AUFFRISCHUNGSKURS MATHEMATIK TRIESDORF,

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1 AUFFRISCHUNGSKURS MATHEMATIK TRIESDORF, PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Inhaltsverzeichnis 1. Eingangstest. Grundbegriffe 4. Prozentrechnung 9 4. Potenzen und Wurzeln Binomische Formeln Logarithmen 1 7. Umformen und Lösen von algebraischen Gleichungen 4 8. Quadratische Gleichungen 7 9. Wurzel, Logarithmus und Exponentialgleichungen 10. Differentialrechnung Abschlußtest Abschlußtest, Lösungen Lösungen der Übungsaufgaben 4 christina@birkenhake.net, birken/. 1

2 1. Eingangstest Die folgenden Aufgaben dienen zur Selbstüberprüfung Ihres Kenntnisstandes. Aufgabe 1: Ordnen Sie die folgenden Zahlen der Größe nach, welche der Zahlen sind gleich? 15 ; 15 ; 5 ; 5 1 ; 5, ; 5, ; 5, ; Aufgabe : (1) 19 (+) + (+11) + ( 7) ( 16) = () 7 [ 5 ( )] 4 + [ ( 4) 6] = Aufgabe : (1) ( ) + 5 ( 6) = () ( 5) 6 ( ) ( ) = Aufgabe 4: (1) = () = () = (4) = Aufgabe 5: Wandeln Sie Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt: (1) 0, 1 = () 0, 0000 = () 5 7 = (4) 0, 75 = (5) 1 96 = Aufgabe 6: Klammern Sie aus bzw ein

3 (1) a + b = () 5x 5y = () (e 1)e = (4) 6(x 4y) + 5(x y) = Aufgabe 7: Wieviel Gramm Glucose sind in 90 g einer 0,9%-igen Glucoselösung enthalten? Aufgabe 8: Bestimme die Zusammensetzung von,5 kg einer 65%-igen wässrigen Schwefelsäurelösung. Aufgabe 9: Vereinfachen Sie soweit möglich: (1) p () (p + q) () p + pq + q (4) p pq + q (5) p + q (6) p q (7) ( 1)(1 + ) Aufgabe 10: (1) log 8 = () log 4 = () log 4 ( 4) = (4) log 4 8 = (5) log 8 4 = (6) log 7 7 = (7) log = Aufgabe 11: Aus dem Rechenbuch des Abu Zacharjia el Hassar: Bei einem Fisch nimmt der Kopf ein Drittel und der Schwanz ein Viertel seines Gewichtes ein, das Mittelstück wiegt 10 Pfund. Wieviel wiegt der Fisch?

4 Mengenklammern: {...}. Grundbegriffe Mengen Beispiele für Mengen: N = {1,,,...} Leere Menge: oder {} {x x ist Student oder x ist älter als 40 Jahre} A := {z z ist eine gerade natürliche Zahl} Mengenrelationen: A B Menge A vereinigt mit Menge B A B A geschnitten B A B A ist Teilmenge von B A\B A ohne die Elemente der Menge A B x A x ist Element der Menge A Zahlen Natürliche Zahlen: N = {1,,,...} Ganze Zahlen: Z = {...,,, 1, 0, 1,,,...} Rationale Zahlen: Q = {x = p p, q Z, q 0} q 1 Beispiele rationaler Zahlen: = 0, 5 (z.b. ein halbes Jahr), (z.b. Tortenstück), = 0, 75 (z.b. dreiviertel 1 = h), = 0, 6 = 0, periodische Zahl. Irrationale Zahlen: Zahlen wie die Kreiszahl π =, 14..., die Eulersche Zahl e =, 71..., und Wurzeln wie z.b. = 1, haben in ihrer Dezimalentwicklung unendlichviele (nichtperiodische) Stellen. Solche Zahlen heißen irrational. Reelle Zahlen: R = Q {irrationale Zahlen} Die reellen Zahlen werden auf dem Zahlenstrahl veranschaulicht:

5 Anordnung von Zahlen: x < y x ist kleiner y x y x ist kleiner gleich y x = y x ist gleich y x > y x ist größer y x y x ist größer gleich y Intervalle: [ a, b ] = {x R a x b} beidseitig abgeschlossenes Intervall ] a, b [= {x R a < x < b} beidseitig offenes Intervall ] a, b ] = {x R a < x b} halboffenes Intervall [ a, b [= {x R a x < b} halboffenes Intervall [ a, [= {x R a x} unendliches Intervall ] a, [= {x R a < x} unendliches Intervall ], a[= {x R x < a} unendliches Intervall ], a] = {x R x a} unendliches Intervall 5

6 Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1: Wodurch unterscheiden sich die Mengen {} und? Aufgabe : Beschreiben Sie die Mengen A = {x x ist Student oder x ist älter als 40 Jahre} und B = {x x ist Student und x ist älter als 40 Jahre}. Aufgabe : Sei A := {1,, 5, 6, 1, 16, 18} und B := { 1, 0,, 5, 6, 16}. Bestimmen Sie (1) A B = () A B = () A\B = (4) B\A = (5) (6) 1 Aufgabe 4: Welches der folgenden Beispiele sind Mengen? (1) A = {,, 100} () B = {,, 1, } () C = {} (4) D = {A, 1, C} Aufgabe 5: Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (1) 4 4 () 6 > 7 () 6 < 7 (4) (5) 5 = 8 Aufgabe 6: Schreiben Sie die folgenden Mengen als Intervalle und umgekehrt. (1) {x R x < 8} () {x R 8 x > 4} () [ 1, 154] (4) ], 100[ 6

7 Aufgabe 7: Skizzieren Sie die Mengen aus Aufgabe 6 auf dem Zahlenstrahl. Aufgabe 8: (1) 5 ( ) = () 11 1 ( 5 + 4) = () 1 4 : 1 = (4) ( 1 + ) 1 4 : 5 = 6 (5) = (Aufgaben aus dem Eingangstest:) Aufgabe 9: Ordnen Sie die folgenden Zahlen der Größe nach, welche der Zahlen sind gleich? 15 ; 15 ; 5 ; 5 1 ; 5, ; 5, ; 5, ; Aufgabe 10: (1) 19 (+) + (+11) + ( 7) ( 16) = () 7 [ 5 ( )] 4 + [ ( 4) 6] = Aufgabe 11: (1) ( ) + 5 ( 6) = () ( 5) 6 ( ) ( ) = 7

8 Aufgabe 1: (1) = () = () = (4) = Aufgabe 1: Wandeln Sie Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt: (1) 0, 1 = () 0, 0000 = () 5 7 = (4) 0, 75 = (5) 1 96 = Aufgabe 14: Klammern Sie aus bzw ein (1) a + b = () 5x 5y = () (e 1)e = (4) 6(x 4y) + 5(x y) = 8

