Funktionentheorie, Woche 11. Funktionen mit Singularitäten Meromorphe Funktionen

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1 Funktionentheorie, Woche Funktionen mit Singularitäten. Meromorphe Funktionen Definition. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P = f ( hat keine Häufungspunkte; 2. f : U\P C ist holomorph; 3. f hat einen Pol in jedem w P. Beispiel.2 Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich ist, ist q mit q(z = /p(z eine meromorphe Funktion auf C. Beispiel.3 Die Funktion z (e iz e iz ist meromorph auf C. Lemma.4 Sei U C offen.. Wenn f, g : U C holomorphe Funktionen sind mit g 0, dann ist f/g meromorph auf U. 2. Wenn h meromorph auf U ist, dann gibt es zu jedem w U eine Umgebung B r (w und zwei holomorphe Funktionen f, g : U C mit h = f/g. Beweis. i Wenn die Funktion g holomorph ist und nicht identisch 0, kann sie höchstens isolierte Nullstellen haben, und die Nullstellen sind endlicher Ordnung. Siehe Satz 7.7. Eine Nullstelle von g mit Ordnung n führt zu einem Pol in f/g (wenn nicht auch f da eine Nullstelle hat. ii Sei w U. Wenn h keinen Pol in w hat, dann ist h holomorph in w und man kann h mit Hilfe einer Potenzreihe f mit positivem Konvergenzradius schreiben. Man setze g. Wenn h einen Pol von Ordnung n hat, setzt man g(z = (z w n, und (z w n h(z kann man in w zu einer holomorphen Funktion erweitern. Lemma.5 Sei U C offen. Wenn f, g : U C meromorphe Funktionen sind mit g 0, dann sind f + g, f g, f.g und f/g meromorphe Funktionen auf U. 9

2 Juni 2008 Woche, Funktionen mit Singularitäten Der Beweis ist direkt und wird dem Leser überlassen. Sei U C offen, und sei Γ das Bild einer linksherum laufenden (differenzierbaren Jordan-Kurve γ. Nehmen wir an, dass Γ und sein Innengebiet in U liegen. Sei f meromorph auf U und derart, dass f weder Nullstellen noch Polstellen auf Γ hat. Wir schreiben # N (f, Γ = die Zahl der Nullstellen von f innerhalb von Γ, # P (f, Γ = die Zahl der Polstellen von f innerhalb von Γ, wobei inklusive Multiplizität gezählt wird. Beispiel.6 Für g(z = (z 2 (z+i(z 5 4 (z+ 2 gilt # N (g, B 2 (0 = 3 und # P (g, B 2 (0 = 2. Lemma.7 Seien f und Γ wie oben. Dann gilt # N (f, Γ # P (f, Γ = 2πi γ f (z f(z dz. Beweis. Sei m Z und w U. Lokal hat man f(z = k=m α k (z w k mit α m 0. Wenn m > 0, dann ist w eine Nullstelle von f mit Ordnung m. Wenn m < 0, dann ist w eine Polstelle von f von Grad m. Es gilt für m 0, dass f (z f(z = k=m kα k (z w k k=m α k (z w k = z w h(z wobei h(z = k=0 (k + m α k+m (z w k k=0 α k+m (z w k eine in einer Umgebung von w holomorphe Funktion ist. Weiter gilt h(w = mα m α m = m. Die Funktion z f (z/f(z ist holomorph in einer Umgebung von w, wenn f in w keine Nullstelle und auch keine Polstelle hat. Wenn f in w eine Nullstelle oder Polstelle hat, hat z f (z/f(z einen Pol von Ordnung und es folgt ( { f #N (f, B ε (w für m > 0, Res w = m = f # P (f, B ε (w für m < 0. Der Residuensatz liefert das Ergebnis. Satz.8 (Rouché Seien f und g meromorphe Funktionen auf U und seien f und Γ wie oben. Wenn f(z g(z < f(z für alle z Γ, (. dann gilt # N (f, Γ # P (f, Γ = # N (g, Γ # P (g, Γ. (.2

