Konvergenzverbesserung und komplexe Integrale

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Thomas Vogt
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1 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale Konvergenzverbesserung und komplee Integrale von Friedhelm Götze, Jena Vor kurzem erschien ein Artikel über den Residuensatz [] in der, in dem schon einige Beispiele, die seinen Nutzen deutlich machen, gegeben wurden. Eine weitere Anwendung zur numerischen Berechnung von Integralen sowie zwei Alternativlösungen zu früheren -Aufgaben sollen hier dargestellt werden. Für die Berechnung uneigentlicher Integrale mit etrem schlechter Konvergenz sind die gängigen Quadraturformeln wenig geeignet. Eine Verlagerung in die komplee Analysis kann aber hilfreich sein, da sich oft mit den dort beschriebenen Methoden (Residuensatz u. Ä.) die Konvergenz so verbessern lässt, dass eine numerische Auswertung überhaupt erst möglich wird. Für Integrale mit diesen für die Berechnung ungünstigen Eigenschaften demonstrieren wir stellvertretend das Vorgehen am Beispiel cos d = cos d. Erstreckt über den geschlossenen Weg Γ (siehe Skizze) betrachte man in der kompleen Ebene das Umlaufintegral e z I := dz. Γ z Nach dem Residuensatz hat I den Wert, da der Integrand in dem von Γ berandeten Gebiet regulär ist. Man erhält also ω e d + i e i e ωeiϕ dϕ + ω ω e e i d + i π ( d = i e eiϕ e ωeiϕ) dϕ e eiϕ dϕ =, i Im(z) iω i Γ ω Re(z) Methoden zur numerischen Integration

2 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale und weiter wegen des hier erlaubten Grenzübergangs, ω bzw. durch Vergleich von Real- und Imaginärteil e e i d = i π e cos( ) d =, Uns interessiert das erste Integral, das wie folgt umgeformt wird: sin( ) d = π. und daraus cos e cos d = e d + cos d cos ( e d d = e d ) d. () Der eingeklammerte Teil ist eine bekannte Darstellung für die Eulersche Konstante γ, die sich in dieser Form relativ gut berechnen lässt. Man hat z. B. e und mit numerischem Quadraturverfahren d = n= ( ) n n n! =, e d =, ( n ) Meist wird γ durch den Grenzwert γ = lim n k log n definiert. k=

3 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 3 Damit ergibt sich γ = e e d d =, Beim verbliebenen Integral rechts in () empfiehlt sich wieder eine Reihendarstellung: cos d = n= ( ) n =, n (n)! Man erhält schließlich für () nach der Substitution cos d = ( ) n γ =, () n (n)! in Übereinstimmung mit dem Wert i() des bekannten Integralcosinus cos t i() = dt ( > ). t n= Die mit hoher Stellenzahl bekannte Eulersche Konstante γ und die schnelle Konvergenz der Reihe ermöglichen so eine hinreichend genaue Berechnung des nur bedingt konvergenten Integrals ().

4 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 4 o Benjamin Scharf, Jena Man zeige sin d = π + e tπ + t dt. In der kompleen Ebene integriere man die Funktion f(z) = e πz +z längs des skizzierten Weges i Im(z) K R K 3. (3) ir i 3 K R K R Re(z) Dabei seien K R und K Kreisbögen mit den Radien R bzw., wobei R hinreichend groß und hinreichend klein ist. Wie man sieht, liegt die Polstelle z = i außerhalb des Gebiets, das von umschlossen wird. So gilt nach dem Residuensatz für die Summe der an die Teilabschnitte aus (3) angepassten fünf Integrale I + I R + I + I + I 3 = f(z) dz =. (4) I : Das ist eines der beiden Integrale, die wir am Ende erhalten wollen: I = R f() d = lim R I = e π + d. I R : Mit z = Re iϕ bekommt man I R = e πreiϕ + R e iϕ ireiϕ dϕ R R e πr cos ϕ dϕ R, also ist lim R I R =.

5 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 5 I : Setze z = i + e iϕ. Dann ist I = π π e πi πeiϕ π + (i + e iϕ ) ieiϕ dϕ = π d. h. lim I = π. I, I 3 : Mit z = iy (R y + bei I ; y bei I 3 ) gilt I + I 3 = i ( + R e πiy + y dy + + R e πiy ) y dy + i e πeiϕ dϕ π ieiϕ, ( e πiy + y dy + e πiy ) y dy. Von links beginnend substituiere man der Reihe nach y = t, y = t +, y = t und y = t +. So ist dann ( I + I 3 = i R+ e πit R e πit e πit ) e πit dt dt + dt + dt. + t t t t Nach Zerlegung des zweiten Integrals entsprechend [, R ] = [, ] [, R ] ergibt sich ( I + I 3 = i R+ ) R e πit + dt + i e πit e πit dt. t t Für lassen sich die ersten drei Integrale zusammenfassen. Man erhält + lim (I + I 3 ) = i R+ e πit R und weiter mittels der Substitutionen t = + R bzw. t = π t dt sin(πt) t dt lim (I + I 3 ) = i e πi(+r) + R d sin d.

6 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 6 Offenbar gilt hier sin lim (I + I 3 ) = R d. Mit den obigen Ergebnissen folgt jetzt aus (4) π π sin e π d + + d =.

7 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 7 o 38 Šefket Arslanagić, Sarajevo, Bosnia and Herzegovina Man beweise π d = tan() d =. tan() Wie in der im -Heft 3+4/9 veröffentlichten Lösung gezeigt, bestätigt man mit der Substitution = π t die Äquivalenz der beiden Integrale. Des Weiteren liefert die Substitution tan = t die Gleichheit d = tan t 4 + dt. Nun betrachte man in der kompleen Ebene das Umlaufintegral f(z) dz mit f(z) = z 4 +, wobei = für R aus den zwei skizzierten Wegen = { : R R} und = {z = Re iϕ : ϕ π} besteht. Es gilt dann R i Im(z) z z R Re(z) f(z) dz = f(z) dz = R R f() d R (Re iϕ ) 4 + Rieiϕ dϕ 4 + d, (5) R. (6)

8 Konvergenzverbesserung und komplee Integrale 8 Nun hat f(z) im Innern des geschlossenen Weges zwei Polstellen z = e πi 4, z = e 3πi 4. Nach dem Residuensatz gilt hierfür f(z) dz = πi (Res(f; z ) + Res(f; z )). (7) Da die Polstellen einfach sind, lassen sich die Residuen wie folgt berechnen: [ ] Res(f; z k )f(z) = d dz (z4 + ) z=z k. So wird dann aus (7) ( f(z) dz = πi = πi 4z 3 + ) ) 4z 3 = πi (e 3πi 4 + e 9πi 4 ( + i + i ) = π und man erhält für R in Verbindung mit (5) und (6) das Ergebnis f() d = π, Literatur [] Gockel, Wally: Der Residuensatz. 5/. also 4 + d = π.

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