Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen"

Transkript

1 Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 16. Juni 2007 Abstract The integral iterative ethod and exact solutions of partial differential equations An integral iterative ethod will be introduced in order to derive exact solutions of partial differential equations in two variables. This ethod first achieved success when used with nonlinear partial differential equations for transonic flow. In this article, the ethod has been applied to four different linear partial differential equations: the Laplace equation, the Poisson equation, the biharonic equation and the biharonic Poisson equation. Haronic functions, which are known fro the theory of coplex nubers, have been rediscovered. In addition, by using this integral iterative ethod, infinite biharonic functions have been found. For both the Poisson equation and the biharonic Poisson equation, any specific solutions are presented in detail. Übersicht Ein Integral-Iterationsverfahren wird vorgestellt, u exakte Lösungen der partiellen Differentialgleichungen it zwei Veränderlichen herzuleiten. Dieses Verfahren hatte zuerst bei den nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen für die transsonische Ströung Erfolg erzielt. In diese Artikel wird dieses Verfahren auf vier verschiedene lineare partielle Differentialgleichungen angewendet: die Laplace-Gleichung, die Poisson-Gleichung, die biharonische Gleichung sowie die biharonische Poisson-Gleichung. Die haronischen Funktionen, wie sie aus der Theorie der koplexen Zahlen bekannt sind, werden von Neue entdeckt. Darüber hinaus konnten 1

2 it diese Integral-Iterationsverfahren unendlich viele biharonische Funktionen gefunden werden. Für die Poisson-Gleichung und die biharonische Poisson-Gleichung werden viele partikuläre Lösungen bei gegebener Rechtsseite ausführlich dargestellt. Internet Dieser Artikel ist online abrufbar unter: Anschrift des Verfassers Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Auf der Lehbünde Göttingen Gerany 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Integral-Iterationsverfahren und die haronischen Funktionen 5 3 Integral-Iterationsverfahren und die Lösungen der Poisson- Gleichung 8 4 Integral-Iterationsverfahren und die biharonischen Funktionen 13 5 Integral-Iterationsverfahren und die Lösungen der biharonischen Poisson-Gleichung 15 6 Zusaenfassung 19 7 Aussicht 20 Literatur 21 3

4 1 Einleitung I Jahr 1986 hatte der Verfasser dieses Artikels ein Integral-Iterationsverfahren erstalig vorgestellt, u Lösungen für die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen für die transsonische Ströung herzuleiten [1]. Für die Gleichung φ x φ xx = φ yy (1.1) wurden einige exakte Lösungen gefunden, z. B. und φ = ax 2 y + a2 3 xy4 + a3 63 y7 (1.2) φ = ax 3 2 y a2 y 4. (1.3) Dabei ist a Konstante. φ ist das Potential. φ x = φ, φ x xx = 2 φ und φ x 2 yy = 2 φ y 2 sind die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten x und y. Wir wollen jetzt dieses Integral-Iterationsverfahren auch auf die Laplace- Gleichung φ = φ xx + φ yy = 0 (1.4) und die Poisson-Gleichung φ = ρ (1.5) bei gegebener Funktion ρ(x, y) anwenden. Mit diese Iterationsverfahren wollen wir auch exakte Lösungen der biharonischen Gleichung [2] sowie der biharonischen Poisson-Gleichung φ = 0 (1.6) φ = ρ (1.7) herleiten. I Abschnitt 2 öchten wir dieses Verfahren anhand der Laplace-Gleichung erklären. 4

