Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik

Transkript

1 Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik I) Zahlenbereiche. Zu welchem Zahlenbereich (N, Z, Q, R) gehören die folgenden Zahlen: N, Z, Q, R R Q, R N, Z, Q R -7 Z, Q, R -7, Q, R 0 N, Z, Q, R i) Z, Q, R 7 j) Z, Q, R 7 k) R. Welcher Zahlenbereich (natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen) ist hier beschrieben? { 0,,,,... } N (natürliche Zahlen) p { p, q Z und q 0} Q (rationale Zahlen) q {, -, -, 0,,, } Z (ganze Zahlen) II) Mathematische Fachsprache. Kennst Du die mathematischen Fachbegriffe für die Beschreibungen? Linie zwischen Punkten: Strecke Geraden, die sich in einem Winkel von 90 schneiden: Orthogonalen, Senkrechten, sich orthogonal / senkrecht schneidende Geraden Geraden, die keine gemeinsamen Punkte besitzen: Parallelen, parallele Geraden Linie durch einen Punkt: Gerade

2 . Wie lauten diese mathematischen Gesetze? ( a c a c b c : Distributivgesetz a b b a : Kommutativgesetz der Multiplikation a b b a : Kommutativgesetz der Addition ( a c a ( b : Assoziativgesetz der Addition ( a c a ( b : Assoziativgesetz der Multiplikation. Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Ausdrücke. Bilde die Summe aus a und b. a+b Bilde die Differenz aus a und b. a-b aus den natürlichen Zahlen. N ist nicht aus den reellen Zahlen. R Bilde eine Summe: Der. Summand ist dividiert durch und der. Summand ist zum Quadrat. ² Bilde ein Produkt. Der. Faktor ist die Summe aus a und b, der. Faktor ist der Betrag der Differenz aus c und d. ( a c d bzw. ( a d c a multipliziert mit der dritten Wurzel aus b, dividiert durch den Betrag von c. a b c hoch ist kleiner gleich 9. ³ 9 i) Der Zähler des Bruchs ist die Summe aus a und b, der Nenner ist das Quadrat von c. a b c². Quadratzahlen Nenne alle Quadratzahlen zwischen 00 und 00. IL={00,,, 69, 96,, 6, 9} Berechne ohne Taschenrechner: 9 = Schreibe die ersten 0 Quadratzahlen auf. Welche sind durch, oder 6 teilbar? {,, 9, 6,, 6, 9, 6,, 00,,, 69, 96,, 6, 9,, 6, 00}

3 Durch teilbar: {9,6,,,,} Durch teilbar: {,6, 6,6,00,,96,6,,00} Durch 6 teilbar: {6,,} Nenne drei verschiedene Quadratzahlen, die die Quersumme haben. j) {9, 6, 6} III) Gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche / Prozentangaben. Grundlagen Gewöhnlicher Bruch = = Dezimalbruch 0, 0,,7 0,,0 0,, 0,0 0,6,00 = 0,00 Prozentsatz % 0% 70% % 00%, % 0% % 6,% 00% 0,% () 0, < < 0% = < = 0,6 (), <, < < < 0% < z. B.: 0,; ; und 0,7 Sie könnten z. B. für eine Einheit Ihres Zahlenstrahles 0 cm wählen. Dann müssten Sie die Brüche in folgender Reihenfolge mit folgenden Abständen von 0 eintragen: ; ; ; ; ; ; ; = ; nach nach nach nach nach nach nach nach nach cm, cm,7 cm cm 6 cm 7, cm cm cm 0 cm () = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] () = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = = = = 6 = = = 60 = 9 =

4 . Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen = 0,9 = 0,7 = 0,7 0,0 =, bzw.,6 bzw. 7, 0 für = 0,097 6 = 0,6 = 0,0 = 0, = 0,0 d für und t = 0,t =, = 0, Es bleiben der Tafel Schokolade (für Victoria ) übrig. Das sind, %. Bäcker Meiers Dunkelbrot besteht demnach zu aus Trockenmasse. Insgesamt enthält es daher = 0,0 =, % Eiweiße, = 0,06 =,6 % Fette und = 0, =, % Kohlenhydrate. In einem -kg-brot dieser Sorte sind also g Eiweiße, 6 g Fette, g Kohlenhydrate und = 0 %, also 00 g Wasser enthalten. Lucy erhofft sich einen Verkaufspreis von 00 EUR. Das Auto hat damals EUR gekostet. IV) Potenzrechnung. Berechnen Sie! Berechnen Sie! a ) Vereinfachen Sie so weit wie möglich! 7 k a ) a x k f ) p q n m n b b ( x y) 6 i) j) k) u v l) x m a ab a b m. Vereinfachen Sie so weit wie möglich! a m x y ) 6 a b n a b 6

