Aufgabe 51. Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion. p W R C! R C mit p.x/ D 20 2x :

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1 Aufgabe 5 Differentialrechnung: Preiselastizität (DIFF0.4) Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p W R C! R C mit p./ D 0 : Dabei steht R C für die nachgefragte Menge und p R C für den Preis. Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage an der Stelle p D 5. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 70 von 48) 70

2 Aufgabe 5 Differentialrechnung: Preiselastizität (DIFF0.5) Bestimmen Sie für die folgenden Preis-Absatz-Funktionen p i W R C! R C jeweils die Elastizität des Preises in Abhängigkeit von der Nachfrage: a) p./ D b) p./ D e c) p 3./ D ln 00 d) p 4./ D e) p 5./ D n mit n N Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 7 von 48) 7

3 Aufgabe 53 Differentialrechnung: Differenzierbarkeit (DIFF.) Gegeben sind die reellen Funktionen f ;f ;f 3 W R! R mit: f./ D 3p C f./ f 3./ D D ( p C C für = 0 ( für < 0 C für = e für < a) Für welche R sind die Funktionen differenzierbar? b) Berechnen Sie gegebenenfalls die Differentialquotienten. f./ D 3 p C ist differenzierbar 8 R, da Komposition elementarer differenzierbarer Funktionen. f 0./ D 3p C C 3 C D 34 C 3 C 4 p C D 44 C 3 p C Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 7 von 48) f./ D ) f 0./ D ( p C C für = 0 für < 0. C C /. C / für > 0 für < 0 ist stetig differenzierbar für 0 ist stetig differenzierbar für 0 Noch zu betrachten: D 0. Für Differenzierbarkeit ist Stetigkeit von f Voraussetzung: lim %0 f./ D 0 p 0 C 0 C D lim f./ D &0 ) f./ ist nicht differenzierbar für D 0 9 = ; ) f./ist nicht stetig für D 0 Analoge Überlegung bei f 3./ führt zu stetiger Differenzierbarkeit für Zur Stetigkeit bei D Diff.barkeit W ) f 0 3./ D für > e für < lim f 3./ D e D % f 3./ D C D lim & lim f3 0./ D e D % lim & f 0 3./ D D = 9 = ; ) f 3./ist stetig für D ; ) f 3./ist nicht diff.bar für D

4 Aufgabe 54 Differentialrechnung: Verpackung optimieren (DIFF.4) Eine quaderförmige Kiste, deren oberes Ende geöffnet ist, soll aus einem quadratischen Blech mit der Seitenlänge a hergestellt werden. Dazu werden an den 4 Ecken des Blechs jeweils gleich große Quadrate mit Seitenlänge ausgestanzt und die so entstandenen 4 Seitenrechtecke hochgeklappt um die Kiste zu formen. Wie groß muss sein, so dass das Volumen der entstandenen Kiste maimal wird? Für das Volumen in Abhängigkeit von ergibt sich: V./ D.a / D a 4a C 4 3 Zum Maimieren bildet man die erste und zweite Ableitung: D ; a D 5 V 0./ D a 8a C und V 00./ D 8a C 4 Nullstelle der ersten Ableitung: 8a p64a 48a optimal: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 73 von 48) = D 4 D a ( = =6 Damit ist D a 6 optimal, denn V 00. a 6 / < 0. 0: 0: 0 0: f./ : V./ D a 4a C 4 3 für a D a 6 0: 0 0: 0:4 0:6 0:8 73 D 5=6; a D 5

5 Aufgabe 55 Differentialrechnung: Minimale Kosten (DIFF.5) Ein zylinderfömiger Ölbehälter soll einen Liter Flüssigkeit fassen. Der Behälter ist oben und unten komplett geschlossen. Wie müssen Höhe und Radius dimensioniert sein, so dass möglichst wenig Material verbraucht wird? Mit r für den Radius des Deckels und h für die Höhe der Dose ergibt sich für das Volumen V D r h D, h D r Als Materialbedarf in Abhängigkeit von r ergibt sich durch Einsetzen der Volumennebenbedingung: r h Mit der Nullstelle der Ableitung M.r/ D rh C r D r C r Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 74 von 48) r M 0.r/ D r C 4r D 0, r D 3 hat man ein Minimum der Materialmenge gefunden, denn die zweite Ableitung M 00./ D 4 r 3 C 4 ist für alle r > 0 positiv. Damit ergibt sich für die optimale Dose in Dezimeter (dm) r r 4 r D 3 0:54 dm und h D r D 3 :084 dm : 74