9 . Prozentrechnung Prozent: % = Das Symbol % wird immer als Faktor, also multiplikativ, verwendet. Beispiele: a) 5% von 40 e sind 40 5% = = = Euro b) Sie erhalten eine Rechnung über 000 e mit % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen. Das heißt, bei Zahlung innerhalb der ersten 10 Tage nach Rechnungserhalt genügt es % = 000 (1 ) = 000 0, 98 = Euro zu bezahlen. c) Auf Ihren Sparkonto erhalten Sie 7% Zinsen jährlich. Sie legen 000 e für ein Jahr fest zu diesem Zinssatz an. Dann erhalten Sie nach Jahresabschluss 000 7% = = 10 Euro Zinsen und Ihr Kapital erhöht sich auf 10 e. Aufgaben aus dem Eingangstest: Aufgabe 7 Wielviel Gramm Glucose sind in 90 g einer 0, 9%-tigen Glucoselösung enthalten? Lösung: In 90 g Lösung sind 90 0, 9% = 90 0,9 100 =, 61 Gramm Glucose. Aufgabe 8 Bestimme die Zusammensetzung von,5 kg einer 65%-igen wässrigen Schwefelsäurelösung. Lösung: Anteil Schwefelsäure:, 5 kg 65% =, 5 kg 65 Anteil Wasser:, 5 kg 1, 65 kg = 0, 875 kg 100 = 1, 65 kg 9

10 Diese Aufgaben lassen sich auch mit Dreisatz lösen: zu Aufgabe 7: 100 g Lösung enthalten 100 0, 9% = 0, 9 g Glucose. 1 g Lösung enthalten 0,9 g Glucose g Lösung enthalten 90 0,9 =, 61 g Glucose. 100 graphische Lösung: 100 g Lösung 0, 9 g Glucose 90g 0, 9g 90 g Lösung 100g =, 61 g Glucose zu Aufgabe 8: 1 kg Lösung enthält , 5 kg Lösung enthalten, graphische Lösung: 100 kg Lösung enthalten 65 kg Schwefelsäure. kg Schwefelsäure. = 1, 65 kg Schwefelsäure. 100 kg Lösung 65 kg S-Säure, 5kg 65kg, 5 kg Lösung 100g = 1, 65 kg S-Säure Beispiel: Sie mischen 10%-tige wässrige Salzsäure Lösung (L 1 ) und 5%-tige Salzsäure Lösung (L ) im Verhältnis 1 zu. Was ist die Konzentration der Mischung (L)? Lösung : 100 g L g L = 00 g L diese enthalten: 10 g SS + 5 g SS = 0 g SS damit enthalten: 100 g L 0 g SS Die Konzentration von L ist damit 0 % = 6, 6% 10

11 Beispiel: 4%-ige und 0%-ige Kalilauge sollen zu 1, 5%-iger Kalilauge gemischt werden. Man bestimme das benötigte Massenverhältnis m 1 m. Lösung: Masse von L i ist m i. Dann ist die Masse m von der Mischung L m(l) = m 1 +m und es gilt: 4%m 1 + 0%m = 1, 5%(m 1 + m ) 1 m 1 % 4 m 1 m + 0 = 1, 5 ( m 1 m + 1 ) 0 1, 5 = (1, 5 4) m 1 m m 1 = w w m w w 1 0 1, 5 = 1, 5 4 = Das Massenverhältnis ist m 1 m = 15 17, also 15 Teile L 1 und 17 Teile L werden benötigt. Mischungskreuz: 4%L 1 0%L 1, 5%L 0 1, 5 1, 5 4 = m 1 m Beispiel: 14%-ige und 1, 6%-ige Magnesiumchloridlösung sollen zu 1, 8 kg 10%-iger Magnesiumchloridlösung gemischt werden. Welche Massen m 1 und m an Ausgangslösungen werden benötigt? Lösung: Wie oben berechne man zuerst das Massenverhältnis: Es werden verlangt: m 1 m = 10 1, =, 1 1, 8 kg = m(l) = m 1 + m = m ( m 1 m + 1) = m (, 1 + 1) m = m(l) m 1 m + 1 = 1, 8 kg, 1 = 580, 64 g m 1 = m(l) m = 1, 8 kg 580, 64 g = 1, kg 11

12 Beispiel: Berechnen Sie die Masse m und die Konzentration w der Mischung von, kg 5%- tige und 75 g 85%-tige Phosphorsäure. Lösung: m =, kg + 75 g =, 575 kg 5%, kg + 85% 0, 75 kg = w, 575 kg 5, , 75 w = % = 11, 15%, 575 1

13 Aufgabenblatt Aufgabe 1: Berechnen Sie die Massenverhältnisse: (1) 7, 5%-ige und 0%-ige Kalilauge sollen zu 1, 5%-iger Kalilauge gemischt werden. () 7%-ige und %-ige Salzsäure sollen zu 11%-iger Salzsäure gemischt werden. () 10%-ige und %ige Salzsäure sollen zu 7%-iger Salzsäure gemischt werden. Aufgabe : Berechnen Sie die benötigen Massen m 1 und m der Ausgangslösungen: (1) 5%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlösung sollen zu 750 g 5%-iger Natriumhydroxidlösung gemischt werden. () 16%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlösung sollen zu 750 g 5%-iger Natriumhydroxidlösung gemischt werden. () 1%-ige und 1, 6%-ige Magnesiumchloridlösung sollen zu 1, 8 kg 10%- iger Magnesiumchloridlösung gemischt werden. (4) 6, %-ige und 0, 09%-ige Kaliumdichromatlösung sollen zu 670 g 4%- iger Kaliumdichromatlösung gemischt werden. Aufgabe : Berechnen Sie die Masse m und die Konzentration w der Mischung von (1) 4 kg 10%-tige und 1, kg 7%-tige Salzsäure. () 4 kg 7, %-tige und 1, kg 7%-tige Salzsäure. (), 7 kg 5%-tige und 75 g 85%-tige und 1, 06 kg 14%-tige Phosphorsäure. (4) 0, 9 kg 99, 8%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 4%-tige Essigsäure. (5) 0, 9 kg 55%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 4%-tige Essigsäure. (6) 650 g 45, 5%-tige und 1, kg 10%-tige und 870 g 15%-tige und, kg %- tige Natronlauge. 1

14 Potenzen einer Zahl: 4. Potenzen und Wurzeln a = a a a = a a a a 4 = a a a a. a n = a... a }{{} n-mal Für den Term a n heißt a die Basis und n der Exponent oder Hochzahl. Spezielle Potenzen: a 1 = a a 0 = 1 Potenzen mit negativem Exponenten: Beispiele: ( 1 ) 4 = = 1 = = = 1 = 1 = 0, Rechenregeln für Potenzen: a n a m = a n+m = a n m ( ) a n m = a n m a n a m a n b n = (a b) n a n b n = ( a b Beispiele: = 4 7 = 4 5 = 104 ) n 4 5 a 5 = (4a) 5 = 1 (4a) 5 = ( 1 4a a 1 = 1 a a n = 1 a n (z ) (z + ) = ( (z ) (z + ) ) = (z 4) ( ) 7 = ( 7) = 14 =, ) 5 Zehnerpotenzen:. 10 = 0, = 0, = = = =