5 . Vereinfachen Sie so weit wie möglich! x 7 y 6 n Vereinfachen Sie so weit wie möglich (die Zahl unter der Wurzel soll möglichst klein sein)! k b 7 a xy ( a ) a j 7. Vereinfachen Sie so weit wie möglich! 0a n a c x x a 6 b 9 c. Wahr oder falsch! Notieren Sie Ihre Entscheidung mit w (wahr) oder f (falsc an der entsprechenden Gleichung! Wenn f ( x) x dann ist () f (0,) w () f ( 0,) f ( ) f f ( ) w V) Terme und Bruchterme. Vereinfache die Terme. Fasse zusammen x i) j) k) l). Löse die Klammern auf und fasse dann zusammen m) n) o) p) q) r) s) t) i) u) j) v) k) w) l)

6 . Klammere so weit wie möglich aus. Wende erst binomische Formeln an und fasse dann zusammen 6. Faktorisiere mit Hilfe der binomische Formeln i) i) j) j) k) l) m) 7. Kürze und vereinfache die Brüche so weit wie möglich k) p) l) q) m) i) n) j) o). Fasse zusammen und vereinfache so weit wie möglich i) j) k) l) m) r) s) t) n) o) p) q) r) V) Gleichungen V.) Lineare Gleichungen. Bestimme die Lösungsmenge IL: IL {} IL {6} IL {} IL {}. Bestimme die Lösungsmenge IL: IL {} IL { } 0 IL { } IL {} IL IR 7

7 . Bestimme die gesuchte Zahl mit Hilfe einer Gleichung IL {} IL {0,} V.) Quadratische Gleichungen. Bestimme die Lösungsmenge IL: IL { ;} IL {} IL {,;0;,} IL { ;0;}. Bestimme die Lösungsmenge IL: IL { ;} IL {,;} IL { ;} IL {} IL {}. Bestimme die Lösungsmenge IL: IL { 6; } IL {0;0} IL { ; ;;} V.) Bruchgleichungen: Bestimme den Definitionsbereich ID und die Lösungsmenge IL: ID IR \{0} IL {;} ID IR \{ } IL { ;} ID IR \{0;} IL {;} ID IR \{ ;0} IL { } ID IR \{0;} IL {;0} V.) Ungleichungen: IL { x IR x } IL { x IR x,} IL { x IR x } IL {} VI) Lineare Gleichungssysteme. x = ; y =. a ) x = ; y = günstigstes Verfahren: Gleichsetzungsverfahren x = ; y = günstigstes Verfahren: Einsetzungsverfahren x = ; y = günstigstes Verfahren: Additionsverfahren. keine Lösung: IL = { } unendlich viele Lösungen: IL = { (x ; y) I y = x + } eine Lösung: x = ; y = 0 bzw. IL = { ( ; 0) }. a 6 ; b beliebig a = 6 ; b a = 6 ; b =. a = 0 ; b = 0 günstigstes Verfahren: Einsetzungsverfahren

8 a = 60 ; b = günstigstes Verfahren: Additionsverfahren c = ; d = = günstigstes Verfahren: Einsetzungsverfahren (Ersetzen von d durch 9 c + in der ersten Gleichung!) u =, v = günstigstes Verfahren: Einsetzungsverfahren 76 x = = ; y = 9 9 = günstigstes Verfahren: Additionsverfahren ( z.b.: Multiplikation der. Gleichung mit, Multiplikation der. Gleichung mit ) x = ; y = günstigstes Verfahren: Gleichsetzungsverfahren x = ; y = 0 Lösungshinweis: Zunächst müssen die Klammern ausmultipliziert werden und die beiden Gleichungen durch Zusammenfassen geeigneter Terme vereinfacht werden. x = ; y = Lösungshinweis: Multiplikation der. Gleichung mit 0 (kleinstes gemeinsames Vielfaches von und ), Multiplikation der. Gleichung mit (kleinstes gemeinsames Vielfaches von und ), anschließend Vereinfachung der Gleichungen durch Zusammenfassen geeigneter Term i) x = ; y = 9 Lösungshinweis: Multiplikation der beiden Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, anschließend Anwendung des Additionsverfahrens 6 j) x = = 0 ; y = = =,7 6 6 Lösungshinweis: Multiplikation der. Gleichung mit 6 und Multiplikation der. Gleichung mit 0, um Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu erhalten; anschließend: Multiplikation der beiden Gleichungen mit einem geeigneten Faktor und Anwendung des Additionsverfahrens

9 6. Zahlenrätsel a ) I x + y = 0 II x y = x = ; y= günstigstes Verfahren : Additionsverfahren I x + 6 = y II x = y x = ; y = 9 günstigste Verfahren : Auflösen der. Gleichung nach y und anschließend Einsetzungsverfahren oder Multiplikation der. Gleichung mi und anschließend Additionsverfahren I x + y = II x y = 0 x = = =, ; y = = günstigstes Verfahren: Additionsverfahren =,6