15 Integration (gebrochen) rationaler Funktionen

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1 5 Integration (gebrochen) rationaler Funktionen Wir werden im folgenden sehen, daß sich die Integration gebrochen rationaler Funktionen auf die folgenden drei einfachen Fälle zurückführen läßt (für komplexe rationale Funktionen vgl die Bemerkung im Anschluß an Satz 5): Polynome n j=0 a jx j : Ein solches Polynom hat bekanntlich die Stammfunktion n j=0 a j j xj = n j= a j j x j (x x 0 ) l mit einem x 0 R, l N: Für diese Funktion ist eine Stammfunktion gegeben durch 3 l (x x 0) l für l>, ln x x 0 für l = Bx C (x bx c) mit B, C, b, c R, l N und l c>b (letzteres bedeutet, daß der Nenner keine reelle Nullstelle hat; er ist für alle x strikt positiv): Dieser Term läßt sich offenbar wie folgt umschreiben: Bx C (x bx c) l = B x b (x bx c) C Bb l (x bx c) l Hier hat der erste Term die Stammfunktion (der Zähler ist die Ableitung des Klammerausdrucks im Nenner): B ( l) (x bx c) l für l>, B ln(x bx c) für l = Es bleibt also eine Stammfunktion zu finden für Funktionen der Form ( ) l (x bx c) l = (x b) (c b ) = (c b ) l ( ( x b c b ) ) l

2 5 INTEGRATION (GEBROCHEN) RATIONALER FUNKTIONEN Für l = und l = sind Stammfunktionen gegeben durch arctan x b c b c b für l =, x b (c b ) x bx c x b arctan (c b ) 3/ c b für l = Die Stammfunktion für l = ist offensichtlich Für l =erhält man sie (wie auch die für l>) aus (x bx c) l dx = (x bx c) l dx (mit x b als Stammfunktion von ) x b (x b) = (l ) (x bx c) l (x bx c) dx l (mit (x b) =(x bx c) (c b )) x b = (l ) dx (x bx c) l (x bx c) l c b (l ) (x bx c) dx l durch Auflösung nach dem letzten Term Hiermit erhält man insbesondere Bx C Eine Stammfunktion von x bx c ist B ln(x bx c) C Bb arctan x b c b c b Bx C Eine Stammfunktion von (x bx c) ist B (x bx c) C Bb x b (c b ) x bx c C Bb x b arctan (c b ) 3/ c b Es bleibt also zu zeigen, daß jede (reelle) rationale Funktion auf Terme dieser Art zurückgeführt werden kann Hierzu benutzen wir den Satz 5 (Fundamentalsatz der Algebra) Sei p(z) = n k=0 a kz k ein (i allg komplexes) Polynom vom Grad n (deg p = n, a n 0) Dann existieren z j C und l j N (die Nullstellen des Polynoms p und deren Vielfachheiten) mit k p(z) =a n (z z j ) l j, j= k l j = n j=

3 3 Beweis (Der folgende einfache Beweis geht auf R Argand (768 8) zurück; er wurde 84 veröffentlicht und 80 von Cauchy vereinfacht Ein völlig anderer Beweis wird üblicherweise in der Funktionentheorie gegeben) a) Wir zeigen zunächst, daß p mindestens ein Nullstelle hat Wegen p(z) = z n an z a n z n a 0 ( z n a n ) a n z a n z n a 0 z für z 0,existierteinr>0mit p(z) a n z n > a 0 = p(0) für z r Also nimmt p(z) in der Kreisscheibe z r sein Minimum an (eine stetige Funktion auf einer beschränkten abgeschlossenen Teilmenge von R bzw C nimmt ihr Minimum an) Wir zeigen p(z 0 ) = 0, d h z 0 ist Nullstelle von p Dazunehmenwirp(z 0 ) 0an Offenbar ist p(z 0 w) ein Polynom vom Grad n in w mit konstantem Glied p(z 0 ), p(z 0 w) =p(z 0 )b k w k w k p(w) mit k n, b k 0 und einem Polynom p (dabei ist p = 0, falls k = n ist) Wählen wir nun w 0 so, daß b k w0 k t R = p(z o ) gilt (w k := k p(z 0 )/b k ), so gilt für p(z 0 tw) =( t k )p(z 0 )t k w k 0 p(tw 0 ) Für hinreichen kleine t>0 gilt dann t k p(tw 0 <t k p(z 0 ), also p(z 0 tw 0 ) <p(z 0 ) Das ist ein Widerspruch zur Wahl von z 0 als Minimum von p(z) b) Ist z 0 eine Nullstelle von p, so liefert Polynomdivision p(z) =p n (z)(z z 0 ) (der Rest ist 0, da z 0 Nullstelle von p ist) mit einem Polynom p n (z) vom Grad n mit höchstem Koeffizienten a n Iteration dieses Verfahrens liefert nach n Schritten die Behauptung

