22. Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren:

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1 Aufgaben zur Selbstüberprüfung: 20. Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzung verfahren: a) I) 2x) - X2 = 5 b) 3x) - 6X2 = 9 c) 4x) + 2x2 = 8 TI) 3x) + X2 = 2x)-4x2 = 6-6x)-3x2 = 3 2. Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren: a) 5x) - X2 = 4 b) - 3x) + 26x2 = 39 c) - 5x) + 20X2 = 25-5x)+3x2 = 3 2x)-4x2 = -6 3x)-6x2 = Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren: a) - 4x) + 7X2 = 5 t2x. - 2tx2 = -5 b) 2x)-7x2 = 4 3x)-6x2 = 5 c) - 4x) + 5X2 = 3 24x)- 3Ox2 = Gesucht sind zwei reelle Zahlen, für die folgendes gilt: Die Summe aus dem Dreifachen de~ ersten Zahl und der Hälfte der zweiten Zahl beträgt 5. Außerdem ist die Differenz aus der ersten und der zweiten Zahl gleich 0. Wie heißen die beiden Zahlen? 24. Ein bestimmtes Erzeugnis wird nach zwei verschiedenen Technologien hergestellt. Bei Anwendung der ersten und der zweiten Technologie werden jeweils zwei verschiedene Materialien MI und M 2 eingesetzt. Wird eine Erzeugniseinheit (EE) nach der ersten Technologie hergestellt, so benötigt man zwei Mengeneinheiten (ME) von Material MI und drei Mengt;!neinheiten (ME) von M2 Bei Herstellung des &zeugnisses mit der zweiten Technologie werden zwölf Mengeneinheiten des Materials M) pro einer Erzeugniseinheit und sechs ME des Materials M 2 pro einer Erzeugniseinheit verbraucht. Der Materialvorrat ist begrenzt. Von Material M) s.ind 94 ME und von Material M2 sind 57 ME vorrätig. Bei der Produktion des Erzeugnisses soll das gesamte Material verbraucht werden. Wieviele Erzeugniseinheiten können nach der ersten Technologie und wie viele Erzeugniseinheiten können nach der zweiten Technologie produziert werden? 25. Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme aus drei Gleichungen mit drei Variablen mit einem schematisierten Verfahren: a) n -4x) + 2x2 + 6x3 '" 4 c) I) 2x) + 4X2-8x3 '" 2 m 2x + 3X2 + x3 = 7 TI) 3x. + 6X2-2x3 '" 8 lill - 6xI - 9X2 + t2x3 = -6 m - 4x) - 8X2 + 6x3 = -24 b) I) 2x) + 3X2 + 4X3 = 20 II) 3x) + 4x2 + 5X3 = 26 Ill) 6x) + 8X2 + tox3 = 52 d) I) 5x) - 5x2 + Ox] '" t II) - 6x) + 8x2-2x3 '" 2 II) - 7x) + 2x2-4x3 = 0 72

2 Lösungen der Aufgaben zur Selbstüberprüfung b) -2x+5~0, c) -3x-5 > 0, 2. a) für x = 2 falsche Aussage, für x = - 0 wahre Aussage b) für alle x E IR, Y E IR wahre Aussage c) falsche Aussage für x ~ 0 3. x>-7 und x~o D(5) = (-7, + 00), D(T) = (- 00, 0) u (0, + 00), D(5 () T) = (-7, 0) u (0, + 00) 4. Alle Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {2}. 5. a) L = {7} b) L = \l3} c) L = {- 4} d) L ={ ~O} e) L = {40} f) L ={i} 6. a) L={- V} b) L ~~~} c) L= {O} d) L= {5} 7. XI: Erzeugniseinheiten, die von EI produziert werden, gemessen in EE X2: Erzeugniseinheiten, die von E2 produziert werden, gemessen in EE rl: Rohstoffbedarf pro einer Erzeugniseinheit von Ev gemessen in ME/EE r2: Rohstoffbedarf pro einer Erzeugniseinheit von Ez, gemessen in ME/EE rl Xl + r2 X2 = X2 = 800, X2 = 20 Von Erzeugnis E2 müssen 20 EE produziert werden, um das Rohstoffaufkommen voll auszuschöpfen. 8. G/EK = / = 99 : 90 =, : I. Die erzielte Eigenkapitalrentabilität beträgt,i. Pro,- DM eingesetztem Eigenkapital werden,0 DM Gewinn erzielt. 9. XI: Preis der Ware Wl X2: Preis der Ware W2 Xl : X2 = 5 : 8, Xl = (5 : 8) Xz, Xl = (5 : 8) 40, XI = 25. Die Ware WI kostet 25,- DM. 0 a) L_{50}. - 3 c) L={--t}. P: G = P : 00 a) p = (P : G) 00, P = 2,5 (in Prozent) b) P = (p : 00) G, P = 500 c) G = (P : p) 000, G = a) L={-~,~} b)l= H} 73

