Gebrochen rationale Funktionen
|
|
- Gregor Langenberg
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Gebrochen rationale Funktionen Anmerkung: Auf dieser Seite wurden LaTeX Formeln mit MathJa eingebaut die nötigen Formatierungen werden über einen eternen Server (cdn.mathja.org) bezogen. Keine Garantie, dass alles korrekt dargestellt wird, es können auch längere Ladezeiten auftreten! Gebrochen rationale Funktionen sind Quotienten rationaler Funktionen P, Q: Polynome, f Quotient (gebrochen rationale Funktion) f() = P() Q() D(f) Abkürzung: Für eine Funktion P bezeichne N(P) die Menge der Nullstellen von P. Beispiel: P() = ( 2 ) 3 ( + 3)( + 10) 2 Es geht hier um folgende Fragestellungen Maimaler Definitionsbereich von f, Polstellen, Nullstellen Asymptotik für ± (Verhalten im Unendlichen) Analysis (Differentialrechnung) für diesen Funktionstyp. Zur Integralrechnung siehe dort Abschnitt Partialbruchzerlegung Weitere Eigenschaften dieser Funktionen Einige einfache Beispiele N(P) = { 10, 3,2,}
2 1. Beispiel: 1 f() =, D(f) = IR {0} stellt die wohlbekannte Hyperbel dar. Nullstellen besitzt sie nicht, für ist der Grenzwert 0, somit waagerechte Asymptote y=0. Eine Polstelle bei =0 zugleich senkrechte Asymptote.. 2. Beispiel: f() = 1 = ( 1)( + 1) Das Nennerpolynom 2 hat die beiden Nullstellen =1 und = 1. Beide sind keine Nullstellen des Zählers dieser besitzt überhaupt keine Nullstellen also echte Definitionslücken und Polstellen. Also D(f) = IR { 1,1} Die Funktion f selber besitzt keine Nullstellen, da der Zähler keine Nullstellen besitzt. Um das Verhalten gegen unendlich zu untersuchen, klammern wir den größten gemeinsamen Eponenten von Zähler und Nenner aus und kürzen. f() = = = Da die Terme mit im Nenner gegen Null konvergieren, nähert sich für der konstanten Funktion 1 an. 3. Beispiel: ± 2 f ± ( + 2)( 1) f() =, D(f) = IR { 1,1} 2 1 Wir haben hier wieder formal die beiden Nullstellen des Nenners herausgenommen. Es gibt aber einen
3 wesentlichen Unterschied zu Beispiel 2. =1 ist auch Nullstelle des Zählers. Wir können daher den Linearfaktor ( 1) der in Zähler und Nenner enthalten ist herauskürzen, und erhalten eine neue Funktion f die sogenannte stetige Fortsetzung von f die in allen Punkten des alten Definitionsbereichs mit f übereinstimmt. Sie hat einen größeren Definitionsbereich: ( + 2) f () =, D( f ) = IR { 1} + 1 Ergebnis: = 1 ist also eine echte Definitionslücke (Polstelle), =1 eine unechte oder scheinbare. f besitzt hier auch nur eine Nullstelle = 2 und nicht zwei wie man zunächst vermuten könnte. Die Asymptote ist wie man durch Ausklammern der größten Potenz 2 sieht, die Konstante 1. Wir haben also an diesen einfachen Beispielen gelernt: 1. Man muss zunächst die Nullstellen von Zähler und Nenner bestimmen und dann die gemeinsamen Nullstellen herauskürzen. 2. Die derart gewonnene Funktion f genau genommen ist das die stetige Fortsetzung der Originalfunktion auf einen maimalen Defintionsbereich liefert dann alle wesentlichen Informationen: Ihre Nullstellen sind genau die Nullstellen des Zählerpolynoms Ihre Polstellen und Definitionslücken sind genau die Nullstellen des Nennerpolynoms 3. Asymptoten für ± erhält man durch Ausklammern und Kürzen der größten gemeinsamen Potenz. Weitere Beispiele 4. Beispiel f() = , D(f) = IR { 2,2} 2 4 Wie üblich haben wir die Nullstellen des Nennerpolynoms zunächst aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Aie Analyse des Zählerpolynoms ist diesmal etwas schwieriger. Die Nullstellen könnte man im Prinzip mit den Formeln des Cardano ermitteln dies ist jeoch aufwendig. Cardanische Formeln Wir versuchen zunächst eine ganzahlige Nullstelle zu erraten. Der geschulte Blick vermutet aus den Koeffizienten 2,2,4 und den alternierenden Vorzeichen als Nullstelle =2, und tatsächlich, Einsetzen bestätigt dies. Mit Polynomdivision dividieren wir den zugehörigen Linearfaktor 2 heraus um das Restpolynom vom Grad 2 und eine Faktorisierung des Zählers zu erhalten. ( ) : ( 2) = = ( 2)( 2 + 2) Bemerkung für Studenten: Das Restpolynom = i, 2 = i hat die konjugiert kompleen Nullstellen Diese spielen aber für die weitere Betrachtung keine Rolle, da sie keine Nullstellen des Nenners sind. =2 ist Nullstelle sowohl des Zählers als auch des Nenners und kann wieder herausgekürzt werden. Die stetige Fortsetzung von f ist somit ( f () = 2 + 2), D( f ) = IR { 2} + 2 Wer die Polynomdivison nicht beherrscht, kann auch ein CAS dazu nutzen Mit Wolfram berechnen
4 und gleich alle Nullstellen damit auswerfen lassen Nullstellen mit Wolfram Alpha Die Asymptotik erhält man wieder durch Ausklammern des größten gemeinsamen Faktors diesmal in Zähler und Nenner und kürzen. ( + 2) f () = 2 = + 2 ± ( + 2/) 1 + 2/ Die Funktion nähert sich also für der Geraden y= an. Die Grafiken zeigen die Funktion in zwei Skalierungen rot jeweils die Asymptote y=. Man beachte ferner die senkrechte Asymptote an =2. Etwas Analysis kann man hier auch betreiben um die lokalen Etremalstellen zu berechnen. Wir bestimmen dazu mit der Quotientenregel die (erste) Ableitung und sodann, als Kandidaten für Etremalstellen, die Nullstellen der Ableitung das sind hier wieder die Nullstellen des Zählers der Ableitung: f () = = 0 = 2, = 2 + ( + 2) Der Zähler der Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel, der Nenner stets positiv für alle. An 1 wechselt das Vorzeichen von f von + nach, die Steigung von f also von positiv zu negativ, somit ist 1 also lokale Maimalstelle. An der Stelle 2 verhält es sich genau umgekehrt, somit ist dies die lokale Minimalstelle. Mit CAS geht das natürlich schneller Minimiere f mit Wolfram Alpha Übungen: A1: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die stetige Fortsetzung, skizzieren Sie die Graphen und Asymptoten, und zeichnen Sie die Definitionslücken ein, an denen keine Unendlichkeitsstellen vorliegen (also unechte Polstellen). (a) f() = (b) f() = (c) f() = A2: (Schulaufgabe Klasse 11/G9). Gegeben ist die Funktion
5 f() = , D(f) = { IR : ( + 5)( 16) 0} 3( + 5)( 2 16) 2 Bestimmen Sie Lage und Art der Definitionslücken (Polstellen) sowie die Nullstellen der Funktion und geben Sie die maimale stetige Fortsetzung der Funktion an. Bestimmen Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen. A3: Parameterabhängige Funktionen. Bestimmen Sie in in Abhängigkeit des Parameters $p$ die echten und unechten Polstellen und ggf. die stetige Fortsetzung der Funktion f, sowie ihre Nullstellen und zeichnen Sie die Asymptoten. f p 2 + p () = 2 ( p)( 2) D(f)
Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)
Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiel 1 Diskutiere die durch f(x) = x2 3x 4 x + 2 gegebene Funktion f. a) Definitionsbereich: Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich
MehrDas Mathematik-Abitur im Saarland
Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
MehrGrundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )
1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM)
MehrÜbungsbuch Algebra für Dummies
...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrWirtschaftsmathematik. Studienskript.