6 Aufgabe 56 Differentialrechnung: Gompertzfunktion (DIFF.) Die kumulierte Nachfrage y nach Videorecordern in Abhängigkeit der Zeit t = wird durch die sogenannte Gompertz-Funktionsgleichung prognostiziert. y.t/ D 0 7 e 5.0;5/t a) Skizzieren Sie die Funktion und geben Sie eine Interpretation. b) Berechnen Sie die Sättigungsgrenze lim t! y.t/. c) Zeigen Sie, dass die Änderungsrate der Nachfrage für alle t = positiv und monoton fallend ist. d) Zeigen Sie auch, dass die Nachfrage für t 5 3 elastisch und für t = 4 unelastisch ist. a) y.t/ 0 7 y.t/ D 0 7 e 5. / t Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 75 von 48) 0; ; ; ; b) lim y.t/ D lim t! t! 07 e 5. / t D 0 7 e c) 5 lim t!. / t D 0 7 e 50 D 0 7 % y.t/ D y0.t/ 07 e 5. / t t 5 y.t/ D ln 0 7 e 5. D C5 / t ) % y.t/ ist monoton fallend, denn t ist monoton fallend. d) " y.t/ D t % y.t/ D t 5 ln t. 75 t t ln > 0

7 Damit ist " y.3/ D 3 5 ln 3 ;99 und "y.4/ D 4 5 ln 4 0;866. Außerdem gilt für die Ableitung: " y 0.t/ D 5 ln. t ln / D 5 ln t ln ƒ immer >0 t t ln ;44, damit ist "0 y.t/ > 0 (streng monoton steigend) für t < ;44 und "0 y.t/ < 0 (streng monoton fallend) für t > ;44. Damit gilt, da " y./ ;7 > und " y.t/ für < t < ;44 steigt, dann bis t D 3 fällt mit " y.3/ ;99 >, dass y.t/ im Bereich von 5 t 5 3 elastisch sein muss. Andererseits ist " y.4/ 0;866 < und " y.t/ fällt für t > 4. Damit ist y.t/ unelastisch für t > 4. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 76 von 48) 76

8 Aufgabe 57 Differentialrechnung: Optimales Produktionsniveau (DIFF.3) Für eine Einproduktunternehmung wurden in Abhängigkeit des Produktionsniveaus > 0 die Kosten durch c./ D 6 C 40 und die Preis-Absatz-Beziehung gemäß p./ D 30 geschätzt. a) Geben Sie die Gewinnfunktion g mit g./ D p./ c./ an und untersuchen Sie diese Funktion auf Monotonie und Konveität. b) Berechnen Sie den Bereich positiver Gewinne sowie das gewinnmaimale Produktionsniveau. c) Bestimmen Sie das Produktionsniveau mit maimalem Stückgewinn. Allgemein gilt: Das Produktionsniveau ist nicht negativ: = 0 Für die Kosten gilt: c./ D 6 C 40 Für den Preis gilt: p./ D 30 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 77 von 48) a) g./ D p./ c./ D.30 /.6 C 40/ D C 4 40 ) g 0 > 0 für < 6 str. mon. steigend./ D 4 C 4 D 4.6 / < 0 für > 6 str. mon. fallend ) g 00./ D 4 ) g./ konkav 8 > 0 b) g./ D 0, = D C6 p36 0 D 6 4 D 0 ) wegen str. Konkavität: g./ > 0 für < < 0. Maimaler Gewinn: g 0./ D 0, D 6 und g 00./ D 4 < 0 ) g.6/ D 6 C D 7 C D 3 c) Für den Stückgewinn gilt: h./ D g./= D C 4 40= Damit: h 0./ D C 40. Etremum bei wenn h 0./ D 0, also C 40 D 0, D p0 4;5 h 00./ D 40 D 80 3 < 0 (für > 0), also streng konkav. Damit ist h. p 0/ 6; 3 globales Stückgewinnmaimum. 77

9 Aufgabe 58 Differentialrechnung: Monotonie und Konveität (DIFF.4) Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f./ D 5 e. / auf Monotonie und Konveität. Bestimmen Sie außerdem alle Etremalstellen und Wendepunkte und skizzieren Sie den Verlauf der Funktion für = 0. f 0./ D 5 e.3 /. Damit ist f 0./ > 0 (f str. mon. steigend) für < 3 und f 0./ < 0 (f str. mon. fallend) für > 3. Also ist D 3 ein globales Maimum mit f.3/ D 5 e ;5 ;77. f 00./ D 5 4 e. konkav) für < 5 5/. Damit ist f 00./ > 0 (f streng konve) für > 5 und f 00./ < 0 (f streng Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 78 von 48) Wertetabelle f./ ,6 3 -,77 5-3,36! -5 f./ ; f./ D 5 e. /

