Analytische Zahlentheorie

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1 4. April 005. Übungsblatt Aufgabe (4 Punkte Sei k N. Beweisen Sie, dass f : N C mit f(n := n k streng multiplikativ ist. Sei τ die Funktion, die der natürlichen Zahl n die Anzahl der Teiler von n zuordnet und σ mit σ(n := d n d die Teilersummenfunktion. Zeigen Sie, dass τ und σ nicht streng multiplikativ sind. Aufgabe (4 Punkte Beweisen Sie: Zwei streng multiplikative Funktionen f, g : N C mit f( = g( = sind genau dann gleich, wenn für alle Primzahlen p gilt f(p = g(p. Aufgabe 3 (6 Punkte Schließen Sie aus Aufgabe 4 der Stundenübung, dass die summatorische Funktion d n f(d einer multiplikativen Funktion f multiplikativ ist. Beweisen Sie damit, dass τ und für beliebiges k N σ k mit σ k (n := d n dk multiplikativ sind. Aufgabe 4 (8 Punkte Berechnen Sie explizit für n 0 die Funktionswerte von (µ τ(n, ((µ τ σ(n, (τ σ(n und (µ (τ σ(n. Aufgabe 5 (8 Punkte Geben Sie für n 0 explizit τ (n an und kontrollieren Sie das Resultat durch Berechnung von (τ (n. Berechnen Sie ferner ϕ (7 3 und id ( 7 9.

2 . April 005. Übungsblatt Aufgabe 6 (8 Punkte Sei n N, dann heißen die z C mit z n = die n-ten Einheitswurzeln. Es gibt n n-te Einheitswurzeln, diese haben die Darstellung z k = e πik/n = cos( πik πik + i sin(, n n k = 0,,,..., n. Beweisen Sie: (i Für n > ist die Summe der n von verschiedenen Einheitswurzeln. (ii Ist z eine n-te Einheitswurzel, so ist auch eine n-te Einheitswurzel. z (iii Das Produkt zweier n-ter Einheitswurzeln ist eine n-te Einheitswurzel. (iv Ist n = a b mit ggt(a, b =, so lässt sich jede n-te Einheitswurzel als Produkt einer a-ten Einheitswurzel darstellen. Aufgabe 7 (8 Punkte Für q, h N gilt c q (h = a q, ggt(a,q= ( exp πi ah q = d ggt(q,h ( q µ d. d Aufgabe 8 (8 Punkte Sei k N und I k : N C mit I k (n = n k. Beweisen Sie mit der Definition der Faltung, dass τ = ε ε und σ k = I k ε. Verwenden Sie ε = µ zum Beweis von ϕ = µ id. Aufgabe 9 (6 Punkte Sei D = C. Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen f, g : D C holomorph sind. f(z := Re(z i Im(z, g(z := (Re(z (Im(z + i Re(z Im(z, z D.

3 8. April Übungsblatt Aufgabe 0 (6 Punkte Schreiben Sie f(z := sin(z in der Gestalt f(x + iy = u(x, y + iv(x, y, x, y R und zeigen Sie, dass u und v für alle z = x + iy C die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Geben Sie die Potenzreihenentwicklung von f und f an. Aufgabe (8 Punkte Entwickeln Sie f(z := (z + 4(z + 9 = i 0 z + i i 0 z i i 30 z + 3i + i 30 z 3i an der Stelle in eine Potenzreihe und geben Sie den zugehörigen Konvergenzradius an. Aufgabe (0 Punkte Sei G C ein Gebiet und W ein einfach geschlossener Integrationsweg, der mit samt seinem Innengebiet IW in G liegt, und der IW positiv (entgegen dem Urzeigersinn umläuft. Die Funktion f sei holomorph in G bis auf isolierte Singularitäten, die nicht auf W liegen, dann gilt f(z dz = πi W z IW res(f, z, wobei res(f, z = 0, wenn z kein Pol und keine wesentliche Singularität von f ist. Berechnen Sie mit dem Residuensatz W ds für W (t := 5i + r(cos t + i sin t mit t [0, π] und r {, 4, 5, 0}. (s +4(s +9 dx. (x +4(x +9 Berechnen Sie mit dem Residuensatz das reelle Integral Aufgabe 3 (6 Punkte Beweisen Sie, dass die Dirichletreihe ( n n=0 n s für Re(s > absolut konvergiert. für Re(s > 0 konvergiert und genau