5 2 Integral-Iterationsverfahren und die haronischen Funktionen Aus der Theorie der koplexen Zahlen wissen wir, dass jede analytische Funktion von x + iy it i = 1 eine Lösung der Laplace-Gleichung ist: f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (2.1) Wegen der Cauchy-Rieannschen Beziehungen u x = v y, (2.2) u y = v x, (2.3) sind sowohl der Realteil u als auch der Iaginärteil v Lösungen der Laplace- Gleichung. Einige Beispiele: (x + iy) 2 = x 2 y 2 + i 2xy, (2.4) (x + iy) 3 = x 3 3xy 2 + i(3x 2 y y 3 ), (2.5) (x + iy) 4 = x 4 6x 2 y 2 + y 4 + i(4x 3 y 4xy 3 ). (2.6) Unser Integral-Iterationsverfahren liefert uns die gleichen Ergebnisse. Dazu führen wir eine neue Bezeichnung ein: L = φ xx + φ yy. (2.7) Das Prinzip ist folgendes: Wir achen ehrere Ansätze φ 1, φ 2, φ 3,... φ n und prüfen dabei stets L 1, L 2, L 3,... L n. Wenn L n = 0 ist, dann ist φ n die Lösung. Die Prozedur läuft folgenderaßen: Wir achen zunächst einen Ansatz φ 1 it irgendeine atheatischen Ausdruck von x und y und berechnen L 1 = φ 1xx +φ 1yy. Wenn L 1 = 0 ist, so ist φ 1 eine Lösung. Wenn L 1 0 ist, achen wir einen zweiten Ansatz φ 2 : φ 2 = φ 1 L 1 dy dy. (2.8) Das heißt, wir ziehen ein Glied von φ 1 ab. Dieses Glied besteht aus der zweialigen Integration von L 1 nach y. Wir berechnen L 2 = φ 2xx + φ 2yy. Wenn L 2 = 0 ist, dann ist φ 2 eine Lösung. Wenn L 2 0 ist, achen wir wieder einen Ansatz it φ 3 = φ 2 L 2 dy dy (2.9) und berechnen weiter L 3 usw., bis wir eine Lösung gefunden haben. 5

6 Als Beispiel setzen wir φ 1 = x 3 ein: φ 1x = 3x 2, φ 1xx = 6x, φ 1y = 0, φ 1yy = 0, L 1 = 6x ; L 1 dy dy = 6x dy dy = 3xy 2, φ 2 = φ 1 L 1 dy dy = x 3 3xy 2. Wir berechnen weiter: φ 2x = 3x 2 3y 2, φ 2xx = 6x, φ 2y = 6xy, φ 2yy = 6x, L 2 = φ 2xx + φ 2yy = 6x 6x = 0. Daher ist φ = φ 2 = x 3 3xy 2 eine Lösung. Sie ist der Realteil von (x + iy) 3 aus (2.5). Bei eine Ansatz φ 1 = x, wobei eine positive ganze Zahl ist, erhalten wir φ = wobei ( ) x 0 ( ) x 2 y ( ) = n ( ) x 4 y 4 4 ( 1)( 2) ( n + 1) n! ( ) x 6 y 6 + (2.10) 6 (2.11) die Binoinalkoeffizienten sind. Wenn wir den Ansatz φ 1 = x 1 y einsetzen, erhalten wir die Lösung der Laplace-Gleichung in folgender For: ( ) ( ) ( ) ( ) φ = x 1 y x 3 y 3 + x 5 y 5 x 7 y 7 + (2.12) Die Lösungen (2.10) und (2.12) sind nichts anderes als der Realteil bzw. der Iaginärteil von (x + iy). Aber wir haben während der ganzen Durchführung des Iterationsverfahrens von den koplexen Zahlen gar keinen Gebrauch geacht. Bei Integrieren haben wir ier die willkürliche Funktion oder Konstante gleich Null gesetzt. Wenn der erste Ansatz φ 1 = y oder φ 1 = y 1 x ist, uss an nach x integrieren: φ 2 = φ 1 L 1 dx dx (2.13) und φ 3 = φ 2 L 2 dx dx. (2.14) 6

7 Die Ergebnisse sind wie (2.10) und (2.12) durch Vertauschen von x und y. Alle anderen Ansätze φ 1 it algebraischen Ausdrücken führen zu unendlichen Reihen oder Null (Null-Lösung). Aus der Methode der Separation der Veränderlichen erhält an die Lösungen der Laplace-Gleichung e x cos y und e x sin y. Mithilfe des Integral- Iterationsverfahrens kann an die Reihen-Entwicklung der Funktionen wiederfinden. Wenn wir zu Beispiel φ 1 = e x und φ 1 = e x y einsetzen, erhalten wir die Reihen-Entwicklung von cos y und sin y. Wenn wir φ 1 = cos x und φ 1 = (sin x)y einsetzen, erhalten wir die Reihen-Entwicklung von Hyperbelfunktionen cosh y und sinh y, weil cos x cosh y und sin x sinh y zwei haronische Funktionen sind. Alle Ergebnisse sind bekannt und zeigen nur die Richtigkeit des beschriebenen Integral-Iterationsverfahrens. Dait versuchen wir, Lösungen auch von anderen Differentialgleichungen zu finden, zu Beispiel von der Poisson- Gleichung. 7

