Zahlen und Funktionen

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1 Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen Zahlen einschließlich der Null. 3. Das Intervall (a, b) ist definiert als {x R a < x < b} und beschreibt daher ein abgeschlossenes Intervall. 4. Bei A B handelt es sich um eine Folgerung und man liest A genau dann wenn B. 5. Die Menge R + beinhaltet alle reellen Zahlen, die größer sind als Null. Aufgabe. : Schreiben Sie alle wahren Aussagen aus Aufgabe. in der Mengenschreibweise unter Benutzung der Äquivalenz- bzw. Folgerungspfeile. Aufgabe.3 : Vereinfachen Sie folgende Mengenbeschreibungen, wenn möglich. Kann jedes Ergebnisse durch ein Intervall angegeben werden? a) [ 5, 4] [3, 6] b) [ 5, 4] [3, 6] c) [, 6] [, 8] d) [ 4, 3] [5, 7] e) [ 5, 4]\[3, 5] f ) [ 3, ]\[, 3] g) (, ] [3, 4] h) [, ]\{} i) [, 5)\{ } j ) [ 7, 7]\[0, 3] k) {,, 3} {} l) ([, 3) (, ]) (4, 4) -

2 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN -. Rechnen mit Beträgen Aufgabe.4 : a) Erklären Sie mit eigenen Worten, warum die Dreiecksungleichung gilt und überlegen Sie sich ein anschauliches Beispiel. b) Erläutern Sie nun auch mit Sätzen die anderen Rechenregeln für Beträge. (Ihre Sätze sollen beantworten, warum diese Regeln gelten.) c) Erklären Sie den Betrag als Mittel zur Abstandsmessung..3 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Aufgabe.5 : Für welche x R gilt a) 3x x 5 = 0, b) 3 x < 4 x, c) 6x 3x + 6 < 0, d) x+7 4x 3 = x 0 4x 5, e) x+ x 3 + 3x 5 x+3 = x +x+8 x 9, Aufgabe.6 : Für welche x R gilt f ) x > x +, g) x x + 3 x, h) x + + x, i) x < + x? a) x x =, b) 7x x = + 5x, c) x + x + 0? Aufgabe.7 : Für welche x R gilt a) 4x 8 = b) x 5 <, c) x + x =, d) x + x, e) (x ) x x x f ) x + <? x, Aufgabe.8 : Für welche x R gilt a) 3x x 4 6 x, b) x < x x < 4, c) 0 < x + 3 x + < x x +?

3 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN Rechnen mit natürlichen Zahlen Aufgabe.9 : Berechnen Sie: a) 5! 3! b) n! (n )! c) ( 4 ) d) Eine Klausur besteht aus acht Aufgaben, von denen fünf beliebige bearbeitet werden müssen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus acht Aufgaben genau fünf auszuwählen? Aufgabe.0 : Berechnen Sie: a) 7 (i + ) i=4 c) 4 i i= e) 4 i= i b) 4 i= i d) 4 i=.5 Kreisfunktionen Aufgabe. : Berechnen Sie: a) cos ( π ) 4 b) sin(35 ) c) cos(300 ) d) cos( 30 ) + sin( 3 6 π) e) tan(45 ) f ) tan( π 6 )

4 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN - 4 Hinweise zu den Aufgaben aus dem Kapitel Hinweis zu.5 : Für das Lösen einer Ungleichung erweist sich ihre Multiplikation mit einer reellen Zahl a 0 oft als die entscheidende Umformung. Hierbei dreht sich jedoch das Relationszeichen um, falls a negativ ist. Es gilt nämlich: falls a < 0 : x y ax ay. a) - pq-formel: Beachten Sie, dass bei Verwendung der Formel x + px + q = 0 kein Faktor vor dem x stehen darf. - Quadratische Ergänzung (allgemeiner Weg): y = ax + bx + c ( = a x + b a x + c ) a ( = a x + b ( b a x + a ( ( = a x + b ) ( b a a durch a teilen... usw. ) ( b a ) + c a ) ) + c a ) c) Lösen Sie die Ungleichung, indem Sie eine quadratische Ergänzung durchführen. d) - i) Treten in einer Gleichung bzw. Ungleichung Brüche auf, so ist zunächst zu beachten, dass die Nenner nicht gleich Null sein dürfen. Die x-werte, die diese Forderung nicht erfüllen, können von vornherein ausgeschlossen werden. Um die Brüche zu eliminieren, werden die Gleichungen bzw. Ungleichungen jeweils mit dem Hauptnenner multipliziert. Im Fall einer Ungleichung muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass das Relationszeichen sich durch Multiplikation mit einer negativen Zahl ändert. So ergibt sich eine Fallunterscheidung. Hinweis zu.6 : Treten in einer Gleichung bzw. Ungleichung Wurzelausdrücke auf, so ist zunächst zu beachten, dass Terme der Form A(x) nur dann definiert (und damit sinnvoll) sind, wenn A(x) 0 ist. Es lassen sich also von vornherein die x-werte ausschließen, für die der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird. Dies kann zu einer Einschränkung der Lösungsmenge führen. Um auftretende Wurzelausdrücke zu eliminieren, werden die Gleichungen bzw. Ungleichungen jeweils quadriert. Beachten Sie, dass es sich dabei nicht um eine Äquivalenzumformung handelt. Es gilt nämlich a = b = a = b, die Umkehrung ist jedoch falsch! (Warum?) Für die Lösung der Aufgaben bedeutet das, dass Sie am Ende stets überprüfen müssen, ob es sich bei den berechneten x-werten tatsächlich um Lösungen der Ausgangsgleichung handelt. Beachten Sie außerdem, dass sich die Rechnungen eventuell wesentlich vereinfachen, wenn Sie die Gleichungen geschickt umformen.