3 .2 Partialbruchentwicklung 25. Juni Bemerkung.8. Wenn f und g holomorph sind, dann findet man # N (f, Γ = # N (g, Γ. Beweis. Betrachte h(θ, z = ( θ f(z + θg(z für θ [0, ]. Für alle θ [0, ] ist z h(θ, z eine meromorphe Funktion. Außerdem gilt f(z h(θ, z = θ f(z g(z f(z g(z < f(z für alle z Γ, und h(θ, z hat weder eine Nullstelle noch eine Polstelle auf Γ: Bei einer Nullstelle w Γ liefert f(z = f(z h(θ, z < f(z den Widerspruch; bei einer Polstelle w Γ Dann ist = lim f(z h(θ, z < f(z. Γ z w h (θ, z 2πi γ h(θ, z dz mit h (θ, z = h(θ, z für jedes θ [0, ] wohldefiniert. Außerdem ist dieser Ausdruck z stetig als Funktion von θ. Weil 2πi nur ganze Zahlen als Wert annimmt, folgt γ h (θ, z h(θ, z dz = # N(h(θ,, Γ # P (h(θ,, Γ θ # N (h(θ,, Γ # P (h(θ,, Γ ist konstant. Das besagt genau, dass (.2 erfüllt ist..2 Partialbruchentwicklung Jede meromorphe Funktion h kann als Singularitäten also nur Polstellen p l haben. Bei so einer Polstelle kann man h wie folgt schreiben h(z = k= m α k (z p l k + g(z wobei g eine in einer Umgebung von p l holomorphe Funktion ist. Man nennt k= m α k (z p l k (.3 den Hauptteil von h an der Stelle p l. Die Parameter m N + und α k C sind i.a. für jede Polstelle unterschiedlich. Die Polstellen p l mit den Hauptteilen nennt man die Hauptteilverteilung von h: { } α l,k (z p l k k= m l l=

4 Juni 2008 Woche, Funktionen mit Singularitäten Die zentrale Frage, die wir nun betrachten, ist, ob man zu vorgegebenen Hauptteilen bei isolierten Polstellen immer eine meromorphe Funktion finden kann. Wenn U C beschränkt ist, ist die Frage leicht zu lösen. Für beschränktes U gibt es höchstens endlich viele Polstellen, und man summiert die Hauptteile. Bei unbeschränkten Gebieten, wie zum Beispiel ganz C, ist die Frage weniger einfach. Wenn man erneut einfach die Hauptteile addiert, kann man nicht garantieren, dass diese Summe konvergiert. Bevor wir uns an eine Konstruktion wagen, die unendlich viele Terme enthalten muss, müssen wir uns also eine Art von Konvergenz überlegen. Eine Schwierigkeit dabei bilden die Polstellen. Definition.9 Sei {f l } l= eine Folge meromorpher Funktionen. Man sagt, dass l= f l kompakt konvergiert auf U, wenn es für jede kompakte Teilmenge K U ein l K gibt, so dass gilt: f l für l l K ist holomorph auf K. l=l K f l konvergiert gleichmäßig auf K. Bemerkung.9. Eine Funktionenfolge {g l } l= konvergiert gleichmäßig gegen g auf K, wenn ε > 0 l ε N z K : l l ε g l (z g(z < ε. (.4 Anders gesagt: lim g l g L l (K = 0 wobei g l g L (K = sup { g l(z g(z ; z K}. Bemerkung.9.2 Wenn für eine Funktionenfolge gilt ε > 0 l ε N z K : k, l l ε g l (z g k (z < ε, (.5 dann kann man g definieren durch g(z = lim l g l (z und g l konvergiert gleichmäßig gegen g: Sei ε > 0, nehme l ε/2 in (.5, und k z l ε/2 derart, dass g kz (z g(z < ε/2. Für l > l ε/2 folgt g l (z g(z g l (z g kz (z + g kz (z g(z < < ε/2 + ε/2 = ε. Eine gleichmäßige Cauchy-Folge von Funktionen ist gleichmäßig konvergent. Wenn die g l in (.5 stetig sind, dann ist auch g stetig: Sei ε > 0 und nehme l ε/4 in (.4. Für k > l ε/4 folgt g(w g(z g(w g k (w + g k (w g k (z + g k (z g(z ε/4 + g k (w g k (z + ε/4. Weil g k stetig ist, gibt es δ > 0 derart, dass g k (w g k (z < ε/2 für w z < δ. Satz.0 (Mittag-Leffler Sei {p l } l= eine Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt. Wir dürfen annehmen, dass Sei m l Z, α l,k C und 0 < p p 2... f l (z = k=m l α l,k (z p l k.