8 3 Integral-Iterationsverfahren und die Lösungen der Poisson-Gleichung Für die Poisson-Gleichung führen wir eine neue Bezeichnung ein: φ xx + φ yy = ρ (3.1) P = φ xx + φ yy ρ. (3.2) Bei einer gegebenen Funktion ρ = ρ(x, y) wollen wir eine Lösung it folgende Integral-Iterationsverfahren finden: Wir achen den ersten Ansatz φ 1 und berechnen P 1 = φ 1xx +φ 1yy ρ. Wenn P 1 = 0 ist, so ist φ 1 eine Lösung. Wenn P 1 0 ist, achen wir einen zweiten Ansatz it φ 2 = φ 1 P 1 dy dy (3.3) und berechnen P 2 = φ 2xx + φ 2yy ρ. Wenn P 2 = 0 ist, so ist φ 2 eine Lösung. Wenn P 2 0 ist, achen wir wieder einen Ansatz φ 3 = φ 2 P 2 dy dy (3.4) und berechnen P 3 usw. Wenn wir φ 1 0 einsetzen, erhalten wir eine haronische Funktion plus eine partikuläre Lösung für ρ. Daher achen wir den ersten Ansatz φ 1 = 0 und erhalten φ 2 = ρ dy dy, (3.5) u direkt zu der partikulären Lösung zu gelangen. Als Beispiel nehen wir an ρ = xy, (3.6) dann Wir berechnen φ 2 = xy dy dy = 1 6 xy3. (3.7) φ 2x = 1 6 y3, φ 2xx = 0, φ 2y = 1 2 xy2, φ 2yy = xy und P 2 = φ 2xx + φ 2yy ρ = 0 + xy xy = 0. 8

9 (3.7) ist die gesuchte Lösung. An dieser Stelle wollen wir eine neue Bezeichnung einführen, u die Forel zu vereinfachen: (, n) = ( 1)( 2) ( n + 1). (3.8) Es gilt (, 1) =, (, 0) = 1, (n, n) = n! und (, n) = 0, wenn n > und natürliche Zahl ist. Der Zähler des Binoinalkoeffizienten (2.11) ist (, n). Nach dieser Vorbereitung versuchen wir, eine allgeeine Lösung der Poisson-Gleichung it ρ = x y n (3.9) herauszufinden. Bei Anwendung des Integral-Iterationsverfahrens führen wir in der Tat nur einige Schritte durch, dann zeigt die Lösungsfunktion ihren Verlauf: Der Exponent von x ist u 2 abnehend und der Exponent von y ist u 2 zunehend. Das erste Glied ist aber x y n+2. Wir achen einen neuen Ansatz φ = a 0 x y n+2 + a 2 x 2 y n+4 + a 4 x 4 y n+6 + (3.10) und setzen φ in die Poisson-Gleichung (3.1) ein und bestien die Koeffizienten a 0, a 2, a 4... Die Lösung lautet φ A = (, 0) (n + 2, 2) x y n+2 (, 2) (n + 4, 4) x2 y n+4 + (, 4) + (n + 6, 6) x4 y n+6 (, 6) (n + 8, 8) x6 y n+8 +. (3.11) Wenn wir φ 1 = 0 und φ 2 = ρ dx dx (3.12) ansetzen und ρ zweial nach x integrieren, φ 3 = φ 2 P 2 dx dx, (3.13) dann erhalten wir φ B = (n, 0) ( + 2, 2) x+2 y n (n, 2) ( + 4, 4) x+4 y n2 + (n, 4) + ( + 6, 6) x+6 y n4 (n, 6) ( + 8, 8) x+8 y n6 +. (3.14) 9

