ANALYSIS I FÜR TPH WS 2018/19 7. Übung Übersicht

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1 7. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 1, 11 und (ein wenig) 12 Aufgabe 1: Kurvendiskussion (i) Aufgabe 2: Kurvendiskussion (ii) Aufgabe 3: ( ) Kurvendiskussion (iii) Aufgabe 4: ( ) Beweis einer Ungleichung Aufgabe 5: ( ) Zores mit dem Hund Aufgabe 6: Kummer mit der Ziege Aufgabe 7: Spaß mit der Eponentialfunktion Aufgabe 8: Die artige Ableitung Aufgabe 9: Hauptsatz Aufgabe 1: ( ) Integralzeugs

2 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 1/1 Führen Sie für die rationale Funktion f() = eine möglichst komplette Kurvendiskussion durch. Fertigen Sie auch eine Skizze an. Definitionsbereich: D = R f ist ungerade Asymptotisches Verhalten: lim f() = ± Nullstelle: = (asy-1) Erste Ableitung; stationäre Punkte (Nullstellen von f ) : f 1 () = 2! (1 + 2 ) 2 = = ±1 Zweite Ableitung; Nullstellen von f : f () =... = 2 (2 3) (1 + 2 ) 3 Lokales Maimum für = +1. Ist auch globales Maimum wegen (asy-1) Lokales Minimum für = 1. Ist auch globales Minimum wegen (asy-1) Wendepunkte bei = und = ± 3 (dort ist 1 f () /=, also ) Skizze: 1 f elementar aber per Hand etwas mühsam zu berechnen: f () = (1 + 2 ) 4

3 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 2/1 a) [L] Führen Sie für die Funktion f() = 3 e eine möglichst komplette Kurvendiskussion durch. Fertigen Sie eine Skizze an. b) [L] Bestimmen Sie c R so, dass für f aus a) gilt f() = c 3 + O( 4 ) für a) ˆ Definitionsbereich: D = R ˆ sgn(f()) sgn() ˆ Nullstelle: = ˆ Asymptotisches Verhalten: lim f() =, lim f() = + ˆ Ableitungen: f () = ( ) e f () = ( ) e f () = ( ) e ˆ Stationäre Punkte (Nullstellen von f ) : f ()! = =, = 3 (asy-2) mit f () =, f (3) < lokales Maimum an = 3. Ist auch globales Maimum wegen (asy-2). Die Stelle = wird im Folgenden untersucht. ˆ Nullstellen von f : f () =! =, = 3± 3 mit f () /=, f (3± 3) /= Sattelpunkt an =, Wendepunkte an = 3± 3.

4 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 2/2 ˆ Skizze: b) Zunächst gilt offensichtlich f() = O( 3 ) für. Wegen e = 1 + O( ) gilt genauer: f() = 3 (1 + O( )) = c 3 + O( 4 ) mit c = 1 Dies entspricht der Taylor-Entwicklung von f um = mit Restglied O( 4 ). (Beachte f() = f () = f () = und f () = 6.)

5 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 3/1 Gegeben sei die Funktion f() = ln ( + 1 ) a) [L] Führen Sie eine möglichst komplette Kurvendiskussion durch. Fertigen Sie eine Skizze an. Berechnung der dritten Ableitung: nur für Masochist[inn]en, bzw. problemlos mittels Computeralgebra. b) [L] Geben Sie für vorgegebenes c R die Lösungen der Gleichung f() = c an (sofern eine reelle Lösung eistiert). c) [L] Zeigen Sie, dass das Produkt der unter b) gefundenen Lösungen i (c) unabhängig von c ist, und zwar durch direktes Nachrechnen, mittels eines qualitativen Argumentes, das auf der Gestalt von f beruht. a) ˆ Definitionsbereich: D = (, ) im Weiteren durchwegs >. ˆ Beachte f() = f( 1 ) ˆ Nullstellen von f : =! ln( + 1 ) + 1 = = Keine reelle Nullstelle, und es gilt f() > für alle >. ˆ Asymptotisches Verhalten: lim f() = + lim f() = (asy-3) ˆ Ableitungen: f () = 2 1 ( 2 + 1) f () =... = ( 2 + 1) 2 f () =... = 2 ( ) 3 ( 2 + 1) 3

6 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 3/2 ˆ Stationäre Punkte (Nullstellen > von f ) : f ()! = = 1 mit f (1) = 1 lokales Minimum an = 1. Ist auch globales Minimum wegen (asy-3). ˆ Nullstellen > von f (mit 2 = u) : = u 2 4 u 1 = u = = mit f () /= Wendepunkt. ˆ Skizze: b) Die Gleichung ln( + 1 ) = c ist äquivalent zu + 1 = ec 2 e c + 1 = 1,2 = 1 2 (ec ± e 2 c 4 ) Die Lösungen 1, 2 sind reell und positiv, falls e 2 c 4 c 1 2 ln 4 = ln 2 Grenzfall: Doppelte Lösung 1 = 2 = 1 für c = ln 2. Dies entspricht der Minimalstelle von f, siehe a).

