Quadratische Gleichungen

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1 Quadratische Gleichungen 1/10 Quadratische Gleichungen Teil 1 Grundlagen Lehrstoff Gleichungen und Gleichungssysteme - Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen in einer Variablen Inhalt Quadratische Gleichungen.. 3 Normalform.. 3 Quadratische Ergänzung.. 4 Kleine Lösungsformel.. 5 Große Lösungsformel.. 6 Anzahl der Lösungen.. 7 Satz von Vieta.. 8 Voraussetzungen Binomische Formel (x + a) 2 Wurzelziehen Termumformungen

2 Quadratische Gleichungen 2/10 Wenn sich eine Personalchefin die Noten eines Bewerbers auf einen Arbeitsplatz ansieht und sie schaut nach guten Noten in Mathematik, so will sie nicht einen Mitarbeiter, der quadratische Gleichungen lösen kann. Sie will einen Mitarbeiter, der einmal verstanden hat, wie man quadratische Gleichungen löst; und so seine Fähigkeit, logisch und analytisch zu denken, zu strukturieren und zu abstrahieren beweist.

3 Quadratische Gleichungen 3/10 Quadratische Gleichungen Gleichungen der Form 2x 2 + 6x 16 = 0 oder allgemein ax 2 + bx + c = 0 nennt man gemischt quadratische Gleichungen. weil neben dem x 2 auch noch x in der Gleichung vorkommt. Um 2x 2 + 6x 16 = 0 zu lösen, könnte man versuchen folgende Umformung durchzuführen: 2x 2 + 6x 16 = 0 x 2 = 6x x 2 = 3x + 16 Bruch kürzen x = 3x + 16 die Gleichung ist so nicht lösbar, da die gesuchte Variable unter der Wurzel wieder vorkommt. Da quadratische Gleichungen mit herkömmlichen Methoden nicht zu lösen sind, muss ein anderes Verfahren angewandt werden. ax 2 + bx + c = 0 wobei a 0 und {a, b, c} R a darf nicht Null sein und a, b, c müssen reelle Zahlen sein. Fachbegriffe: ax 2 quadratisches Glied bx lineares Glied c absolutes Glied (additive Konstante) a, b, c Koeffizienten Normalform Man darf die allgemeine Form der quadratischen Gleichung durch a dividieren ax 2 + bx + c = 0 : a x 2 + b a x + c a = 0 In diese Gleichung setzt man der Kürze wegen für b a = p und c a = q damit erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung. Normalform x 2 + px + q = 0 Der Vorteil davon ist, dass der Koeffizient von x 2 den Wert 1 hat.

4 Quadratische Gleichungen 4/10 Quadratische Ergänzung Der Term x 2 + px dieser Teil fehlt kann zu einem Quadrats eines Binoms ergänzt werden. x 2 + 2ax + a 2 = (x + a) 2 Setzt man für 2a = p, kann man den Term so ergänzen: x 2 + px + ( p 2 )2 Diesen Term kann man als Produkt des Binoms (x + p 2 ) anschreiben x 2 + px + ( p 2 )2 = (x + p ) (x + p ) = (x + p )2 Wendet man diese Überlegung auf die quadratische Gleichung an, erhält man: x 2 + px + q = 0 x 2 + px + ( p 2 )2 + q = ( p 2 )2 der Wert einer Gleichung bleibt gleich, wenn auf beiden Seiten der gleiche Wert addiert wird (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q x = p 2 ± ( p 2 )2 q Um zu zeigen, dass die quadratische Ergänzung immer ( p 2 )2 ist, kann man eine grafische Überlegung anstellen. x 2 Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge x und px Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen p und x Das Quadrat und das Rechteck zusammen können zu einem größeren Quadrat ergänzt werden. x 2 px x 2 p 2 x x + p 2 p 2 x ( p 2 ) 2 x + p 2 Um zum großen Quadrat zu vervollständigen, wird es um das rote Quadrat (p/2) 2 ergänzt. (quadratische Ergänzung). x 2 + px +( p 2 )2 = (x + p 2 )2 Was zu zeigen war. Dieser Beweis stammt von Euklid (griech. Mathematiker, um 300 v.chr.).