10 Gegeben sei ρ = x 2 y 3 it = 2 und n = 3, dann lautet die Lösung aus (3.11) φ A = 1 20 x2 y y7. (3.15) Die Lösung aus (3.14) ist aber φ B = 1 12 x4 y x6 y. (3.16) In der Tat sind die beiden Lösungen nicht unabhängig, in de Sinne, dass die Differenz der beiden, φ A φ B, eine haronische Funktion ist. In unsere Beispiel handelt es sich u eine Zahl 420 al den Iaginärteil von (x+iy) 7. Bei (3.11) soll eine positive ganze Zahl sein, dait die Lösung φ A endlich viele Glieder hat. Aber n darf auch eine Bruchzahl sein, auch eine negative Bruchzahl: ρ = x 2 y 1 3 : φ A = 9 28 x2 y y 13 3 (3.17) und ρ = x 3 y 1 2 : φ A = 4 3 x3 y y 7 2. (3.18) Wir wollen später den Fall betrachten, in de der Exponent von y eine negative ganze Zahl ist. Als weiteres Lösungsbeispiel der Poisson-Gleichung zeigen wir folgenden Fall: ρ = x ln y it der Logarithusfunktion ln y. Die Gleichung (3.5) wird φ 2 = ρ dy dy = x ln y dy dy. (3.19) Wir führen vereinfachende Bezeichnungen ein, u die ehrfachen Integrationen von ln y darzustellen. Dazu benutzen wir den Großbuchstaben S it eine Exponenten. wobei S 0 = ln y, S 1 = ln y dy = y (ln y 1), 1! S 2 = ln y dy dy = y2 2! (ln y ),. S n = yn n! (ln y N n), (3.20) N n = n (3.21) 10

11 die Sue von n Gliedern der haronischen Reihe ist. Die Lösung der Poisson-Gleichung it ρ = x ln y lautet φ C = x S 2 (, 2)x 2 S 4 + (, 4)x 4 S 6 (3.22) Ein Beispiel für ρ = x 3 ln y : φ C = 1 2 x3 y 2 (ln y 3 2 ) 1 4 xy4 (ln y ). (3.23) Wir wenden uns de Fall von ρ = x y n zu. Je nachde, ob n ungerade oder gerade ist, üssen wir zwei Fälle getrennt betrachten: Wenn n ungerade ist, schreiben wir die Lösungsfunktionen für n = 1 und n 3 getrennt auf, sonst ist die Forel zu unübersichtlich. Für n = 1 : φ D = x S 1 (, 2)x 2 S 3 +(, 4)x 4 S 5 (, 6)x 6 S 7 + (3.24) Für n 3 : φ E = 2 n3 k=0 + (1) k (, 2k) (n 1, 2k + 2) x2k y n+2k+2 + n1 (1) 2 (n 1)! (1) k (, n + 2k 1)x n2k+1 S 2k+1. k=0 (3.25) Wenn n gerade ist, schreiben wir die Lösungen für n = 2 und n 4 auch getrennt auf. Für n = 2 : [ ] φ F = x S 0 (, 2)x 2 S 2 + (, 4)x 4 S 4 Für n 4 : (3.26) φ G = 2 n4 k=0 + (1) k (, 2k) (n 1, 2k + 2) x2k y n+2k+2 + n4 (1) 2 (n 1)! (1) k (, n + 2k 2)x n2k+2 S 2k. k=0 (3.27) 11

12 Die Foreln (3.25) und (3.27) haben jeweils zwei Suen. Wir haben die obere Suationsgrenze der zweiten Sue offengelassen, das bedeutet, dass an das Suieren so lange durchführen soll, bis der Koeffizient (,...) = 0 wird. Noch eine Beerkung: In (3.25) ist das Vorzeichen der Glieder durchgehend + und abwechselnd angeordnet. Aber (3.27) hat eine Unterbrechung in der Abfolge der Vorzeichen: Das letzte Glied der ersten Sue und das erste Glied der zweiten Sue haben das gleiche Vorzeichen. Drei Beispiele haben wir ausgewählt: ρ = x 2 y 5 : φ E = 1 12 x2 y y1 (3.28) ρ = x 9 y 5 : φ F = 1 (4, 2) x9 y 3 (9, 2) (4, 4) x7 y ] [(9, 4)x 5 S 1 (9, 6)x 3 S 3 + (9, 8)xS 5 4! (3.29) ρ = x 8 y 6 : φ G = 1 (5, 2) x8 y 4 (8, 2) (5, 4) x6 y 2 1 ] [(8, 4)x 4 ln y (8, 6)x 2 S 2 + (8, 8)S 4 5! (3.30) Das Ausrechnen von (, n) nach (3.8) und das Einsetzen von S n nach (3.20) achen wir ab jetzt nicht ehr. Ein Hinweis als Abschluss dieses Abschnitts: Falls ρ eleentare Funktionen wie e x, cos x oder sinh x enthält, achen wir zunächst eine Transforation, u sie wegzubringen, und lösen die entstandene gewöhnliche Differentialgleichung. Die Lösungsethode ist bekannt [3]. 12