15 Beispiele: 4, 1 = = , mol 1 Avogadrosche Konstante Potenzen mit rationalen Exponenten: a 1 = a a 1 = a. a 1 n = n a Der Term n a heißt n-te Wurzel aus a. Im Fall n =, also a, spricht man auch von der Quadratwurzel. Für den Term n a heißt a der Radikant. Der Radikant darf nicht negativ sein, also a 0. Für die Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die gleichen Rechenregeln wie oben. Beispiele: 4 = 4 1 = ( ) 1 = 1 = 1 = 4 = 4 5 = ( 5) 1 4 = 5 4, 78 (Taschenrechner) 8 = 8 = 8 = = = 4 4 = 4 = 1 = 1 = , 97 (Taschenrechner) Rechenregeln für Wurzeln: n a n b = n a b n a n b = n a b n m a = nm a Aufgabe 9 (Eingangstest) Vereinfachen Sie soweit möglich: (1) p () (p + q) Lösungen: (1) p = p () (p + q) = p + q 15

16 Aufgabenblatt Aufgabe 1: Vereinfachen Sie (wenn möglich) die folgenden Ausdrücke (1) z m z m = () 6 = () x : y = (4) x 5 : y 5 = (5) pm p 4m = (6) = (7) = (8) = (9) (a 4 ) 1 a 5 = (10),89 x 7 y,8 1 y 4 x 5 = Aufgabe : Mit Taschenrechner, auf Stellen nach dem Komma runden. (1), 41 = () (, 5) = () (, 5) = (4) (, 5, 7 ) = (5) 1,9 +5, 5 6 = (6) ( 4,) 9,1 1,45 6 = (7) (5, 5 + 1, 75) + (6, 4 + 4, ) = 16

17 Aufgabe : Vereinfachen Sie und verwenden Sie Zehnerpotenzen (1) = () 0, = () 0, = (4) 0, = (5) = (6) = Aufgabe 4: (1) 0, 01 = () 5 1 = () 7 1 = (4) 4, 4 7 = (5) 0, = Aufgabe 5: Vereinfache die folgenden Terme (1) 1 16 = () ( ) ( 5 6 ) 4 = () π 1 : ( ) 1 8π = 15 (4) ( a 5 a ) 1 4 = mit a > 0 (5) 15 = (6) 15 = (7) 0 5 = 1 17

18 Aufgabe 6: (1) = () (9 + 16) = () = (4) = (5) = Aufgabe 7: Vereinfache so weit wie möglich (Ohne Taschenrechner!) (1) 4 7 = () () 18 4, 5, = 8 4 = (4) 0, 0,4 8 0,5 = Aufgabe 8: Berechne auf Dezimalstellen genau (1) 0 45 = () = () = (4) = (5) , = (6) = 18

19 5. Binomische Formeln Binomische Formeln: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b Aufgabe 9 (a + b)(a b) = a b (Eingangstest) Vereinfachen Sie soweit möglich: (1) p + pq + q () p pq + q () p + q (4) p q (5) ( 1)(1 + ) Lösungen: (1) p + pq + q = (p + q) = p + q () p pq + q = (p q) = p q () p + q (4) p q = (p + q)(p q) (5) ( 1 )( 1 + ) = ( + 1 )( 1 ) = ( ) 1 = 1 = 19

20 Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: (1) (p + q)(p + q) () (15r + 1)(15r + 1) () (x + y)(x + y) (4) (r + s) (5) (m + n)(m + n) (6) (x + y) (7) (a b )(a + b ) Aufgabe : (1) (p q)(p q) () (15r 1)(15r 1) () (x y)(x y) (4) (r s) (5) (m n)(m n) (6) (x y) Aufgabe : (1) (p q)(p + q) () (15r + 1)(15r 1) () (x y)(x + y) (4) (r s)(s + r) (5) (m + n)(m n) (6) (x + y)(x y) Aufgabe 4: (1) (a + b) + (a b) () (x + y)(x + y)(x y)(x y) () (p + q) (p q) (4) m mn + n (5) uv u + uw (6) m n (7) x 1 (8) x 4 1 (9) a + 14a + 49 (10) p + pq + q r (11) r 6r + 9 0

21 6. Logarithmen Beispiele: Problem: 10 x = 1000 x = x = 1 16 x = 4 Finde die Lösung der Gleichung: a x = b, mit a, b > 0 Logarithmus: log a b ist die (einzige) Lösung der Gleichung a x = b mit a, b > 0. Also a x = b x = log a b log a b heißt Logarithmus von b zur Basis a. Beispiele: log = 4 denn = 10 4 log 10 0, 1 = 1 denn 10 1 = 0, 1 log = denn 5 = 1 5 = 1 5 Spezielle Logarithmen: Rechenregeln für Logarithmen: log a 1 = 0 Rechnen mit Logarithmen: log = Lg = lg = Log = log 10 Zehnerlogarithmus ln = log e natürlicher Logarithmus log a a = 1 log a (bc) = log a b + log a c log a b c = log a b log a c log a ( b c ) = c log a b log a b = log c b log c a log a a x = x a log a b = b log 7 = log = ln 0, 5646 log 7 ln 7 log 5 (4 7 9 log 4+log 7+9 log ) = log log log 5 = 8, 19 log 5 log 7 ( 5 ln ln 5 ) = log 7 log 7 5 = 1, 9 ln 7 1

22 Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1: Berechnen Sie ohne Taschenrechner (1) log = () log 8 = () log = (4) log 0, 15 = (5) log 9 = (6) log 16 = Aufgabe : (1) ln 5 = () ln 500 = () ln 0, 1 = (4) ln e = (5) ln e 1 = (6) ln e = (7) ln 1 e = Aufgabe : Berechnen Sie ohne Taschenrechner (Hinweis: lg = 0, 01) (1) lg 00 = () lg 0, = () lg 10 =

23 Aufgabe 4: Lösen Sie die folgenen Gleichungen (ohne Taschenrechner): (1) x = () 10 x = () 10 y = 0 (4) e z = 1 (5) z = 104 Aufgabe 5: Man berechne mit Hilfe des Taschenrechners (1) log 7 1 = () log 111 () log 1 (4) ln (5) ln ( 6) Aufgabe 6: (Eingangstest) (1) log 8 = () log 4 = () log 4 ( 4) = (4) log 4 8 = (5) log 8 4 = (6) log (4 ) = (7) log 6 6 = (8) log 7 7 = (9) log =