5 Quadratische Gleichungen 5/10 Kleine Lösungsformel Für das Lösen von quadratischen Gleichungen in der Normalform x 2 + px + q = 0 kann man die Formel verwenden: x 1, 2 = - p 2 ± ( p 2 )2 q Diese Formel wird die kleine Lösungsformel genannt. Beispiel Löse die Gleichung x 2 2x 8 = 0 Lösung mittels quadratischer Ergänzung x 2 2x = x 2 2x + 1 = (x 1) 2 = 9 x 1 = 9 x = 1 ± 3 x 1 = 1 + 3, x 1 = 4 x 2 = 1 3 x 2 = 2 x = 4 x = 2 Probe für : x 1 = = = 0 x 2 = 2 ( 2) 2 2 ( 2) 8 = = 0 Lösung mittels der kleinen Lösungsformel x 2 2x 8 = 0 p = 2, q = 8 x 1, 2 = - p 2 ± ( p 2 )2 q x 1, 2 = 2 2 ± ( 2 2 )2 ( 8) x 1, 2 = 1 ± x 1, 2 = 1 ± 3 x 1 = x 1 = 4 x 2 = 1 3 x 2 = 2 x = 4 x = 2

6 Quadratische Gleichungen 6/10 Große Lösungsformel Um sich ersparen, eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 in ihre Normalform umzuschreiben, kann man p = b und für q = c a a in die Lösungsformel einsetzen: x 1, 2 = - p 2 ± ( p 2 )2 q x 1,2 = - b 2a ± ( b 2a )2 c a x 1,2 = - b 2a ± b2 4a 2 c a = = - b ± b2 4ac 2a 4a 2 4a 2 = gemeinsamer Nenner = - b 2a ± b2 4ac 4a 2 = Wurzel von Nenner und Zähler = - b 2a ± b2 4ac 4a 2 Wurzel im Nenner ziehen = - b ± b2 4ac 2a 2a Brüche auf gemeinsamen Bruchstrich x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Dies ist die sog. große Lösungsformel, bei der die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 nicht auf die Normalform umgerechnet werden muss. Lässt sich eine quadratische Gleichung einfach in die normierte Form überführen, kann man mit der kleinen Lösungsformel rechnen. Mit der großen Lösungsformel lassen sich alle Lösungen von quadratischen Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 finden.

7 Quadratische Gleichungen 7/10 Beispiel 5x 2 12x + 4 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a = ( 12) ± ( 12) ± = = = ± ±8 10 x 1 = x 1 = 2 x 2 = x 2 = 2 5 x = 2 x = 2 5 Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung x x 5 = 0 x 1,2 = 2 ± x 1,2 = 2 ± 9 x 1,2 = 2 ± 3 x 1 = 1 x 2 = 5 2 Lösungen x = 0 x 1,2 = 7 ± x 1,2 = 7 ± 0 x 1 = 7 x 2 = 7 Doppellösung x 2 8 x + 18 = 0 x 1,2 = 4 ± x 1,2 = 4 ± 2 Keine Lösung in R Wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung reelle Zahlen sind, treten 3 Lösbarkeitsfälle auf. Die Lösungen sind entweder reell und verschieden (2 Lösungen) die Lösungen haben denselben Wert (Doppellösung) oder es gibt keine Lösung in R

