Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin Blatt

Transkript

1 Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 05/06) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin PD Dr. Dirk Andrae Blatt Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von (a) x(x 3), x R; (b) z 3 z (z ) (z +), z C. Schreiben Sie die folgenden Funktionen jeweils in eine Summe aus einem Polynom und einer echt gebrochen-rationalen Funktion um: (a) f(x) = x3 6x +x 6 x x ; (b) 5x+ x 7x +6x 3. Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten (Pole, Verhalten für x ) folgender Funktionen (mit Skizze!): (a) y = (x 5x+6)/(x 5x+); (b) y = (x )/(x 3 +x 6x). Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Hyperbelfunktionen: (a) s (x) s (x) = ; (b) s (x+y) = s (x) s (y)+ s (x) s (y). 5. Zeigen Sie, dass für alle z = x+ y C gilt: s(z)+ s(z ) = s(x) s (y). 6. Ermitteln Sie logarithmische Ausdrücke für die Funktionen rs (x) und r s (x), die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen s (x) und s (x). Abgabe der Übungsaufgaben in KW 0 (vor Beginn Ihres Tutoriums). Lösungen:. (a) (/9)/x (/9)/(x 3)+(/3)/(x 3) ; (b) (/)(+ )/(z+ )+(/)( )/(z )+ (/)/(z ) /(z ). (a) x +/(x ); (b) +(7x+)/(x 3 +x 6x) 3. (a) Einfache Polstellen: x =, x =, Asymptote: y = ; (b) Einfache Polstellen: x = 3, x = 0, x =, Asymptote: y = x. (a) ; (b) rs (x) = (x+ x +); r s (x) = (x+ x ) (x )

2 Ausführliche Lösungen:. Es handelt sich in beiden Teilaufgaben um echt gebrochen-rationale Funktionen, die in Teilbrüche (Partialbrüche) von wiederum echt gebrochen-rationalen Funktionen umzuschreiben sind. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung (mit zunächst unbestimmten Koeffizienten) enthält jeweils einen Summanden für den Kehrwert jeder Potenz eines linearen oder quadratischen Faktors des Nenners. Falls die Partialbruchzerlegung in C erfolgt, kann der Nenner vollständig in lineare Faktoren zerlegt werden. (a) Ansatz für die Partialbruchzerlegung aufstellen, mit Nennerpolynom multiplizieren und nach Potenzen von x ordnen: x(x 3) = A x + B x 3 + B (x 3) = A(x 3) +B x(x 3)+B x = A(x 6x+9)+B (x 3x)+B x = (A+B )x +( 6A 3B +B )x+9a Koeffizientenvergleich (Vergleich der Koeffizienten vonx k auf linker und rechter Seite der Gleichung) liefert einen (meist einfach lösbaren) Satz linearer Gleichungen zur Bestimmung der Konstanten im Ansatz der Partialbruchzerlegung): x 0 : 9A = A = 9 x : A+B = 0 B = A = 9 Damit gilt also: x : 6A 3B +B = 0 B = 6A+3B = 3 x(x 3) = 9x 9x 3 + 3(x 3) (b) Ansatz für die Partialbruchzerlegung, Multiplikation mit Nennerpolynom, Ordnen nach Potenzen von z: z 3 z (z ) (z +) = A+Bz z + + C z + C (z ) z 3 z = (A+Bz)(z ) +C (z )(z +)+C (z +) = (A+Bz)(z z+)+c (z 3 z +z )+C (z +) = (B+C )z 3 +(A B C +C )z +( A+B+C )z+(a C +C ) Bestimmung der Konstanten durch Koeffizientenvergleich: z 3 : B+C = C = B z : A+B+C = A+ = 0 A = z 0 : A C +C = A +B+C = C = B z : A B C +C = B +B B = B = B = C =, C = Damit gilt zunächst: z 3 z (z ) (z +) = z+ z + + z (z ) Für x R (statt z C) wäre die Partialbruchzerlegung damit abgeschlossen. Wegen z + = (z )(z+ ) gilt jedoch:

3 Koeffizientenvergleich: z+ z + = A + B z z+ z+ = A(z+ )+B(z ) = (A+B)z+(A B) z : A+B = B = A z 0 : A B = A = = Damit gilt schliesslich: z 3 z (z ) (z +) = z A = ( ), B = (+ ) z+ z (z ). Polynomdivision ist möglich, geschicktes Umformen führt aber oft rascher ans Ziel! (a) Umformung des Zählerpolynoms (so dass das Nennerpolynom entsteht): P(x) = x 3 6x +x 6 = x(x 5x+) x +7x 6 = x(x 5x+) (x 5x+)+x = (x )(x 5x+)+(x ) Umformung des Nennerpolynoms (Anwendung des Satzes von Vieta): Damit ergibt sich: Q(x) = x 5x+ = (x )(x ) P(x) Q(x) = x3 6x +x 6 x = (x )(x 5x+)+(x ) = x + 5x+ (x )(x ) x (b) Umformung des Zählerpolynoms (vgl. Summe der endlichen geometrischen Reihe): P(x) = x = (x )(x 3 +x +x+) Umformung des Nennerpolynoms (Koeffizientensumme 7+6 ist Null): Q(x) = x 7x +6x = x(x 3 7x+6) = x(x )(x +x 6) Daraus ergibt sich (nach Kürzen des gemeinsamen Faktors x ): P(x) Q(x) = x3 +x +x+ x 3 +x 6x = x3 +x 6x+7x+ 7x+ x 3 +x = + 6x x 3 +x 6x 3. Bei einer gebrochen-rationalen Funktion f(x) = P(x)/Q(x) = g(x) + q(x)/q(x) bestimmt der ganzrationale Teil g(x) das Verhalten für x ±. Nullstellen des Nennerpolynoms (x i mit Q(x i ) = 0), die nicht zugleich Nullstellen des Zählerpolynoms sind (P(x i ) 0), führen zu Polstellen. Die Vielfachheit der Nullstelle bestimmt, ob Vorzeichenwechsel (VZW) auftritt oder nicht. (a) Umformung der Funktion (statt Polynomdivision): y = x 5x+6 x 5x+ = x 5x++ x = + 5x+ x 5x+ P(x) = x 5x+6 = (x )(x 3) einfache Nullstellen bei x = und x = 3. Q(x) = x 5x+ = (x )(x ) einfache Nullstellen bei x = und x =. Wichtige Informationen für die Skizze: Nullstellen bei x = und x = 3; Polstellen (mit VZW) bei x = und x = ; Asymptote g(x) = ; y > g(x) = für x (das Schaubild ist spiegelsymmetrisch zur Parallelen zur y-achse bei x = 5 ).

4 (b) Umformung der Funktion: x y = x 3 +x 6x = (x )(x3 +x +x+) x 3 +x = (x )(x3 +x 6x+7x+) 6x x 3 +x 6x = x + (x )(7x+) x 3 +x 6x = x + 7x 6x x 3 +x 6x P(x) = x = (x )(x +) = (x )(x+)(x +) einfache Nullstellen bei x = und x =. Q(x) = x 3 +x 6x = x(x +x 6) = x(x )(x+3) 3 einfache Nullstellen bei x = 0, x = und x = 3. Wichtige Informationen für die Skizze: Nullstellen beix = undx = ; Polstellen (mit VZW) bei x = 0, x = und x = 3; Asymptote g(x) = x ; y > g(x) = x für x +.. Die Hyperbelfunktionen entstehen durch Zerlegen der Exponentialfunktion in ihre geraden und ungeraden Anteile, = s (x)+s (x), mit s (x) = ( + x) = s ( x), s (x) = ( x) = s ( x). (a) Diese Formel ist das Analogon zu s (x)+ s (x) =, und einfach beweisbar: s (x) s (x) = ( + x) ( x x) ( x ++ x x) + = = (b) Dies ist das Additionstheorem der Hyperbelsinus-Funktion, und ebenfalls nicht schwer beweisbar: s (x+y) = ( x+y x y) = ( x y x y) = ( s (x)+s (x))( s (y)+s (y)) ( s (x) s (x))( s (y) s (y)) = s (x) s (y)+s (x) s (y)+ s (x) s (y)+s (x) s (y) s (x) s (y)+s (x) s (y)+ s (x) s (y) s (x) s (y) = s (x) s (y)+ s (x) s (y) 5. Verallgemeinerung von s(ϕ) = ( ϕ + ϕ) für beliebiges komplexes Argument liefert s(z) = ( z + z). Damit ergibt sich s(z)+ s(z ) = z + z + z + z = x y + x+y + x+y + x y = x( y + y) + x( y + y) = ( + x) ( y + y) = s(x) s (y)

5 6. Umkehrfunktion zu y = f(x) = s (x) (x R): y = s (x) = (x x ) x für x x y = ( x ) t yt = 0 (t = x > 0) t, = ( x ), = y± y + (Ausschluss einer Lösung, weil stets t = x > 0) x = f (y) = rs (y) = (y+ y +) y = f (x) = rs (x) = (x+ x +) Umkehrfunktion zu y = f(x) = s (x) (x 0): y = s (x) = (x + x ) x für x x y = ( x ) + t yt+ = 0 (t = x > 0) t, = ( x ), = y± y (Ausschluss einer Lösung, weil y x für x ) x = f (y) = r s (y) = (y+ y ) y = f (x) = r s (x) = (x+ x ) (x ) Anmerkung: Zu y = f(x) = s (x) (x < 0) gehört dann y = f (x) = r s (x) = (x+ x ) = (x x ) (x ).