5 .2 Partialbruchentwicklung 25. Juni Wenn es ganze Funktionen g l gibt derart, dass f = (f l g l (.6 l= kompakt konvergiert, dann ist f eine meromorphe Funktion auf C mit der gewünschten Hauptteilverteilung. 2. Nimmt man für g l das Taylorpolynom zu f l in 0 mit hinreichend hohem Grad, dann ist (.6 kompakt konvergent. Bemerkung.0. Weil {p l } l= keinen Häufungspunkt hat, kann man nach Größe des Betrags ordnen. Wir haben angenommen, dass 0 < p. Das darf man ohne Verlust der Allgemeinheit. Wenn p = 0, kann man um p 2 2 p verschieben. Beweis. Nehmen wir an, dass (.6 kompakt konvergiert. Es reicht, wenn wir zeigen, dass f auf jeder kompakten Menge K C die gewünschte Hauptteilverteilung hat. Aus der Annahme folgt, dass es l K gibt, so dass l=l K (f l g l gleichmäßig konvergiert auf K. Weil die f l holomorph sind auf K, ist auch l=l K (f l g l holomorph auf K. Die Hauptteilverteilung auf K ist nun endlich und enthält genau die gewünschten f l. 2 Weil die Polstellen keinen Häufungspunkt haben, gibt es höchstens endlich viele mit dem gleichen Radius. Setzt man r l = p l, dann folgt lim l r l =. Weil f l holomorph ist auf B rl (0, kann man ein Taylorpolynom finden derart, dass f l (z g l (z < 2 l für z B r l /2(0. Sei nun K eine kompakte Menge und sei l K derart, dass K B rlk /2(0. Für l l K ist f l g l holomorph auf K, und es gilt (f l (z g l (z f l (z g l (z 2 = für K. l 2 l K+ l=l K l=l K l=l K So konvergiert l=l K (f l g l gleichmäßig. Wenn es zwei Lösungen einer Hauptteilverteilung gibt, sagen wir f und f, dann hat f f nur hebbare Singularitäten und das bedeutet, dass f(z f(z für z {p l } h(z := ( lim f(z f(z (.7 für z = p l z p l eine holomorphe Funktion ist. Satz. (Partialbruchzerlegung Sei f eine meromorphe Funktion auf C mit Polstellen 0 = p 0 < p p 2... ohne Häufungstelle und Hauptteilverteilung {f l } l=0.. Dann gibt es {k l } l=0 N derart, dass g(z = f 0 (z + (f l (z T kl (z (.8 l= kompakt konvergiert. Hier ist T kl (z das Taylorpolynom zu f l in 0 vom Grad k l.

