Partialbruchzerlegung für Biologen

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1 Partialbruchzerlegung für Biologen Rationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome, und sie tauchen auch in der Biologie auf. Die Partialbruchzerlegung bedeutet, einen einfacheren Ausdruck für eine rationale Funktion zu bekommen. Auch wenn es oft möglich ist, einen Computer zu benutzen, sollte man verstehen, was man sucht bzw. macht. Einfach ein Polynom Konstanter Nenner: Wenn der Nenner eine Konstante ist, ist die rationale Funktion einfach ein Polynom. Beispiel: 2x 7 + 5x 2 3 = 2 3 x7 + 5x 2 Verschwinden des Nenners: Auch wenn der Nenner keine Konstante ist, könnte der Nenner einfach verschwinden. Dies passiert genau dann, wenn der Nenner den Zähler teilt. In diesem Fall, ist die rationale Funktion ein Polynom. Beispiele: Weitere Beispiele: 3x 5x = 3 5 3x 7 5x 3 = 3 5 x4 3x 7 + 7x 3 5x 3 = 3 5 x x 2 x + = x x 3 x = x2 + x + 6x 2 30x x 9 5x x 5 32x 4 5x 2 + 2x x 3 5x + 7 = 6x 9 5x 4 + 3x Der Nenner verschwindet, wenn man die Polynomdivision Zahler:Nenner durchführt, und der Rest Null ist. Die rationale Funktion ist mit Sicherheit kein Polynom, falls der Grad des Nenners höher als der Grad des Zählers ist. 2 Eine Polynomdivision hilft Falls der Grad des Nenners höher als der Grad der Zählers ist, bekommt man für die Polynomdivision Zahler:Nenner einfach Null als Quotient und den Zähler als Rest. Also keine neue Information. Falls der Grad des Nenners kleiner oder gleich als der Grad der Zählers ist, sollte man immer eine Polynomdivision durchführen.

2 Ein Teil der rationalen Funktion wird als Polynom geschrieben. Dies erreichen wir durch die Polynomdivision Zahler:Nenner. Beispiele: 3x + 2 5x = x x 2 3 x + = x + 2 x + 3x 7 5x 3 + 2x = 3 5 x x x x = x2 + x + 9 x 24 25(5x 2 + 2) Nach dem Polynomdivision haben wir die rationale Funktion als Summe eines Polynoms Rest (der Quotient) plus geschrieben. Der Rest hat Grad kleiner als der Grad des Nenners: Nenner Zähler Nenner = Quotient + Rest Nenner Das ist genau dasselbe, was wir mit Zahlen machen: 7 : 5 Q = 3, R = = = Nach der Polynomdivision legen wir ein Polynom zur Seite und betrachten danach eine rationale Funktion, deren Zähler einen kleineren Grad als der Nenner hat. 3 Zerlegung eines Polynoms 3. Zerlegung eines Polynoms (über C) Ein Polynom mit komplexen Koeffizienten (insbesondere, jedes reelle Polynom) vom Grad n ist das Produkt von: dem Leitkoeffizienten n Polynomen ersten Gradens der Form x z i wobei z,..., z n die komplexen Nullstellen sind. Beispiel: Das Polynom 7x 3 28x 2 2x + 26 hat Grad 3, Leitkoeffizienten 7 und die drei Nullstellen 3, 3, 2. Wir bekommen die Zerlegung: 7x 3 28x 2 2x + 26 = 7(x 3) 2 (x + 2) Quadratische Polynome: Jedes Polynom ax 2 + bx + c (wobei a 0) mit den zwei komplexen Nullstellen x und x 2 kann man so zerlegen: ax 2 + bx + c = a(x x )(x x 2 ) Beispiel: Betrachten wir das Polynom 2x 2 + 4x 70. Der Leitkoeffizient ist 2. Die zwei Nullstellen sind 5 und 7. Daher haben wir: 2x 2 + 4x 70 = 2(x 5)(x + 7) 2

