Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05

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3 . Mengen Kenntnisse und Fähigkeiten: Mengenbegriff, Teilmenge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen, Produktmenge, Zahlenmengen, Intervalle. Im folgenden bedeuten: IN = {,,...} : Menge der natürlichen Zahlen, IR : Menge der reellen Zahlen, IR : Menge der geordneten Zahlenpaare (x,y) mit x IR, y IR... Gegeben seien die Mengen A = {0,, 3, 5, 7, 0 }, B = {3, 5, 6, 7 }, C = {0,, 4, 8 }, Beschreiben Sie durch Aufzählung der Elemente die Mengen: A B, A C, B C, A B, B C, A B C, A B C, A B C, (A B) C, (A B) C... Gegeben seien die Mengen A = {x IN x 6}, B = {x IR x 4}, C = {x IN x 4}, Beschreiben Sie (gegebenfalls durch Aufzählung der Elemente oder am Zahlenstrahl) die Mengen: A B, A B, A B C, A B C, (A B) C, A (B C)..3. Gegeben seien in der (x,y)-ebene die folgenden Mengen: K = {(x,y) IR x + y = 4}, K = {(x,y) IR y = 3x}, K 3 = {(x,y) IR (x ) + y = 4}, M = {(x, y) IR x + y 4}, M = {(x, y) IR y 3x}, M 3 = {(x, y) IR (x ) + y < 4}. a) Ermitteln Sie K K, K K 3, K K 3. b) Stellen Sie grafisch dar: K M K M K 3 M 3 M M M M 3 M M 3 M M M 3 M M 3 (M M 3 ) M.

4 .4. Sei A = {x IR (0 x ) (x = 3)}, B = {y IR ( < y 3) (y = 4) (5 y < 6)}. Skizzieren Sie A B = {(x,y) (x A) und (y B)} in der (x, y)-ebene..5. Gegeben seien die Intervalle J = {x IR x } = [,], J = {x IR 3 < x 4} = ( 3, 4], J 3 = {x IR 0 x < } = [0, ), J 4 = {x IR x < 4} = [, 4). Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn möglich - als Intervall: J J J J 3 J J 4 J J J J 3 J J 4. Elementare Rechenoperationen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Kenntnisse und Fähigkeiten: Bruchrechnung, Multiplikation von Polynomen, Binomische Formeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- und Logarithmengesetze, Summenzeichen. Untersuchen Sie im Folgenden zuerst, für welche Werte der vorkommenden Variablen die auftretenden Terme definiert sind... Kürzen Sie so weit wie möglich. a) 04a b 3 c 55ab c 3 b) 5x + 5x + a 3 a c) a + a + a.. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie so weit wie möglich. a) 3x 4 x a b b) 6x a(a + b) abc c) a b b a ( b)c a

5 .3. Vereinfachen Sie. a) (x y 3 ) 4 (4x 3 y 4 ) b) ( x m y n z r+ x y n z r ), m, n,r IN c) x y xy 3 x 4 d) (x 3 y ) 4 x 3 e) a n b n 3 3 a n b n + 3 a n b n a n 3 b n, n IN.4. Vereinfachen Sie. a) 3 a 5 b a 3 b 4 6 (3ab ) a 5 b 4 n (9a ) n b b) 3 3 c c,n IN.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. a) x + 5 x + 3 3x 4 x + + x + 6x + 0 x + 5x + 6 a b b) c) a b + a a + b a + b + c a + b b a b d) (ax + ay)m (bx by) n (cx cy ) m+n, m IN, n IN, m, n 0 e) a5x y a4x y : 6n f) b b n 3, a + b a + b a4 b 4 x, y IR, n IN g) ( p + q p q) h) x x y x + x y i) 3 b b 3 5 b 8 4 b 3 3

6 .6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf vier Stellen nach dem Komma gerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme, und rechnen Sie danach mit dem Taschenrechner. a) b) ( 5 3) ( 5+ 3) c) d) e) f) (63 ) 3 (8 4 ) g) ( 5) h) 4 ( ) ( ) 3.7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner. a) 0,5895 b) 3 4 3, c), 08 0 d) sin(,5) e) log 5 (5) f) log 0 (00) + log 00 (0).8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weit wie möglich. a) ln(e )+ b) ln(e +) c) lg( 3 00) d) e ln() e) ln (ln(ln(e e ))) f) e +ln(9) g) (( 3 e) ) ln(8).9. Vereinfachen Sie. a) ln(a) + ln(b) ln(c), a, b,c > 0, b) 3 ln(a b ) ln(a b) ln(a + b), a + b > 0, a b > 0, c) ln(a ab + b ) 3ln(a b ) + 3 ln ( a + b ), a > b > Ermitteln Sie alle x IR mit a) 3 x = 7 b) 0 x = 0,0 c) log x (3) = 8 d) log (x) = 5 e) log x ( 5) = f) log8 ( 5 64 ) = x ( g) log x (6) = 5 h) log 3 7) = x i) log (3) = x. 7.. Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt. a) 5a 5 b 3 c 35a 3 b 5 c a 4 b 4 c 3 b) (4x + y)(a + b) + (y 4x)( b a) c) (x + y)(x y)( x + y) y(6x 3y)(y x) 4

