Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS
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- Kerstin Hummel
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1 Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS Christian Dorner & Stefan Götz Fakultät für Mathematik Bundesseminar Amstetten: 24. Februar 2015
2 Februar 2015 Kleine Dorner Zeitung & Götz: online Wirtschaftswissenschaften vom
3 Was sind Typ-2-Aufgaben? Typ-2-Aufgaben sind Aufgaben zur Anwendung und Vernetzung der Grundkompetenzen in definierten Kontexten und Anwendungsbereichen. Dabei handelt es sich um umfangreichere kontextbezogene oder auch innermathematische Aufgabenstellungen, im Rahmen derer unterschiedliche Fragestellungen bearbeitet werden müssen und bei deren Lösung operativen Fertigkeiten gegebenenfalls größere Bedeutung zukommt. Eine selbstständige Anwendung von Wissen und Fertigkeiten ist erforderlich. (Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 23, Hervorhebungen C. D. & S. G.) Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 3
4 Kontexte bei Typ-2-Aufgaben Die nachfolgend angeführten Kontexte können jedenfalls ohne detaillierte Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen. (Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 19, Hervorhebungen C. D. & S. G.) Finanzmathematische Grundlagen: Zinseszinsrechnung: K n = K i n mit i = p Kosten-Preis-Theorie: 100 Erlös(-funktion) Kosten(-funktion) Gewinn(-funktion) Nachfragepreis(-funktion) Grenzerlös Grenzkosten Grenzgewinn Break-even-Point (Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 21 f.) Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 4
5 Kosten-Preis-Theorie Erlös- oder Ertragsfunktion in der Form einer linearen Darstellung: E = p x mit p Preis pro Stück und x Menge der verkauften Ware Kostenfunktion in Form einer proportionalen, degressiven, progressiven, regressiven und fixen Darstellung: K x = K f + K v (x), wobei K f die Fixkosten und K v die variablen Kosten sind Gewinn(-funktion) als Erlös Kosten G = E K Nachfragepreis(-funktion) lineare Funktion p = p(x) oder x = x(p) Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 5
6 Erlösfunktion oder Ertragsfunktion Achtung: p = p(x) kann passieren!!! Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 6
7 Kostenfunktion linear Kostenfunktionen sind immer (streng) monoton steigend! Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 7
8 Kostenfunktion degressiv Mit steigender Produktion werden die Kosten pro Stück geringer! Steigung wird geringer Krümmung ist negativ Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 8
9 Kostenfunktion mit Kostenkehre Kostenkehre Wendepunkt Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 9
10 Modellschularbeit Mathematik (AHS) Dezember 2014: Aufgabe 6 Achtung: Kontexte auch bei Typ-I-Aufgaben möglich! Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 10
11 Gewinnfunktion Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 11
12 Nachfragepreisfunktion Geringer Preis große Nachfrage große Produktionsmenge Hoher Preis geringe Nachfrage geringe Produktionsmenge Nachfragepreisfunktion ist immer streng monoton fallend. Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 12
13 Weitere Begrifflichkeiten: Break-even-Point: Nullstellen der Gewinnfunktion G = E K Grenzkosten: Es handelt sich hierbei um Kosten, die entstehen, wenn von einem Produkt eine Einheit mehr produziert wird. Das ist also die erste Ableitung K der Kostenfunktion. Grenzerlös E : analog zu den Grenzkosten K Grenzgewinn G : analog zu den Grenzkosten K Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 13
14 Break-even-Point Die Schnittpunkte der Graphen von Kosten- und Erlösfunktion an den Gewinngrenzen heißen Break-even-Punkte (BEP). (S. 69) Malle Götz Als Gewinnschwellen (BEP Break Even Point) bezeichnet man die Nullstellen der Gewinnfunktion G = E - K; (S. 230) Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 14
15 Haupttermin 2013/14: Typ-2-Aufgabe Grenzkosten Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 15
16 Ein Beispiel: Ein Unternehmen arbeitet mit Kosten K x = 0,1x 2 + 0,1x + 2 und dem Preis-Absatz-Zusammenhang 10p + 2,8x = 32, dabei ist x die Absatzmenge und p der (Stück-)Preis: x in Mengeneinheiten ME, p in Geldeinheiten GE Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 16