6 Juni 2008 Woche, Funktionen mit Singularitäten 2. Wenn g(z = f 0 (z + ( fl (z (z (.9 T kl kompakt konvergiert, dann gibt es eine ganze Funktion h derart, dass l= f(z = h(z + g(z. Bemerkung.. Ohne Verlust der Allgemeinheit haben wir 0 als Polstelle genommen, denn man kann immer verschieben. Beweis. Jede meromorphe Funktion f kann nur Polstellen ohne Häufungspunkt haben. In der Nähe einer Polstelle hat f einen eindeutigen Hauptteil. Also hat f eine eindeutige Hauptteilverteilung. Der Satz von Mittag-Leffler liefert eine meromorphe Funktion g wie in (.8. Jedes g wie in (.9 hat die gleiche Hauptteilverteilung. Betrachtet man zwei meromorphe Funktionen f und f mit gleicher Hauptteilverteilung {f l } l=0, dann liefert (.7 die ganze Funktion h. Beispiel.2 Wenn wir als Hauptteilverteilung { } z n n Z f(z = z + ( z n + n n Z\{0} eine passende meromorphe Funktion. Sei K B R (0. Dann gilt:. Für n n 0 := 2 [R + ] ist z z n + n 2. für z K gilt n N mit n n 0 = { Beispiel.3 Wenn z + n N mit n n 0 z (n+mi n,m Z (n,m (0,0 ( z n n + ( } z n (n z n,m Z holomorph auf K; n N mit n n 0 m=n 0 4R m 2 < haben wollen, dann ist z n + n = 4R n 0 <. die Hauptteilverteilung ist, dann ist z (n + mi + n + mi + z (im + n 2 eine passende meromorphe Funktion. Der Ausdruck z + ( n,m Z (n,m (0,0 z (n + mi + n + mi ist nicht kompakt konvergent. Eine Begründung zu beiden Aussagen soll der Leser selber geben.

7 .3 Einige Partialbruchentwicklungen 25. Juni Einige Partialbruchentwicklungen Proposition.4 Für z C gilt: (sin z 2 = (z nπ 2. Beweis. Weil die Funktion z / (sin z 2 Polstellen in nπ hat und weil in einer Umgebung von nπ gilt sin z = ( n (z nπ ( + O (z nπ 2, gilt auch (sin z 2 = ( + O (z nπ 2 (z nπ 2. Deshalb hat / (sin z 2 die Hauptteilverteilung { } (z nπ 2. n Z Sei K kompakt und n 0 N so gewählt, dass K B n0 π/2(0. Dann gilt für z K und n n 0, dass z nπ nπ z nπ n 0 π/2 2 n π und Also ist Leffler, dass g mit (z nπ 2 (z nπ 2 n n 0 n 2 π 2. n n 0 4 kompakt konvergent, und man findet mit dem Satz von Mittag- g(z = (z nπ 2 eine meromorphe Funktion ist mit gleicher Hauptteilverteilung wie z / (sin z 2. Der Satz zur Partialbruchzerlegung besagt, dass ( 2 h(z = sin z (z nπ 2 (.0 eine ganze Funktion ist (nach Fortsetzung durch den Grenzwert in den Polstellen nπ. Wir schauen uns h genauer an. Weil die rechte Seite von (.0 periodisch ist in der reellen Richtung, ist auch h periodisch h(z + 2kπ = h(z. Dann ist h beschränkt auf R + i [a, b]. Außerdem gilt, dass h gegen 0 konvergiert in den imaginären Richtungen: ( 2 2 sin z = 2i e ix e y e ix e y = = 4 e ix e y e ix e y 2 4 (e y e y 2 0 für y. (.

8 Juni 2008 Woche, Funktionen mit Singularitäten Für y π setzen wir n x = [x/π]. Es gilt (z nπ 2 n=n x+ (n n x 2 π 2 + y 2 + y y 2 + Dann gilt ( 2 h(x + iy sin z + (x nπ 2 + y 2 n x π 2 t 2 + y 2 dt = 3 y 2 + y (n n x + 2 π 2 + y 2 0 für y. (.2 (z nπ 2 0 für y. (.3 Also h ist beschränkt und aus dem Satz von Liouville folgt, dass h konstant ist. Wegen der Abschätzung in (.3 folgt sogar h = 0. Proposition.5 Für z C gilt: ( 2 π = sin (πz (z n 2, n Z ( 2 π = ( cos (πz n Z z + n 2, 2 π cot (πz = z + n Z\{0} ( π tan (πz = n Z π = sin (πz z + π sin (πz π cos (πz π cos (πz ( z n + n, z n + n n Z\{0} n=, ( n ( z n + n = z + ( n 2z z 2 n, 2 = π + ( ( n z + n + n Z 2 ( = π + ( n 2n + n=0 z 2 ( n + 2 Bemerkung.5. Die zweite Formel liefert für z = 0: π 2 = 8 ( Der Beweis der Proposition wird dem Leser überlassen., n +, n + 2.