Die j-funktion, Abschätzung der Fourierkoeffizienten. 1 Grundlagen

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1 Die j-funktion, Abschätzung der Fourierkoeffizienten Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, Felix Voigtländer Diese Ausarbeitung beschäftigt sich zunächst mit der j-funktion. Diese stellt einerseits eine Bijektion zwischen der Menge der Bahnen H/Γ und C her. Andererseits ist sie unter den modularen Funktionen vom Gewicht 0, die also invariant unter der Operation der Modulgruppe sind, dadurch ausgezeichnet, dass sich jede solche Funktion als rationale Funktion in der j-funktion darstellen lässt, was auch den Namen absolute Invariante rechtfertigt. Im zweiten Teil wird eine Abschätzung für die Fourierkoeffizienten von Modulformen bewiesen, so dass darauf aufbauend die Definition der einer Modulform zugeordneten L-Reihe gegeben wird und deren Konvergenz bewiesen werden kann. Grundlagen In diesem Abschnitt werden kurz einige wichtige Ergebnisse aus vorherigen Vorträgen zusammengefasst.. Bemerkung Die Gruppe Γ : SL Z operiert durch γ.z : cz+d az+b a für γ c oberen Halbebene. Für den sogenannten Fundamentalbereich { D : z H Re z < } und z > existiert zu jedem z H ein γ Γ mit γ.z D. b Γ auf der d Wir benutzen die Notationen Γz : {γ.z γ Γ} für z H und H/Γ : {Γz z H}.. Definition Sei k Z. Eine meromorphe Funktion f : H C heißt schwach modular vom Gewicht a b k, falls für alle γ Γ und alle z H, in denen f keinen Pol hat, die c d Gleichung az + b f γ.z f cz + d k f z cz + d

2 Grundlagen erfüllt ist. Eine schwach modulare Funktion f heißt modulare Funktion, falls f meromorph in ist, das heißt, wenn es ein γ > 0 gibt, so dass f auf dem Streifen S γ, {z H γ < Im z < } holomorph ist und für die Fourierentwicklung der Form f z n a n e πinz auf S γ, ein m N existiert, so dass für n Z mit n < m schon a n 0 gilt. Dann wird für r : e πγ > 0 durch f : K 0,r 0 C, z n a n e πinz eine auf K 0,r 0 holomorphe Funktion definiert. Die Ordnung von f in wird in diesem Fall definiert durch ord f z : ord 0 f z und das Residuum in wird gegeben durch Res f z : Res 0 f z. Eine modulare Funktion f heißt Modulform, falls f holomorph auf H und holomorph in ist, das heißt, dass für die Koeffizienten der Fourierentwicklung a n 0 für n Z mit n < 0 gilt. Eine Modulform f heißt Spitzenform, falls zusätzlich a 0 0 gilt..3 Bemerkung Sei k Z. Eine meromorphe Funktion f : H C ist genau dann schwach modular vom Gewicht k, falls für jedes z H, in dem f keinen Pol hat, gilt: f z + f z und f z k f z. z.4 Bemerkung Die Eisensteinreihen G k : m,n 0,0 vom Gewicht k, für die die Darstellung mz+n k für k N, k 4 sind Modulformen G k z ζ k + πik k! σ k n e πinz n für z H gilt. Dabei ist σ k n : d n d k die k-te Teilerpotenzsumme. Für die ersten Werte der Zetafunktion gilt weiter: ζ π π4 6, ζ 4 90 und ζ 6 π Bemerkung Für g 4 : 60 G 4 und g 6 : 40 G 6 ist die Diskriminante definiert als : g4 3 7g 6. Damit ist eine Spitzenform vom Gewicht, die auf H nullstellenfrei ist.

3 Die j-funktion.6 Satz k -Formel, Gewichtsformel Sei f : H C, f 0 eine modulare Funktion vom Gewicht k. Sei weiter ρ : e πi /3, sowie für z H, z Γi e z : 3, z Γρ sonst. Dann gilt: ord f z + ord w f z e Γw H/Γ w k. Insbesondere ist die auftretende Summe endlich und wohldefiniert, das heißt, ord w f z hängt nur von Γw ab..7 Bemerkung Für k N 0 hat der C-Vektorraum M k der Modulformen vom Gewicht k als Basis die Familie von Monomen G4 m Gn 6 mit m, n N 0 und m + 3n k. Die j-funktion In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften der j-funktion untersucht. Das Kernergebnis ist, dass sich jede modulare Funktion vom Gewicht 0 als rationale Funktion in j schreiben lässt. Wir beginnen mit der zentralen. Definition j-funktion, absolute Invariante Die Funktion j : H C, z g 4 z 3 heißt j-funktion oder absolute Invariante. z Die ersten Eigenschaften der j-funktion werden zusammengefasst in dem folgenden. Lemma. Die j-funktion ist eine modulare Funktion vom Gewicht 0.. Die absolute Invariante ist holomorph auf H und hat einen einfachen Pol in mit Res j z. 3. Die j-funktion liefert eine wohldefinierte Bijektion j : H/Γ C, Γz j z. 3