24 7. Umformen und Lösen von algebraischen Gleichungen Aufgabe 11 (Eingangstest) Aus dem Rechenbuch des Abu Zacharjia el Hassar: Bei einem Fisch nimmt der Kopf ein Drittel und der Schwanz ein Viertel seines Gewichtes ein, das Mittelstück wiegt 10 Pfund. Wieviel wiegt der Fisch? Lösung: Der Fisch besteht aus Kopf, Mittelstück und Schwanz. Ist x das Gewicht des Fisches, also gilt: Auflösen nach x liefert: x = 1 x x x 1 x 1 4 x = 10 x( ) = x = (1 1 1) = Der Fisch wiegt also 4 Pfund. = = 4 Hierbei handelt es sich um eine sogenannte algebraische Gleichung, das heißt, die Unbekannte oder auch Variable (hier x) kommt als Summand der Form x n mit n N vor. Eine allgemeine algebraische Gleichung (über R) ist von der Form: a n nx n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 = 0 mit a i R Die einfachsten algebraischen Gleichungen sind die: Linearen Gleichungen: ax = b mit a 0. Die Gleichung aus Aufgabe 11 ist linear. Lösung linearer Gleichungen: x = b a Die Aufgaben auf dem nächsten Aufgabenblatt lassen sich durch Umformungen alle auf lineare Gleichungen zurückführen. Bei Gleichungen mit x im Nenner berücksichtigen Sie bitte auch die Definitionsmenge. 4

25 Aufgabenblatt 6 Aufgabe 1: Aus dem Rechenbuch des Inders Bhaskara (ca.1150 n.chr.): Von einem Schwarm Bienen läßt sich ein Fünftel auf einer Kadamabablüte, ein Drittel auf einer Silindhablume nieder. Der dreifache Unterschied der beiden Zahlen flog nach den Blüten einer Kutaja; eine Biene blieb übrig, welche in der Luft hin und her schwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmine und eines Pandanus. Sage mir nun die Anzahl der Bienen. Aufgabe : (1) x c b = a () x p + 1 = q p () cx d = x (4) x a b + x b a = (5) (p + x)(q + x) = (p x)(q x) (6) x+1 x 1 = a b (7) x(a b) = a(b x) (8) x m x n = m n (9) ax bx = cx 5

26 Aufgabe : (1) (x + 5) = (7 x) + 4 () (x + 9) = (x 5) () 5(x + 1) 4(x 1) = 4x(x + 8) (4) 7x 4 = 6x + 1 Aufgabe 4: (1) 16 1 x = 4 () x+4 x x x+1 = 1 () 15 x 4 x+ = 5 x 4 (4) 1 x+ + 1 x 5 = x Aufgabe 5: (1) x+ = x 1 () 15 x+1 0 x = 0 () x+ x x 6 x = 0 (4) x 7 x 4 = 5x 5 x+7 6

27 8. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen: ax + bx + c = 0 mit a 0 Normalform einer quadratischen Gleichung: x + px + q = 0 Eine quadratische Gleichung hat entweder, eine oder keine Lösung, je nachdem ob die Diskriminante p q positiv, 0 oder negativ ist. 4 Lösung, (p, q)-formel: x 1/ = p ± p q 4 Beispiele: (1) x 4x 48 = 0 1 x x 4 = 0 p =, q = 4 4 x 1/ = 1 ± 4 ( 4) = 1 ± 5 x 1 = 6, x = 4 () () 4x + 4x + 16 = 4 4 4x + 4x + 1 = x + x + = 0 p = 1, q = x 1/ = 1 ± 1 4 = 1 ± 1 1 Wegen 1 1 = 11 < 0 hat diese Gleichung keine Lösung. x + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x 1 = 0, x = 4 (Ausklammern) 7

28 Sind x 1 und x die Lösungen von x + px + q = 0, so gilt: x +px+q = (x x 1 )(x x ) = x x x x 1 x+x 1 x = x (x 1 +x ) x+x 1 x Daraus folgt der: Satz von Vieta: Für die Lösungen x 1 und x von x + px + q = 0 gilt x 1 + x = p und x 1 x = q. Beispiele: (1) x 7x + 10 = 0, q = 10 = 5, p = 7 = + 5, Lösungen: x 1 = und x = 5 () x x 8 = 0, q = 8 = 4 7, p = = 7 + ( 4), Lösungen: x 1 = 7 und x = 4 8

29 Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1: (1) (x 1)(x + 1) = 0 () (x 1)(x + 1) = 5 () (18x + 7)(18x 7) = 0 (4) (x 5)(x + 5) = 0 (5) (x 5)(x + 5) = 9 (6) (18x + 7)(18x 7) = 0 (7) (x )(x + ) + x = 19 Aufgabe : (1) x x + 0, 5 = 0 () x x + 0, 5 = 0 () 6, 5x + x + 0, 16 = 0 (4) 6, 5x + x + 0, 16 = 0 9

30 Aufgabe : (1) x 4 = 0 () (x 4) = 0 () x 8x + 16 = 0 (4) x(x 4) = 0 (5) x 4x = 0 (6) x = 4x (7) x = 7x (8) x = 7x (9) x = 4 (10) x = 9 (11) x = 1 9 (1) x = 4 9 (1) x 4 9 = 0 (14) 5x = 75 (15) x 0, 9 = 0 (16) x ( 4) = 0 (17) 64x = 916 0

31 Aufgabe 4: (1) x 1 = 1 x () x x 8 = 1 x () 1 x = 10 x 6 (4) x 4 (x+) = x x+4 Aufgabe 5: (1) x = 64 () x = 0, 01 () x = 147 (4) 6x = 0, 015 (5) 64x = 65 (6) x 4 = 0 (7) x 1, 1 = 0 (8) x(x + 7) = 7(x + 8) 1

32 9. Wurzel, Logarithmus und Exponentialgleichungen Hierbei handelt es sich um Gleichungen, bei denen die Variable in Wurzel, Logarithmus und Exponentialausdrücken vorkommt. Beispiele: (1) x 5 4 = x 5 () 5 6x x = 0 () x = 5 Durch geeignete Umformungen lassen sich Wurzelgleichungen in algebraische Gleichungen umformen: (1) () Probe: x 4 = x 5 5 x = 4 (quadrieren) 5 x = 4 5 x = 5(4 + ) = = 4 4 = = 5 6x x = 0 5 6x = x 0 5, also L = {0}. + x (quadrieren) 5 6x = 9x + 6x 5 = 15x Probe: x = 1 x 1/ = ± ( ) 1 = = 1, also ist L = { 1 }.