4 0. Mai Übungsblatt Aufgabe 4 (4 Punkte Beweisen Sie, dass für alle z C, die keine Nullstellen von cos(πz sind, gilt ( ( Γ + z Γ z π = cos(πz. Aufgabe 5 (4 Punkte Zeigen Sie für alle y R\{0} gilt Γ(iy = π y sinh(πy. Aufgabe 6 (6 Punkte Beweisen Sie, dass für alle x > 0 gilt x+ log(γ(t dt = x log(x x + log( π. x Aufgabe 7 (8 Punkte Zur Funktion f : R C existiere die Fouriertransformierte f(x := f(te πitx dt. Sei a R\{0}, b R. Zeigen Sie, dass die Funktion x f(ax + b die Fouriertrans- ( formierte x a eπi bx a f x a Geben Sie f : R C an mit f(x =. x + hat. Für g : R R mit g(x := e x gilt ĝ(x = +4x π. Aufgabe 8 (8 Punkte Wenden Sie die Rechenregeln für die Fouriertransformation an, um die Fouriertransformierten der Funktionen f (x := 6xπ und f (+4x π (x := xe 4x zu berechnen.

5 4. Mai Übungsblatt Aufgabe 9 (8 Punkte Sei t > 0. Beweisen Sie mit Hilfe der Poissonschen Summenformel k Z t t + 4π k und zeigen Sie, dass e = t t + 4t t + 4π k. k= e t m = m Z Aufgabe 0 (6 Punkte Seien x, y R und z = x + iy. Beweisen Sie mit der Eulerschen Formel, dass e z = 0 genau dann, wenn z = kπi mit k Z. Zeigen Sie, dass die in dem Kreisring { z C } 0 < z < π konvergente Laurentreihe von k= B k (k! zk hat. e z die Gestalt + z + Aufgabe (8 Punkte Beweisen Sie, dass für alle k N gilt ζ(k = ( k+ (π k B k. Geben Sie für j (k! {, 4, 6, 8, 0} die Summen exakt und näherungsweise (Taschenrechner an. n j n= Aufgabe (8 Punkte Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung ( π s s ( Γ ζ(s = π ( s Γ ( s ζ( s der Riemannschen Zetafunktion, dass für alle n N gilt ζ( n = B n. Geben Sie n ζ(, ζ( 3, ζ( 5, ζ( 7 explizit an.

6 3. Mai Übungsblatt Aufgabe 3 (8 Punkte Zeigen Sie, dass für alle k, n N 0 gilt π 0 cos(kx sin(nx dx = 0 und π 0 cos(kx cos(nx dx = { π, für k = n, 0, sonst. Aufgabe 4 (6 Punkte Die Bernoullischen Polynome B n (x sind definiert durch t e xt e t = B n (x tn n!. n=0 Beweisen Sie, dass B 0 (x = und für alle n N gilt B n (x = n k=0 ( n k Bk x n k. Bestimmen Sie mit dieser Formel B 8 (x. Aufgabe 5 (8 Punkte { B 6 (x, für 0 x, Sei f(x = B 6 (x [x], sonst. Skizzieren Sie { (x, f(x } x 3. Lesen Sie aus der Fourierdarstellung von f(x den Wert ζ(6 ab. Aufgabe 6 (8 Punkte Es sei r 0 (x = x ( + x, r d x d (x = x und r n (x = x dx + x dx (r n (x, n N. Berechnen Sie explizit r 3 (x und r 4 (x und damit die Zahlen ζ( 3, ζ( 4.