4 Die j-funktion Beweis. Da eine Modulform vom Gewicht und g 4 eine Modulform vom Gewicht 4 ist, gilt für z H: und weiter: j z j z + g 4 z + 3 z + g 4 z 3 z z4 g 4 z 3 z z g 4 z 3 z j z g 4 z 3 z z 0 j z. Weil f, wie in Teil des Beweises gezeigt wird, holomorph auf H und meromorph in ist, folgt nach Bemerkung.3 die Behauptung.. Nach Bemerkung.5 ist die Diskriminante nullstellenfrei auf H, so dass j mit g 4 und holomorph auf der oberen Halbebene ist. Wegen Bemerkung.4 hat man für z H die Darstellungen Definiere g 4 z 60 G 4 z π4 g 6 z 40 G 6 z π A : K 0 C, z 40 B : K 0 C, z n0 σ 3 n e πinz n σ 5 n e πinz. n σ 3 n + z n σ 5 n + z n. n0 Dann sind A und B holomorph und man hat für z K 0 die Darstellung z ĝ 4 z 3 7 ĝ 6 z π z A z 7 π 78 z π 78 π 6 + z B z z A z k k z B z k k k0 k0 3 z k A z k+ k + z k B z k+. k + k0 k0 }{{} :Cz 4

5 Die j-funktion Dabei ist C : K 0 C holomorph mit C 0 π 78 3 A 0 B 0 π σ σ 5 π π 0. Ebenso gilt ĝ π 0. Also hat man für z K 0 \ {0} die Darstellung ĵ z z ĝ 4 z 3, C z wobei ĝ 4z 3 eine auf K Cz 0 holomorphe Funktion darstellt, die in 0 nicht verschwindet. Damit hat ĵ in 0 einen Pol erster Ordnung, so dass auch j in einen Pol erster Ordnung hat. Für das Residuum gilt folglich: Res j z Res 0 ĵ z lim z 0 z ĵ z lim z 0 ĝ 4 z 3 C z Das war die Behauptung. π. π 3. Wir zeigen zuerst, dass die Abbildung j : H/Γ C, Γz j z wohldefiniert ist. Seien also z, z H mit z a b γ.z für ein γ Γ. Dann ist: c d j z az + b j cz + d 0 j z j z, cz + d da j eine Modulform vom Gewicht 0 ist. Die damit wohldefinierte Funktion j ist nun genau dann bijektiv, wenn für λ C die Funktion f λ : H/Γ C, Γz j Γz λ genau eine Nullstelle hat; das heißt, dass für f λ : H C, z j z λ genau ein Γw H/Γ mit ord w f λ z > 0 existiert. Mit j ist auch f λ modular vom Gewicht 0, hat einen Pol erster Ordnung in und ist holomorph auf H. Für λ / {j i, j ρ} erhält man deshalb nach der k/-formel Satz.6 wegen ord w f λ z 0 für Γw H/Γ: ord f λ z + }{{} ord i f λ z + }{{} 3 ord ρ f λ z + }{{} 0 0 Γw H/Γ\{Γi,Γρ} ord w f λ z }{{} 0 was nur möglich ist, wenn ord w f λ z für genau ein Γw H/Γ gilt. 0, 5