7 .. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln. a) 6a + 4ab + 9b b) ( a )(a ) (a ) c) 4 x 4y xy.3. Schreiben Sie mittels quadratischer Ergänzung als Summe bzw. Differenz von Quadraten. a) x 4x + 3 b) x + x 6 c) 4x + 4x + d) x + 4ax + 9b e) x x + y + 6y f) 4x + 8x 3y + y.4. Lösen Sie die folgenden Formeln auf: a) I = nu nr i + R a nach n, R i, R a, b) K = K 0 q n + R qn q nach R, K 0, n, c) f = f + f d f f nach f, f, f, d) X = ωl ωc nach L, C, ω..5. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte. 6 a) i c) 0 i d) 00 e) f) i= 5 n= i i+3 b) 00 i= nx n für x = i= g) 50 (5i + 3) i= k=0 5 ( k) k.6. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Formeln für n IN unter n n(n + ) Benutzung der Formel k =. a) k= n (k+) = (n+) b) k=0 n (k ) = k= ( n k= k= k ) n 5

8 .7. Berechnen ( ) Sie die ( Binomialkoeffizienten. ) ( ) a) b) c) d) 3 3 ( ) ( ) 0 00 e) f) 9 96 ( ) 5 3. Gleichungen für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen. 3.. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) x (5 4x) = 3x (x + 8) b) (5 x)(x + 3) = (x )(8 x) c) x + 3x + + 5x = 7x d) a(x b) + bc = b(x a) bc 3.. Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 5x + 6 = 0 b) 6x + x = 0 c) x + 4x + 3 = 0 d) 3x = x + e) (x 4x 5)(x 3) = 0 f) 5x 6 0x 4 = 0 g) x 3 4x + 4x = 0 h) x 4 + 3x 4 = Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x x + = x 3 x 5 c) x x = 3x + b) x + x + = 5 x + d) x + x x + 3 x = 3.4. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen. a) b) x x 4 = x x x = x 6

9 c) d) x + x x + x 4 = x + 6 3x 4 x = 3x 54 x 8 3x + 6 (x + 6) 3.5. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen. a) x = x b) x + 4 = x + c) x x = x x d) = x + x e) + x + x = x 3.6. Geben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen exakt und als Dezimalzahl auf vier Stellen nach dem Komma gerundet an. a) ln(x + 3) = b) (x + ) (ln(x) + ) = 0 c) ln(x) ln(x ) = 0 d) log (x + x + 6) = Lösen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf vier Stellen nach dem Komma gerundet an. a) 0 x = 3 b) e x+3 = 0 c) 6x = 4 x+3 d) = 0, 5 + e x 3.8. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf vier Stellen nach dem Komma gerundet an. a) x x+ 3 = 0 b) x ln(x) = c) (ln(x)) x = d) x lg(x) = 0 9 e) x 5 x = 0 x+ f) lg( x ) + lg(3 x ) + lg(4 x ) = 5 7

10 4. Ungleichungen und Beträge für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Definition des absoluten Betrages, Umformen von Ungleichungen, Ungleichungen mit Beträgen. 4.. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. x a) x 4 < 4x b) 3 4 x 5 c) ( x)( + x) (3 x)(4 + x) d) ax < x + a, a IR 4.. Bestimmen Sie die Lösungsmengen. a) x b) x + 3 6x + c) x 3x < 4x + x Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen auf rechnerischem und auf grafischem Wege. a) x 3 < 4 b) x + c) x + 00 < 0,00 d) x 4 < x + e) x > x Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen. a) x + + x x + 3 b) x < 4 c) x x Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. a) x 5x + 6 > 0 b) 6x + x c) x + 4x d) x 5 x 8

11 5. Gleichungssysteme für zwei reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Gleichungen mit zwei Unbekannten. 5.. Lösen Sie die Gleichungssysteme. a) 3x y = 8 x + 3y = 4 b) x = 9 4y x = 4 y x c) 5 + y 3 = x 3 + y = 0 e) x + y = 0 xy = 9 d) x + y = x + y = 3 6. Funktionen Kenntnisse und Fähigkeiten: Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Monotonie, Grenzwerte von Funktionen. 6.. Bilden Sie zu den Funktionen f : IR IR mit a) f(x) = + 0, 5x, x IR, b) f(x) = x, x IR, c) f(x) = e x, x IR jeweils die Funktionen f i : IR IR, i =,...,6, mit f (x) = f(x + ), f (x) = f(x) +, f 3 (x) = f(x), f 4 (x) = f( x), f 5 (x) = f(x), f 6 (x) = f(x), und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. 6.. Für welche x sind die folgenden Terme definiert? a) f(x) = x 4 b) f(x) = ln(x + 5) ln(x + 4) c) f(x) = d) f(x) = (x )(x + ) e 0,x 6.3. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem. a) y = 3x 4 b) 0x + 5y = 30 c) x 0 + y = d) k = 0, t +, 5 e) s = ( 8t)/3 9

