4. Lösung linearer Gleichungssysteme

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1 4. Lösung linearer Gleichungssysteme a x + : : : + a m x m = b a 2 x + : : : + a 2m x m = b 2 : : : a n x + : : : + a nm x m = b n in Matrix-Form: A~x = ~ b (*) mit A 2 R n;m als Koe zientenmatrix, ~x = (x ; : : : ; x m ) T 2 R m als Vektor der Unbekannten (Lösungsvektor), ~ b 2 R n als Vektor der rechten Seite. Der Gauß-Algorithmus Satz: In einem linearen Gleichungssystem kann zu einem Vielfachen einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile addiert werden, wobei die Lösungsmenge nicht verändert wird. Dies ist auch der Fall, wenn Zeilen vertauscht werden. Ablauf des Verfahrens: Links oben beginnend wird nacheinander ein Hauptdiagonalelement als Pivotelement (muss 6= 0 sein!) ausgewählt. Im k-ten Schritt ist die k-te Spalte die Pivotspalte, die k-te Zeile ist die Pivotzeile. In der Pivotspalte werden die Elemente unterhalb des Pivotelementes in Nullen umgewandelt, und zwar indem zu einem Vielfachen der entsprechenden Zeile ein Vielfaches der Pivotzeile addiert wird. Achtung: Steht im k-ten Schritt an der Stelle des Pivotelements eine Null, so muss anschließend durch Zeilen- bzw. Spaltentausch (nur Zeilen und Spalten mit Nummer k) ein Tableau erzeugt werden, wo an der Stelle (k; k) eine von Null verschiedene Zahl steht. Beim Spaltentausch muss die Variablenbezeichnung in der ersten Zeile mit getauscht werden. Bei der praktischen Durchführung des Algorithmus werden Zeilen, in denen nur Nullen stehen, gestrichen. Wenn es die Rechnung vereinfacht, kann eine Zeile durch eine Zahl dividiert werden.

2 Zahl In den Schemata bedeuten eine beliebige Zahl, eine von Null verschiedene Anfang: =) =) =) x : : : x m RS : : :. Zeile Pivotzeile : : :... : : : x x 2 : : : x m RS : : : 0 : : : 2. Zeile Pivotzeile 0 : : : : : : x x 2 x 3 : : : x m RS : : : 0 : : : 0 0 : : : : : : : : : x x 2 : : : x r : : : x m RS : : : : : : : : : 0 : : : 0 # : : : 0 : : : 0 # 9 >= >; r Zeilen entspricht Rang r Sind diese Werte # alle gleich Null, dann Zeilen streichen. Ist ein Wert ungleich Null, dann gibt es keine Lösungen 2

3 r ist der Rang von A Die Spalten r + : : : m gehören zu den Parametern t ; : : : ; t m r : x r+ = t : : : x m = t m r. B Rückrechnung: Die Gleichungen werden von unten nach oben nacheinander aus dem Schema interpretiert und jeweils nach den Variablen x m ; x m ; : : : aufgelöst. Bereits bekannte Werte sind einzusetzen. Somit ergeben sich die Lösungen für x m ; x m ; : : : ; x : B Lösungsstruktur: Es gibt entweder keine, eine oder auch unendlich viele Lösungen. Im letzteren Fall besitzen sie die Form ~x = ~y 0 + t ~y + t 2 ~y 2 + : : : + t m r ~y m r für t ; t 2 ; : : : ; t m r 2 R; wobei ~y 0 ; ~y ; : : : ; ~y m r 2 R m festzulegende Vektoren und t ; t 2 ; : : : ; t m r 2 R die Parameter sind. Für jede Wahl von Parametern t ; t 2 ; : : : ; t m r ergibt sich eine Lösung ~x. 3