7 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 3/3 c) ˆ Aus b) : 1 2 = 1 4 (ec + e 2 c 4 ) (e c e 2 c 4 ) = 1 4 (e2 c (e 2 c 4)) = 1 unabhängig von c ˆ Bzw. direkt aus der Definition von f : Für 1 >, 2 > gelte f( 1 ) = f( 2 ) = c. Es gilt unabhängig von c : ln ( ) = ln ( ) 2 Da die Funktion ln [2, ) R injektiv ist, folgt = = = Für 1 /= 2 muss gelten 1 2 = 1 ( 1 = 2 = 1 ist ein Sonderfall, siehe b).)

8 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 4/1 Zeigen Sie: Für jedes n N gibt es > mit (1 + ) n < n e Geben Sie einen derartigen (von n abhängigen) Wert für an. Es gilt f() = (1 + )n > für alle >, mit f() = +, lim f() = + lim + Suche Minimalstelle in (, ). Ableitung von f : f () = n (1 + )n 1 (1 + ) n 2 = (1 + )n 1 ((n 1) 1) 2 f () = = mit 1 f( 1 n 1 ) = (1 + 1 n 1 )n 1 n 1 = 1 n 1 = (1 + )n 1 (n (1 + )) 2 1 n 1 für n 2 = (1 + 1 n 1 )n 1 (1 + 1 n 1 )(n 1) = (1 + 1 n 1 )n 1 (n 1 + 1) < n e ist globale Minimalstelle von f. n = 1 ist Sonderfall. Keine Minimalstelle, aber lim f() = 1. Wähle > 1/(e 1). 1 Beachte: Die Folge ((1 + 1 n 1 )n 1 ) ist monoton wachsend und konvergiert (von unten her) gegen e.

9 12m 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 5/1 Herr B. geht mit seinem Hund Bello entlang einer geradlinig verlaufenden Straße spazieren. Plötzlich erblickt Bello etwas auf der Wiese nebenan und läuft geradlinig senkrecht zur Straße davon. Herr B. bleibt indes stehen; 1 m von seinem Standort entfernt befindet sich an der Straße ein Radarmessgerät. Als Bello 12 m vom Radar entfernt ist, wird er gemessen, und die Messung ergibt, dass sich Bello in diesem Moment mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s von dem Radar wegbewegt (d.h. in Richtung vom Radar weg gesehen). Die gesetzlich zulässige Hundehöchstgeschwindigkeit sei 2 km/h. Muss Herr B. ein Strafmandat begleichen? Bello Herr B. 1m Radar [Skizze:] Zum Zeitpunkt des Blitzens ist ˆ = 1... Abstand Herr B. Radar (horizontal, konstant) ˆ r = Abstand Bello Radar (diagonal) ˆ y... Abstand Herr B. Bello (vertikal) (nach Pythagoras): y = r Der Abstand Herr B. Bello ist eine Funktion der Hundelaufzeit t, y = y(t), und somit auch r = r(t) = 2 + y(t) 2. Zum Zeitpunkt des Blitzens ist r(t) = 12, und laut Angabe 3 = r (t) = d dt 2 + y(t) 2 = y(t) y (t) r(t) y (t) 12 y (t) m/s km/h. Kein Strafmandat.

10 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 6/1 Gegeben sei die rechteckige Grundriss einer Hütte. Die Länge der Seite a ist gegeben durch a = 5m, die Länge der Seite b beträgt b = 8m. Weil die Ziege immer wieder ausbüchst, leint sie der Bauer an. Die Leine L misst L = 7m. Die Ziege wird irgendwo am Punkt auf der Hüttenseite a angebunden. a) [L] Fertigen Sie eine Skizze an. Geben Sie eine Formel für die Fläche A = A( ) (außerhalb der Hütte) in Abhängigkeit von an, welche die Ziege an der Leine erreichen kann. b) [L] Wie lautet der Punkt = min [, a], so dass die Fläche A minimal ist? Wie groß ist diese Fläche? a) Skizze: L a + 8m = a 7m L b a 5m = L Die Fläche A = A( ) setzt sich aus drei Teilen zusammen, und zwar aus einem Halbkreis mit Radius L und zwei Viertelkreisen mit Radien L a + und L. quadratische Funktion A( ) = 1 2 L2 π (L ) 2 π (L a + ) 2 π b) Bestimme Minimalstelle: A ( ) = 1 2 (L ) π (L a + ) π = 1 2 (2 a) π! =

11 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 6/2 min = a 2 = 2.5 m Dies entspricht tatsächlich einem eindeutigen Minimum, die Funktion A strikt konve ist, A ( ) π > Minimale Fläche: A( min ) = 1 2 (L2 + (L a 2 )2 ) π m 2