12 6.4. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR. a) y = (x + ) 4 b) y = x 4x + 3 c) y = 6 x x 6.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie, möglichst ohne Wertetabelle auszukommen. a) y = x, x [0; ) b) y = x 4, x IR c) y = x, x ( ;0) d) y = x 4x 8, x IR e) y = ln(x ), x (; ) f) y = x +, x x (; ) g) y = ln x, x IR\{0} h) y = x 4, x [4; ) 0 für < x i) y = (x + ) für < x < 0 x + für 0 x < 6.6. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für jeweils eine Teilaufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem. a) y = e ax für a = 0, ±, ±, ±, x IR b) y = e x + a für a = 0, ±, ±, x IR c) y = e x+a für a = 0, ±, ±, x IR 6.7. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wachsend? a) y = 3x + 6, x IR b) y = x x +, x IR 0

13 7. Differentialrechnung Kenntnisse und Fähigkeiten: Ableitungsregeln (Faktor- und Additionsregel, Produkt-, Quotientenund Kettenregel) für Funktionen y = f(x), Extremwertermittlung, Kurvendiskussion. 7.. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung. a) f(x) = 3 x x, x > 0 b) f(x) = + x 3x 4, x 0 c) f(x) = ( x)(x + 6x + 8), x IR d) f(x) = 3 x + 5x 4 x 3 3, x > 0 e) f(x) = ln(x) 3e x + 5 x, x > 0 f) f(x) = x 0,5 + x, x > 0 g) f(x) = x lg(x) + 3x, x > Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung. a) f(x) = (x )e x, x IR b) f(x) = xe x + 5x, x > 0 c) f(x) = x n ln(x), x > 0 d) f(x) = e x sin(x), x IR e) f(x) = ln(x) x, x > 0 f) f(x) = x x, x

14 7.3. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung. a) f(x) = ln(x + 3) + e 3x, x > 3 b) f(x) = 3 x + + x ( x), x x c) f(x) = + x, x ( ;) d) f(x) = e x, x 0 e) f(x) =, x IR + 3e x f) f(t) = t + t +, t IR u g) f(u) =, (au + bv) au + bv 0 u h) f(v) =, (au + bv) au + bv 0 i) f(x) = ln(x), x > j) f(x) = ln( x ), x > Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung und die zweite Ableitung. a) f(x) = (x 5), x IR b) f(x) = e x, x IR c) f(x) = e x, x > 0 d) f(x) = x +, x IR ( ) x e) f(x) = ln, x < x + f) f(x) = sin (3x), x IR 7.5. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch. a) y = x 3 x x, x IR b) y = x + 5x +, x IR\{} x c) y = e x, x IR\{0}

15 Lösungen.. {3, 5, 7 }, {0},, {0,, 3, 5, 6, 7, 0 }, {0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 },, {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0 }, {0 }, {0,, 3, 4, 5, 7, 8 }... {4, 5,6}, {,,3} [4; ), {4}, {,,3} [4; ), {,,3, 4, 5,6}, A.3. a) {(, 3), (, 3)}, {(, 3), (, 3)}, {(0, 0), (, 3)}.4. J J = J J J 3 = [0;] J J 4 = {} J J = J J J 3 = [ ; ) J J 4 = [ ;4).. a) 4ab 5c, a, b,c 0 b),a c) a +, a, a (a ) 5x 3 + 4x.. a) 6x 4, x 0 b) a + b, a 0, a b a c), a, b,c 0, a b.3. a) x y 4, x,y 0 b) x m 4 y 4n 4 z 6, x, y, z 0 c) xy, x, y 0 d) y8 (b a)3, x 0 e) x4 a n b n, a, b 0 ( ) n 3ab.4. a) a 4 b 3, a, b 0 b), a,b 0, c > 0 c.5. a) 0x + 3, x IR\{ ; 3} (x + 3)(x + ) b) a + ab b a ab b, a b, a b( ± ) abc c) ab + ac + bc, abc 0, a + b + c 0 ( ) m ( ) n a b d) c c (x + y) n (x y) m, c(x y ) 0 e) a x b 5n, a > 0,b > 0 f), a b a + b > 0, a b > 0 g) p p q, p + q 0, p q 0 3

