellen von f: =, =. weitere Nullstellen: = 0, ( = ist eine Nullstelle der Vielfachheit ) = =

15 Ergebnisse zur. Übung am Thema: Differentialrechnung und Anwendungen, Einführung in die Integralrechnung. (a) (b) 0 (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t). f () = f( 0 + t) f( 0 ). rechtsseitiger Grenzwert: lim = t 0, t>0 t f( 0 + t) f( 0 ) linksseitiger Grenzwert: lim = t 0, t<0 t Rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten stimmen nicht überein. Daraus f( 0 + t) f( 0 ) folgt, dass der Gesamtgrenzwert lim nicht eistiert, woraus wiederum folgt, t 0 t dass die Betragsfunktion an der Stelle 0 = 0 nicht differenzierbar ist.. (a) f () = (b) f () = + 8 (c) f () = + (d) f () = ( + )e (e) f () = + 6 ( ) (f) f () = cos( 6) (g) f () = cos () sin (). (a) Nullstellen: N =, N = 0 lokale Etrempunkte: lokales Minimum E min (0, 0) lokales Maimum E ma (, ) Verhalten im Unendlichen: lim f() = +, lim (h) f () = e sin() cos() f() = Gleichung der Tangente an der Stelle 0 = : = Skizze:

16 0 = = (b) Nullstellen: N = 0 lokale Etrempunkte: lokales Maimum E ma (, ( lokales Minimum E min, Verhalten im Unendlichen: lim f() = 0 ± Gleichung der Tangente an der Stelle 0 = 0: Skizze: ) ) = = = = + 7. optimale Abmessungen: a = 0 m, b = 0 m maimale Grundfläche: A ma = 000 m 8. b = 9. t,0 s R,7R, h = 6R,60R 0. Angegeben ist jeweils eine mögliche Stammfunktion; jede andere Stammfunktion unterscheidet sich von F nur um einen konstanten Summanden. (a) F () = + + (b) F () = (c) F () = ln (d) F () = e ln(). F () = cos() + sin() +, F () = cos() + sin() + 6

17 . Angegeben ist wieder jeweils eine mögliche Stammfunktion; jede andere Stammfunktion unterscheidet sich von F nur um einen konstanten Summanden. (a) F () = ln + (b) F () = cos( ) ( ) (c) F () = (d) F () = e 7

18 Ergebnisse zur 6. Übung am Thema: Anwendungen der Integralrechnung, Vektorrechnung. (a) b = cm,0 cm, α = 0, β = 60 (b) Hinweis zum Vorgehen: Gleichheiten sin(α) = a c und cos(α) = b c nach a bzw. b umstellen und in die Gleichung, die sich aus dem Satz des Pthagoras ergibt, einsetzen. (a) (b) (c) 6 Nur in den Teilaufgaben (b) und (c) entspricht der Integralwert dem Inhalt der Fläche, die der Graph des Integranden im Integrationsintervall mit der -Achse einschließt.. (a) Nullstellen: =, = Skizze: f (b) A = ˆ (c) A = ( + ) d = 6 ˆ ( + ) d = 9. Skizze: = = 0 Flächeninhalt: A =. Skizze: ˆ 0 ( ) d = S = sin() 0 π π = cos() Flächeninhalt: A = ˆ π 0 (cos() sin()) d = 8