33 () x = 5 10 x + 5 = 5 (quadrieren) x + 5 = 5 5 x = 0 Probe: = 5+10 = 15 5, also ist x = 0 keine Lösung und L = {}. An den Beispielen sieht man, daß es bei Wurzelgleichungen vorkommen kann, daß sich durch Umformungen die Lösungsmengen ändern kann. Deshalb ist bei diesen Gleichungen immer eine Probe notwendig. Beispiel: Lösung: 5 4 x = 9 x x = 9 x 1 (logarithmieren) lg 5 4 x = lg 9 x 1 lg 5 + (x ) lg 4 = (x 1) lg 9 ( lg 4 lg 9)x = lg 4 lg 5 lg 9 lg 4 lg 5 lg 9 x = 0, 61 lg 4 lg 9 Hilfreich bei Logarithmusgleichungen ist die Regel: a log a bx = x (nach x auflösen)

34 Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: (1) x + 4 = 1 () x 4 = 6 () x + 40 = x (4) x x = 5 (5) x 5 + 5x + 1 = (6) ax + x a = 1 + a (7) + 7x + 1 = (8) ( x + )( x 1) = x + (9) x + x n = n (10) x + + x + = x + 1 Aufgabe : (1) log x = 1, 5 () log 1 x = 1, 5 () log x = 1, 5 (4) log 1 x = 1, 5 (5) log x 0, 5 = (6) log x 8 = (7) log x 1 = 1 (8) log 4 x = 0 Aufgabe : (1) 4 x+1 = 16 () 8 x+1 = 16 x+ () 4 5 x 1 = 10 x 1 (4) 19 x 1 = 7 x+1 (5) 1 x = 17 4 x+ (6) 10 lg x = 1000 (7) x+ = 1 81 (8) 4 x = 1 16 (9) 1 x = 17 4 x+ (10) x 1 x + 7 = 0 (11) x 6 x + = 0 (1) x+ x + 1 = 0 Aufgabe 4: Sie erben e und legen diese zu einem Zinssatz von 7% p.a. fest an. Wann hat sich Ihr Kapital auf e erhöht? 4

35 Sei I R ein Intervall. 10. Differentialrechnung Funktion: Eine reelle Funktion ist eine Zuordnung f : I R. Beispiele: f : R R, f(x) = x f : [0, [ R, f(x) = x f : R\{0} R, f(x) = x x Funktionen werden oft graphisch dargestellt, der Graph einer Funktion ist eine Kurve im xy-koordinatensystem. Die Funktionen in unserem Beispiel habe die folgenden Graphen: f(x) = x f(x) = x f(x) = x x y y 1.5 y x x x 10 Zur Bestimmung des Graphen wird die Differentialrechnung hinzugezogen. Die Ableitung einer Funktion f : I R ist (soweit sie existiert) eine neue Funktion f : I R. f bestimmt man gemäß der folgenden Regeln: 5

36 Differentiationsregeln: Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel ( a f(x) ) = a f (x) für a R ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x) ( f(x) g(x) ) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( f(x) g(x) ) = f (x) g(x) f(x) g (x) g (x) ( f ( g(x) )) = f ( g(x) ) g (x) Ableitungen elementarer Funktionen: f(x) = a, a R f (x) = 0 f(x) = x n, n R f(x) = e x f(x) = a x, a > 0 f (x) = nx n 1 f (x) = e x f (x) = a x ln a f(x) = x f (x) = 1 x f(x) = ln x f (x) = 1 x f(x) = sin x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tan x, x (k + 1) π, k Z f (x) = 1 = 1 + cos x tan x f(x) = cot x, x kπ, k Z f (x) = 1 = ( 1 + cot x ) sin x Beispiele: a) ( x 4 x + x + 5x + ln x ) = 1x 6x + x x b) ( x sin x ) = x sin x + x cos x c) ( ) cos x 5x = sin x 5x cos x 15x 5x 6 d) ( (x 5 ) 4 ) = 4 ( x 5 ) 6x 6

37 Kurvendiskussion Problemstellung: man erstelle einen möglichst exakten Graphen der Funktion f : I R. Dazu untersucht man die Funktion f gemäß der folgenden Kriterien: Nullstellen: f hat eine Nullstelle bei x 0, wenn f(x 0 ) = 0 y x 1 Monotonie: f monoton wachsend, falls f (x) y x 4 f monoton fallend, falls f (x) 0 y 1 Extrema: x 4 y f hat Maximum bei x 0, falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < x y f hat Minimum bei x 0, falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > x 1 4 Wendepunkte: 4 f hat bei x 0 einen Wendepunkt, falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 y x 4 7

38 Beispiel: Bestimme den Graphen von Dazu berechnet man die Ableitungen: f(x) = x 4 4x + 4x f (x) = 4x 1x + 8x = 4x (x x + ) = 4x (x 1)(x ) f (x) = 1x 4x + 8 = 1 (x ) x + f (x) = 4x 4 = 4(x 1) Aus f(x) = x 4 4x + 4x = x (x 4x + 4 ) = x (x ) ergeben sich die Nullstellen: x 1 = 0, x =. Monotonie: f (x) 0 x (x 1)(x ) 0. Möglichkeiten: x 0, x 1, x x ], 0] x 0, x 1, x x 0, x 1, x x [1, ] x 0, x 1, x Also ist f monoton fallend auf ], 0] und [1, ] und sonst monoton wachsend. Extrema: Kandidaten für Extrema sind die Nullstellen 0, 1 und von f. Auf [0, ] muss ein Extremum und ein Wendepunkt liegen. Aus f (0) = 8 0, f (1) = 4 0, f () = ergeben sich die Minima x = 0 und x 4 = und das Maximum x 5 = 1. Wendepunkte: f hat die Nullstellen x 6 = 1 1 0, 4 und x 7 = , 577. Da dies keine Nullstellen von f (x) = 4(x 1) sind, sind x 6 und x 7 Wendepunkte. Der Graph von f sieht damit folgendermaßen aus: 1.5 y x 0.5 8

39 Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1: Berechnen Sie die erste Ableitung (1) f(x) = sin x () f(x) = 4x 6 () f(x) = log x (4) f(x) = e +x (5) f(x) = e x (6) (f(x) = x 7 (7) f(x) = 1 ln x (8) f(x) = log x (9) f(x) = ( x 5 8x + 5x ) 1 (10) f(x) = x +x 4 (x 1) Aufgabe : Bestimmen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: (1) f(x) = 4 1 (x + 1) () f(x) = x + 4x () f(x) = x x 4 (4) f(x) = (x 1) + 9

40 11. Abschlußtest Aufgabe 1: (1) = 4 () ( + ( 1 5 4) + 1 ) = () 4 : 46 = 5 15 (4) ( 1 + ) 1 : 7 = 1 Aufgabe : Klammern Sie aus bzw ein (1) (p + q) 5 = () a(a + ab) = Aufgabe : Berechnen Sie die benötigen Massen der Ausgangslösungen: (1) 5%-ige und 0, 09%-ige Kaliumdichromatlösung sollen zu 670 g 4%-iger Kaliumdichromatlösung gemischt werden. () %-ige und 70%-ige Chlorsäurelösung sollen zu, 55 kg 1, 5%-iger Chlorsäurelösung gemischt werden. Aufgabe 4: (1) x 6 + 4x 5 + x4 = 0 () x 5x + 4 = 0 Aufgabe 5: (1) 1 x x x+ = () 6 + x + 4 = 19 () x = x + 4 (4) 4 x = 7 (5) log ( x ) = (6) ln x ln x+ = 16 Aufgabe 6: (1) log z c 5a () log x z 7by () log z (ab) (4) log z (a + ab + b ) (5) log z (a b) (6) log z (a b ) Aufgabe 7: In welcher Zeit wächst ein Kapital von e bei 5% jährlicher Verzinsung auf e an? 40

