SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1

Transkript

1 SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Grundkurs 1

2 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten funktioniert nur wenn die Inhalte bereits einmal verstanden worden sind. Ich warne davor diese Lernkarten nur stur auswendig zu lernen. Diese und andere Lernkarten können von heruntergeladen werden. Viel Erfolg bei der SBP Mathe Grundkurs 1 Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.at> Diese Lernkarten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz.

3 SBP Mathe Grundkurs 1 # 1 by Clifford Wolf Mengenoperationen

4 # 1 Antwort x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. A B = {x x A x B} = Schnittmenge A B = {x x A x B} = Vereinigungsmenge A \ B = {x x A x / B} = Differenzmenge A B = {(x, y) x A y B} = Produktmenge

5 SBP Mathe Grundkurs 1 # 2 by Clifford Wolf Logische Operationen

6 # 2 Antwort A B Äquivalenz (gleichbedeutind mit) A B Implikation (daraus folgt) A B Konjunktion (und) A B Disjunktion (oder) A B Antivalenz (ungleich, entweder-oder) A Negation (nicht) A : B Allquantor (fuer alle A gilt B) A : B Existenz (es gibt ein A fuer das B gilt)

7 SBP Mathe Grundkurs 1 # 3 by Clifford Wolf natürliche Zahlen

8 # 3 Antwort N = {0, 1, 2, 3,...} (N = {1, 2, 3,...})

9 SBP Mathe Grundkurs 1 # 4 by Clifford Wolf ganze Zahlen

10 # 4 Antwort Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (Z = {..., 3, 2, 1})

11 SBP Mathe Grundkurs 1 # 5 by Clifford Wolf rationale Zahlen

12 # 5 Antwort Q = { z z Z, n N } n Q + = {q q Q, q > 0} Q = {q q Q, q < 0}

13 SBP Mathe Grundkurs 1 # 6 by Clifford Wolf reelle Zahlen

14 # 6 Antwort R = alle Zahlen auf der Zahlengerade Untermengen: R +, R, R + 0, R 0

15 SBP Mathe Grundkurs 1 # 7 by Clifford Wolf Assoziativgesetze (Addition und Multiplikation)

16 # 7 Antwort a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

17 SBP Mathe Grundkurs 1 # 8 by Clifford Wolf Kommutativgesetze (Addition und Multiplikation)

18 # 8 Antwort a + b = b + a a b = b a

19 SBP Mathe Grundkurs 1 # 9 by Clifford Wolf Distributivgesetz der Multiplikation

20 # 9 Antwort a (b + c) = a b + a c

21 SBP Mathe Grundkurs 1 # 10 by Clifford Wolf Äquivialenzumformungen der Multiplikation

22 # 10 Antwort a b = c a = c b b = c a

23 SBP Mathe Grundkurs 1 # 11 by Clifford Wolf Äquivialenzumformungen der Addition

24 # 11 Antwort a + b = c a = c b b = c a

25 SBP Mathe Grundkurs 1 # 12 by Clifford Wolf Definition: lineare Gleichung

26 # 12 Antwort eine lineare Gleichung ist eine Gleichung mit den Variablen x n der Gestalt ax 1 + bx = k. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.

27 SBP Mathe Grundkurs 1 # 13 by Clifford Wolf Gauss sches Eliminationsverfahren

28 # 13 Antwort ax 1 + bx 2 = c d dx 1 + ex 2 = f a adx 1 + bdx 2 = dc adx 1 aex 2 = af = (ad ad)x 1 +(bx ae)x 2 = dc af (bx ae)x 2 = dc af

29 SBP Mathe Grundkurs 1 # 14 by Clifford Wolf Definition: Betrag

30 # 14 Antwort { a a 0 a = a a < 0

31 SBP Mathe Grundkurs 1 # 15 by Clifford Wolf Definition: lineare Funktion

32 # 15 Antwort f(x) = kx + d f(0) = d, f(x + 1) f(x) = k der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung k.