3 Beispiel: Betrachten wir das Polynom 2x 2 + 4x 70. Der Leitkoeffizient ist 2. Die zwei Nullstellen sind 5 und 5. Daher haben wir: 2x 2 20x + 50 = 2(x 5) 2 Beispiel: Das Polynom 3x hat Leitkoeffizient 3 und die zwei nicht-reelle Nullstellen i, i. Wir bekommen die Zerlegung: 3x = 3 (x i)(x + i) 3.2 Zerlegung eines Polynoms (über R) Wenn man nur mit reellen Zahlen arbeiten möchte, darf man nur die quadratischen Polynome zerlegen, die reelle Nullstellen haben. Zum Beispiel ist x 2 + über den reellen Zahlen unzerlegbar. Ein Polynom mit reellen Koeffizienten vom Grad n ist das Produkt von: dem Leitkoeffizienten n reellen Polynomen ersten Gradens der Form x x i wobei x i die reellen Nullstellen sind n 2 reellen Polynomen zweiten Gradens der Form x 2 + b i x + c i, die keine reellen Nullstellen haben Insgesamt muss n + 2n 2 = n gelten, da der Grad eines Produkts von Polynomen die Summe der Grade ist. Beispiele: 3x 3 8x 2 + 2x 30 = 3(x 5)(x 2 x + 2) n = n 2 = + 2 = 3 3x 2 + 3x 90 = 3(x 5)(x + 6) n = 2, n 2 = = 2 x 4 + x 3 + 3x 2 + x + 6 = (x 2 x + 2)(x 2 + 2x + 3) n = 0, n 2 = = 4 x 7 5x 6 +4x 5 26x 4 +33x 3 29x 2 +6x 4 = (x ) 3 (x 2 x+2) 2 n = 3, n 2 = = 7 4 Partialbruchzerlegung Sei eine rationale Funktion gegeben, sodass der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist. Die Partialbruchzerlegung ist eine Summe von Termen der folgenden Form: Für jede einfache reelle Nullstelle N, ein Summand wobei A eine reelle Zahl ist. A x N 3

4 Für jede v-fache reelle Nullstelle N (die Vielfachheit ist v ) die Summanden wobei A,..., A v reelle Zahlen sind. A x N + A 2 (x N) A v (x N) v Für jeden einfachen irreduziblen Faktor zweiten Grades x 2 + Bx + C, ein Summand wobei D, E reelle Zahlen sind. Dx + E x 2 + Bx + C Für jeden irreduziblen Faktor zweiten Grades x 2 + Bx + C der Vielfachheit v, die Summanden D x + E x 2 + Bx + C + D 2 x + E 2 (x 2 + Bx + C) D v x + E v (x 2 + Bx + C) v wobei D, E,..., D v, E v reelle Zahlen sind. 5 Beispiele von Partialbruchzerlegungen Betrachten wir die rationale Funktion x 2 + 2x 3 Der Zähler hat einen kleineren Grad als der Nenner, also müssen wir keine Polynomdivision durchführen. Der Nenner lässt sich auf folgende Weise zerlegen: x 2 + 2x 3 = (x + 3)(x ) Daher suchen wir folgende Partalbruchzerlegung: x 2 + 2x 3 = A x Wir multiplizieren beide Seiten mit x 2 + 2x 3: B x = A(x ) + B(x + 3) Also gilt: 0x + = (A + B)x + ( A + 3B) 0 = A + B = A + 3B. Aus B = A folgt = A 3A, also A = /4 und B = /4. Betrachten wir die rationale Funktion x x 3 4x 2 + 8x 4

5 Nach der Polynomdivision Zahler:Nenner bekommen wir: + 4x2 8x + 6 x 3 4x 2 + 8x = + 4x2 8x + 6 x(x 2 4x + 8) Das quadratische Polynom im Nenner ist irreduzibel, also suchen wir folgende Partialbruchzerlegung: 4x 2 8x + 6 x(x 2 4x + 8) = A x + Bx + C x 2 4x + 8 Nach Multiplikation mit x(x 2 4x + 8) bekommen wir die polynomiale Identität: 4x 2 8x+6 = A(x 2 4x+8)+(Bx+C)x 4x 2 8x+6 = (A+B)x 2 +( 4+C)x+8A Wir vergleichen die Koeffizienten: 4 = A + B 8 = 4A + C 6 = 8A Daher ist A = 2 (3. Gleichung) und B = 2 (.Gleichung) und C = 0 (2.Gleichung) also gilt: ( ) + 2 x + x x 2 4x + 8 (Ohne explizite Berechnungen) Betrachten wir die rationale Funktion x 9 2x 6 + 2x 5 7x 4 + 3x 3 x 2 + 2x 4 x 7 3x 6 + 5x 5 7x 4 + 7x 3 5x 2 + 3x Nach der Polynomdivision und nach Zerlegung des Nenners ist die gegebene rationale Funktion gleich x 2 + 3x x6 4x 5 + 5x 4 3x 3 + x 2 + 3x (x ) 3 (x 2 + ) 2 Wir möchten folgende Partialbruchzerlegung bestimmen: 2x 6 4x 5 + 5x 4 3x 3 + x 2 + 3x = A (x ) 3 (x 2 + ) 2 x + B (x ) + C 2 (x ) +Dx + E 3 x F x + G (x 2 + ) 2 Nach Multiplikation mit (x ) 3 (x 2 + ) 2 bekommen wir die polynomiale Identität 2x 6 4x 5 +5x 4 3x 3 +x 2 +3x = A(x ) 2 (x 2 +) 2 +B(x )(x 2 +) 2 +C(x 2 +) 2 + +(Dx + E)(x ) 3 (x 2 + ) + (F x + G)(x ) 3 Nach Bearbeitung dieser Identität finden wir folgende Schreibweise für die gegebene rationale Funktion: x 2 + 3x (x ) + (x ) + x + 3 x (x 2 + ) 2 5

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