41 Aufgabe 1: (1) = 4 11 = () ( + ( 1 5 4) + ) 1 = () 4 : 46 = (4) ( 1 + ) 1 : 7 = Abschlußtest, Lösungen Aufgabe : Klammern Sie aus bzw ein (1) (p + q) 5 = 10p + 15q () a(a + ab) = a + 4a b = a (a + b) Aufgabe : Berechnen Sie die benötigen Massen der Ausgangslösungen: (1) 5%-ige und 0, 09%-ige Kaliumdichromatlösung sollen zu 670 g 4%-iger Kaliumdichromatlösung gemischt werden. m 1 m = 4 0,09 =, m = 670 g = 16, 46 g,91+1 m 1 = 5, 54 g () %-ige und 70%-ige Chlorsäurelösung sollen zu, 55 kg 1, 5%-iger Chlorsäurelösung gemischt werden. m 1 m = 70 1,5 1,5,55 kg m = 0,5+1 m 1 = 1, kg = 0, 5 =, kg Aufgabe 4: (1) x 6 + 4x 5 + x4 = 0 L = {, 1, 0} () x 5x + 4 = 0 L = { 1, 4} Aufgabe 5: 1 (1) x = D = {, }, L = {} x x+ () 6 + x + 4 = 19 x = 8, 5 () x = x + 4 L = {5} (4) 4 x = 7 x = log 7 1, 4 log 4 (5) log ( x ) = L = { 0, 0} (6) ln x ln x+ = 16 x = e 41

42 Aufgabe 6: (1) log z c = log z c 5a () log x z = log 7by z 5 + log z a + log z x log z 7 log z b = log z y () log z (ab) = log z a + log z b (4) log z (a + ab + b ) = log z (a + b) (5) log z (a b) = log z (a b) (6) log z (a b ) = log z (a + b) + log z (a b) Aufgabe 7: In welcher Zeit wächst ein Kapital von e bei 5% jährlicher Verzinsung auf e an? , 05 x = x = log log 1,05 14, 1 4

43 1. Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 1: Wodurch unterscheiden sich die Mengen {} und? Gar nicht! Aufgabe : Beschreiben Sie die Mengen A = {x x ist Student oder x ist älter als 40 Jahre} und B = {x x ist Student und x ist älter als 40 Jahre}. Aufgabe : Sei A := {1,, 5, 6, 1, 16, 18} und B := { 1, 0,, 5, 6, 16}. Bestimmen Sie (1) A B = { 1, 0, 1,, 5, 6, 1, 16, 18} () A B = {, 5, 6, 16} () A\B = {1, 1, 18} (4) B\A = { 1, 0} (5) A B (6) 1 A Aufgabe 4: Welches der folgenden Beispiele sind Mengen? (1) A = {,, 100}, ja () B = {,, 1, }, nein () C = {}, ja (4) D = {A, 1, C}, ja Aufgabe 5: Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (1) 4 4, ja () 6 > 7, nein () 6 < 7,ja (4) , ja (5) 5 = 8, nein Aufgabe 6: Schreiben Sie die folgenden Mengen als Intervalle und umgekehrt. (1) {x R x < 8} =], 8[ () {x R 8 x > 4} =] 4, 8] () [ 1, 154] = {x R 1 x 154} (4) ], 100[= {x R x < 100} 4

44 Aufgabe 8: (1) 5 () 11 1 ( ( () ( 1 : 1 = 4 ) 4 1 (4) ) = 17 ) = = 5 60 : 5 6 = 7 10 (5) = 5 19 Aufgabe 9: Ordnen Sie die folgenden Zahlen der Größe nach, welche der Zahlen sind gleich? 15 = 1 5 < 5 < 15 = 5 < = 5, < 5, < 5, < 5, = 5 1 Aufgabe 10: (1) 19 (+) + (+11) + ( 7) ( 16) = 14 () 7 [ 5 ( )] 4 + [ ( 4) 6] = 6 Aufgabe 11: (1) ( ) + 5 ( 6) = 6 () ( 5) 6 ( ) ( ) = 180 Aufgabe 1: (1) = 101 = () = 5 1 () = 15 (4) = 4 5 Aufgabe 1: Wandeln Sie Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt: (1) 0, 1 = 1 10 () 0, 0000 = 10 5 () 5 = 0, (4) 0, 75 = 4 (5) 1 = 1 =,

45 Aufgabe 14: Klammern Sie aus bzw ein (1) a + b = (a + b) () 5x 5y = 5(x y) () (e 1)e = e e (4) 6(x 4y) + 5(x y) = 8x 9y Aufgabe 15: Berechnen Sie die Massenverhältnisse: (1) 7.5%-ige und 0%-ige Kalilauge sollen zu 1, 5%-iger Kalilauge gemischt werden. m 1 m = 0 1,5 = 1, 5 = 1,5 7,5 () 7%-ige und %-ige Salzsäure sollen zu 11%-iger Salzsäure gemischt werden. m 1 m = 11 = () 10%-ige und %-ige Salzsäure sollen zu 7%-iger Salzsäure gemischt werden. Aufgabe 16: m 1 m = = 5 Berechnen Sie die benötigen Massen der Ausgangslösungen: (1) 5%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlösung sollen zu 750 g 5%-iger Natriumhydroxidlösung gemischt werden. m 1 m = = 5 6 m = 750 g 5 = 409, 1 g +1 6 m 1 = 40 g () 16%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlösung sollen zu 750 g 5%-iger Natriumhydroxidlösung gemischt werden. m 1 m = = 1, m = 750 g =, 86 g 1,+1 m 1 = 46, 14 g () 1%-ige und 1, 6%-ige Magnesiumchloridlösung sollen zu 1, 8 kg 10%- iger Magnesiumchloridlösung gemischt werden. m 1 m = 10 1,6 = 4, 1 10 m = 1,8 kg 4,+1 m 1 = 1, 455 kg 45 = 0, 46 kg