13 4 Integral-Iterationsverfahren und die biharonischen Funktionen Die Lösung der partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung φ xxxx + 2φ xxyy + φ yyyy = 0 (4.1) wird als biharonische Funktion benannt. Wir haben eine solche Funktion gefunden φ = x 5 5xy 4. (4.2) Wir prüfen: φ x = 5x 4 5y 4, φ y = 5 4xy 3, φ xx = 5 4x 3, φ yy = 5 4 3xy 2, φ xxx = 5 4 3x 2, φ yyy = xy, φ xxxx = x, φ yyyy = x, φ xxyy = 0. Daher erfüllt φ die Gleichung (4.1) und φ xx + φ yy 0. Die Funktion φ in (4.2) ist keine haronische Funktion, sondern eine richtige biharonische Funktion. Jede haronische Funktion, also die Lösung der Laplace-Gleichung, erfüllt auch (4.1). Aber wir wollen solche triviale Lösungen ausschließen. In der Tat haben wir die biharonische Funktion (4.2) it Hilfe des Integral-Iterationsverfahrens hergeleitet. Die Forulierung dieses Verfahrens ist dieselbe wie bei der Laplace-Gleichung. Nur ist der Integrand jetzt B = φ xxxx + 2φ xxyy + φ yyyy (4.3) und wir integrieren nicht ehr zweial, sondern vieral nach y : φ 2 = φ 1 B 1 dy dy dy dy (4.4) und φ 3 = φ 2 B 2 dy dy dy dy. (4.5) Für den ersten Ansatz φ 1 it eine algebraischen Ausdruck gibt es vier Typen von Lösungen, wo der Exponent von y gleich 0, 1, 2 und 3 ist. 13

14 U die Forel zu vereinfachen, haben wir das erste Glied it geeigneten Koeffizienten versehen. Die Ergebnisse sind folgende: ( ) ( ) ( ) ( ) φ p = x x 4 y x 6 y 6 3 x 8 y 8 +, (4.6) ( ) ( ) ( ) ( ) φ q = x 1 y x 5 y x 7 y 7 3 x 9 y 9 +, (4.7) ( ) ( ) ( ) ( ) φ r = x 2 y 2 2 x 4 y x 6 y 6 4 x 8 y 8 +, (4.8) ( ) ( ) ( ) ( ) φ s = x 3 y 3 2 x 5 y x 7 y 7 4 x 9 y (4.9) Einige Beerkungen: Ein Glied it x 2 y 2 fehlt in (4.6). Ein Glied it x 3 y 3 fehlt in (4.7). Sonst ist der Exponent von x u 2 abnehend und der Exponent von y u 2 zunehend. Außerde sind die Binoinalkoeffizienten durchgehend it natürlichen Zahlen ultipliziert, ausgenoen ist das erste Glied in (4.6) und (4.7). Hier sind vier Beispiele: φ p = x 7 35x 3 y xy 6, (4.10) φ q = 7x 6 y 21x 2 y 5 + 2y 7, (4.11) φ r = 21x 5 y 2 70x 3 y xy 6, (4.12) φ s = 35x 4 y 3 42x 2 y 5 + 3y 7. (4.13) Da (4.1) eine lineare Differentialgleichung ist, gilt das Superpositionsprinzip. Dait kann an neue biharonische Funktionen aus den eleentaren Funktionen (4.6), (4.7), (4.8) und (4.9) bilden. Auf einal haben wir unendlich viele biharonische Funktionen vor unseren Augen. 14

15 5 Integral-Iterationsverfahren und die Lösungen der biharonischen Poisson- Gleichung In diese letzten Abschnitt betrachten wir den Fall, wenn die biharonische Gleichung Rechtsseite hat: φ xxxx + 2φ xxyy + φ yyyy = ρ. (5.1) Wir haben (5.1) biharonische Poisson-Gleichung genannt. Die Beschreibung des Integral-Iterationsverfahrens verläuft wie in Abschnitt 3, nur ist der Integrand jetzt H = φ xxxx + 2φ xxyy + φ yyyy ρ (5.2) und wir integrieren vieral nach y : φ 2 = φ 1 H 1 dy dy dy dy (5.3) und φ 3 = φ 2 H 2 dy dy dy dy. (5.4) Weil wir nur eine partikuläre Lösung für ρ suchen, setzen wir φ 1 = 0 ein und erhalten φ 2 = ρ dy dy dy dy. (5.5) Für ρ = x y n hat die Lösung folgende Gestalt: φ = b 0 x y n+4 + b 2 x 2 y n+6 + b 4 x 4 y n+8 +. (5.6) Wir setzen (5.6) in die Gleichung (5.1) ein, bestien die Koeffizienten b 0, b 2, b 4... und erhalten [ 1 φ a = x y n+4 2(, 2) (n + 4, 4) (n + 6, 2) x2 y n (, 4) (n + 8, 4) x4 y n+8 4(, 6) (n + 10, 6) x6 y n+10 + ]. (5.7) Wenn wir φ 1 = 0 einsetzen und ρ vieral nach x integrieren, φ 2 = ρ dx dx dx dx (5.8) 15