8 Quadratische Gleichungen 8/10 Über die Art der Lösung entscheidet der Radikand unter der Wurzel in der Lösungsformel der quadratischen Gleichung in Normalform x 1, 2 = - p 2 ± ( p 2 )2 q Man nennt ( p 2 )2 q die Diskriminante D. Diskriminante Wurzel Lösungen D > 0 D = 0 D < 0 reell Null imaginär 2 Lösungen Doppellösung keine Lösung in R In manchen Lehrbüchern wird die Doppellösung als 1 Lösung bezeichnet. Korrekt bezeichnet man es als Doppellösung, da x 1 = x 2. Satz von Vietà Francois Vietà ( ) war ein französischer Mathematiker, der die Benutzung von Buchstaben für Variable in die mathematische Schreibweise einführte. Vieta bewies, dass sich jede quadratische Gleichung in ein Produkt von linearen Binomen zerlegen lässt. Multipliziert man ein Binom der Form (x ± a) (x±b) aus, erhält man immer eine quadratische Gleichung. Multipliziere die Binome aus. (x + 7)(x 2) = 0 x 2 + 5x 14 = 0 x 1 = 2 x 2 = 7 (x 3)(x 9) = 0 x 2 12x + 27 = 0 x 1 = 9 x 2 = 3 (x 4)(x + 8) = 0 x 2 + 4x 32 = 0 x 1 = 4 x 2 = 8 Jede quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 kann in der Form (x x 1 )(x x 2 ) = 0 dargestellt werden, wobei x 1 und x 2 Lösungen der quadratischen Gleichungen sind.

9 Man kann zeigen, dass dies allgemein gültig ist. Voraussetzungen: Quadratische Gleichungen 9/10 x 1 = p 2 + ( p 2 )2 q x 2 = p 2 ( p 2 )2 q Beweis: (x x 1 )(x x 2 ) = 0 x 2 (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 x 2 (( p 2 + ( p 2 )2 q )) + (( p 2 ( p 2 )2 q )) x + ( p 2 + ( p 2 )2 q ) ( p 2 ( p 2 )2 q ) = 0 x 2 ( px) + q = 0 x 2 + px +q = 0 Anmerkung: Ziemlich hässlicher Ausdruck. Aber es vereinfacht sich. Vergleicht man die Koeffizienten der beiden Gleichungen, sieht man sofort, dass (x 1 + x 2 ) = p und x 1 x 2 = q ist. Diese Erkenntnis nennt man den Satz von Vieta (x 1 + x 2 ) = p und x 1 x 2 = q Auf dieser Stufe kann die Satzgruppe von Vieta zum Lösen von drei Problemen genutzt werden. Um eine quadratische Gleichung in Normalform in ihre Linearfaktoren zu zerlegen. Um die zweite Lösung einer quadratischen Gleichung zu berechnen, wenn die erste Lösung bereits bekannt ist Finden von Gleichungen bei gegebenen Lösungen. Beispiel 1 Zerlege die Gleichung in ihre Linearfaktoren. x 2 11x + 24 = 0 x 1 = 3 x 2 = 8 Zerlegung unter Anwendung des Vieta schen Satzes (x x 1 )(x x 2 ) = 0 x 2 11x + 24 = 0 (x 3)(x 8) = 0

10 Beispiel 2 Ermittle die zweite Lösung der Gleichung. x x + 30 = 0 x 1 = 6 Berechnen von x 2 mit Hilfe des Vieta schen Satzes x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q 6 + x 2 = 11 ( 6) x 2 = 30 x 2 = x 2 = 30 : 6 x 2 = 5 x 2 = 5 Quadratische Gleichungen 10/10 Beispiel 3 Gib eine quadratische Gleichung an, die 2 und ( 7) als Lösungen besitzt. Lösungsweg 1 (x x 1 )(x x 2 ) = 0 (x 2)(x ( 7)) = 0 (x 2)(x + 7) = 0 x 2 + 5x 14 = 0 Lösungsweg 2 x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q 2 + ( 7) = p 2 ( 7) = q 2 7 = p 14 = q 5 = p p = 5 q = 14 x 2 + 5x 14 = 0 Hinweis: Es gibt unendlich viele quadratische Gleichungen mit diesen beiden Lösungen. z.b. 2x x 28 = 0 oder 3x x 42 = 0 etc. Damit sind die wichtigsten Werkzeuge zum Lösen quadratischer Gleichungen verfügbar. Die grafische Lösung quadratischer Gleichungen führt weiter zu den quadratischen Funktionen. Probleme, die mit Hilfe quadratischer Gleichungen gelöst werden können, sind etwa Tiefe eines Brunnens, geometrische Aufgaben, goldener Schnitt, lotrechter Wurf Linsengleich, Benzinverbrauch, Bremsweg, Die volle Breite der Anwendungen eröffnet sich erst durch die Beherrschung der quadratischen Funktionen.