3 3. a) Xl = 6, Xz = - 6, L = {- 6, 6} b) L=$ c) L= {O} d) L = {O, i} e) L= {-I, 7} f) L={-5,3} g) L=$ h) L = {-,3} z ~ n(n+) =9900, n +n-9900=0, ntlnz=-z ±n =-z ±"'2 nl = 99. Das Produkt der natürlichen Zahl 99 und ihres Nachfolgers beträgt a) x< 6, L = (- co, 6) b) x>_ L=(_ +co) 3' 3' c) X < 8, L = (- co, 8) 6.. Fall: x-i> 0 x > 6 < -3 (x-i) x < -, L} = (- co, -) n 0, + co) L} = $ 2. Fall: x-i< 0 x < 6 > -3 (x-i) x > -, Lz = (-co, ) n (-, + co) Lz = (-,) Ergebnis: L = L} u Lz = (-, ) 7. x} = Anzahl der produzierten Erzeugnisse E} in Stück, Xz = Anzahl der produzierten Erzeugnisse Ez in Stück, 20x} + 30xz :;; xz :;; xz :;; x < z - 30 Xz :;; 833 +'3 Probe: (833 + i) :;; :;; ist eine wahre Aussage. Von Erzeugnis Ez können höchstens 833 Stück produziert werden. Es sind noch zehn Mengeneinheiten des Rohstoffes zur weiteren Verwendung vorhanden. 8. Durch äquivalente Umformungen entsteht das Ungleichungssystem: ': x> 6 II': x < -3 Die Lösungsmengen der beiden Ungleichungen sind: L(') = {x E IR: 6 < xl = (6, + co) L(II') = {x E IR: x < - 3} = (- co, - 3) Durch Veranschaulichung auf einer Zahlengeraden erkennt man, daß es keine reellen Zahlen gibt, die gleichzeitig Lösung von Ungleichung l' und von Ungleichung II' sein können. Die Durchschnittsmenge L(I') n L(II') ist somit die leere Menge: L = $. 74

4 9. Gegeben: t = Maschinenzeit von M für die Produktion einer EE t = 2h/EE t2 = Maschinenzeit von M2 für die Produktion einer EE t2 = 3 h/ee T = gesamte Maschinenzeit von M T = loh T 2 = gesamte Maschinenzeit von M2 T 2 = 2 h Gesucht: x = Anzahl der Erzeugniseinheiten, die maximal produziert werden können Lösungsansatz: I) t x:;;t I) 2 x:;; 0 II) t 2 x:;; T 2 II) 3 x:;; 2 I') x:;;5 II') x:;; 4 L(I') = [0,5] L(II') = [0,4] Bei der Ermittlung der Lösungsmengen der Ungleichungen ist zu beachten, daß die Anzahl der Erzeugniseinheiten stets nicht negativ ist, das heißt x;::: O. Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist die Durchschnittsmenge der Lösungsmengen beider Ungleichungen: L = L(I') n L(II') = [0,4]. Anwortsatz: Es können höchstens vier Erzeugniseinheiten produziert werden. Da = 0 und = 2, ist Maschine Mj nicht voll ausgelastet bei der Produktion des Erzeugnisses. M hat eine freie Kapazität von 2 h. 20. a) I) X2 = 2X-5 Il) X2 = - 3X + 2X - 5 = - 3x + 5X = 6 b) I) X = 2X2 + 3 Il) Xj = 2x X2 + 3 = 2x2 + 3 o = 0 wahre Aussage c) I) X2 = -2X +4 Il) X2 = - 2x- L=~ -2xj+4=- 2x- 4 = - falsche Aussage 2. a) I) X2 = 5X - 4 Il) - 5x + 3(5x - 4) = 3 m -2 = 3 falsche Aussage L = ~ b) II) X = 2X2-3 I) - 3 (2X2-3) + 26x2 = 39 I) 39 = 39 wahre Aussage L= {(Xj,X2): X2E IR und x=2x2-3} 75