33 SBP Mathe Grundkurs 1 # 16 by Clifford Wolf 2-Punkt Formel für lineare Funktion

34 # 16 Antwort f(x) = k x + d k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 d = f(x) k x

35 SBP Mathe Grundkurs 1 # 17 by Clifford Wolf Definition: direkte und indirekte Proportionalität

36 # 17 Antwort direkte Proportionalität: f(x) = k x indirekte Proportionalität: f(x) = k x

37 SBP Mathe Grundkurs 1 # 18 by Clifford Wolf Konstante Faktoren bei direkter und indirekter Proportionalität

38 # 18 Antwort bei direkter Proportionalität: f(x) = k x f(a x) = a f(x) bei indirekter Proportionalität: f(x) = k x f(a x) = f(x) a

39 SBP Mathe Grundkurs 1 # 19 by Clifford Wolf Definition: (streng) monoton steigend/fallend

40 # 19 Antwort streng monoton steigend (wachsend): x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ) streng monoton fallend (abnehmend): x 2 > x 1 f(x 2 ) < f(x 1 ) monoton steigend (wachsend): x 2 > x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) monoton fallend (abnehmend): x 2 > x 1 f(x 2 ) f(x 1 )

41 SBP Mathe Grundkurs 1 # 20 by Clifford Wolf Definition: Graph einer reellen Funktion

42 # 20 Antwort f : A R, A R G = {(x; y) x A, y = f(x)} G = Graph der reellen Funktion f

43 SBP Mathe Grundkurs 1 # 21 by Clifford Wolf Potenzieren von Ungleichungen

44 # 21 Antwort a < b a n < b n wenn a, b R + 0 und n R+.

45 SBP Mathe Grundkurs 1 # 22 by Clifford Wolf Monotoniegesetz der Addition

46 # 22 Antwort Mon+: a < b a + c < b + c (a, b, c R)

47 SBP Mathe Grundkurs 1 # 23 by Clifford Wolf Monotoniegesetze der Multiplikation

48 # 23 Antwort Mon pos: a < b a c < b c c > 0 Mon neg: a < b a c > b c c < 0 (a, b, c R)

49 SBP Mathe Grundkurs 1 # 24 by Clifford Wolf Kehrwert und Negation bei Ungleichungen mit 0

50 # 24 Antwort 0 < a 0 < 1 a 0 < a 0 > a 0 < a < b 0 < 1 b < 1 a (a, b R)

51 SBP Mathe Grundkurs 1 # 25 by Clifford Wolf Addition und Multiplikation von Ungleichungen

52 # 25 Antwort a < b c < d a + c < b + d (a, b, c, d R) a < b c < d a c < b d (a R b, c, d R + )

53 SBP Mathe Grundkurs 1 # 26 by Clifford Wolf Transitivgesetz der Ordnungsrelation

54 # 26 Antwort a < b b < c a < c

55 SBP Mathe Grundkurs 1 # 27 by Clifford Wolf Formeln für Quadrat-Binome

56 # 27 Antwort (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2

57 SBP Mathe Grundkurs 1 # 28 by Clifford Wolf Lösungsformel und Strategie fuer x 2 + px + q = 0

58 # 28 Antwort x 2 + px + q = 0 x 2 + px = q x 2 + px + ( p 2 ) 2 = ( p 2 ) 2 q ( x + p 2 ) 2 = ( p 2 ) 2 q x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q

59 SBP Mathe Grundkurs 1 # 29 by Clifford Wolf Wie viele Lösungen hat x 2 + px + q = 0?

60 # 29 Antwort x 2 + px + q = 0 x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q 2 Lösungen in R wenn 1 Lösung in R wenn keine Lösung in R wenn ( p ) 2 2 q > 0 ( p ) 2 2 q = 0 ( p ) 2 2 q < 0 D = ( p 2 ) 2 q = Diskriminante

61 SBP Mathe Grundkurs 1 # 30 by Clifford Wolf Satz von VIETA

62 # 30 Antwort Seien α 1 und α 2 Lösungen von x 2 + px + q = 0 dann gilt fuer alle x R: x 2 + px + q = (x α 1 ) (x α 2 ) mit α 1 + α 2 = p und α 1 α 2 = q.

