Abschnitt IV: Funktionen

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1 Nr.01 Es sind bekannt P 1 (- / 1) und P (1 / -5). Bestimmen Sie den Funktionsterm. Nr. 0 Der Graph einer linearen Funktion g hat die Steigung und geht durch den Punkt C (-0,5 / -). Bestimmen Sie den Funktionsterm. Nr. 0 Bestimmen Sie den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph a) die Steigung 10 hat und durch den Punkt P 4 8 geht; b) durch die Punkte A 5 und B 5 1 geht; c) durch die Punkte C 0 8 und D 4 4 geht; Nr. 04 Die Gerade g 1 geht durch die Punkte geht durch C 1. A 4 6 und B 8 4, die Gerade g hat die Steigung und a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der zugehörigen linearen Funktionen. b) Bestimmen Sie die Nullstellen beider Funktionen. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt beider Geraden. Nr. 05 Berechnen Sie die Schnittpunkte der zu den reellen Funktionen f und g zugehörigen Graphen (D(f) = R, D(g) = R) rechnerisch. a) f() = 0,5 + 4 und g() = -0,5 + 5,5 b) f() = und g() = -1 N. Preussner Quantitative Methoden

2 Nr. 06 Zwei unterschiedlich geschulte Bergsteigergruppen beschließen, einen.500 m hohen Berg zu besteigen. Die Gruppen fahren mit einem Lift bergauf. Die besser trainierte Gruppe steigt in m Höhe an der Mittelstation aus, die andere Gruppe fährt bis zur Bergstation in m Höhe. Um 10 Uhr beginnen beide Gruppen ihren Aufstieg, wobei die gut trainierte Gruppe einen Höhenunterschied von 600 m pro Stunde, die weniger gut trainierte Gruppe einen Höhenunterschied von 400 m pro Stunde bewältigt. a) Stellen Sie die Funktionsterme der einzelnen Höhen in Abhängigkeit von der Zeit für beide Gruppen auf und zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen. b) Berechnen Sie, um wie viel Uhr beide Gruppen die gleiche Höhe auf dem Weg zur Bergspitze erreicht haben. c) Ermitteln Sie den Zeitpunkt des Erreichens der Bergspitze für beide Gruppen. Nr. 07 Die monatliche Nachfrage nach Sekt bei einem Anbieter richtet sich nach der linearen Funktion p N, deren Graph durch die Punkte A und B 400 geht; das Angebot des Weinhändlers richtet sich nach der linearen Funktion p A, deren Graph durch die Punkte C und D geht. a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Nachfragefunktion p N und der Angebotsfunktion p A bei einer Kapazitätsgrenze von 600 Flaschen und zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. c) Durch die Erhöhung der Sektsteuer um,00 pro Flasche soll das Steueraufkommen vermehrt werden. Um wie viele Mengeneinheiten geht der Sektabsatz aufgrund der Sektsteuererhöhung zurück? Um wie viel steigt die abzuführende Sektsteuer bei diesem Händler, wenn die Sektsteuer bisher 1,00 betrug. Nr. 08 Die Kostenfunktion eines Anbieters ist K 4 140, die Erlösfunktion E 11 D K D E 0;10 ök ök ; a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Stückkostenfunktion DK und der Stückerlösfunktion DE und zeichnen Sie die Graphen dieser beiden Funktionen. b) Bestimmen Sie mit den unter a) ermittelten Funktionen die Gewinnschwelle. c) Geben Sie die Stückgewinnfunktion und den Stückgewinn bei einer Ausbringungsmenge von 100 ME an. N. Preussner - - Quantitative Methoden

3 Nr. 09 Bestimmen Sie die erste Ableitung zu a) 18 y b) 1 y d) y 4 c) 5 y 1 Nr. 10 Bestimmen Sie die erste Ableitung: a) y 4 b) e) y y y d) y e c) ln 4 Nr. 11 Bestimmen Sie die erste Ableitung: a) y ln b) 4 y c) y 1 5 Nr. 1 Bestimmen Sie die erste Ableitung: a) 1 y b) y 5 Nr. 1 Gegeben sei die Preis-Absatzfunktion p 100. Bestimmen Sie die Grenzerlösfunktion. Nr. 14 Untersuchen Sie die Funktion y auf Etremwerte und Wendepunkte. N. Preussner - - Quantitative Methoden