19 6. (a) Koordinatensstem mit den zu #» a und #» b gehörigen Ortsvektoren sowie den Vektoren aus Teilaufgabe (b): 7 6 #» b #» a + #» b #» a + #» b #» a #» b #» a #» a - (b) #» a + #» b = (c) #» a = 0, ( ), #» a = #» b = ( 9 ), #» a + #» b = - - ( (d) #» a #» b =, α = (dabei bezeichnet α den Winkel zwischen #» a und #» b ) 7. (a) #» a + #» b =, #» 6 a =, #» a + #» 7 b = 0 (b) #» a = 6, #» b = (c) #» a #» b =, α = 0 8. (a) Ist #» a #» > 0 b = 0 dann schließen die Vektoren #» a und #» spitzen b einen rechten Winkel ein. < 0 stumpfen ( ) (b) Beispielsweise ist der Vektor #» a a = orthogonal zum angegebenen Vektor #» a. 9. (a) AB #» =, (b) #» AB #» BD = (c) F = (d) C(8, ) ( 6 BD #» =, DA #» = 6 ) ( ) = 0, daher rechter Winkel bei B 0. (a) #» a #» b ist ein Vektor, der sowohl mit dem Vektor #» a als auch mit dem Vektor #» b einen rechten Winkel einschließt. Der Betrag des Vektorprodukts #» a #» b entspricht dem Flächeninhalt des durch #» a und #» b aufgespannten Parallelogramms. (b) #» a #» b =. Es gibt genau zwei solcher Vektoren:. (a) F = v #» = (b) F = a und v #» = ). 9

20 Ergebnisse zur 7. Übung am Thema: Lineare Gleichungsssteme, Analtische Geometrie in Ebene und Raum. Die Ausdrücke in (a), (b), (e), (f), (i), (k) stimmen mit 0, überein.. Die Ausdrücke in (b), (d), (e), (g), (h), (j) stimmen mit 8 überein.. (a) genau eine Lösung: =, = Geometrische Deutung: Die beiden durch die Gleichungen + = und = 9 beschriebenen Geraden schneiden sich im Punkt (, ). (b) keine Lösung Geometrische Deutung: Die beiden durch die Gleichungen 6 = 7 und + = beschriebenen Geraden sind (echt) parallel zueinander. (c) unendlich viele Lösungen: = t, = t (t R) Geometrische Deutung: Die Gleichungen = und + = beschreiben ein und dieselbe Gerade. (d) genau eine Lösung: =, = Geometrische Deutung: Die beiden durch die Gleichungen = und = beschriebenen Geraden schneiden sich im Punkt (, ).. genau eine Lösung: =, =, z = Geometrische Deutung: Die drei durch die Gleichungen + z =, + z = und + z = beschriebenen Ebenen schneiden sich im Punkt (,, ).. Die Lösungen lassen sich beschreiben durch = 7t, = t, z = t (t R). Geometrische Deutung: Die durch die Gleichungen + z = und + + z = beschriebenen Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Eine Parameterdarstellung dieser Geraden lautet 6. a =, b =, c = #» = 0 + t 7, t R. 7. Lineares Gleichungssstem zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen a, a, a und p, p, p : p + p + p = a p + p + p = a p + p + p = a Speziell für a = a = 000 und a = 00 ergibt sich p = 00, p = 00 und p = 00. ( ) ( ) 8. (a) #» 0 = + t, t R (b) = + (c) dist(p, g) = 0,89, dist(p, g) = 0,, dist(p, g) = 0 Der Punkt P liegt auf der Geraden g, die beiden Punkte P und P liegen nicht auf g. ( ) ( ) (d) Parameterdarstellung: #» = + t, t R parameterfreie Darstellung: = + 9 0

21 ( (e) Parameterdarstellung: #» = 0 ) ( + t parameterfreie Darstellung: = ), t R 9. (a) = ( (b) #» 0 = ) + t ( ), t R 0. (a) Die Geraden schneiden sich im Punkt S(, 6). (b) Die Geraden schneiden sich nicht, sie sind echt parallel zueinander.. (a) #» = + t, t R 0 (b) P liegt nicht auf der Geraden, P liegt auf der Geraden.. (a) Die Geraden schneiden sich im Punkte S(, 0, 7). (b) Die Geraden schneiden sich nicht, sie sind windschief zueinander.. (a) Dieser Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene. Das heißt, er steht senkrecht auf der Ebene und schließt somit mit jedem Richtungsvektor der Ebene einen rechten Winkel ein. (b)(b) dist(p, E) = 0,7, dist(p, E) = 0, dist(p, E) = 0, 7 (b) Der Punkt P liegt auf der Ebene, die Punkte P und P liegen nicht auf der Ebene. (,, ) (b) #» = + s, s R. (a) Parameterdarstellung: #» = 0 + s parameterfreie Darstellung: = (b) = + t, s, t R