6 Die j-funktion Für λ j i ergibt sich: ord f λ z + }{{} ord i f λ z + }{{} 3 ord ρ f λ z + }{{} 0 Γw H/Γ\{Γi,Γρ} ord w f λ z }{{} 0 0, woraus man ord w f λ z 0 für Γw H/Γ \ {Γi, Γρ} sowie ord ρ f λ z 0 schließt, da die linke Seite sonst nicht verschwinden kann. Genauso schließt man im Fall λ j ρ. Insgesamt folgt die Bijektivität von j. Das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts ist der folgende.3 Satz Sei f : H C meromorph auf H. Dann sind äquivalent:. f ist eine modulare Funktion vom Gewicht 0.. f ist Quotient zweier Modulformen gleichen Gewichts. 3. f ist eine rationale Funktion in der absoluten Invarianten j. Beweis Wir zeigen den Ringschluss : Sei f C j, also f z n k0 a k j k z m k0 b k j k z für geeignete m, n N 0 und a,..., a n, b,..., b m C mit a n 0 b m. Sei weiter l : max {n, m}. Dann haben g : n k0 a k j k und h : m k0 b k j k in jeweils einen Pol der Ordnung n, beziehungsweise m, da j in einen Pol erster Ordnung hat. Die Diskriminante hat als Spitzenform eine Nullstelle in, so dass l g und l h holomorph in sowie auf H und jeweils schwach modular vom Gewicht l, insgesamt also Modulformen vom Gewicht l sind. Wegen f l g folgt die Behauptung. l h. : Seien g, h : H C Modulformen zum Gewicht k Z mit h 0 und f g h. Da g, h als Modulformen holomorph auf H sind, ist f g h meromorph auf H und es gilt für z H mit f z : f z + gz+ f z und weiter: f z g h z z hz+ gz hz zk g z z k h z g z h z z0 f z. Damit ist f nach Bemerkung.3 schwach modular vom Gewicht 0. Wir müssen noch zeigen, dass f g h meromorph in ist. Weil g, h Modulformen sind, gibt es holomorphe Funktionen ĝ, ĥ : E C mit g z ĝ e πiz und h z ĥ e πiz 6

7 Die j-funktion für z H. Damit ist f z gz hz ĝeπiz ĥe πiz ĝ e πiz für z C, wobei wegen ĥ ĝ h 0 auch ĥ 0 gilt, so dass : E Ĉ meromorph ist. Damit ist nach Definition ĥ f meromorph in, insgesamt also als modulare Funktion vom Gewicht 0 erkannt : Sei f modular vom Gewicht 0 und ohne Beschränkung der Allgemeinheit f 0. Nach der k -Formel Satz.6 hat f dann nur endlich viele Polstellen Γa,..., Γa n H/Γ modulo Γ mit Ordnungen k,..., k n N für ein n N 0, und der Begriff einer Polstelle modulo Γ ist wohldefiniert, das heißt z H ist genau dann eine Polstelle, wenn γ.z für ein γ Γ eine Polstelle ist. Die Polstellen von f sind also genau die γ.a l für beliebige l n : {,..., n} und γ Γ, jeweils mit Ordnung k l. Da j invariant unter Γ ist, hat die Funktion ψ : H C, z n j z j a m k m m für l n und γ Γ eine Nullstelle in γ.a l mit ord γ.al ψ z k l. Deshalb ist die durch n g : H C, z f z j z j a m k m m definierte Funktion holomorph auf H. Außerdem ist f genau dann eine rationale Funktion in j, wenn dies für g gilt. Weiterhin ist mit f und j auch g modular vom Gewicht 0. Sei k : ord g z N, falls g einen Pol in hat, oder k : 0 sonst. In jedem Fall hat die holomorphe Funktion ĝ : K 0, 0 C mit ĝ e πiz g z für z H einen Pol der Ordnung k in 0 wobei ein Pol der Ordnung 0 als hebbare Singularität zu verstehen ist. Weil : K 0 C mit e πiz z für z H eine Nullstelle in 0 hat da eine Spitzenform ist, ist h : g k holomorph auf H, wobei ĥ ĝ k holomorph in 0 ist. Damit ist h holomorph in und es gilt für z H einerseits h z + g z + z + k g z z k h z und andererseits h z g k k z 0 g z z z z k h z, z z weil g modular vom Gewicht 0 und nach Bemerkung.5 eine Spitzenform vom Gewicht ist. Nach Bemerkung.3 ist h damit als Modulform vom Gewicht k erkannt. Bemerkung.7 liefert dann, dass h eine Darstellung der Form h r γ m G α m 4 G β m 6 m 7

8 Die j-funktion für ein r N mit γ,..., γ r C, sowie α,..., α r, β,..., β r N 0 und α m + 3β m k 6k für m r {,..., r} besitzt. Für m r erhält man aus der Gleichung α m + 3β m 6k durch Reduktion modulo 3, beziehungsweise, die Kongruenzen α m 3α m α m α m 6k 3β m 0 mod 3, β m β m + β m 3β m 6k α m 0 mod, das heißt für m r ergibt sich α m : α m 3 N 0 und β m : β m N 0 mit α m + β m k. Damit ist also g h k r m G α m 4 G β m 6 γ m k r G 3 γ 4 m m α m G 6 β m. Da die rationalen Funktionen in j eine assoziative C-Algebra bilden, reicht es deshalb, zu zeigen, dass G3 4 und G 6 Es gelten aber die Identiäten: rationale Funktionen in j sind. und j g 4 3 j G G G G 6 3 G G G G G6 G 6. Die Behauptung folgt. 8