5 c) II) Xl = 2X2 + 5 ) - 5(2x2 + 5) + 20X2 = 25 ) ) II) lox2 = 50 X2 = 5 Xl = 5 L = {(5, 5) 22. a) Die erste Gleichung wird mit 3 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert. Es entsteht die wahre Aussage 0 = O. L =! (Xl' X2): Xl E IR und X2 = ~ Xl +f). b) Die erste Gleichung wird mit (-3) und die zweite Gleichung wird mit (2) multipliziert. Dann werden beide Gleichungen addiert. ) - 6xl + 2x2 = - 2 9X2 = 8 II) 6Xl - 2x2 = 30 X2 = 2 Die Lösung für X2 wird in eine Gleichung eingesetzt, zum Beispiel 2Xl -4 = 4, das heißt Xl = 9 L = {(9, 2) c) Multiplikation der ersten Gleichung mit 6 und Addition beider Gleichungen. o = 80 falsche Aussage, L = ~. 23. X( erste reelle Zahl X2: zweite reelle Zahl ) 3xl +. X2 = 5 2 II) Xl- X2 = 0 Anwendung des Additionsverfahrens, indem die zweite Gleichung mit (- 3) multipliziert wird und zur ersten Gleichung addiert wird. z X2 = 2 2 ' das heißt X2 = 6 Xl = 6 Die erste Zahle heißt 6 und die zweite Zahl 6. L = {(6, 6) 24. Gegeben: mll: Materialeinsatzkoeffizient von Material MI bei Anwendung der ersten Technologie, mll = 2ME/EE m2: Materialeinsatzkoeffizient von Material MI bei Anwendung der zweiten Technologie, m2 = 2 ME/EE m2: Materialeinsatzkoeffizient von Material M2 bei Anwendung der Technologie, m2 = 3ME/EE m22: Materialeinsatzkoeffizient von Material M2 bei Anwendung der Technologie 2, m22= 6ME/EE VI: Materialvorrat von Mv Vl = 94ME V2: Materialvorrat von M2, V2= 57ME Gesucht: Xl: Erzeugnisse, die nach Technologie hergestellt werden (gemessen in Erzeugniseinheiten) X2: Erzeugnisse, die nach Technologie 2 hergestellt werden (gemessen in Erzeugniseinheiten) 76

6 Aufstellung des Gleichungssystems: I) mll Xl + m2 Xz = VI II) mzixi + mzzxz = Vz I) 2 XI + 2 Xz = 94 II) 3 XI + 6 Xz = 57, Multiplikation der zweiten Gleichung mit (- 2) und Addition der Gleichungen -4 XI = - 20 Xl = 5 Xz = 7 L = {(5, 7) Um das gesamte Material zu verbrauchen, müssen nach der ersten Technologie fünf Erzeugniseinheiten und nach der zweiten Technologie sieben Erzeugniseinheiten produziert werden. 25. a) XI Xz X t -2 6 Tableau Tableau Tableau 3 Tableau 4 L = ((3, 0, )) b) XI Xz X3 b CI) ) t Tableau Tableau XI -x3 = -2 Xz + 2X3 = 8 Tableau 3 wa hreaussage 77

7 e) Xl X b t -3 4 Tableau wa hre Aus sagen Tableau 2 d) Xl X2 X b t 6 7 fals ehe Aus sagen Tableau Tableau 2 L=$ 78

8 Stichwortverzeichnis A Additionsverfahren 56 Algorithmus 6 Aussageform 40 Außenglied 9 B Betrag, absoluter 23 Betragsgleichung, lineare 23 E Eigenkapitalrentabilität 9 Einsetzungsverfahren 54 Ergänzung, quadratische 30 G Gebilde, mathematisches 2 Gleichsetzungsverfahren 52 Gleichsetzungssystem, homogenes 58 - inhomogenes 59 Gleichung, Aufstellen einer 4 - äquivalente 5 - dritten Grades 34 - ersten Grades 7 - gemischt-quadratische 25 - kubische 34, 35 - lineare 7 - quadratische 25 - rein kubische 35 - rein quadratische 25 - zweiten Grades 25 Gleichungssystem, homogenes 58 - inhomogenes 59,6 Glied, absolutes 7,25 - lineares 7, 25 - quadratisches 25 Grundwert 22 H Hinterglied 8,9 Innenglied 9 K Kanonische Form 68 Koeffizientenmatrix 65 - erweiterte 65 M Minuend 8 N Näherungsverfahren 34 p Potenz, erste 7 Proportion 9 Prozentsatz 22 Prozentwert 22 Q Quotient 8 R Rohstoffeinsatzkoeffizient 5 S Satz von Vieta 32 Subtrahend 8 T Term Textgleichung 4 Tripel, geordnete 68 U Umformung, äquivalente 5,40 Umkehroperation 8 Ungleichung 40 - äquivalente 40 - Definitionsbereich der 40 - lineare 40 ff. - Lösung einer 40 Ungleichungssystem, lineares 45 - Lösungsmenge 45 V Verhältnis 7, 8 Verhältnisgleichung 7,9 Vorderglied 8,9 W Wurzel 3 L Lösungsformel 32 Lösungsmenge 4 79