Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren

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1 Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 3. Februar 009 Abstract Derivation of Bessel functions with the integral iterative method An integral iterative method for the Bessel equation will be introduced in order to derive Bessel functions in a very simple way. Übersicht Für die Bessel-Gleichung wird ein Integral-Iterationsverfahren vorgestellt, um die Bessel-Funktionen auf einfachste Weise herzuleiten. Internet Dieser Artikel ist online abrufbar unter: Anschrift des Verfassers Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Auf der Lehmbünde Göttingen Germany info@satzansatz.de

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Integral-Iterationsverfahren für die Bessel-Gleichung 4 3 Bessel-Funktion zweiter Gattung 6 4 Bessel-Funktion für n = Zusammenfassung Literatur

3 Einleitung Im Jahr 986 hatte ich ein Integral-Iterationsverfahren erstmalig vorgestellt, um eakte Lösungen für die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen für die transsonische Strömung sowohl im kartesischen als auch im Zylinder- Koordinatensystem herzuleiten ]. Durch Anwendung dieses Integral-Iterationsverfahrens im Jahr 007 wurden viele eakte Lösungen für die folgenden linearen partiellen Differentialgleichungen gefunden: Laplace-Gleichung, Poisson-Gleichung, biharmonische Gleichung sowie biharmonische Poisson- Gleichung ]. In diesem Artikel wird dieses Verfahren auf die lineare gewöhnliche Differentialgleichung erweitert. Im Abschnitt formulieren wir das Integral- Iterationsverfahren für die Bessel-Gleichung. Im Abschnitt 3 zeigen wir ausführlich die Herleitung der Bessel-Funktion zweiter Gattung. Die Bessel- Funktion für n = 0 zeigen wir im Abschnitt 4. Die Auffindung der Bessel-Funktionen ist dadurch zu einer ganz elementaren und sehr leichten Aufgabe geworden. Für die Verbesserung der Tete und für die mühevolle Anfertigung und Veröffentlichung dieser Arbeit möchte ich meinem jüngsten Sohn, Ingo Chao, herzlich danken. 3

4 Integral-Iterationsverfahren für die Bessel- Gleichung Die Bessel-Gleichung d y d + dy d + ( n )y = 0 (.) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung 3, 5]. Dabei ist n eine reelle Konstante, positiv oder negativ, ganzzahlig oder nicht ganzzahlig. Eine andere Darstellung der Bessel-Gleichung ist d n d n+ d ( ) ] d y + y = 0. (.) n Man bestätigt dies durch Differenzieren: d n+ d ( ) ] n d d y = d y n d + dy d n y. (.3) Der Operator auf die Funktion y, F (y) = d n d n+ d ( ) ] d y, (.4) n hat eine Inverse y = n n+ n F (y) d d. (.5) Sie ist entstanden nach der Regel der inversen Bildungen: Dividieren durch Multiplizieren, Differenzieren durch Integrieren und umgekehrt, und zwar nach der Reihenfolge von links nach rechts. Wir führen eine neue Bezeichnung ein: B = y + y n y + y. (.6) B ist nichts anderes als der Bessel-Ausdruck aus (.) mit y y = d y. d = dy d und 4

5 Unser Iterationsverfahren beginnt mit dem ersten Lösungsansatz y = y 0. Dabei ist y 0 = n oder y 0 = n. Wir berechnen und erhalten Wir berechnen weiter B 0 = y 0 + y 0 n y 0 + y 0 (.7) y = y 0 n n+ n B 0 d d. (.8) B = y + y n y + y (.9) und leiten y her: y = y n n+ n B d d. (.0) Wir rechnen so weiter und erhalten nach dem k-ten Schritt y k. Mit y k berechnen wir B k : B k = y k + y k n y k + y k. (.) Wir haben viele Beispiele getestet bei vorgegebenem n und stellen fest, dass B k gleich mal das letzte Glied von y k ist. Man braucht y k und y k sowie (.) nicht auszurechnen. Wir zeigen dies noch im nächsten Abschnitt. Mit y k und B k berechnen wir y k+ : y k+ = y k n n B n+ k d d (.) usw. 5

6 3 Bessel-Funktion zweiter Gattung Wir betrachten zunächst den Fall für y 0 = n mit einer positiven ganzen Zahl n : B 0 = y 0 + y 0 n y 0 + y 0 = n+. (3.) Mit y 0 und B 0 berechnen wir y nach (.8): y = y 0 n n n+ d d n+ = y 0 n d d n+ = y 0 n n+ d = y 0 n n+ d = n n n+ ( n + ) = n + n+ (n ) Wir berechnen weiter B mit y nach (.9): B = n+4 (n ). (3.). (3.3) B ist gleich mal das letzte Glied von y. Wir berechnen weiter y = y n n n+4 d d n+ (n ) = n + n+ (n ) + n+4. (3.4) (n ) 4(n 4) Um die Formel zu vereinfachen, führen wir neue Bezeichnungen ein: b 0 =, b =, b =, (n ) (n ) 4(n 4) b 3 =,, (n ) 4(n 4) 6(n 6) b k =,, (n ) 4(n 4) k(n k) b n = n (n )! ]. (3.5) 6