17 (1) Gewinn- und Verlustbereich Ges.: die Nullstellen der Gewinnfunktion G = E K, dazu: 32 2,8x E = p x = x = 3,2x 0,28x 2 = E x 10 ist die Erlös- oder Umsatzfunktion (nicht mehr linear!) G(x) = 3,2x 0,28x 2 0,1x 2 0,1x 2 = 0,38x 2 + 3,1x 2: G x = 0 0,38x 2 3,1x + 2 = 0 x 1 = 0,7 und x 2 = 7,45 Gewinnbereich 0, 7; 7, 45 ME Verlustbereich R\ 0, 7; 7, 45 ME Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 17
18 (2) Maximaler Gewinn bei welcher Absatzmenge zu welchem Preis? Dazu: Grenzgewinn gleich Null setzen: G x = 0,76x + 3,1 und daraus 0,76x = 3,1 x = 4, 1 ME G 4,1 = 4, 32 GE und p = ,8 4,1 = 2, 06 GE Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 18
19 (3) Bedeutet maximaler Gewinn auch maximalen Umsatz? Wie groß ist der Gewinn bei maximalem Erlös? Grenzerlös E x gleich Null setzen: = 3,2 0,56x 3,2 = 0,56x x = 3,2 = 5, 7 ME 0,56 NEIN! G 5,7 = 3, 31 GE Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 19
20 (4) Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Erlösfunktion? E x = p(x) x und p(x) ist eine lineare Funktion von x, x p ist die Umkehrfunktion. x 1 = 0 ME: p 1 = p(0) = 3,2 GE, der sogenannte Prohibitivpreis: Das ist der höchstmögliche Stückpreis für dieses Gut. Für höhere Preise besteht keine Nachfrage mehr. 3, 2 x 2 = x(0) = = 11, 43 ME 0, 28 bedeutet p 2 = 0 GE, das heißt x 2 ist die sogenannte Sättigungsmenge, die größtmögliche Verkaufsmenge. Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 20
21 Exkurs - nochmals Haupttermin 2013/14: Grenzkosten Nicht im Kontextkatalog erwähnte Begriffe müssen in der Aufgabenstellung erklärt werden! Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 21
22 (5) Stückkostenfunktion k k x = 0,1x + 0,1 + 2 x k x = 0,1 2 x 2 und Nullsetzen liefert 0,1= 2 x 2 bzw. x2 = 20, was x opt = 4, 47 ME zur Folge hat. Die Herstellungsmenge x opt, bei der mit geringsten Stückkosten produziert wird, heißt Betriebsoptimum. Der kleinstmögliche Preis, mit dem gerade noch kostendeckend produziert werden kann, ist dann also k x opt. k x opt = 0, 99 GE Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 22
23 Quelle: Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch. Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-ergänzung von H.-S. Siller und R. Müller. öbv, Wien Kapitel III.3 Anwendungen von Analysis auf Fragestellungen in der Wirtschaft, S : Aufgabe 979. Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 23
24 Spiralprinzip Kosten-Preis-Theorie 8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion aus den Grenzkosten 7. Klasse: Diskussion von Polynomfunktionen im wirtschaftsmathematischen Kontext Optimierung (Extremwertaufgaben) 5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 24
25 5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 25
26 5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 26
27 8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion Malle, G., Woschitz, H., Koth, M. u. Salzger, B.: Mathematik verstehen 8. öbv, Wien Kapitel 4 Anwendungen in der Wirtschaft, S Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 27
28 Spiralprinzip Zinseszinsrechnung 8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan) 6. Klasse: geometrische Folgen und Reihen stetige Verzinsung 3. Klasse: lineare Verzinsung Zinseszinsen Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 28
29 8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan) Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch. Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-ergänzung von H.-S. Siller und R. Müller. öbv, Wien Kapitel 1.1 Differenzengleichung erster Ordnung mit einer Variablen, S. 8 17: Aufgabe 40. Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 29
30 x n+1 = x n 1, , x 0 = Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 30
31 Reflexion Kennen der einschlägigen Begriffe und ihrer (jeweiligen) Bedeutungen Wiedererkennen im Kontext und verständiges Anwenden Wissen um Zusammenhänge Interpretieren der Ergebnisse im Kontext Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 31
32 Die Bibel Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. Inhaltliche und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer Grundkompetenzen. (Stand: März 2013). Projektteam: V. Aue, M. Frebort, M. Hohenwarter, M. Liebscher, E. Sattlberger, I. Schirmer, H.-S. Siller (Leitung), G. Vormayr, M. Weiß, E. Willau. Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 32
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c) f(x)= 1 4 x x2 + 2x Überprüfe, ob der Punkte A(3/f(3)) in einer Links- oder in einer Rechtskrümmung liegt!
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Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,
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