16 und φ 3 = φ 2 H 2 dx dx dx dx, (5.9) dann erhalten wir folgende Lösung: [ 1 φ b = x +4 y n 2(n, 2) ( + 4, 4) ( + 6, 2) x+6 y n (n, 4) ( + 8, 4) x+8 y n4 4(n, 6) ( + 10, 6) x+10 y n6 + ]. (5.10) Hier ist ein Beispiel für ρ = x 3 y : Aus (5.7) ergibt sich φ a = 1 (x 3 y 5 27 ) 120 xy7. (5.11) Aber (5.10) liefert uns φ b = x7 y. (5.12) Die Differenz φ a φ b ist eine biharonische Funktion. Gleichung (5.7) liefert uns auch richtige Ergebnisse, wenn n eine Bruchzahl ist: [ ρ = x 2 y : φ a = x 2 y [ ρ = x 2 y : φ a = x 2 y y 13 2 y 11 2 ] ] (5.13) (5.14) Bevor wir den Fall betrachten, wo der Exponent von y in ρ = x y n eine negative ganze Zahl ist, wollen wir zuerst eine Lösung für ρ = x ln y angeben: φ c = x S 4 2(, 2)x 2 S 6 +3(, 4)x 4 S 8 4(, 6)x 6 S (5.15) Den Großbuchstaben it Exponent S n haben wir in (3.20) eingeführt. Für ρ = x 3 ln y lautet die Lösung φ c = 1 ( 24 x3 y 4 ln y 25 ) 160 ( 12 xy6 ln y 147 ). (5.16) 60 Wir haben (5.16) vollständig angegeben, u sie it der Lösung (3.23) der noralen Poisson-Gleichung besser vergleichen zu können. Die Darstellung der Lösung für ρ = x y n ist sehr uständlich. 16

17 Bei ungerade n sind drei Fälle zu unterscheiden: Für n = 1 : φ d = x S 3 2(, 2)x 2 S 5 + 3(, 4)x 4 S 7 (5.17) Für n = 3 : φ e = 1 [ ] x S 1 2(, 2)x 2 S 3 + 3(, 4)x 4 S 5. (5.18) 2! Für n 5 : φ f = 2 (1) k (, 2k) (k + 1) (n 1, 2k + 4) x2k y n+2k+4 + n5 k=0 + n3 (1) 2 (n 1)! k=0 (1) k ( n 1 2 ) + k (, n + 2k 3)x n2k+3 S 2k+1. Bei gerade n werden ebenfalls drei Fälle getrennt dargestellt: (5.19) Für n = 2 : [ ] φ g = x S 2 2(, 2)x 2 S 4 + 3(, 4)x 4 S 6. (5.20) Für n = 4 : φ h = 1 [ ] x S 0 2(, 2)x 2 S 2 + 3(, 4)x 4 S 4. (5.21) 3! Für n 6 : φ i = 2 (1) k (, 2k) (k + 1) (n 1, 2k + 4) x2k y n+2k+4 + n6 k=0 + n6 (1) 2 (n 1)! k=0 (1) k ( n 2 2 ) + k (, n + 2k 4)x n2k+4 S 2k. (5.22) 17

18 Wir haben drei Beispiele ausgewählt: Für ρ = x 5 y 9 : φ f = 1 (8, 4) x5 y 5 2(5, 2) (8, 6) x3 y 3 3(5, 4) + (8, 8) xy1 (5.23) Für ρ = x 6 y 7 : φ f = 1 (6, 4) x6 y 3 2(6, 2) (6, 6) x4 y ] [3(6, 4)x 2 S 1 4(6, 6)S 3 6! Für ρ = x 6 y 8 : φ i = 1 (7, 4) x6 y 4 2(6, 2) (7, 6) x4 y 2 1 ] [3(6, 4)x 2 S 0 4(6, 6)S 2 7! (5.24) (5.25) 18