4 5. Einführung zu Funktionen einer Veränderlichen Grenzwerte von Zahlenfolgen Definition: Die Zahlenfolge fa n g konvergiert gegen einen Wert a, falls es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke " einen Index n 0 gibt, so dass gilt: ja n aj < " für alle n n 0 : Symbolik: a n = a. Ist die Zahlenfolge fa n g nicht konvergent, dann heißt sie divergent. Satz: fa n g und fb n g seien zwei Zahlenfolgen mit a n = a, b n = b.=) (a n b n ) = a b; (a n b n ) = a b; a n = a falls b 6= 0; b n b ja nj = jaj; am n = a m p (m > 0; a n 0); an = p a: Satz: a) rationale Funktion von n mit A k ; B l > 0: 8 A k n k + A k n k + : : : + A 0 = B l n l + B l n l + : : : + B 0 >< >: + für k > l A k B l für k = l 0 für k < l b) Exponentialfunktion: e : = + n " n " e x : = + x n (x 2 R), " " n e = 2: Euler-Zahl 4

5 Reihen nx Gegeben sei eine Zahlenfolge fa n g. s n = k= a k Summenwert der Reihe : s n = ist die n-te Partialsumme. X k= a k nx k=0 X k=0 a 0 q k = a 0 q n+ q ; a 0 q k = a 0 q ; X geometrische Reihe k= a 0 q k q = a 0 ; falls jqj < : q Grenzwerte von Funktionen Definition: Die Funktion f(x) hat für x! a (d.h. bei Annäherung von x gegen a) den Grenzwert A (konvergiert gegen A), falls f(x n) = A für jede Zahlenfolge fx n g mit x n = a; x n 6= a. In Symbolen: x!a f(x) = A. Sprechweise: Grenzwert existiert nicht und es liegt bestimmte Divergenz vor, falls x!a+0 f(x) = + oder. Satz: x!a f(x) = A, x!a g(x) = B. =) Grenzwerte (f(x) g(x)) = A B; x!a A k x k + A k x k + : : : + A 0 = x! B l x l + B l x l + : : : + B 0 (f(x) g(x)) x!a = A B; f(x) x!a g(x) = A falls B 6= 0; B x!a (f(x))m = A m (m > 0; A > 0) 8 >< >: + für k > l; k l gerade, A k =B l > 0; für k > l; k l ungerade, A k =B l > 0; A k B l für k = l; 0 für k < l; 5

6 + a x = e x!+ x a (a 2 R) gebrochenrationale Funktionen p(x) Polynom mit reellen Nullstellen x ; : : : ; x m, q(x) Polynom mit reellen Nullstellen y ; : : : ; y n f(x) = p(x) q(x) = a(x x ) k : : : (x x m ) km b(x y ) l : : : (x yn ) ln x i Nullstelle von p(x) : p(x i ) = 0; q(x i ) 6= 0 =) x i Nullstelle von f(x) x i Nullstelle von q(x) : q(x i ) = 0; p(x i ) 6= 0 =) x i Polstelle von f(x) x i Nullstelle von p(x) und q(x) : p(x i ) = 0; q(x i ) = 0 =) x i Lücke 6

7 6. Di erentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen Definition: Der Grenzwert f 0 (x) = h!0 f(x + h) f(x) h heißt im Falle seiner Existenz die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x. andere Symbole: f 0 (x) = d f(x) d x = d y d x wobei y = f(x) Regeln zur Bildung der Ableitung a) (u(x) + v(x)) 0 = u 0 (x) + v 0 (x) b) (cu(x)) 0 = cu 0 (x) c) Produktregel (u(x) v(x)) 0 = u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) d) Quotientenregel 0 u(x) = u0 (x)v(x) u(x)v 0 (x) falls v(x) 6= 0 v(x) v(x) 2 e) Kettenregel d dx h(g(x)) = h0 (g(x)) g 0 (x) Tangente im Punkt x 0 : y T = f(x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) 7