12 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/1 a) [L] Gegeben sei die von dem Parameter n N abhängige Funktion f [, ) [, 1], f() = ep( n ) f ist strikt monoton fallend und hat einen Wendepunkt an einer Stelle >. Wo befindet sich dieser Wendepunkt? Überlegen Sie auch, wie der Graph von f aussieht, wenn n sehr groß wird. b) [L] Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f [, ) R. Für gewisse Konstanten A, B > gelte A f() f () B f(), Zeigen Sie, dass für alle gilt a) Ableitungen von f : f () = n n 1 f() f() ep(a ) f() f() ep(b ) f () = n(n 1) n 2 f() n n 1 f () f () = für = n(n 1) n 2 f() n n 1 ( n n 1 f()) = n n 2 (n 1 n n ) f() = n 1 1 n > Dies ist ein Wendepunkt. 1 Verlauf von f in Abhängigkeit von n : = 1, = 1, (, 1) f() = 1/e, = 1, > 1... stetig für alle n, aber für sehr große Werte von n sieht das (rein optisch) aus wie das Rechteckssignal f() { = 1, < 1 =, > 1 1 Dies gilt für n 2. Man zeigt auch, dass tatsächlich gilt f () /=. Beachte: n = 1 ist ein Sonderfall (kein Wendepunkt).

13 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/2 b) Wir wollen zeigen f() f() ep( A ) = F () f() f() ep( B ) = G() (stimmt das?) Laut Voraussetzung über f gilt und für : F () = f () ep( A ) Af() ep( A ) = (f () Af()) ep( A ) G () = f () ep( B ) Bf() ep( B ) = (f () Bf()) f() = F () F () f() = G() G() ep( B ) (ja, stimmt)

14 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 8/1 a) [L] Beweisen Sie das Additionstheorem für cos( + y) mittels Zurückführung auf das Additionstheorem für sin( + y). b) [L] Beweisen Sie (ohne Verwendung des Additionstheorems für arctan): Wie lautet der Wert der Konstante? arctan() + arctan( 1 ) = const. für > a) Gehe aus von sin( + y) sin cos y + cos sin y Für festes y folgt daraus durch Ableiten beider Seiten nach : cos( + y) cos cos y sin sin y b) Die behauptete Identität ist richtig, falls gilt d d ( arctan() + arctan( 1 )) ( ( 1 ) 1 )2 2 = Weiters: Für = 1 gilt arctan() = arctan( 1 ) = π 4 1 arctan() + arctan( 1 ) π 2 für > 1 Für < mit umgekehrtem Vorzeichen, da arctan ungerade.

15 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 9/1 Berechnen Sie d 2 d 2 ( t) sin(t 2 ) dt ohne das Integral auszurechnen (es ist nicht elementar bestimmbar). Dies ist ein Parameterintegral, 1 d.h., nicht nur die obere Grenze sondern auch der Integrand hängen von dem Parameter ab, allerdings in sehr einfacher Weise: ( t) sin(t 2 ) dt = sin(t 2 ) dt t sin(t 2 ) dt 2 Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung 2 d 2 d d ( t) sin(t 2 ) dt = d d ( sin(t 2 ) dt) d d ( = = d 2 t sin(t 2 ) dt) sin(t 2 ) dt + d d sin(t 2 ) dt sin( 2 ) sin(t 2 ) dt + sin( 2 ) sin( 2 ) ( t) sin(t 2 ) dt = d d sin(t 2 ) dt = sin( 2 ) 1 Bekannte allgemeine Formeln für Ableitungen eines Parameterintegrals führen auf die gleiche Lösung. 2 & Produktregel

16 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 1/1 a) [L] Sei F eine Stammfunktion von f. Stellen Sie das Integral mittels F dar. f(1 + 2 ) d b) [L] Stellen Sie das Integral mittels f, f, g, g dar. (f() g () f () g()) d c) [L] Berechnen Sie (f()) n f () d (n N) mittels zweier verschiedener Integrationstechniken. a) F (1 + 2 ) = 2 f(1 + 2 ) f(1 + 2 ) d = 1 2 F (1 + 2 ) d. = 1 2 F (1 + 2 ) + C Bzw. dazu äquivalent: Deutung als Substitution: f(1 + 2 ) d = = u 2 d = du = 1 2 f(u) du = 1 2 F (u) + C = 1 2 F (1 + 2 ) + C b) Partielle Integration (Kurzschreibweise) : f f g v = f f g v f f g v und analog mit Vertauschung der Rollen von f und g (f g f g) = f g f g + C

17 7. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 1/2 c) (i) Substitution u = f(), du = f () d (f()) n f () d = u n du = un+1 n C = (f())n+1 n C (ii) Partielle Integration (Kurzschreibweise) : I = f n g f f = f n g f f n f n 1 f g f f = f n+1 n I I = (f())n+1 n C