7 7. Juni Übungsblatt Aufgabe 7 (8 Punkte Beweisen Sie für j N, Re s > ζ(s = s + + j k= B k (k! ( k m=0 (j +! (s + m ( j m=0 (s + m B j+ (x [x]x s j dx. Diese Darstellung setzt ζ(s analytisch fort auf die Halbebene σ := Re s > j. Berechnen Sie für j = mit der angegebenen Formel ζ( und ζ( 3. Aufgabe 8 (6 Punkte Sei n N. Berechnen Sie ord(z n, ord(cos z, ord(exp(z n. Aufgabe 9 (8 Punkte Berechnen Sie mit der Jensenschen Formel π 0 log( 65e 4it + 5e 3it 5e it + 5e it 6 dt Hinweis: t 4 + t 3 5t + t 6 = (t + (t + t 6. Aufgabe 30 (8 Punkte Berechnen Sie mit der Jensenschen Formel π Hinweis: Berechnen Sie (3e it +. 0 log(5 + 4 cos t dt.

8 4. Juni Übungsblatt Aufgabe 3 (8 Punkte Beweisen Sie mit dem Maximumprinzip das Minimumprinzip: Es sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Ist f in G nicht konstant und gibt es ein a G mit f(a f(z für alle z G, so ist f(a = 0. Verwenden Sie das Minimumprinzip zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Jedes Polynom über C vom Grad hat (mindestens eine Nullstelle in C. Aufgabe 3 (8 Punkte Berechnen Sie für f(z := z + 3z + 3 max z 3 f(z, min z 3 f(z und min f(z. z Aufgabe 33 (6 Punkte Es sei W der geschlossene Weg, der zusammengesetzt ist aus dem geraden Weg von 3 i nach 3 i, dem geraden Weg von 3 i nach 3 + i, dem geraden Weg von 3 + i nach 3 + i, dem geraden Weg von 3 + i nach 3 i. Berechnen Sie für f(z := exp(z i(z + (z + 9 das Integral f (z f(z dz. W Aufgabe 34 (8 Punkte Zeigen Sie, dass für eine Nullstelle des Polynoms p(z = z 4 + 6z + 3 gilt z < und für die anderen Nullstellen gilt < z <. Hinweis: Wenden Sie den Satz von Rouché zunächst an mit f(z := z 4, g(z := 6z + 3, W (t := exp(it, t [0, π] und dann mit f(z := 6z, g(z := z 4 + 3, W (t := exp(it, t [0, π].

9 . Juni Übungsblatt Aufgabe 35 (8 Punkte Begründen Sie, warum aus 0 0 ζ (x + i dx = i , ζ(x + i i ζ (x + 5i dx = i.07..., ζ(x + 5i i 5 ζ ( + it dt = i.84..., ζ( + it ζ (it dt = i.8... ζ(it folgt, dass ζ(s im Bereich { s C } 0 Re s und Im s 5 genau eine Nullstelle ϱ hat und dass Re ϱ = und 4 < Im ϱ < 5 gilt. 5 Aufgabe 36 (8 Punkte Es sei n N und π(n die Anzahl der Primzahlen n. Zeigen Sie, dass für alle k N {0} gilt π( k+ k. Hinweis: Überprüfen Sie die Ungleichung für 0 k 3 direkt und beweisen Sie für k 3 die Ungleichung mit vollständiger Induktion. Aufgabe 37 (6 Punkte Beweisen Sie, dass für alle n N p P,n<p n p ein Teiler von ( n n ist. Aufgabe 38 (8 Punkte Es sei Λ(n = { log p, falls n = p k (p P, k > 0, 0, sonst, x >, T >, x = min { p k p P, k N, p k > x }, c = +. Zeigen Sie mit den in log x dem Beweis von Satz 8. angegebenen Methoden, dass ( { } x c Λ(n min, n T log( x x T (log x. n x <n<x