8 Tabelle der Ableitungen Funktion f(x) Ableitung f 0 (x) c Konstante 0 x m (m 2 R; m 6= 0) mx m e x a x e x a x ln a ln x x log a x x ln a sin x cos x cos x sin x tan x (cos x) 2 cot x (sin x) 2 arcsin x p x 2 arccos x p x 2 arctan x +x 2 Definition: f 0 (x) > 0 für x 2 [a; b] =) f(x) ist streng monoton wachsend auf [a; b]. f 0 (x) < 0 für x 2 [a; b] =) f(x) ist streng monoton fallend auf [a; b]. Definition: a) f 00 (x) 0 für x 2 [a; b] =) f(x) ist konvex auf [a; b]. b) f 00 (x) 0 für x 2 [a; b] =) f(x) ist konkav auf [a; b]. Satz: g 0 (x) 6= 0 für x 2 (a; b): Regel von Bernoulli und l Hospital f(x) = 0; g(x) = 0 oder f(x) = ; g(x) = : =) x!x 0 x!x0 x!x0 x!x0 f(x) x!x 0 g(x) = f 0 (x) x!x 0 g 0 (x) falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder + oder ist. Entsprechendes gilt auch für Grenzprozesse x!, x! Quotient). (einheitlich für f; g und 8

9 Extremwerte Satz: f 0 (x 0 ) = 0 mit x 0 2 (a; b). Dann gilt: a) f 00 (x 0 ) > 0 =) x 0 ist lokale Minimalstelle. Die Funktion hat in x 0 ein lokales Minimum. b) f 00 (x 0 ) < 0 =) x 0 ist lokale Maximalstelle. Die Funktion hat in x 0 ein lokales Maximum. Wendepunkte Definition: Ein Punkt x 0 heißt Wendepunkt von f, falls es x und x 2 mit x < x 0 < x 2 gibt, so dass f auf [x ; x 0 ] konkav und auf [x 0 ; x 2 ] konvex oder umgekehrt. Satz: Für x 0 2 (a; b) gilt: f 00 (x 0 ) = 0; f 000 (x 0 ) 6= 0 =) f(x) hat in x 0 einen Wendepunkt. Ökonomische Anwendungen Definition: " f (x) := f 0 (x) x f(x) heißt Elastizität von f(x): Die Funktion f(x) ist elastisch, falls j" f (x)j >, proportional, falls j" f (x)j =, unelastisch, falls j" f (x)j <. Kostenfunktion K(x): Die Kostenfkt. eines Produkts gibt den Zusammenhang zwischen den in einer Periode auftretenden Gesamtkosten K und der in dieser Zeit produzierten Menge x eines Produktes an. Grenzkosten K 0 (x) > 0 Zerlegung der Kosten: 9

10 K(x) = K f + K v (x) Fixkosten K f = K(0) unabhängig von der Produktionsmenge, variable Kosten K v Stückkostenfunktion: Kosten je Einheit des hergestellten Produktes k(x) = K(x) x Betriebsoptimum: Menge x, für die k(x) minimal, also k 0 (x) = 0. Umsatzfunktion (Erlösfunktion) Zusammenhang zwischen Umsatz/Erlös und abgesetzter Menge. (a) Polypol: p = const; U(x) = px (b) Monopol: U(x) = x p(x) Grenzumsatz: U 0 (x) Gewinnfunktion G(x) = U(x) K(x) 0

11 Gewinnzone: G(x) > 0, Verlustzone: G(x) < 0 Grenzgewinn: G 0 (x) Gewinnmaximierung =) G 0 (x) = 0 liefert x max Stückgewinn: Gewinn pro abgesetzter Produktionsmengeneinheit g(x) = G(x) x Deckungsbeitrag: U(x) K v = G(x) + K f Der Deckungsbeitrag ist der Betrag, der zur Deckung der Fixkosten und als Gewinn zur Verfügung steht. Produktionsfunktion x(r) Zusammenhang zwischen Faktor-Input r einer Produktion (in ME) und dem zugehörigen Output x (Ertrag in ME). x = x(r)