5 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN - 5 a) Es ist x x = ( ) x = x = x = ( ) 3. Damit bekommt man (wenn man den Nenner rational macht): x = + 3 = = 4 + = = also L = { 4 + }. Versäumt man es im ersten Rechenschritt den Wurzelterm x auszuklammern und quadriert die Gleichung direkt, so erhält man noch einen weiteren Wert für x; dieses x ist jedoch kein Element der Lösungsmenge. (Probieren Sie es!) b) Bestimmen Sie einzeln die Definitionsbereiche der drei Wurzeln und ermitteln Sie daraus den Definitionsbereich der gesamten Gleichung. Achten Sie beim Quadrieren darauf, dass es sich bei ( 7x x) um eine binomische Formel handelt! Durch Ausmultiplizieren und Umformen erhält man schließlich die Werte x = 3 und x = 7. Wie lautet also die Lösungsmenge der Gleichung? c) Beachten Sie, dass gilt: a b 0 a b 0. Als Lösungsmenge erhält man L = [, ]. Hinweis zu.7 : Der Betrag ist über eine Fallunterscheidung erklärt (siehe auch Skript), daher wird man i.d.r. beim Lösen auch eine Fallunterscheidung brauchen. Ein Hilfsmittel zum Auflösen der Beträge ist die ebenfalls aus der Vorlesung bekannte Beziehung x a b a b x a + b. (*) Wie diese Umformung eingesetzt werden kann, zeigt beispielsweise der erste Teil. b) Unter Benutzung von (*) erhalten wir x 5 < 5 < x < < x < 6, damit lautet die Lösungsmenge der Ungleichung nach Definition des Betrages L = ( 6, 4) (4, 6). c) Zur Lösung wenden wir die Definition des Betrages an (Fallunterscheidung): Da zwei Beträge auftreten müssen wir zwei Fallunterscheidungen schachteln. Beachte: Es treten dann aber drei Fälle auf. (Warum?)

6 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN - 6 d) Unterscheiden Sie die Fälle x 0 und x < 0. Die gesuchte Lösungsmenge lautet L = (, ] [, + ). e) Unterscheiden Sie zunächst zwischen x 0 und x < 0 x <. Für x < müssen Sie in einer zweiten Aufteilung die Fälle 0 < x < und x < 0 untersuchen. Hinweis zu.8 : Sind A(x), B(x), C(x) Ausdrücke in einer Variablen x und ist die Ungleichungskette A(x) B(x) C(x) (*) zu lösen, so geschieht dies, indem die Lösungsmenge L der Ungleichung A(x) B(x) und die Lösungsmenge L der Ungleichung B(x) C(x) einzeln bestimmt werden. Für die Lösungsmenge L von (*) gilt dann L = L L. a) Tipp: Zeichen Sie die der Gleichung entsprechende Parabel. Ist diese nach oben oder nach unten geöffnet? Wo liegen die Nullstellen? b) Denken Sie an die Fallunterscheidung für den Ausdruck x im Nenner. Hinweis zu.9 : c)-d) Beachten Sie, dass ( n k) bedeutet, dass man eine n elementige Menge hat, aus der man eine k elementige Teilmenge auswählt.

7 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN - 7 Ergebnisse zu den Aufgaben aus dem Kapitel Ergebnis von. :. wahr. falsch Ergebnis von.3 : a) [ 5, 4] [3, 6] = [ 5, 6] b) [ 5, 4] [3, 6] = [3, 4] c) [, 6] [, 8] = [, 6] 3. falsch 4. falsch 5. wahr g) (, ] [3, 4] = (, 4]\(, 3) h) [, ]\{} = [, ) i) [, 5)\{ } = (, 5) d) [ 4, 3] [5, 7] = [ 4, 3] [5, 7] e) [ 5, 4]\[3, 5] = [ 5, 3) f ) [ 3, ]\[, 3] = [ 3, ) j ) [ 7, 7]\[0, 3] = [ 7, 0) (3, 7] k) {,, 3} {} = {,, 3} l) ([, 3) (, ]) (4, 4) = {} Ergebnis von.5 : a) L = {, 5} b) L = (, ) c) L = ( 3, 3 ) d) L = { 65 4, } e) L = {0} f ) L = (, ) (0, ) g) L = (, ] (, 3] h) L = [ 3, ) [0, ) i) L = ( 0, ) (, ) Ergebnis von.6 : a) L = {4 + } b) L = { 7, 3} c) L = [, ] Ergebnis von.7 : a) L = { 3, 5 } b) L = ( 6, 4) (4, 6) c) L = { } d) L = (, ] {0} [, ) e) L = [, 0) [, ( + 3)] f ) L = {} Ergebnis von.8 : a) L = [ 6, ] [4, 5] b) L = (, 0) c) L = (, 3] Ergebnis von.9 :

8 KAPITEL. ZAHLEN UND FUNKTIONEN - 8 a) 4 b) n(n ) c) 9 d) 56 Ergebnis von.0 : a) 30 b) 3 c) 0 d) 6 e) 04 Ergebnis von. : a) c) 0.5 b) d) e) f ) 3 Meyberg&Vachenauer, Band, Springer Verlag vgl. auch W. Queck, Fakultät für Mathematik und Informatik, TU Bergakademie Freiberg

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