16 h) y, x 0, x y i) b 3/8, b 0.6. a) 7/8, 8340 b) 4 c) = 0, 5 8 d) 4 7 0,5830 e) , f) 3 3 8, 9630 g) 5 h), a), 08 b), c), 589 d) 0, 9975 e), 5 f), a) 3 b) - c) ( ) ab.9. a) ln c 3 d) 8 e) 0 f) 3e g) 4 b) 6 ln(a b ) c) ln ( (a b ) a + b ).0. a) 3 b) c) 8 3 d) 3 e) 5 f) 5 g) / 5 6 h) 3 i) 3.. a) 5a 3 b 3 c ( a 9b c + 5abc) b) 8x(a + b) c) (x y)(y x)(x 4y).. a) (4a + 3b) b) (a ) c) ( x + y).3. a) (x ) +9 b) (x+ ) 5 4 c) (x+ ) + d) (x + a) 4a + 9b e) (x ) + (y + 3) 0 f) 4(x + ) 3(y ) a) n = R ai U R i I, b) R = (K K 0 q n ) R i = nu R ai ni, R a = n(u R ii) I q q n, n = ln q ln ( K(q )+R K 0 (q )+R ) K 0 = K q n R q n qn q, c) f = f f f +f d, f = f(d f ) f f, f = f(d f ) f f d) L = X ω + ω C, C = ω L ωx, ω = L ( X ±.5. a) b) 5050 c) 385 d) 0 e) 893 f) 9 g) 655 X + 4L C ) 4

17 .7. a) 6 b) 56 c) 0 d) 0 e) 0 f) a) L = { 3 5 } b) L = {3 8 } c) L = {0} d) L = { bc a b }, falls a b, L = IR, falls (a = b) und (b c = 0), L =, falls a = b und bc a) L = {;3} b) L = { ; 3 } c) L = d) L = { + 8; 8} e) L = { ;3; 5} f) L = {0;; } g) L = {0;} h) L = { ;} 3.3. a) L = {} b) L = {} c) L = { 4 3 } d) L = 3.4. a) L = { + 7; 7} c) L = {} b) L = { 3 + 5; 3 5} d) L = {4} 3.5. a) L = {} b) L = {0} c) L = {} d) L = e) L = {} 3.6. a) e 3 4, 389 b) e 0,3679 c) 3 + 5, 680 d) L = {; } 3.7. a) 0 log (3) 8,450 b) 3 =, 5 c) 4 d) ln(7), a) log (3), 5850 b) L = {e ln() ;e ln() } c) e,783 d) L = {0 3 ;0 3 } e) log (5) 3, 39 f) 5 lg(4) 3, a) ( 3 ; ) b) ( ;30] c) [5; ) x > a a für a < d) x < a a für a > x IR für a = 4.. a) (;, 5] b) (;7] c) ( ; ) ( 4 5 ; 3 ) 4.3. a) ( ; 7) b) ( ; 3] [; ) c) ( 00, 00; 99, 999) d) e) ( ; ) 4.4. a) [ 6;6] b) ( ;) ( 7 3 ; ) c) IR\{ 3} 4.5. a) ( ; ) (3; ) b) [ ; 3 ] c) d) ( ; 3] [; ) 5

18 5.. a) (4; ) b) - c) ( 45; 30) d) (3; ), ( ; 3) e) (9; ), (;9) 6.. a) x, b) ( 5; ), c) ( 4; )\{ ; }, d) IR\{0} 6.7. a), b) [; ) 7.. a) x b) x x + 3 x 5 c) 3x 0x d) 3 3 x e) x 3ex 5 x f) x x g) x ln() x ln(0) 6 x 3 4 x a) (x + x )e x b) ( x + x )ex + 0x c) x n (n ln(x) + ) d) e x (sin(x) + cos(x)) e) ln(x) x f) x + (x ) 7.3. a) x+3 3e 3x b) 6x (x +) + +x ( x) 3 c) (+x) d) ex x (e x ) 6e e) x t+ (+3e x ) f) t +t+ bv au bu g) (au+bv) h) 3 (au+bv) 3 i) x ln(x) j) x 7.4. f (x) f (x) a) (x 5) 0 440(x 5) 9 b) xe x e x ( + 4x ) c) x e x e d) x x + x 4x ( (x +) 3/ e) x(x+) x+ x (x+) x ) f) 6sin(3x)cos(3x) 8(cos (3x) sin (3x)) 7.5. a) Nullstellen: 0;, 854; 3, 854 Min.:(, 77; 8, 46) Max.: (, 60;0, 945), Wendepunkt.: ( 3 ; 3, 74) b) Polstelle: x =, Min.: (8; ), Max:. ( 4; 3), c) lim f(x) = 0, lim x Polstelle: x = 0. f(x) =, lim x f(x) = ±, x ±0 6