19 6 Zusaenfassung Ein Integral-Iterationsverfahren ist ursprünglich entwickelt worden, u exakte Lösungen der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung für die transsonische Ströung herzuleiten. In diese Artikel wenden wir dieses Verfahren auch auf die linearen partiellen Differentialgleichungen an. Für die Laplace- Gleichung, die Poisson-Gleichung, die biharonische Gleichung sowie die biharonische Poisson-Gleichung werden dadurch viele exakte Lösungen herausgefunden, die in dieser Art in der Matheatik noch nicht vorgekoen sind. 19

20 7 Aussicht In der absehbaren Zukunft wollen wir über die allgeeinen Lösungen der Euler-Gleichung φ x ( φ) y φ y ( φ) x = 0 aus der Ströungstheorie berichten. Außerde erklären wir später auch, wie an eine Lösung für die ehrdiensionale Laplace-Gleichung finden kann. φ xx + φ yy + φ zz + = 0 20

21 Literatur [1] Kuang-lai Chao Analytische Lösungen der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen für die transsonische Ströung in physikalischen Räuen DFVLR - FB Translation: Analytical solutions of the nonlinear partial differential equations for transonic flow in physical spaces European Space Agency, Technical Translation ESA-TT-1009, Deceber 1986 [2] L. D. Landau, E. M. Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen Physik; Band VII, Elastizitätstheorie Akadeie Verlag, Berlin 1991 [3] Frederick S. Woods Advanced Calculus Ginn and Copany, Boston

Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren

Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 3. Februar 009 Abstract Derivation of Bessel functions with the integral iterative method

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Über Potenzsummenpolynome

Über Potenzsummenpolynome Über Potenzsuenpolynoe Jörg Feldvoss I Sande 4b, D-21369 Nahrendorf Gerany Einleitung Für jede natürliche Zahl n bezeichnen wir it P n das n-te Potenzsuenpolyno, welches dadurch gegeben ist, dass es für

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 84

Beispiellösungen zu Blatt 84 µatheaticher κorrepondenz- zirkel Matheatiche Intitut Georg-Augut-Univerität Göttingen Aufgabe 1 Beipiellöungen zu Blatt 84 Welche der folgenden Zahlen it größer? 2009 + 2010 + 2010 + 2009, 2009 + 2009

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

Inverse und implizite Funktionen

Inverse und implizite Funktionen Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W

Mehr

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

3.6 Drehungen in der Ebene

3.6 Drehungen in der Ebene 3.6-1 3.6 Drehungen in der Ebene 3.6.1 Die Drehmatrix Gelegentlich müssen wir die Lage eines Teilchens in einem ebenen Koordinatensystem beschreiben, das gegenüber einem festen System um φ gedreht ist.

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014 Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben

Mehr

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale 300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

5. Vorlesung Wintersemester

5. Vorlesung Wintersemester 5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode

Mehr

T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 1

T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 1 T4p: Therodynaik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt Lösungsvorschlag. Noral-Verteilung Die Noral-Verteilung ist definiert als w() Ce ( ) /σ. a) Bestien Sie die Konstante C sodass w()

Mehr

Dieter Suter - 228 - Physik B

Dieter Suter - 228 - Physik B Dieter Suter - 228 - Physik B 4.5 Erzwungene Schwingung 4.5.1 Bewegungsgleichung In vielen Fällen schwingt ein Syste nicht frei, sondern an führt ih von außen Energie zu, inde an eine periodische Kraft

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,

Mehr

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Lernziele... 1

Mehr

Eine Kurzanleitung zu Mathematica

Eine Kurzanleitung zu Mathematica MOSES Projekt, GL, Juni 2003 Eine Kurzanleitung zu Mathematica Wir geben im Folgenden eine sehr kurze Einführung in die Möglichkeiten, die das Computer Algebra System Mathematica bietet. Diese Datei selbst

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik

Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik Prof Dr H Friedrich Physik-Departent T30a Technische Universität München Blatt 4 Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik (Abgabe schriftlich, in der Übungsgruppe in der Woche vo 805-2205) Betrachten

Mehr

Klassische Finanzmathematik (Abschnitt KF.1 )

Klassische Finanzmathematik (Abschnitt KF.1 ) Die Finanzatheatik ist eine Disziplin der angewandten Matheatik, die sich insbesondere it der Analyse und de Vergleich von Zahlungsströen und die theoretisch Erittlung des Geldwertes von Finanzprodukten.