9 3 Abschätzung der Fourierkoeff. 3 Abschätzung der Fourierkoeffizienten und Definition von L-Funktionen Wir wollen den Modulformen so genannte L-Reihen, beziehungsweise L-Funktionen zuordnen, indem wir die Fourier-Koeffizienten als Koeffizienten für Dirichlet-Reihen, das heißt Reihen der Form m α m m s für eine komplexe Folge α m m N, betrachten. Die L-Funktion ist dann die durch die Reihe definierte holomorphe Funktion. Um die Konvergenz der L-Reihen auf einer Halbebene der Form {z C Re z > γ} für ein γ R zu sichern, werden Wachstumsaussagen für die Fourierkoeffizienten benötigt. Das Wachstum der Koeffizienten von Eisensteinreihen beschreibt das folgende 3. Lemma Sei k N, k 4 und G k die k-te Eisensteinreihe; dann existieren A, B > 0, so dass für die Koeffizienten der Fourierentwicklung G k z n0 a n e πinz die Abschätzung A n k a n B n k für alle n N gilt. Beweis Nach Bemerkung.4 gilt für die Koeffizienten der Eisensteinreihe für n N: a n πik k! σ k n k πi k! d k d n π k k! d k π k k! nk. d n Also gilt die untere Abschätzung für A : πk betrachte man a n A nk d n d k A nk d n nd k A d n k! wobei die dritte Gleichheit folgt, weil die Abbildung d k A d > 0. Für die andere Richtung A ζ k <, dk χ : {d N d n} {d N d n}, d n d bijektiv da wohldefiniert und selbstinvers ist. Damit ist für B : A ζ k > 0 die zweite behauptete Ungleichung erfüllt. 9

10 3 Abschätzung der Fourierkoeff. 3. Definition Sei α n n N C N. Man schreibt α n O n χ für ein χ R, wenn ein C > 0 existiert, so dass α n C n χ für alle n N gilt. Für allgemeine Spitzenformen vom Gewicht k hat Deligne gezeigt, dass eine Wachstumsabschätzung der Form a n O n k +ε für jedes ε > 0 gilt. Wir begnügen uns mit einer etwas schwächeren Abschätzung. 3.3 Satz Abschätzung der Fourierkoeffizienten von Spitzenformen Ist f : H C eine Spitzenform vom Gewicht k N 0, so hat man für die Koeffizienten der Fourierentwicklung f z n a n e πinz die Wachstumsbeschränkung a n O n k /. Beweis Wir betrachten die Abbildung φ : H C, z Im z k / f z und zeigen, dass φ beschränkt ist. Es ist φ invariant unter Γ, denn für z x + iy H mit x, y R und a b γ Γ SL c d Z gilt: φ γ.z Im γ.z k / f γ.z Im Im ax + aiy + b cx + d ciy cz + d k/ a x + iy + b cz + d k f z c x + iy + d k/ cz + d k f z Im ax + aiy + b cx + d ciyk / cz + d k cz + d k f z ad bc y }{{} detγ k/ f z Im z k / f z φ z. Die Abbildung g : E C, z n0 a n+ z n, das heißt g z f z z, ist holomorph und damit insbesondere stetig auf E. Deshalb existiert ein M > 0 mit g z M für x z K 0. Es ist außerdem lim k / x 0, das heißt zu ε existiert ein C > 0 e πx mit x k/ e πx für x > C. Die stetige Funktion [0, C] R, x x k / e πx ist auf dem Kompaktum [0, C] beschränkt, so dass ein M > mit x k/ e πx M für x [0, C] existiert, womit diese Abschätzung für jedes x R + gilt. Für z H mit 0