63 SBP Mathe Grundkurs 1 # 31 by Clifford Wolf Lösungsformel für ax 2 + bx + c = 0

64 # 31 Antwort ax 2 + bx + c = 0 x = b± b 2 4ac 2a

65 SBP Mathe Grundkurs 1 # 32 by Clifford Wolf Definition von Polynomfunktion

66 # 32 Antwort f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 n = Grad der Polynomfunktion

67 SBP Mathe Grundkurs 1 # 33 by Clifford Wolf Abspalten eines Linearfaktors

68 # 33 Antwort Sei f eine Polynomfunktion n-ten Grades und α R eine Nullstelle von f, dann gibt es eine Polynomfunktion g (n 1)-ten Grades, so dass für alle x R gilt: f(x) = (x α) g(x) Methoden zur Ermittlung der Koeffizienten von g: Koeffizientenvergleich Polynomdivision

69 SBP Mathe Grundkurs 1 # 34 by Clifford Wolf Methode des Koeffizientenvergleichs

70 # 34 Antwort Beispiel - allgemeines Polynom dritter Ordnung: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = (x α) (b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = = b 2 x 3 +b z x 2 +b 0 x αb 2 x 2 αb 1 x αb 0 = = b }{{} 2 x 3 + (b 1 αb 2 ) x 2 + (b 0 αb 1 ) x + ( αb 0 ) }{{}}{{}}{{} a 3 a 2 a 1 a 0 b 2 = a 3, b 1 = a 2 + αb 2, b 0 = a 1 + αb 1, αb 0 = a 0 }{{} Kontrolle

71 SBP Mathe Grundkurs 1 # 35 by Clifford Wolf Satz von Horner

72 # 35 Antwort a n b n = (a b) (a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) Beweis durch Ausmultiplizieren: alle Terme in der Mitte fallen weg.

73 SBP Mathe Grundkurs 1 # 36 by Clifford Wolf Definition der Potenz-Funktion

74 # 36 Antwort Potenz-Funktion = wiederholtes multiplizieren: x n = } x x x {{ x x } n mal x = Basis, n = Exponent

75 SBP Mathe Grundkurs 1 # 37 by Clifford Wolf Definition der Wurzel-Funktion

76 # 37 Antwort Wurzel-Funktion = Umkehrung der Potenz-Funktion: x n = a x = n a

77 SBP Mathe Grundkurs 1 # 38 by Clifford Wolf Wurzeln von Potenzen

78 # 38 Antwort n a k = ( n a ) k

79 SBP Mathe Grundkurs 1 # 39 by Clifford Wolf Potenzen mit Exponenten kleiner 1

80 # 39 Antwort a 1 n = n a a 0 = 1 a n = 1 a n

81 SBP Mathe Grundkurs 1 # 40 by Clifford Wolf Exponenten aus Q

82 # 40 Antwort a k n = n a k = ( n a ) k

83 SBP Mathe Grundkurs 1 # 41 by Clifford Wolf Potenzieren von Potenzen

84 # 41 Antwort ( a k ) n = a k n

85 SBP Mathe Grundkurs 1 # 42 by Clifford Wolf Potenzieren von Produkten

86 # 42 Antwort (a b) n = a n b n

87 SBP Mathe Grundkurs 1 # 43 by Clifford Wolf Multiplikation von Potenzen gleicher Basis

88 # 43 Antwort a k a n = a k+n

89 SBP Mathe Grundkurs 1 # 44 by Clifford Wolf Brüche von Potenzen gleicher Basis

90 # 44 Antwort a k a k n k > n a n = 1 k < n a n k 1 k = n

91 SBP Mathe Grundkurs 1 # 45 by Clifford Wolf Verzinsung

92 # 45 Antwort Beispiel mit 5,5% Verzinsung im Jahr: k 0 = ursprünglich eingezahler Betrag k 1, k 2, k 3,... = Betrag nach 1, 2, 3,... Jahren k 1 = k 0 + 0,055 k 0 = 1,055 k 0 k 2 = k 1 + 0,055 k 1 = 1,055 2 k 0 k n = 1,055 n k 0