4 Nr. 15 Bestimmen Sie für die Funktion a) Nullstellen y b) Etremwerte und c) Wendepunkte Nr. 16 Gegeben ist die Funktion y Bestimmen Sie a) die Nullstellen, b) die Etremwerte und c) die Wendepunkte Nr. 17 Gegeben ist die Kostenfunktion K eines Unternehmens bei der Produktion eines Gutes, das zum Preis von p = 54 (Währungseinheiten) verkauft wird. a) Bestimmen Sie die Erlösfunktion b) Wie viel Mengeneinheiten des Gutes müssen umgesetzt werden, um den Gewinn zu maimieren? Wie hoch ist der maimale Gewinn? c) An welcher Stelle erreichen die Grenzkosten ihr Minimum, welchen Wert haben sie an dieser Stelle? Wie hoch sind die Durchschnittskosten an dieser Stelle? N. Preussner Quantitative Methoden

5 Nr. 18 Die gesamten Produktionskosten eines Monopolisten ergeben sich nach der Kostenfunktion K ; D K 0;10. Die Preispolitik erfolgt auf Grundlage einer linearen Preis-Absatz-Funktion. Bei einem Angebot von Stück kann ein Stückpreis von p() erzielt werden, wobei gilt: p ; D p 0;10. a) Geben Sie den Funktionsterm der Erlösfunktion an und ermitteln Sie die Ausbringungsmenge, für die der Erlös maimal wird. Geben Sie den maimalen Erlös an. b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und grenze. c) Ermitteln Sie die gewinnmaimale Ausbringungsmenge und den maimalen Gewinn. Nr. 19 Die durchschnittlichen variablen Kosten k v eines Betriebs werden durch die Funktion 0 kv 6 15; D k v R beschrieben. GK 1 15; D GK R. 0 Die Grenzkostenfunktion lautet: a) Bestimmen Sie das Minimum der Funktion k v. b) Errechnen Sie die Produktionsmenge, bei der die Grenzkostenkurve die Kurve der durchschnittlichen variablen Kosten schneidet. Nr. 0 Ein Unternehmen, das tägliche fie Kosten in Höhe von hat, und dessen variable Stückkosten 5 betragen, kann täglich maimal 800 Stück zum konstanten Preis von 50 absetzen. a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Durchschnittskosten-, der Durchschnittserlös- und der Durchschnittsgewinnfunktion. b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle. c) Bestimmen Sie den täglichen Gewinn bei einer Absatzmenge von 800 Stück. N. Preussner Quantitative Methoden

6 Nr. 1 Gegeben sei die Preisabsatzfunktion 6 für das Intervall 0 1 und die Kostenfunk- tion 14 5 K. p Bestimmen Sie: a) das Erlösmaimum b) das Gewinnmaimum c) den Cournot schen Punkt Nr. Horst Kevin will einen PKW mieten, um die Strecke von Braunschweig nach München zurückzulegen (Streckenlänge 600 km). Der Benzinverbrauch y (in l pro 100 km) hängt von der Fahrgeschwindigkeit (in km/h) folgendermaßen ab: 50 y 5 10 a) Welche Geschwindigkeit sollte er fahren, um den Benzinverbrauch zu minimieren? b) Der Mietpreis für den PKW beträgt 7,50 /Stunde + 40 Grundgebühr. Benzin kostet 1 /Liter. Weitere Kosten entstehen nicht. Stellen Sie eine Kostenfunktion auf, in der die Fahrgeschwindigkeit als unabhängige Variable auftritt. c) Welche Geschwindigkeit muss Horst Kevin fahren, um die Kosten zu minimieren? Hinweis: Es kann angenommen werden, dass die Geschwindigkeit auf der gesamten Strecke konstant gehalten werden kann. Nr. Für ein Unternehmen gelte die folgende Preis-Absatz-Funktion = p ( = Absatzmenge, p = Preis). Für die gesamten Kosten K gilt: K = Geben Sie den Preis an, bei dem das Unternehmen den höchsten Gewinn erzielt. Wie hoch ist der maimale Gewinn? N. Preussner Quantitative Methoden

7 Nr. 4 Für eine Unternehmung, die nur ein Produkt herstellt, gilt die Preis-Absatz-Funktion p = 50 4 und die Kostenfunktion K 0, Bestimmen Sie a) die Erlösfunktion; b) die Gewinnfunktion; c) die Produktionsmenge mit maimalem Gewinn und stellen Sie diesen fest. N. Preussner Quantitative Methoden