Mehr

a) Welche der beiden Halbgeraden stehen für die Tarife REGENBOGEN und UFO? Begründe. b) Hat Lena recht oder Giuseppe? Begründe.

a) Welche der beiden Halbgeraden stehen für die Tarife REGENBOGEN und UFO? Begründe. b) Hat Lena recht oder Giuseppe? Begründe. 38 3 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungsssteme grafisch lösen Beim Tarif REGENBGEN zahle ich für das Telefonieren mit dem Hand zwar einen Grundpreis. Dafür sind aber die Gesprächseinheiten

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Partielle Integration

Partielle Integration Partielle Integration 1 Motivation Eine der wichtigsten Methoden der Integralrechnung ist die partielle Integration. Mit ihr lassen sich Funktionen integrieren, die ein Produkt zweier Funktionen sind.

Mehr

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung Die Maxwell-Boltzann-Verteilung Sebastian Meiss 5. Oktober 8 Mit der Maxwell-Boltzann-Verteilung kann an Aussagen über die Energie- bzw. Geschwindigkeitsverteilung von Teilchen in eine Syste beschreiben.

Mehr

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung Werkstatt Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler (1707 1783) das Buch Vollständige Anleitung zu Algebra im russischen Original veröffentlicht,

Mehr

Oberstufe Mathematik - Fraktale Annika Maier, Anja Schmid; Abitur 2004. Fraktale

Oberstufe Mathematik - Fraktale Annika Maier, Anja Schmid; Abitur 2004. Fraktale Fraktale 1 Einleitung : Um solche grafischen Gebilde handelt es sich in unserem mathematischen Referat Wir werden in möglichst nicht-mathematischer Sprache, also für jedermann zugänglich, beschreiben,

Mehr

Musterlösung Serie 2

Musterlösung Serie 2 D-ITET Analysis III WS 13 Prof. Dr. H. Knörrer Musterlösung Serie 1. Wir wenden die Methode der Separation der Variablen an. Wir schreiben u(x, t = X(xT (t und erhalten Daraus ergeben sich die Gleichungen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)

Mehr

Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Kernfach Mathematik Thema: Analysis Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Differentialgleichungen Teilnehmer: Phili Bannach Heinrich-Hertz-Oberchule) Levin Keller Herder-Oberchule) Phili Kende Herder-Oberchule) Carten Kubbernuh Andrea-Oberchule) Giang Nguyen Herder-Oberchule)

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 11. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 11. Übungsblatt Institut für Analysis SS17 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.7.17 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets, Johanna Richter, M.Sc. Tobias Ried, M.Sc., Tobias Schmid, M.Sc. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung

Mehr

Finite Difference Method (FDM)

Finite Difference Method (FDM) Finite Difference Method (FDM) home/lehre/vl-mhs-1-e/folien/vorlesung/2a_fdm/cover_sheet.tex page 1 of 15. p.1/15 Table of contents 1. Problem 2. Governing Equation 3. Finite Difference-Approximation 4.

Mehr

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat folgende Gestalt: +f() = r(). Dabei sind f() und r() gewisse, nur von abhängige Funktionen. Wichtig: sowohl

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Physik 4, Übung 11, Prof. Förster

Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt ieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

Die Differentialgleichung :

Die Differentialgleichung : Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Differentialgleichungen II für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Differentialgleichungen II für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 2006 Prof. Dr. R. Lauterbach Dr. K. Rothe Differentialgleichungen II für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungen zu Blatt 4 Aufgabe 13: Gegeben

Mehr

Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2

Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2 Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Übungen Regelungstechnik 2 Inhalt der Übungen: 1. Grundlagen (Wiederholung RT1) 2. Störgrößenaufschaltung 3. Störgrößennachbildung

Mehr

Aufgabe1 EStrich ist Lennard Jones Potential mit Exponentialfunktion

Aufgabe1 EStrich ist Lennard Jones Potential mit Exponentialfunktion Aufgabe EStrich ist Lennard Jones Potential mit Exponentialfunktion Ansatz: Exponentialfunktion mit 3 Variablen einführen: a: Amplitude b:stauchung c:verschiebung_entlang_x_achse EStrich r_, ro_, _ : a

Mehr

Aufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010

Aufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010 Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr