Wie viele Nullstellen hat ein Polynom?

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1 Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Verena Pölzl Sabine Prettner Juni

2 Inhaltsverzeichnis 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? 3 2 Oligonome 4 3 Die Vorzeichenregel von Descartes 5 4 Die Methode von Sturm 9 Literaturverzeichnis 13 2

3 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? In der Mathematik fehlt wohl oft der Bezug zur realen Welt, das Wissen, wofür Ergebnisse eigentlich benötigt werden. Doch da auch in der Schule immer öfter dazu übergegangen wird, Mathematik an Beispielen des tatsächlichen Lebens zu betreiben, haben auch wir uns zuerst gefragt: Warum will eigentlich jemand wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom tatsächlich hat? 1 Beispiel 1 Flugsimulator Zwei starre Körper, der eine ist die Basisplattform (oder der Grund), der andere ist das Cockpit, werden über sechs Stangen miteinander verbunden. Die Dynamik der Simulation der Flugbewegungen erfolgt durch die Variation der Stangenlängen. Für einen festen Satz von Stangenlängen ergibt sich ein Satz von multivariaten Polynomen, also Polynome in mehr als einer Variablen. (Bei einem Flugsimulator sind es sechs Variablen, drei für die Translation entlang der x-,y- und z- Achse, und drei für die Rotation um diese Achsen). Variiert man die Stangenlängen dynamisch und kommt man in einen Bereich eng benachbarter Nullstellen kann es sein, dass man aufgrund von Toleranzen von einer Position zur anderen springt, was ein sogenannter labiler Zustand wäre. Diese labilen Zustände versucht man technisch zu vermeiden. Nullstellen stellen dabei Positionen im Raum dar. Gesucht wird also eine optimale Konfiguration, die zb stabil ist. Wenn man also die Anzahl der möglichen Nullstellen eines solchen Polynoms kennt, ist man schon einen wesentlichen Schritt weiter Beispiel 2 Wie viele Nullstellen hat das Polynom f(x) = x 3 + 3x 2 4x + 1? Und wie viele Nullstellen hat das Polynom g(x) = x 100 1? Wenn wir diese Fragen beantworten, indem wir den Grad des jeweiligen Polynoms als Schätzwert benützen, bekommen wir nur eine sehr ungenaue Antwort. Wir bemühen uns in dieser Arbeit und mit unserem Vortrag eine Antwort auf die Frage nach der Anzahl von Nullstellen zu finden, die genauer und präziser ausfällt. Um dies möglich zu machen, betrachten wir aber nicht mehr den Grad des jeweiligen Polynoms, sondern dessen Koeffizienten und deren Vorzeichen. 2 Erkenntnis 1 Der Grad eines Polynoms liefert eine sehr ungenaue Abschätzung für die tatsächliche Anzahl der Nullstellen. 1 Wir behandeln in unserem Vortrag und auch in dieser Ausarbeitung tatsächlich NUR reelle Nullstellen, die komplexen lassen wir außen vor! 2 Folgende Angaben wurden, wenn nicht anders angegeben, übernommen aus Schaubild der Mathematik[1] 3