10 Aufgabe 59 Differentialrechnung: Kurvendiskussion (DIFF.5) Gegeben sei die Funktion f W R! R mit f./ D 4 3 C : a) Berechnen Sie alle Etremalstellen und Wendepunkte. b) Berechnen Sie die Funktion für D ; 0; 0:5; ; und skizzieren Sie f./. c) Beschreiben Sie mit Hilfe von a) und b) das Monotonie- und das Konveitätsverhalten der Funktion. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 79 von 48) a) und c) und damit f 0./ D D 4. 3=/ f 00./ D. / Also gilt für das Monotonieverhalten: 8 > 0 für > 3= str. mon. steigend ˆ< f 0./ D D 0 für f0; 3 g ˆ: < 0 für. I 3 / n f0g str. mon. fallend b) f./f./ D 4 3 C 3 Für das Krümmungsverhalten gilt: ( > 0 für > _ < 0 str. konve f 00./ D < 0 für 0 < < str. konkav Damit ist f.3=/ Wendepunkt. 0;6875 ein globales Minimum, f.0/ D eine Terrasse und f./ D 0 ein 79

11 Aufgabe 60 Differentialrechnung: Graph deuten (DIFF.7) Gegeben sei die Funktion f mit folgender Funktionsgleichung: f./ D e ln a) Geben Sie den maimalen Definitionsbereich D f R von f an. b) Berechnen Sie die Nullstellen von f. c) Bestimmen Sie die erste Ableitung f 0 und fassen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich zusammen. d) Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten von f für!. Für eine andere Funktion, die stetige und zweimal stetig differenzierbare Funktion g W Œ ; 9! R, ist lediglich der Graph ihrer ersten Ableitung g 0 gegeben: g 0./ g 0 0: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 80 von 48) 0:5 Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die der Ableitung g 0 zugrundeliegenden Funktion g. e) Geben Sie die -Werte der lokalen Minima von g an. f) Geben Sie die -Werte der lokalen Maima von g an. g) In welchem (bzw. welchen) Intervall(en) ist g monoton wachsend? h) In welchem (bzw. welchen) Intervall(en) ist g monoton fallend? i) In welchem (bzw. welchen) Intervall(en) ist g konve? j) In welchem (bzw. welchen) Intervall(en) ist g konkav? a) D f D R n f0g b) f./ D e ln D 0 für ln D 0 ) D ) D ; D c) f 0./ D e. / ln C e D e ln 80 C e D e ln h d) lim f./ D lim e!! ƒ!c ln i D C ƒ!c e) Minimalstellen: ; 8 f) Maimalstellen: ; 5 ; 9 g) g monoton wachsend für Œ ; 5 [ Œ 8 ; 9 h) g monoton fallend für Œ ; [ Œ 5 ; 8 i) g konve für Œ ; 3 [ Œ 7 ; 9 j) g konkav für Œ 3 ; 7

12 Aufgabe 6 Differentialrechnung: Grenzumsatz, Grenzkosten (DIFF.6) Im Folgenden bedeutet u W R C! R den Umsatz u./ in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl und k W R C! R die Produktionskosten k./. Umsatz und Produktionskosten seien stetig differenzierbar. Daraus leitet sich die Gewinnfunktion g W R! R mit g./ D u./ k./ ab. Die Ausdrücke du dk und bezeichnet man als den Grenzumsatz beziehungsweise die Grenzkosten beim Produktionsniveau. Beweisen Sie folgende d d Aussagen: a) Maimaler Gewinn entsteht (sofern er eistiert) bei einem Produktionsniveau, bei dem Grenzumsatz und Grenzkosten übereinstimmen. b) Beim Produktionsniveau mit den niedrigsten Stückkosten (sofern es eistiert) sind die Stückkosten und die Grenzkosten gleich hoch. a) Maimaler Gewinn eistiert ) g 0./ D u 0./ k 0./ D 0 ) u 0./ D k 0./ b) Produktionsniveau > 0 mit den niedrigsten Stückkosten eistiert g./ 0 ) D g0./ g./ D 0 ) g 0./ D g./ ) g 0./ D g./ Also: Stückkosten gleich Grenzkosten. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 8 von 48) 8