46 (4) 6, %-ige und 0, 09%-ige Kaliumdichromatlösung sollen zu 670 g 4%- iger Kaliumdichromatlösung gemischt werden. m 1 m = 4 0,09 6, 4 = 1, 78 m = 670 g = 41, 4 g 1,78+1 m 1 = 48, 76 g Aufgabe 17: Berechnen Sie die Masse m und die Konzentration w der Mischung von (1) 4 kg 10%-tige und 1, kg 7%-tige Salzsäure. m = 4 kg + 1, kg = 5, kg 4 kg 10% + 1, kg 7% w = = 16, 6% 5, kg () 4 kg 7, %-tige und 1, kg 7%-tige Salzsäure. m = 4 kg + 1, kg = 5, kg 4 kg 7, % + 1, kg 7% w = = 14, 51% 5, kg (), 7 kg 5%-tige und 75 g 85%-tige und 1, 06 kg 14%-tige Phosphorsäure. m =, 7 kg + 0, 75 kg + 1, 06 kg = 4, 05 kg, , , w = % = 1, 8% 4, 05 (4) 0, 9 kg 99, 8%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 4%-tige Essigsäure. m = 0, 9 kg + 0, 44 kg + 0, 088 kg = 1, 48 kg 0, 9 99, 8 + 0, 44 9, 6 + 0, w = % = 68, 5% 1, 48 (5) 0, 9 kg 55%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 4%-tige Essigsäure. m = 1, 48 kg 0, , 44 9, 6 + 0, w = % = 40, 7% 1, 48 (6) 650 g 45, 5%-tige und 1, kg 10%-tige und 870 g 15%-tige und, kg %- tige Natronlauge. m = 650 g + 1, kg g +, kg = 5, 9 kg 0, 65 45, 5 + 1, , , w = % = 10, 1% 5, 9 46

47 Aufgabe 18: Vereinfachen Sie (wenn möglich) die folgenden Ausdrücke (1) z m z m = 1 () 6 = ) () x : y = ( y x (4) x 5 : y 5 = (xy) 5 (5) pm = p 7m p 4m (6) = 7 (7) = 5, (8) = (9) (a 4 ) 1 a 5 = a,89 x7 y (10),8 1 y4 x =, 8 x y 5 Aufgabe 19: Mit Taschenrechner, auf Stellen nach dem Komma runden. (1), 41 = 5, 81 () (, 5) = 1, 5 () (, 5) = 4, 88 (4) (, 5, 7 ) = 54, 44 (5) 1,9 +5, 5 = 59, 51 6 (6) ( 4,) 9,1 = 7, 54 1,45 6 (7) (5, 5 + 1, 75) + (6, 4 + 4, ) = 49, 86 Aufgabe 0: Vereinfachen Sie und verwenden Sie Zehnerpotenzen (1) = () 0, =, 5 10 () 0, = 7, (4) 0, = 10 4 (5) = 70 (6) = 1850 Aufgabe 1: (1) 0, 01 = 0, 1 () 5 1 = 1 5 () 7 1 = (4) 4, 4 7 = 1, 59 (5) 0, = 10 47

48 Aufgabe : Vereinfache die folgenden Terme (1) 1 = ) 4 ( ) 5 4 = ( ) 5 4 () ( 4 5 () π 1 : ( 8π 15 6 ) 1 = 5 (4) ( a 5 a ) 1 4 = a 15 (5) 15 = 5 (6) 15 = 5 (7) = 5 Aufgabe : (1) = 7 () (9 + 16) = 65 () = 7 (4) = 5 (5) = 18, 6 Aufgabe 4: Vereinfachen Sie so weit wie möglich (Ohne Taschenrechner!) (1) () () 4 7 = , 5, = 8 4 = (4) 0, 0,4 8 0,5 = 8 1 5, 5, Aufgabe 5: Berechnen Sie auf Dezimalstellen genau (1) 0 45 =, 4 () 4 5 = 0, 44 7 () = 1, 09 (4) = 9, (5) = 57, 4 0, (6) =, 11 Aufgabe 6: (1) (p + q)(p + q) = p + pq + q () (15r + 1)(15r + 1) = 5r + 450r () (x + y)(x + y) = x + xy + y (4) (r + s) = r + rs + s 48

49 (5) (m + n)(m + n) = 4m + 1mn + 9n (6) (x + y) = 9x + 1xy + 9y (7) (a b )(a + b ) = a 4 b 4 Aufgabe 7: (1) (p q)(p q) = p pq + q () (15r 1)(15r 1) = 5r 450r () (x y)(x y) = x xy + y (4) (r s) = r rs + s (5) (m n)(m n) = 4m 1mn + n (6) (x y) = 9x 1xy + 4y Aufgabe 8: (1) (p q)(p + q) = p q () (15r + 1)(15r 1) = 5r 169 () (x y)(x + y) = x y (4) (r s)(s + r) = r s (5) (m + n)(m n) = 4m 9n (6) (x + y)(x y) = 9x 4y Aufgabe 9: (1) (a + b) + (a b) = a + b () (x + y)(x + y)(x y)(x y) = x 4 x y + y 4 () (p + q) (p q) = p 4 p q + q 4 (4) m mn + n = (m n) (5) uv u + uw = u(v u + w) (6) m n = (m + n)(m n) (7) x 1 = (x + 1)(x 1) (8) x 4 1 = (x + 1)(x 1) = (x + 1)(x + 1)(x 1) (9) a + 14a + 49 = (a + 7) (10) p + pq + q r = (p + q) r = (p + q + r)(p + q r) (11) r 6r + 9 = (r ) Aufgabe 0: Berechnen Sie ohne Taschenrechner (1) log = () log 8 = () log = (4) log 0, 15 = log = (5) log 9 = (6) log 16 = 4 Aufgabe 1: (1) ln 5 = 1, 61 () ln 500 = 6, 1 49

50 () ln 0, 1 =, (4) ln e = (5) ln e 1 = 1 (6) ln e = 1 (7) ln 1 e = 1 Aufgabe : Berechnen Sie ohne Taschenrechner (Hinweis: lg = 0, 01) (1) lg 00 =, 01 () lg 0, = 0, 699 () lg 10 = 1 Aufgabe : Lösen Sie die folgenen Gleichungen (ohne Taschenrechner): (1) x = x = 5 () 10 x = x = 4 () 10 y = 0 y = lg 0 = 1, 01 (4) e z = 1 z = 0 (5) z = 104 z = 10 Aufgabe 4: Man berechne mit Hilfe des Taschenrechners (1) log 7 1 = 1, () log 111 =, 045 () log 1 = 0, 1 (4) ln = 1, 1 (5) ln ( 6) = 4, 159 Aufgabe 5: (Eingangstest) (1) log 8 = () log 4 = 1 () log 4 ( 4) = log 4 + log 4 4 = = (4) log 4 8 = (5) log 8 4 = log 8 8 = (6) log (4 ) = + 1 = 5 (7) log 6 6 = 1 (8) log 7 7 = (9) log = 4 50