y y = f() F F3 a F b Wirtschaftsmathematik. Studienskript. Betriebswirtschaftslehre (B.A.) BWMA0 Impressum Impressum Herausgeber: Internationale Hochschule Bad Honnef Bonn International University of Applied
Mehr1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS
. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrBayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I
Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
Mehr= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =
WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht
MehrAnalysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.
ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrLuisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die
MehrÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT
ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. ANALYSIS / INFINITESIMALRECHNUNG Nullstellen * Nullstellen einer
MehrFachbereich Wirtschaft. Mathematik im Studium der Betriebswirtschaftslehre. Liebe angehende Studentin, lieber angehender Student,
Fachbereich Wirtschaft Prof. Dr. Katharina Belling-Seib Tel: 04921 / 807 1225 email: belling-seib@hs-emden-leer.de Christian Kiwall email: christian.kiwall@hs-emden-leer.de Emden im Mai 2015 Mathematik
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrKapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009
Mehr4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES
4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden
MehrEingangstest Mathematik Musterlösungen
Fakultät für Technik Eingangstest Mathematik Musterlösungen 00 Fakultät für Technik DHBW Mannheim . Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und
Mehr1. Terme und Gleichungen mit Klammern Leitidee L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen 1.1 Terme mit mehreren Variablen
Stoffverteilungsplan EdM 8RhPf Abfolge in EdM 8 Bleib fit im Umgang mit rationalen Zahlen Kompetenzen und Inhalte Umgang mit rationalen Zahlenim Zusammenhang 1. Terme und Gleichungen mit Klammern Leitidee
Mehr1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion
Schülerbuchseite 6 8 Lösungen vorläufig Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion S. 6 Vermutung: Da das Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve und das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm 8 eine Kosinuskurve
MehrVorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt
Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................
MehrMündliches Abitur in IViathematik
Mündliches Abitur in IViathematik Zusatzprüfung: Kurzvortrag mit Prüfungsgespräcti Ziele: Nachweis von fachlichem Wissen und der Fähigkeit, dies angemessen darzustellen erbringen fachlich überfachlich
MehrErgänzungen zum Fundamentum
Matura 2014 - Mathematik - Gymnasium Immensee 2 Ergänzungen zum Fundamentum Abstand eines Punktes zu einer Geraden d = AP v v Substitution ohne Grenzen Mit u = g(x) gilt: f(g(x))dx = 1 u f(u)du Matura
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrAbiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann
Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden
MehrMartin Meyer. Mehr Mathematikverständnis. 2010 by InnoLearn UG
Martin Meyer Mehr Mathematikverständnis 2010 by InnoLearn UG Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die Rechte für dieses urheberrechtlich geschützte Buch und der beiliegenden CD liegen bei. InnoLearn
MehrMatheBasics Teil 1 Grundlagen der Mathematik
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 1 Grundlagen der Mathematik Version 2016 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme,
MehrBevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
MehrTechnische Mathematik
Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrAbiturprüfung 2000 MATHEMATIK. als Grundkursfach. Arbeitszeit: 180 Minuten
Abiturprüfung 000 MATHEMATIK als Grundkursfach Arbeitszeit: 180 Minuten Der Fachausschuss wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten GM1, GM und GM zur Bearbeitung aus. - - GM1. INFINITESIMALRECHNUNG I. 10
Mehr2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.