93 SBP Mathe Grundkurs 1 # 46 by Clifford Wolf Wurzeln von Produkten und Brüchen

94 # 46 Antwort n a b = n a n b n a b = n a n b

95 SBP Mathe Grundkurs 1 # 47 by Clifford Wolf Wurzeln von Wurzeln

96 # 47 Antwort n m a = m n a = n m a

97 SBP Mathe Grundkurs 1 # 48 by Clifford Wolf Definition der Exponentialfunktion

98 # 48 Antwort f(x) = c a x (c, x R, a R + )

99 SBP Mathe Grundkurs 1 # 49 by Clifford Wolf Definition der Logarithmusfunktion

100 # 49 Antwort a x = y x = log a (y) log a = Logarithmus zur Basis a

101 SBP Mathe Grundkurs 1 # 50 by Clifford Wolf Definition des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion

102 # 50 Antwort natürliche Exponentialfunktion: exp(x) = e x natürlicher Logarithmus: ln(x) = log e (x) e = die Eulersche Zahl

103 SBP Mathe Grundkurs 1 # 51 by Clifford Wolf Logarithmen beliebiger Basis mit dem natürlichen Logarithmus

104 # 51 Antwort log a = ln(x) ln(a)

105 SBP Mathe Grundkurs 1 # 52 by Clifford Wolf Potenzen belibiger Basis mit der natürlichen Exponentialfunktion

106 # 52 Antwort a x = e λ x λ = ln(a)

107 SBP Mathe Grundkurs 1 # 53 by Clifford Wolf Monotonie von Exponentialfunktionen

108 # 53 Antwort a x ist { streng monoton steigend a > 1 streng monoton fallend a < 1

109 SBP Mathe Grundkurs 1 # 54 by Clifford Wolf Logarithmen von Potenzen

110 # 54 Antwort log a (b x ) = x log a (b)

111 SBP Mathe Grundkurs 1 # 55 by Clifford Wolf Logarithmen von Produkten

112 # 55 Antwort log a (x y) = log a x + log a y (Prinzip des Rechenschiebers)

113 SBP Mathe Grundkurs 1 # 56 by Clifford Wolf Unbeschränktes exponentielles Wachstum

114 # 56 Antwort N(t) = N 0 a t = N 0 e λt mit λ = ln a λ > 0, a > 1 = exponentielles Wachstum λ < 0, a < 1 = exponentielle Abnahme

115 SBP Mathe Grundkurs 1 # 57 by Clifford Wolf Warum kann 2 keine rationale Zahl sein?

116 # 57 Antwort Beweis von 2 Q durch Widerspruch: 2 Q = a, b N : 2 = a b a, b teilerfremd ( ) a 2 = 2 a2 = 2 a 2 = 2b 2 b b 2 a 2 ist gerade a ist gerade (denn 2 ist eine Primzahl und muss daher bereits in a als Primfaktor enthalten sein) p N : a = 2p a 2 = (2p) 2 = 4p 2 = 2b 2 2p 2 = b 2 b 2 ist gerade b ist gerade = Widerspruch zu a, b teilerfremd = 2 Q

117 SBP Mathe Grundkurs 1 # 58 by Clifford Wolf Graph einer lineraen Funktion

118 # 58 Antwort f(x) f(x) = k x + d f(a + 1) f(a) d 1 k d k a a + 1 x

119 SBP Mathe Grundkurs 1 # 59 by Clifford Wolf Graph von 1/x

120 # 59 Antwort f(x) 1/3; 3 Symmetrisch an beiden Medianen 1/2; 2 1; 1 f(x) = 1 x 2; 1 /2 3; 1 /3 Bei x = 0 nicht definiert! x -1; - 1 /2-1; -1

121 SBP Mathe Grundkurs 1 # 60 by Clifford Wolf Graph der Exponentialfunktion (Am Beispiel von 2 x )

122 # 60 Antwort f(x) f(x) = 2 x / x

123 SBP Mathe Grundkurs 1 # 61 by Clifford Wolf Graph der Exponential- und Logarithmusfunktion

124 # 61 Antwort f(x) f(x) = exp x 1 f(x) = ln x Gespiegelt an der 1. Mediane 1 x