51 Aufgabe 6: Aus dem Rechenbuch des Inders Bhaskara (ca.1150 n.chr.): Von einem Schwarm Bienen läßt sich ein Fünftel auf einer Kadamabablüte, ein Drittel auf einer Silindhablume nieder. Der dreifache Unterschied der beiden Zahlen flog nach den Blüten einer Kutaja; eine Biene blieb übrig, welche in der Luft hin und her schwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmine und eines Pandanus. Sage mir nun die Anzahl der Bienen. x = #Bienen x = 1 5 x + 1 x + ( 1 x 1 5 x) + 1 x = 15 Aufgabe 7: (1) x b = a x = (a + b)c c () x + 1 = q x = q p p p () cx d = x x = d c 1 (4) x a + x b = x = a + b b a (5) (p + x)(q + x) = (p x)(q x) x = 0 oder p = q (6) x+1 = a x = a+b x 1 b a b (7) x(a b) = a(b x) x = ab a b (8) x x = m n x = nm m n (9) ax bx = cx a b c = 0 oder x = 0 Aufgabe 8: (1) (x + 5) = (7 x) + 4 x = () (x + 9) = (x 5) x = () 5(x + 1) 4(x 1) = 4x(x + 8) x = 1 4 (4) 7x 4 = 6x + 1 x = 54 Aufgabe 9: 16 (1) = 4 x = 1 x () x+4 x x x+1 = 1 x = () 15 x 4 x+ = 5 x 4 x = (4) 1 x+ + 1 x 5 = x x = 9 Aufgabe 40: (1) = x = 8 x+ x 1 15 () 0 = 0 x = 4 x+1 x () x+ x = 0 x = 18 x 6 x (4) x 7 = 5x 5 x = 5 x 4 x = 51

52 Aufgabe 41: (1) (x 1)(x + 1) = 0 x 1/ = ±1 () (x 1)(x + 1) = 5 x = 1 x 1/ = ±1 () (18x + 7)(18x 7) = 0 x 1/ = ± 7 18 (4) (x 5)(x + 5) = 0 x 1/ = ±5 (5) (x 5)(x + 5) = 9 x = 16 x 1/ = ±4 (6) (18x + 7)(18x 7) = 0 x 1/ = ± 1 (7) (x )(x + ) + x = 19 x 1/ = ±5 Aufgabe 4: (1) x x + 0, 5 = 0 x = 0, 5 () x x + 0, 5 = 0 x = 0, 5 () 6, 5x + x + 0, 16 = 0 (, 5x + 0, 4) = 0 x = 4 5 (4) 6, 5x + x + 0, 16 = 0 x = 4 5 Aufgabe 4: (1) x 4 = 0 x = 4 () (x 4) = 0 x = 4 () x 8x + 16 = 0 x = 4 (4) x(x 4) = 0 x 1 = 0, x = 4 (5) x 4x = 0 x 1 = 0, x = 4 (6) x = 4x x 1 = 0, x = 4 (7) x = 7x x 1 = 0, x = 7 (8) x = 7x x 1 = 0, x = 7 (9) x = 4 x 1/ = ± (10) x = 9 x 1/ = ± (11) x = 1 9 x 1/ = ± 1 (1) x = 4 9 x 1/ = ± (1) x 4 9 = 0 x 1/ = ± (14) 5x = 75 x 1/ = ± 15 (15) x 0, 9 = 0 x 1/ = ± 0, 9 = ± 10 1 (16) x ( 4) = 0 x 1/ = ± (17) 64x = 916 x 1/ = ± 7 4 Aufgabe 44: (1) x = 1 x 1 x 1/ = ±1 () x = 1 x x 8 x 1/ = ±4 () 1 = 10 x x x 6 1/ = ±6 x 4 (4) = x x (x+) x+4 1/ = Aufgabe 45: (1) x = 64 x 1/ = ±8 () x = 0, 01 x 1/ = ±0, 1 5

53 () x = 147 x 1/ = ±7 (4) 6x = 0, 015 x 1/ = ±0, 05 (5) 64x = 65 x 1/ = ± 5 8 (6) x 4 = 0 x 1/ = ±18 (7) x 1, 1 = 0 x 1/ = ±1, 1 (8) x(x + 7) = 7(x + 8) x 1/ = ±14 Aufgabe 46: (1) x + 4 = 1 x = 70 () x 4 = 6 L = {} () x + 40 = x x = 50 (4) x x = 5 x = 4 (5) x 5 + 5x + 1 = L = {} (6) ax + x = 1 + a x = a am besten Raten! a (7) + 7x + 1 = x = 5 (8) ( x + )( x 1) = x + x = 5 (9) x + x n = n x = ( ) n+1 (10) x + + x + = x + 1 x = Aufgabe 47: (1) log x = 1, 5 x = ) 0, 5 () log 1 x = 1, 5 x = ( 1 () log x = 1, 5 x = = bigl( 1 (4) log 1 x = 1, 5 x = ( 1 ) ) 0, 5 =, 8 (5) log x 0, 5 = 0, 5 = x log x 0,5 = x x = 0, 5 (6) log x 8 = 8 = x x = 1 1 (7) log = 1 1 = x x 1 x = ( 1 ) = = 7 (8) log 4 x = 0 L = {} Aufgabe 48: (1) 4 x+1 = 16 x = 1 () 8 x+1 = 16 x+ x = 8 x = 8 () 4 5 x 1 = 10 x 1 x = (4) 19 x 1 = 7 x+1 ( ) 19 x 7 = 19 7 x = log log(19 7) 19 (19 7) = ( 19 7 log 7 ) 5, 16 (5) 1 x = 17 4 x+ x = lg 0, 6 4 lg 17 lg (6) 10 lg x = 1000 x = 1000 (7) x+ = 1 = 81 9 = 4 x = 6 (8) 4 x = 1 = 16 4 x = 1 (9) x 1 x + 7 = 0, ( z = x ), z 1z + 7 = (z )(z 7) = 0, z 1 =, z = 7, x 1 = 1, x = log 7 5

54 (10) x 6 x + = 0 x 1 = 1, x = log ( 4) (11) x+ x + 1 = 0 x 1 =, x = log ( 4) Aufgabe 49: Sie erben e und legen diese zu einem Zinssatz von 7% p.a. fest an. Wann hat sich Ihr Kapital auf e erhöht? Aufgabe 50: , 07 x = (nach x Jahren) 1, 07 x = Berechnen Sie die erste Ableitung = x = log 1, (1) f(x) = sin x, f (x) = sin x cos x () f(x) = 4x 6, f (x) = 4x 5 () f(x) = log x = ln x ln 10, f (x) = 1 x ln 10 (4) f(x) = e +x, f (x) = e +x (5) f(x) = e x, f (x) = e x (6) (f(x) = x 7, f (x) = 7 x 4 = log 10 7 log 1,07 5, 7 (7) f(x) = 1 ln x, f (x) = 1 x ln x (8) f(x) = log x, f (x) = 1 x ln 10 (9) f(x) = ( x 5 8x + 5x ) 1, f (x) = 1(x 5 8x + 5x)(5x 4 16x + 5) (10) f(x) = x +x 4 (x 1), Aufgabe 51: f (x) = (4x+4x )(x 1) (x +x 4 )(x 1) (x 1) 4 Bestimmen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: (1) f(x) = 4 1 (x + 1) 0 y x 10 () f(x) = x + 4x 0 54

55 4 x () f(x) = x x y x (4) f(x) = (x 1) x Mathematisches Institut, Universität Erlangen-Nürnberg, Bismarckstraße 1 1, D Erlangen, Germany address: birkenhake@mi.uni-erlangen.de, christina@birkenhake.net URL: 55