2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es
MehrWirtschaftsmathematik.
y y = f(x) F1 F3 a F b x Wirtschaftsmathematik. Lösungen: Fragen zur Selbstkontrolle Betriebswirtschaftslehre (B.A.) Lösungen Lösungen Lektion 1 1. Grundlagen der Analysis 1.1 Arithmetische und algebraische
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
MehrABITURPRÜFUNG 2012 ZUM ERWERB DER FACHGEBUNDENEN HOCHSCHULREIFE AN FACHOBERSCHULEN UND BERUFSOBERSCHULEN MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 2012 ZUM ERWERB DER FACHGEBUNDENEN HOCHSCHULREIFE AN FACHOBERSCHULEN UND BERUFSOBERSCHULEN MATHEMATIK Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Freitag, 25. Mai 2012, 9.00 Uhr bis 12.00 Uhr Die
Mehrro-f-;1" i" f,,(il_(*,_r, ä' i'. l'1 Untersuchen Sie die Funktion auf einfache Symmetrie, Nullstellen und Grenzwerte an den ^it 71, ; - 2r.
Scbriftliche Abiturprüflrng 2012 Naohtermin Prüfirngsart: G-Niveau Seite I von 5 Hilfsmittel: Zugelassener Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Aufeabe I Die Aufgaben umfassen 5 Seiten. I. Gegeben
MehrAbitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis
Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
MehrToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009
ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares
MehrLösung zur Übung 3. Aufgabe 9)
Lösung zur Übung 3 Aufgabe 9) Lissajous-Figuren sind Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem, bei denen auf der Abszisse und auf der Ordinate jeweils Funktionswerte von z.b. Sinusfunktionen aufgetragen
MehrHinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft
Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick
MehrMathematik. für die Berufliche Oberschule Band 3. Nichttechnische Ausbildungsrichtungen. Manfred Hoffmann, Norbert Krämer. 1.
Manfred Hoffmann, Norbert Krämer Mathematik für die Berufliche Oberschule Band 3 Nichttechnische Ausbildungsrichtungen 1. Auflage Bestellnummer 05979 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt?
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrAbitur 2011, Analysis I
Abitur, Analysis I Teil. f(x) = x + 4x + 5 Maximale Definitionsmenge: D = R \ {,5} Ableitung: f (4x + 5) (x + ) 4 8x + 8x (x) = (4x + 5) = (4x + 5) = (4x + 5). F(x) = 4 x (ln x ); D F = R + F (x) = 4 x
MehrPrüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 2006 / 2007
Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr / 7 Name, Vorname: Klasse: Prüfungsfach: Mathematik Prüfungstag:
MehrMATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE
Europäische Schulen Büro des Generalsekretärs Abteilung für pädagogische Entwicklung Ref.:2010-D-581-de-2 Orig.: EN MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Kurs 4 Stunden/Woche VOM GEMISCHTER PÄDAGOGISCHER
MehrZusammenfassung - Mathematik
Mathematik Seite 1 Zusammenfassung - Mathematik 09 October 2014 08:29 Version: 1.0.0 Studium: 1. Semester, Bachelor in Wirtschaftsinformatik Schule: Hochschule Luzern - Wirtschaft Author: Janik von Rotz
MehrInhalt. Vorkurs Mathematik für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Gesundheitsökonomie und Drucktechnik. Visitenkarte.
für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Gesundheitsökonomie und Drucktechnik Dr. Michael Stiglmayr Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - und Informatik Wintersemester 01/016 Inhalt Grundlagen
MehrMathematik für Informatiker Band 2: Analysis und Statistik
Gerald Teschl Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band 2: Analysis und Statistik 2 Auflage Mit 02 Abbildungen 23 Gerald Teschl Universität Wien Fakultät für Mathematik Nordbergstraße 5 090 Wien,
MehrMathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila
Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)
MehrGleichungen Aufgaben und Lösungen
Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrPropädeutikum. Wichtige Grundlagen der Mathematik. Stand WS 2011 / 2012. Dörte Fröhlich
Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 0 / 0 Dörte Fröhlich Mathe-Grundlagen D. Fröhlich Wichtige Grundlagen der Mathematik Für Ihr Studium und sicher nicht nur für das Fach Wirtschaftsmathematik
MehrEinfache Differentialgleichungen
Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine
MehrDie quadratische Gleichung und die quadratische Funktion
Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion 1. Lösen einer quadratischen Gleichung Quadratische Gleichungen heißen alle Gleichungen der Form a x x c = 0, woei a,, c als Parameter elieige reelle
MehrRationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen
Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt.. Setze das richtige Zeichen. a) -3 4 b) - -3
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrSchulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra
Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick
MehrÜber den Autor 9 Einleitung 21
Inhaltsverzeichnis Über den Autor 9 Einleitung 21 Zu diesem Buch 21 Konventionen in diesem Buch 22 Wie Sie dieses Buch einsetzen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
MehrMATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik
Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichtung Technik Freitag, 29. Mai 2009, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler
MehrWie viele Nullstellen hat ein Polynom?
Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Verena Pölzl 0812265 Sabine Prettner 8930280 Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? 3 2 Oligonome 4 3 Die
MehrCodierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur
Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Wie die zyklischen BCH-Codes zur Mehrbitfehler-Korrektur eignen sich auch die sehr verwandten Reed-Solomon-Codes (= RS-Codes) zur Mehrbitfehler-Korrektur.
MehrLernziele Matbu. ch 8
Lernziele Matbu. ch 8 Beachte auch den Refernzrahmen des Stellwerk8 www. stellwerk- check. ch LU Priorität Grobziel (aus Mathbu.ch 8) Lernziele Begriffe 2 1 Mit gebrochenen Zahlen operieren: Gebrochene
Mehr11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G
www.strobl-f.de/grundg.pdf. Klasse TOP 0 Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen
MehrRabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2'950.00 Fr. 2'457.35 Fr.
Ratt und Skonto Rechnung Computersystem Computer P7 '650.00 Fr. Drucker XX 300.00 Fr. Total '950.00 Fr. 15% 44.50 Fr. '507.50 Fr. % 50.15 Fr. '457.35 Fr. Bruttopreis Ratt Nettopreis Skonto Zahlung Worterklärungen
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrBetragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen
mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
MehrDr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1
.1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische
MehrK2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte
K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5
MehrHandreichungen zum Übergang an der Schnittstelle zwischen Klasse 9 und der Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe
Handreichungen zum Übergang an der Schnittstelle zwischen Klasse 9 und der der gymnasialen Oberstufe Die knüpft weiterhin an die Standards für den mittleren Schulabschluss an und führt in Gebiete ein,
Mehr, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =
38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.
MehrFunktionen (linear, quadratisch)
Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)
MehrMSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012
MSG Kurs 10. Klasse, 011/01 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen 3 1.1 Heuristische Herleitung I (Potenzreihen)......................
MehrErfolg im Mathe-Abi. H. Gruber, R. Neumann. Prüfungsaufgaben Hessen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Prüfungsaufgaben Hessen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen - plus Aufgaben für GTR und CAS Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Ganzrationale
MehrAUFFRISCHERKURS 2. Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören!
AUFFRISCHERKURS 2 AUFGABE 1 Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören! Zahl keine davon ( ) AUFGABE 2 Löse alle vorhandenen Klammern auf und
MehrElemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung
Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................
MehrZ = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
MehrBaden-Württemberg, Fachhochschulreife
sämtliche Mathe-Themen für Baden-Württemberg, Fachhochschulreife 1 Analysis Grundlagen (Funktionsanalyse) 1.1 Bedeutung von f, f', f'', F,.. 1.1.1 f()=y-wert 1.1.2 f'()=m, Tangentensteigung, Änderungsrate
MehrGegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.
Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrLernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis
Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend
MehrINFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN
INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrMathematik. Prüfungen am Ende der Jahrgangsstufe 10. Allgemeine Arbeitshinweise. Ministerium für Bildung, Jugend und Sport
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Prüfungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 Mathematik Schriftliche Prüfung Schuljahr: 003/004 Schulform: Allgemeine Arbeitshinweise Die Prüfungszeit beträgt 160 Minuten.
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
Mehr