4 2 Oligonome Begriffe Polynome - Oligonome Sowohl die Vorsilbe poly- als auch die Vorsilbe oligo- sind griechischen Ursprungs. Wie wohl allgemein bekannt bedeutet Polynom in deutscher Sprache mehrnamig. Oligo hingegen würde übersetzt in etwa wenig oder arm an bedeuten. Im Vergleich mit Polynom soll der Begriff Oligonom also wenignamig ausdrücken. Tatsächlich definiert man Oligonom so: Definition 1 Ein Oligonom ist ein Polynom höheren Grades, mit nur wenigen Koeffizienten 0. Die meisten Koeffizienten sind also = 0. Typische Oligonome sind x ax n + bx m Satz 1 Ein Polynom mit k von 0 verschiedenen Koeffizienten hat nicht mehr als 2k - 1 reelle Nullstellen. Beweis 1 Dazu braucht man den Satz von Rolle: Für eine Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist und im offenem Intervall (a,b) differenzierbar ist mit f(a) = f(b), gilt: Es gibt mindestens ein x 0 aus (a,b) mit f (x 0 ) = 0. Insbesondere: Zwischen zwei Nullstellen einer Funktion hat auch die Ableitung der Funktion eine Nullstelle. Der eigentliche Beweis wird mit Induktion über k geführt: Sei k = 1. Also ein Koeffizient ist 0. Z.B.: Polynom ax n = 0. Ist dieses Polynom zumindest vom Grad eins besitzt es nur eine Nullstelle, nämlich bei x = 0. Für den Fall, dass der Grad des Polynoms gleich null ist, hat das Polynom keine Nullstelle. Es hat also auf jeden Fall maximal eine Nullstelle, die Behauptung des Satzes ist somit erfüllt. Induktionsschluss: f(x) sei ein Polynom mit k + 1 von Null verschiedenen Koeffizienten. Dann gilt: f(x) = x r g(x), mit r 0. Beispiel 3 f(x) = x 3 3x 2 + 4x 0 x 0 (x 3 3x 2 + 4), oder } {{ } r=0 g(x) Beispiel 4 f(x) = x 3 3x 2 + 4x x (x 2 3x + 4) } {{ } r=1 g(x) g(x) hat immer noch k + 1 von Null verschiedene Koeffizienten, wovon einer ein konstanter Term ist, wie man an den Beispielen auch klar sehen kann. Differenziert man nun g(x), so verschwindet dieser konstante Term g (x) hat nun k von Null verschiedene Koeffizienten. Wir folgern also, mithilfe der getroffenen Induktionsannahme, dass g (x) höchstens 2k - 1 reelle Nullstellen besitzt. Hier kommt der Satz von Rolle ins Spiel: Aus diesem folgt, dass die Anzahl der Nullstellen von g(x) nicht größer sein kann als 2k. f(x) hat also die gleichen Nullstellen wie g(x) und dazu eventuell noch x = 0. Also maximal 2k + 1! Woraus die Behauptung des Satzes 1 folgt. 4

5 Aus diesem Satz folgt die charakterisierende Haupteigenschaft von Oligonomen, nämlich dass sie nur wenige Nullstellen haben. Das ist zugleich unser erstes Erkenntnis zur Anzahl von Nullstellen von Polynomen: Erkenntnis 2 Ein Oligonom hat nur wenige Nullstellen. Zugegeben, das ist noch keine sehr genau Aussage über die Anzahl von Nullstellen von Polynomen, aber ein Weg in die gewünschte Richtung. Mathematiker 1 Michel Rolle, geboren am 21.April 1652, gestorben am 8.November 1719, war ein französischer Mathematiker und Mitglied der Akademie der Wissenschaften. Er galt als Autodidakt, also ein Mensch, der sich seine Fähigkeiten hauptsächlich im Selbststudium aneignete. Er war in erster Linie Algebraiker und führte die noch heute üblichen Zeichen für die n-te Wurzel und auch für das = -Zeichen, das Zeichen für die Gleichheit, ein. In der Analysis ist vor allem der nach ihm benannte Satz von Rolle bekannt, der stetig differenzierbare Funktionen zum Inhalt hat.[5] 3 Die Vorzeichenregel von Descartes In diesem Abschnitt versuchen wir nun, die Anzahl positiver Nullstellen eines Polynoms etwas genauer abzuschätzen. Positive Nullstellen sind für uns deswegen interessanter als negative, weil sie in der anwendungsorientierten mathematischen Praxis sehr von Vorteil sind. Zur Begründung sei hier noch einmal auf das Beispiel 1: Flugsimulator verwiesen. Hier würden negative Nullstellen einfach keinen Sinn ergeben, weil es zb keine negativen Stangenlängen gibt. Vor allem will man aber negative z-koordinaten vermeiden, weil man nicht mit dem Cockpit durch das Fundament der Halle rauschen möchte, in der der Flugsimulator steht! Zur Bestimmung der Anzahl positiver Nullstellen ist Satz 1 zu schwach, wir hätten gerne eine genauere Abschätzung. Darum Satz 2 Vorzeichenregel von Descartes: Die Anzahl der positiven Nullstellen eines Polynoms übersteigt nicht die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge seiner von 0 verschiedenen Koeffizienten. Beispiel 5 (Wikipedia)[3] f(x) = 5x 7 + 6x 6 9x 4 4x 3 11x 2 + 7x 3 Liste der Koeffizienten: +5, +6, 9, 4, 11, +7, 3 Liste der Vorzeichen: V ZW V ZW V ZW 3 Vorzeichenwechsel Polynom hat höchstens 3 positive Nullstellen Will man die Anzahl der negativen Nullstellen wissen, so kann man auch die Vorzeichenregel von Descartes anwenden, nur auf f( x). Dabei werden die Vorzeichen der Koeffizienten mit ungeraden Exponenten geändert und die Vorzeichen der Koeffizienten mit geradem Exponenten bleiben gleich. 5

6 Beispiel 6 (Polynom aus Beispiel 5) f(x) = 5x 7 + 6x 6 9x 4 4x 3 11x 2 + 7x 3 f( x) = 5x 7 + 6x 6 9x 4 + 4x 3 11x 2 7x 3 Liste der Koeffizienten: 5, +6, 9, +4, 11, 7, 3 Liste der Vorzeichen: + + V ZW V ZW V ZW V ZW 4 Vorzeichenwechsel höchstens 4 positive Nullstellen von f( x) höchstens 4 negative Nullstellen von f(x) 6

7 Beweis 2 Satz 2: Dazu erweitert man ein gegebenes Polynom g(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n, mit den Koeffizienten a 0, a 1,..., a n, um eine positive Nullstelle und erhält f(x) = (x b)g(x), b > 0. mit den Koeffizienten a 0, a 1 ba 0, a 2 ba 1,..., a n ba n 1, ba n Denken wir uns doch einmal als Beispiel ein Polynom g(x), von dem kein Koeffizient gleich 0 ist. Und von diesem Polynom schauen wir uns nur die Vorzeichen der Koeffizienten an[2] zb: Die Vorzeichen der Koeffizienten des entsprechenden Polynoms f(x) würde man nun durch eine einfache Multiplikation bekommen: Und jetzt multiplizieren: Zuerst dann V orzeichenf(x) = (+ ) (+ + +) } {{ } } {{ } (x b) g(x) (+)(+ + +) = ( )(+ + +) = Nun diese beiden Zeilen versetzt untereinander schreiben und addieren: ??? + Die Vorzeichen der beiden ersten Koeffizienten der Polynome g(x) und f(x) sind gleich, die Vorzeichen der beiden letzten Koeffizienten aber genau entgegengesetzt (wir erinnern uns an das letzte Glied von f(x) : ba n, wobei a n das letzte Glied in der Folge von Koeffizienten von g(x) ist ). Auch sehr schön zu erkennen am Ergebnis der obigen Vorzeichenmultiplikation. Wo im Ergebnis der Multiplikation ein Fragezeichen steht, ist das Vorzeichen des entsprechenden Koeffizienten von f(x) abhängig von a k, a k 1 und der Nullstelle b. 7

8 Dort, wo im Polynom g(x) ein Vorzeichenwechsel stattfindet, im obigen Beispiel unter anderem zwischen a 1 und a 2, ist das Vorzeichen vom entsprechendem Koeffizienten von f(x) gleich dem Vorzeichen von a k, und entgegengesetzt zum Vorzeichen des zuletzt sicher bestimmten Koeffizienten, die im obigen Ergebnis also ohne Fragezeichen stehen. Fall 1: Vorzeichenwechsel in der Folge der a i von negativ auf positiv, also a k 1 < 0 und a k > 0 a k ba k 1 > 0 Fall 2: Vorzeichenwechsel in der Folge der a i von positiv auf negativ, also a k 1 > 0 und a k < 0 a k ba k 1 < 0 Jeder Vorzeichenwechsel in g(x) verursacht einen Vorzeichenwechsel in f(x). Die Vorzeichen der? sind für diesen Beweis also nicht wichtig, weil sie die Anzahl der Vorzeichenwechsel in f(x) höchstens vergrößern könnten. f(x) hat also gleich viele Vorzeichenwechsel wie g(x) +1, weil der letzte Koeffizient von f(x) gleich ba n ist. Erhöht man in einem Polynom die Anzahl der positiven Nullstellen um 1, so erhöht sich auch die Anzahl der Vorzeichenwechsel mindestens um 1. Schreibt man nun f(x) = (x b 1 )(x b 2 )...(x b k )g(x), wobei g(x) keine positiven Nullstellen hat und alle b i > 0, so kann man Folgendes feststellen: Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge von Koeffizienten von f(x) ist mindestens so groß wie die von g(x) plus k, sicher aber nicht kleiner als k. Insbesondere folgt aus der Vorzeichenregel von Descartes Satz 1. Das ist leicht zu beweisen, indem man Descartes einmal auf der positiven Halbachse und einmal auf der negativen Halbachse anwendet. Erkenntnis 3 Die Vorzeichenregel von Descartes liefert uns eine obere Schranke für die Anzahl der positiven und auch der negativen, reellen Nullstellen eines Polynoms. Leider ist dadurch aber noch immer keine genaue Aussage über die tatsächliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms möglich. Wir können allerdings schon sagen, wie viele positive und negative Nullstellen es maximal gibt. Also sind wir zumindest einen Schritt weiter. Mathematiker 2 Rene Descartes, geboren am 31. März 1596, gestorben am 11. Februar 1650 in Stockholm. Der gebürtige Franzose hielt sich dort auf, weil er der Königin von Schweden seine philosophischen Ansätze erklären durfte. Er war nicht nur Mathematiker, sondern auch Naturwissenschaftler und Philosoph. Sein bekanntester Ausspruch ist wohl cogito ergo sum, Ich denke, also bin ich. In der Mathematik gilt er als Erfinder der sogenannten analytischen Geometrie, der Verbindung zwischen Algebra und Geometrie. Weiters ist von ihm, abgesehen von der Vorzeichenregel, auch der Vier-Kreise-Satz bekannt und das Karthesische Koordinatensystem ist ebenfalls nach ihm benannt.[4] 8

