Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen

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1 Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen Lösen durch quadratische Ergänzung Eine quadratische Gleichung löst man folgendermaßen über das Verfahren der quadratischen Ergänzung: x 8x + 6 = 0 Dividiere durch die Zahl vor dem x, damit man die quadratische Gleichung normiert: x 4x + 3 = 0 Bringe durch Äquivalenzumformung das konstante Glied auf die rechte Seite: x 4x = 3 Dividiere den Koeffizienten vor dem x durch zwei und addiere das erhaltene Ergebnis auf beiden Seiten im Quadrat: x 4x + = 3 + Wende auf der linken Seite die binomische Formel an: (x ) = 1 Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel: Beachte, dass du auf der linken Seite den Betrag setzen musst: x = 1 Löse den Betrag auf: 1. x = 1 x = 3. x = 1 x = 1 Schreibe die Lösungsmenge an: L = {1; 3} Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann man die folgende Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten: ax + bx + c = 0 x 1, = b ± b 4ac a Man muss dabei nur aufpassen, dass die Vorzeichen der Koeffizenten richtig in der Lösungsformel berücksichtigt werden. c by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2 Quadratische Gleichungen in der Kapitalrechnung In der Kapitalrechnung kann man zwei Anwendungen für quadratische Gleichungen nennen: Zinseszinsrechnung bei zweijährlichen Anlagen. Hier wird davon ausgegangen, dass bei einer Geldanlage am Jahresende die fälligen Zinsen nicht von der Bank ausgezahlt werden, sondern zum Kapital dazugeschlagen werden. Damit entwickelt sich das Kapital folgendermaßen: k = k 0 (1 + p) Bei einem Ratensparvertrag, in welchen monatlich eingezahlt wird, entwickelt sich das Kapital nach dem folgenden Gesetz: k n = k 0 (1 + p 1 + p 1 + 3p np 1 ) Dieses Gesetz sieht vereinfacht wie folgt aus: 1 Der Satz von Vieta k n = k 0 (1 + n + n Der Ausgangspunkt des Satzes von Vietas ist eine quadratische Gleichung der Form x + px + q = 0 Sind nun x 1 und x Lösungen der Gleichung, dann gilt: p 1 ) Satz von Vieta : x 1 + x = p x 1 x = q Es gilt auch die Umkehrung des Satzes, d.h. gilt x 1 + x = p x 1 x = q dann sind x 1 und x Lösungen der Gleichung x + px + q = 0 c by Markus Baur using L A TEX Seite:

3 Anwendungen der Sates von Vieta Die klassischen Anwendungsgebiete vorallem der Umkehrung des Satzes von Vieta sind: Lösen einer quadratischen Gleichung durch gezieltes Probieren Lösen einer quadratischen Gleichung mit Nebenbedingung Faktorisieren von Bruchtermen. Beispiel für den Satz von Vieta Lösen durch gezieltes Probieren Löse die folgende quadratische Gleichung: In diesem Falle ist p = 1 und q = 1 x + x 1 = 0 1. Alle Produktdarstellungen von q angeben ( 1) (+1) ( ) (+6) ( 3) (+4) 1 = (+1) ( 1) (+) ( 6) (+3) ( 4). Bildung der möglichen Summenkombinationen (-1)+(+1) = 11 (-)+(+6) = 4 (-3)+(+4) = 1 (+1)+(-1) = -11 (+)+(-6) = -4 (+3)+(-4) = Vergleich mit der Bedingung x 1 + x = 1 liefert x 1 = +3 und x = 4 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 3

4 1.1 Gleichung mit Nebenbedingungen Bei einer Gleichung mit Nebenbedingung sind die beiden Lösungen durch eine Bedingung miteinander verknüpft: Gegeben ist die quadratische Gleichung x + mx + 5 = 0 Von den Lösungen ist bekannt, dass sie sich wie 4:5 verhalten. Lösung : Nach dem Satz von Vieta ist bekannt, dass x 1 x = 5 Löst man diese Gleichung nach x 1 auf, dann gilt: x 1 = 5 x Die Nebenbedingung kann man folgendermaßen formulieren: x 1 x = 4 5 Man kann nun das x 1 in der letzten Gleichung durch den Term aus dem Satz von Vieta ersetzen: 5 x x = x = x = 4 5 : 5 Kehrwerte beider Seiten x = 5 4. x = + 5 x = 5 Damit kann man nun x 1 bestimmen: x 1 = 5 5 = x 1 = 5 5 = c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 1. Kürzen von Bruchterme Beim Kürzen von Bruchtermen geht man folgendermaßen vor: Faktorisieren von Zähler und Nennerterm Gemeinsame Faktoren des Zählers und des Nenners können weggelassen werden. x + 4x + 3 x + 8x + 6 Das Zähler und Nennerpolynom kann man nun faktorieren durch Anwendung des Satzes von Vieta: x + 4x + 3 = 0 Mit dem Satz von Vieta (siehe Beispiel: Lösung einer quadratischen Gleichung durch Probieren) kann man diese Gleichung lösen: x 1 = 3 x = 1 Mit dem Faktorisierungssatz gilt damit Genaus verfährt man mit dem Nennerterm: x + px + q = (x x 1 )(x x ) x + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) x + 8x + 6 = 0 Mit dem Satz von Vieta kann man diese Gleichung nun lösen: x 1 = 3 x = Wendet man auch hier den Faktorisierungssatz an, dann erhält man x + 8x + 6 = (x + )(x + 3) Somit kann man den Bruchterm in faktorisierter Form angeben: x + 4x + 3 x + 8x + 6 (x + 3)(x + 1) = (x + 3)(x + ) = x + 1 x + c by Markus Baur using L A TEX Seite: 5