4 4 5 INTEGRATION (GEBROCHEN) RATIONALER FUNKTIONEN Satz 5 (Komplexe Partialbruchzerlegung) Sei r(z) = q(z) mit Polynomen q und p, p( ) wie im obigen Satz Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen p(z) A ij C und ein Polynom h( ) mit r(z) = h(z) A z z A k z z k A (z z ) A k (z z k ) A l (z z ) l A klk (z z k ) l k Bemerkung Zur Integration (komplexer) rationaler Funktionen kann man sich also offenbar auf die obigen Fälle und beschränken; dabei muß man dann allerdings die komplexe Logarithmusfunktion beherrschen Beweis von Satz 5 Existenz: h( ) ergibt sich durch Polynomdivision mit Rest: r(z) =h(z) q (z) p(z), deg q < deg p Also können wir o E voraussetzen r(z) = q(z) p(z) mit deg q<deg p Wir führen den Beweis durch Induktion nach n =degp Für n=,dhr(z) = c, ist nichts zu beweisen x z n n: Die Behauptung sei also richtig für deg p n und somit deg q n Habe jetzt p den Grad n, alsoq den Grad n ; z o sei eine Nullstelle von p der Ordnung l>, d h es gilt p(z) =(z z 0 ) l p(z) mit p(z 0 ) 0,l Daraus folgt (für z mit p(z) 0) q(z) p(z) q(z 0) p(z 0 ) = q(z) p(z 0) p(z)q(z 0 ) = (z z 0) q(z) p(z) p(z 0 ) p(z)

5 5 mit deg q n, also q(z) (z z 0 ) l p(z) = q(z 0) p(z 0 ) (z z 0 ) l q(z) (z z 0 ) l p(z) Auf den letzten Term kann die Induktionsvoraussetzung angewandt werden Eindeutigkeit: Seien zwei solche Darstellungen mit A ij,a ij gegeben Multiplikation mit (z z j ) l j liefert, wenn man z = z j setzt: A jlj = A jl j Anschließend verfährt man entsprechend mit (z z j ) l j, (z z j ) l j, Schließlich ergibt sich die Eindeutigkeit von h( ) Satz 53 (Reelle Partialbruchzerlegung) Ist p ein reelles Polynom, so erhält man anstelle der Resultate der beiden vorhergehenden Sätze: r a) p(x) =c (x x j ) l j j= k (x b j x c j ) m j mit b j <c j j= b) r(x) = q(x) p(x) = h(x) A x x A l (x x ) l A r (x x r ) A rl r (x x r ) lr B x C B m x C m x b x c (x b x c ) m = h(x) r B k x C k B km k x C kmk x b k x c k (x b k x c k ) m k l j j= l= A jl k (x x j ) l m j j= m= B jm x C jm (x b j x c j ) m Beweis a) Ergibt sich aus Satz?? durch Zusammenfassen der Terme (x z j ) und (x z j )=x z j

6 6 5 INTEGRATION (GEBROCHEN) RATIONALER FUNKTIONEN b) Zusammenfassung der Terme mit x z j und x z j in Satz?? ergibt (mit x bx c =(x z j )(x z j ), wobei wir auf den Index j verzichten) g(x) mit deg g<l (x bx c) l (Polynomdivision mit (x bx c) l ) A x C = x bx c g (x) mit deg g (x bx c) l (l ) (Polynomdivision mit (x bx c) l ) A x C = x bx c A x C (x bx c) g (x) (x bx c) l = Dies liefert nach l Schritten die Behauptung mit deg g (l ) Beispiel 54 x4 x(x ) Die Nullstellen des Nenners sind: x =0, x =, x 3 = Polynomdivision mit Rest ergibt: (x 4 ):(x 3 x) =x x x(x ) (h(x) =x) Die Partialbruchzerlegung hat also die Form: x x(x ) = A x A x A 3 x Multiplikation mit dem Nenner x(x ) der linken Seite ergibt x = A x A A x A x A 3 x A 3 x Koeffizientenvergleich ergibt: x : = A A A 3, x : 0 = A A 3, x 0 : = A

7 7 Die letzte Gleichung liefert A ; die zweite Gleichung liefert A = A 3 ; zusammen mit der ersten Gleichung folgt also: x 4 x(x ) = x x 3, x 3 x, und somit für das gesuchte Integral x 4 x dx = x(x ) ln x 3 ( ) ln x ln x = x ln( x x )3/ x Beispiel 55 x 4 Die Nullstellen des Nenners x 4 sind: z = ( i), z = z = ( i), z 3 = ( i), z 4 = z 3 = ( i), und somit (x z )(x z )=x x =x b x c, b =, c =, (x z 3 )(x z 4 )=x x =x b x c, b =, c =, also x 4 = ( x )( x x ) x Die Partialbruchzerlegung hat also die Form x 4 = B x C x x B x C x x

8 8 5 INTEGRATION (GEBROCHEN) RATIONALER FUNKTIONEN Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner ( x 4 ) der linken Seite liefert in geeigneter Anordnung der Terme: = B x 3 B x B x C x C x C B x 3 B x B x C x C x C Koeffizientenvergleich ergibt: x 3 : 0 = B B, x : 0 = B B C C, x : 0 = B B C C, x 0 : = C C Hieraus erhält man leicht C = C =, B = B =, und somit die explizite Partialbruchzerlegung x = x 4 x x x x x Mit der oben unter Nr 3 angegebenen Formel erhalten wir also für die Stammfunktion: x dx = B 4 ln(x b x c ) C B b arctan x b c b c b B ln(x b x c ) C B b arctan x b c b c b = 4 ln(x x ) arctan (x ) 4 ln(x x ) arctan (x )

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