11 3 Abschätzung der Fourierkoeff. e πiz K 0, das heißt Im z > ln π ln π φ z Im z k / f z Im z k / eπiz Im z k / e πimz > 0 gilt dann die Ungleichung: a n+ e πinz n0 g e πiz M Im z k/ e πimz MM : C. Wir betrachten den { Abschluss des Fundamentalbereichs der Modulgruppe aus Bemerkung.: D z H Re z }. z Für z D hat man insbesondere: z Re z + Im z und damit wegen Im z > 0 schon Im z Re z 3 4 ln > ln π. Sei nun z H beliebig. Nach Bemerkung. existiert dann ein γ Γ mit γ.z D. Es gilt also: φ z φ γ.z C, da für γ.z D schon Im γ.z > ln π gilt. Damit gilt für z H beliebig: φ z C, also f z C Im z k/. Sei y > 0 beliebig. Da f als Spitzenform holomorph auf H ist, gilt für yi H für die Koeffizienten der Fourierentwicklung die Formel ˆ ˆ a n f ζ e πinζ dζ [yi,yi+] f x + iy e πinx+iy dx 0 ˆ f x + iy e πinx+iy ˆ dx C y k/ e πny dx C y k/ e πny. 0 Da diese Abschätzung für jedes y > 0 gilt, erhält man für n N und y n schließlich: a n e π C n k /, also die Behauptung. 0 Mit den Abschätzungen der Fourierkoeffizienten für Eisensteinreihen und Spitzenformen können wir nun auch allgemeine Modulformen behandeln. Das geschieht in dem folgenden 3.4 Lemma Abschätzung der Fourierkoeffizienten von Modulformen Sei k N und k 4, sowie M k und S k die C-Vektorräume der Modulformen zum Gewicht k, beziehungsweise der Spitzenformen zum Gewicht k. Dann gilt:. M k C G k S k.. Für f M k mit der zugehörigen Fourierentwicklung f z n0 α n e πinz gilt α n O n k für n N.

12 3 Abschätzung der Fourierkoeff. Beweis. Nach Bemerkung.4 gilt G k M k. Sei nun f M k mit der zugehörigen Fourierentwicklung f z n0 α n e πinz. Da ζ k m > 0 gilt, ist m k g : H C, z f z α 0 ζk G k z wohldefiniert. Dann ist g M k und für die Fourierentwicklung erhält man mit Bemerkung.4: g z n α n α 0 πi k ζ k k! σ k n e πinz + α 0 α 0 ζ k ζ k also nach Konstruktion g S k mit f g + α 0 ζk G k. Somit ist M k C G k + S k. Damit c G k S k für ein c C gilt, muss c ζ k 0, also c 0 gelten. Das bedeutet, es ist C G k S k {0}, so dass die Behauptung folgt.. Sei nun f M k. Wegen Teil existiert dann ein c C und ein g S k mit f c G k + g. Nach Satz 3.3 und Lemma 3. existieren Konstanten C, C > 0, so dass für die Koeffizienten γ n n N, β n n N C N mit g z n γ n e πinz und G k z n0 β n e πinz mit einem β 0 C die Abschätzungen γ n C n k / und β n C n k für n N gelten. Damit hat man insgesamt die Abschätzung: α n cβ n + γ n c β n + γ n c C n k + C n k / c C + C n k., Die Behauptung folgt. Wie angekündigt kommen wir nun zur Definition der einer Modulform zugeordneten L-Reihe. 3.5 Definition Sei f : H C eine Modulform vom Gewicht k mit Fourier-Entwicklung f z α n e πinz. n0 Dann heißt die L-Reihe zu f. L f s : α n n n s Mit der Konvergenz dieser Reihen beschäftigt sich der

13 3 Abschätzung der Fourierkoeff. 3.6 Satz Konvergenz von L-Reihen. Sei f : H C eine Spitzenform vom Gewicht k N 0. Dann konvergiert die L- { Reihe L f s lokal-gleichmäßig absolut auf s C Re s > }, k + definiert also eine holomorphe, sogenannte L-Funktion { L f : z C Re z > k } + C, s α n n n s.. Sei f : H C eine Modulform vom Gewicht k N mit k 4. Dann konvergiert die L-Reihe L f s lokal-gleichmäßig absolut auf {s C Re s > k}, definiert also eine holomorphe, sogenannte L-Funktion L f : {z C Re z > k} C, s α n n n s. Beweis Wir beweisen beide Teile des Lemmas auf einmal. Sei dazu f : H C eine Spitzen-, beziehungsweise eine Modulform mit Fourierentwicklung f z n0 α n e πinz, sowie γ : k wenn f S k gilt und γ : k sonst. Nach Satz 3.3, beziehungsweise Lemma 3.4 gilt dann α n O n γ, das heißt, es existiert ein C > 0 mit α n C n γ für n N. Wir zeigen die Behauptung, in dem wir die gleichmäßige Konvergenz der L-Reihe auf einem beliebigen Kompaktum K G : {z C Re z > γ + } zeigen. Auf dem Kompaktum K nimmt die stetige Funktion Re ein Minimum γ 0 > γ + an, das heißt für ε : γ 0 γ > 0 gilt für z K die Ungleichung γ Re z γ γ 0 ε < und damit: α n C nγ e lnn z C nγ e lnn Rez C n γ Rez C n ε. n z Nach Analysis II konvergiert wegen ε < die Reihe n C n ε, so dass die Behauptung aus dem Weierstrassschen Majorantenkriterium und dem Satz von Weierstrass folgt. 3