9 4 Die Methode von Sturm Wie aus den vorangegangen Abschnitten 2 und 3 bereits ersichtlich, sind wir nun bereits in der Lage, Aussagen über den Zusammenhang zwischen Koeffizienten eines Polynoms und dessen Nullstellen zu machen. Mit der nächsten Methode, die wir in unser Repertoire aufnehmen wollen, gehen wir allerdings noch einen entscheidenden Schritt weiter: Die Methode von Sturm macht es uns möglich, die genaue Anzahl von Nullstellen eines Polynoms in einem gegebenen Intervall zu bestimmen. Um diese Methode anwenden zu können, müssen wir allerdings vorher eine sturmsche Kette konstruieren, mit deren Hilfe es uns möglich ist, Aussagen über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms zu treffen. Definition 2 Sturmsche Kette Sei f(x) ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen. 3 Die zugehörige sturmsche Kette ist eine Folge von Polynomen p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x) mit folgenden Eigenschaften: 1. p 0 (x) = f(x), p 1 (x) = f (x) 2. ist p k (t) = 0 (mit 0 k n), dann sind die Zahlen p k 1 (t) 0, p k+1 (t) 0 und haben verschiedene Vorzeichen. 3. p n (x) hat keine reellen Nullstellen. 4. p k 1 (x) = q(x)p k (x) p k+1 (x) q(x) ist der ganzzahlige Quotient, der bei Division von p k (x) durch p k+1 (x) entsteht, ohne den Rest zu berücksichtigen. Die vierte Eigenschaft dieser Definition beschreibt uns, wie wir rekursiv die Glieder p k, für 2 k n, der sturmschen Kette berechnen können. Diese Rekursionsvorschrift ist eine Version des euklidischen Algorithmus, der im Normalfall dazu verwendet wird, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu berechnen. Tatsächlich bestimmen wir durch das Ausführen dieser Rekursionsformel nicht nur die sturmsche Kette der Funktion f(x), sondern berechnen zusätzlich den ggt von f(x) und f (x). Somit erklärt sich auch Eigenschaft 3 der sturmschen Kette. Definition 3 Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Sturmschen Kette Sei x R beliebig, f(x) ein Polynom, (p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x)) die zu f(x) zugehörige sturmsche Kette. Dann heißt S(x) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge der p i (x) mit 0 i n. 3 Außerdem betrachten wir NUR reelle Nullstellen! 9

10 Nach den nun getroffenen Definitionen von sturmscher Kette und Anzahl der Vorzeichenwechsel, kann ein entsprechender Satz formuliert werden, der uns zusichert, dass wir die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem gegebenen Intervall bestimmen können. Satz 3 Methode von Sturm Seien f(x) ein Polynom mit keiner mehrfachen Nullstelle, (p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x)) die zugehörige sturmsche Kette von f(x) und S(x) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der sturmschen Kette für x. Die Anzahl der Nullstellen in einem Intervall [a, b] mit a, b {R }, a < b kann durch bestimmt werden. S(a) - S(b) Beweis 3 Methode von Sturm Wenn man ein gegebenes x im Intervall [a, b] von a nach b verschiebt, kann sich die Anzahl der Vorzeichenwechsel innerhalb der sturmschen Kette bezüglich x nur verändern, wenn x eine Nullstelle von einem der Polynome p i ist. x ist Nullstelle von f f(x) = p 0 (x) = 0 1. f ändert sein Vorzeichen von - nach + f (α) 0, für α [a b] Die sturmsche Kette ändert also im Übergang von α [a, x) zu α (x, b] ihre Gestalt von ( +...) zu (+ +...) 2. f ändert sein Vorzeichen von + nach - f (α) 0, für α [a, b] Die sturmsche Kette ändert also im Übergang von α [a, x) zu α (x, b] ihre Gestalt von (+...) zu (...) x ist Nullstelle von p k mit 0 < k < n p k (x) = 0. Laut Eigenschaft 2 der sturmschen Kette sind die Vorzeichen von p k 1 und p k+1 verschieden, wenn p k = 0. Damit gilt im Unterschied zum vorigen Abschnitt, dass egal wie sich das Vorzeichen von p k ändert, die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der sturmschen Kette gleich bleibt. Detailliert aufgeschrieben bedeutet das, in einer Unterscheidung von zwei Fällen, folgendes: 1. p k 1 (α) < 0, p k+1 (α) > 0; p k (α) > 0 für α [a, x) verändert sich für α (x, b]beim Überschreiten der Nullstelle zu p k 1 (α) < 0, p k+1 (α) > 0; p k (α) < 0 Schematisch ausgedrückt bedeutet dies in etwa Folgendes: 10

11 ( ) ( ) 2. p k 1 (α) > 0, p k+1 (α) < 0; p k (α) > 0 für α [a, x) verändert sich für α (x, b]beim Überschreiten der Nullstelle zu p k 1 (α) > 0, p k+1 (α) < 0; p k (α) < 0 Schematisch ausgedrückt bedeutet dies in etwa Folgendes: ( ) ( ) In beiden Fällen ändert sich die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der sturmschen Kette nicht. S(a) unterscheidet sich also nur dann von S(b), wenn f Nullstellen aufweist! Beispiel 7 Wie viele Nullstellen hat die Funktion f(x) = x 3 3x+1 im Intervall [ 3, 0] bzw. im Intervall [0, 3]? 1. Bestimmen der sturmschen Kette für f(x) Um mittels Rekursionsvorschrift f(x) = x 3 3x + 1 = p 0 f (x) = 3x 2 3 = p 1 p k 1 (x) = q(x)p k (x) p k+1 (x) die fehlenden Elemente der sturmschen Kette bestimmen zu können, müssen wir die Polynome p 0 und p 1 dividieren. x 3 3x + 1 = ( 3x 2 3 ) 1 3 x 2x + 1 x 3 + x 2x Diese Polynomdivision liefert uns p 2 = 2x 1. Da durch den Algorithmus p k+1 berechnet wird, müssen wir die Vorzeichen ändern um tatsächlich p k+1 zu erhalten. Da wir noch nicht am Ende des Algorithmus angelangt sind(p 2 hat noch Nullstellen), dividieren wir erneut, diesmal p 1 durch p 2. 3x 2 3 = ( 2x 1 ) ( 3 2 x + 3 ) x x 3 2 x x

12 Hier können wir nun p 3 = 9 4 ablesen. 2. Ablesen der sturmschen Kette x } 3 {{ 3x + 1 }, 3x } 2 {{ 3 }, } 2x {{ 1 }, 2, 25 p 0 p 1 p 2 3. Bestimmen der Funktionswerte der p i für -3, 0 und 3 (p 0 ( 3), p 1 ( 3), p 2 ( 3), p 3 ( 3)) = ( 17, 24, 7, 2.25) (p 0 (0), p 1 (0), p 2 (0), p 3 (0)) = (1, 3, 1, 2.25) (p 0 (3), p 1 (3), p 2 (3), p 3 (3)) = (19, 24, 5, 2.25) 4. Anzahl der Vorzeichenwechsel S( 3) = 3 S(0) = 2 S(3) = 0 5. Anzahl der Nullstellen im Intervall [ 3, 0] bzw. [0.3] S( 3) S(0) = 3 2 = 1 f besitzt im Intervall [ 3, 0] genau eine Nullstelle. S(0) S(3) = 2 0 = 2 f besitzt im Intervall [0, 3] genau zwei Nullstellen. Erkenntnis 4 Mit der Methode von Sturm können wir in einem gegebenen Intervall die genaue Anzahl der Nullstellen eines Polynoms bestimmen. Mit dieser Erkenntnis schließen wir unsere Arbeit ab. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir jetzt etwas über die Anzahl reeller Nullstellen wissen, wo diese jedoch genau liegen, dafür haben wir keine Anhaltspunkte bekommen! Mathematiker 3 Charles-François Sturm, geboren am 29. September 1803 in Genf, gestorben am 18. Dezember 1855 in Paris, war ein schweizerisch-französischer Mathematiker. Er arbeitete unter anderem an der ersten genauen Ermittlung der Schallgeschwindigkeit unter Wasser. Nach ihm ist nicht nur das Theorem der sturmschen Kette benannt, sondern auch Sturm-Liouville-Probleme. Diese beschäftigen sich mit der Lösung von Differentialgleichungen mithilfe von Eigenwerten.[6] p 3 12

13 Literaturverzeichnis [1] FUCHS, Dmitry; TABACHNIKOV, Serge: Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik. Berlin, Heidelberg: Springer [2] URL:http://www.cut-the-knot.org/fta/ROS2.shtml [ ] [3] URL: [ ] [4] URL: [ ] [5] URL: [ ] [6] URL: [ ] 13

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