Anwendung der Kurvenuntersuchung in der Kostenrechnung eines Industriebetriebes

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1 Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: " Keine Angst vor... " Anwendung der Kurvenuntersuchung in der Kostenrechnung eines Industriebetriebes

2 1 Inhalt Vorkenntnisse Vereinbarungen Situation Kostenfunktion und Erlösfunktion ermitteln Graphische Darstellung Berechnung Break-Even-Point und Nutzengrenze Gesamte fie Kosten Gesamte variable Kosten Fie Stückkosten Variable Stückkosten Gesamte Stückkosten Gewinnmaimum Minimum der variablen Stückkosten Differentialkosten und deren Minimum Betriebsoptimum Euro-Beträge Graphen Übung

3 2 Anwendung der Kurvenuntersuchung im Rechnungswesen eines Industriebetriebes Vorkenntnisse: Verfahren der vollständigen Kurvenuntersuchung Vereinbarungen: : K: E: Menge der produzierten und verkauften Stückzahlen eines Produktes (in der Prais in größeren Einheiten, z. B. in Tausend) Kosten (in Euro) bei der Produktion des Produktes Erlöse (in Euro) beim Verkauf des Produktes Situation: Die Steuerungsabteilung (Controlling) des Betriebes stellt aus der Kosten- und Leistungsrechnung folgende Daten zur Verfügung : produzierte Mengen Kosten K Der Verkaufspreis des Produktes beträgt 28 pro Stück. 1. Ermittle die Kostenfunktion K() a 3 b 2 c d und die Erlösfunktion E() Lösung: Kostenfunktion: Siehe Skript "Funktionen mit gegebenen Bedingungen" K() Erlösfunktion: E() = Stelle die Kosten- und Erlössituation graphisch dar. In dem Bereich, in dem die Erlöse höher als die Kosten sind, entsteht Gewinn, außerhalb entsteht Verlust. 3. Berechne die Produktionsmengen der Nutzenschwelle (Gewinnschwelle, Break-Even-Point) und der Nutzengrenze. Es sind die Schnittpunkte zwischen den beiden Kurven. Also: K() E() setzen Durch Probieren erhält man: 1 6 Nach Polynomdivision und Auflösung des so enstehenden quadratischen Terms erhält man: 2 =1,41 und [ 3 =-1,41. ist als negative Produktionsmenge nicht möglich ]. Break-Even-Point: 2 =1,41 und Nutzengrenze: 1 =6 D. h. bei den Mengen 2 und 1 sind Kosten und Erlöse gleich groß.

4 3 4. Berechne die gesamten fien Kosten K f der Produktion Diese sind mengenunabhängig und somit: K f =24 5. Berechne die gesamten variablen Kosten K v () der Produktion Diese hängen ausschließlich von der produzierten Stückzahl ab und somit: 3 2 K v () Berechne die fien Stückkosten k f der Produktion K f 24 Es sind die gesamten fien Kosten pro Stück,alsok f = = 7. Berechne die variablen Stückkosten k v der Produktion K v Es sind die gesamten variablen Kosten pro Stück, also k = 2 2 v = Berechne die gesamten Stückkostenk() der Produktion 3 2 K() k() = = = k() ist eine gebrochen-rationale Funktion (siehe Skript zu deren Kurvenuntersuchung). 9. Berechne das Gewinnma imum, d. h. die Produktionsmenge, bei der der Gewinn maimal ist und zeichne den maimalen Gewinn ein. Der Gewinn G ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten: G = E K G() = 28 ( ) und G() = 28 2 und G() = Bekanntlich erhält man die Etrema, indem man G'() = 0 setzt. G'() = 0 liefert G1 =4,16 [und G2 = - 0,16 ist maimaler Verlust] Das Gewinnmaimum (G ma )liegt bei 4,16 produzierten und verkauften Stückzahlen.

5 4 10. Berechne die Produktionsmenge, bei der die variablen Stückkosten minimal sind. Bekanntlich erhält man Etrema, wenn man die 1. Ableitung = 0 setzt, also: k' v ()= 0 setzen: k' v () = 4 12 = 0 führt zu=3. Bei einer Produktionsmenge von = 3 Stück sind die variablen Stückkosten minimal. 11. Berechne das Minimum der Differentialkosten Fachliches: Bei der Erhöhung der produzierten Menge steigen im allgemeinen auch die Gesamtkosten K. Die Änderung der Gesamtkosten K bei einer kleinen Änderung der erzeugten Menge nennt man Differentialkosten (Grenzkosten) Mit Hilfe der Differentialkosten D läßt sich die Frage beantworten, wann eine Änderung der Produktionsmenge eine minimale Änderung der Gesamtkosten nach sich zieht. Das bedeutet, man sucht die minimalen Differentialkosten (Beginn der Wirkung des Ertragsgesetzes) Die Differentialkosten (Grenzkosten) D () sind die 1. Ableitung der Gesamtkosten K() Also: D() = K'() Jetzt soll das Minimum von D berechnet werden. Also D'() = 0 setzen. D() = K'() = und D'() = K"() = = 0 setzen Dmin =2 D. h., bei der Produktion von 2 Stück (Mengeneinheiten) wird eine minimale Änderung der Gesamtkosten K erzeugt. Das ist der Wendepunkt der Gesamtkosten-Kurve. 12. Berechne das Betriebsoptimum, d. h. die Produktionsmenge, bei der sich das Betriebsoptimum befindet. Das Betriebsoptimum befindet sich im Minimum der gesamten Stückkosten 24 k() = Um dieses Minimum berechnen zu können, müssen wir k() ableiten (Quotientenregel!) und Null setzen: k'() = 4 12 = 0 setzen = 0 2 Entsetzen macht sich breit: Die Nullstelle befindet sich bei = 3,49, also keine Chance beim Probieren und damit auch nicht mit der Polynomdivision. Wir sehen uns deshalb zunächst einmal die Graphen (nächste Seite) 24 von k() = und D() = K'() = an. Wir vermuten, dass der Schnittpunkt zwischen k() und K'() bei 3,5 liegt.

6 5 Versuch der Berechnung: k() = K'() setzen ² = 0 * -4³ + 12 ² + 24 = 0 24 = Aha: Das ist identisch mit k'() = 0 setzen. Das bedeutet, wir können uns an dieses Minimum bei = 3,49 nur heran tasten, wobei die zeichnerische Lösung gut hilft. Oder man verwendet mein Complott-800. Das bringt die eakte Lösung Das Betriebsoptimum befindet sich bei einer Produktion von = 3,49 Mengeneinheiten. 13. Berechne zu allen hier behandelten Themen die dazu gehörigen Euro-Beträge, wenn machbar und sinnvoll. 14. Die wichtigsten Graphen auf der folgenden Seite K = E = G = D = k = Kosten Erlöse Gewinn Differentialkosten (Grenzkosten) gesamte Stückkosten Kennzeichne die einzelnen Graphen farbig Beschrifte die markanten Punkte 15. Übung: Gegeben ist die Kostenfunktion und die Erlösfunktion K() = E() = 24 a) Zeichne die Situation b) Berechne den Break-Even-Point und die Nutzengrenze c) Berechne das Gewinnmaimum d) Berechne das Minimum der Grenzkosten e) Berechne das Betriebsoptimum

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