7 In (3.4) steht y. Wir rechnen weiter bis auf k = n : y n = b 0 n + b n+ + b n b n n. (3.6) Wie wir gesagt haben, B n ist gleich mal das letzte Glied von y n : B n = b n n. (3.7) Danach entsteht bei jedem weiteren Schritt die Logarithmusfunktion ln. Mit y n und B n berechnen wir y n ausführlich: y n = y n n n b n+ n n d d = y n b n n n d d n+ = y n b n n n n+ n d = y n b n n n d = y n b n n n ln = y n c n ln. (3.8) Dabei haben wir eine neue Bezeichnung eingeführt: c = n (n )! n n!. (3.9) Mit y n berechnen wir B n : B n = c n+ ln. (3.0) Ausführlich berechnen wir weiter y n+ mit der Formel: m ln d = m+ m + ln m+, m. (3.) (m + ) 7

8 y n+ = y n n n c n+ ln ] d d n+ = y n + c n n+ ln d d n+ ] = y n + c n n+ n+ n + ln n+ d (n + ) = y n + cn ln ] d n + n + ] = y n + cn ln n + (n + ) = y n c n ln + cn+ (n + ) ln n + Das letzte Glied aus (3.) mal liefert uns B n+ = cn+4 ln (n + ) ] n + Mit y n+ und B n+ erhalten wir y n+ : cn+ y n+ = y n c n ln + (n + ) c n+4 (n + ) 4(n + 4) k=0 ln n + ln n + 4 n + 4 ] ]. (3.). (3.3) ]. (3.4) Weitere Schritte zeigen, dass die Lösung eine unendliche Reihe ist. Ein Teil der Konstante c ist. Wir erkennen sofort, dass der Ausdruck vor n n! ln die Bessel-Funktion erster Gattung ist: J n () = ] n n+ n n! (n + ) + n+4 (n + ) 4(n + 4) ( ) ( ) k n+k =. (3.5) k!(n + k)! Wir multiplizieren die ganze Reihe mit n (n )! und erhalten nach einigen Umformungen die Bessel-Funktion zweiter Gattung: Y n () = J n () ln n ( ) n+k k= ( ) k k!(n + k)! k=0 ( (n k )! k! ) n+k k ( 8 m= m + n + m ). (3.6)

9 Wir möchten darauf hinweisen, dass k von (nicht von 0) bis bei der zweiten Summation ist, weil n nur mit ln zusammen erscheint. Es gibt kein alleinstehendes n. Unsere Y n () enthält J n () nicht. Es ist interessant zu beobachten, wie die Konstante Schritt für Schritt n n! entstanden ist. 9

10 4 Bessel-Funktion für n = 0 Unser Integral-Iterationsverfahren liefert uns auch die richtigen Ergebnisse der Bessel-Funktionen erster Gattung. Bei y 0 = n für ganzzahliges n und für positiv und negativ nicht ganzzahliges n ist die Herleitung der Bessel- Funktionen sehr einfach. Wir möchten dies nicht mehr zeigen. Stattdessen betrachten wir nur den Fall für n = 0. Mit y 0 = 0 = erhalten wir B 0 = y 0 + y 0 + y 0 =. (4.) Mit y 0 und B 0 berechnen wir y nach (.8): y = d d =. (4.) Weiter ist B gleich mal das letzte Glied von y : Danach bekommen wir y : y = y Wir machen einen Schritt weiter: und erhalten schließlich B = 4. (4.3) ( ) 4 d d = (4.4) y 3 = , (4.5) J 0 () = y = k=0 ( ) k (k!) ( ) k. (4.6) Mit der Methode der Reihenentwicklung hat man nur die Bessel-Funktion erster Gattung hergeleitet. Die zweite Lösung muss anderweitig gefunden werden. Eine solche Aufgabe gestaltet sich sehr kompliziert 3, 4]. Unser Integral-Iterationsverfahren liefert uns beide Lösungen mit einer erstaunlichen Einfachheit. Mit dieser Feststellung beenden wir diese Arbeit. 0

11 5 Zusammenfassung Nachdem viele eakte Lösungen für die partiellen Differentialgleichungen mit dem Integral-Iterationsverfahren gefunden wurden, haben wir dieses Verfahren auf die linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen erweitert. In diesem Artikel wird ein Iterationsverfahren für die Bessel-Gleichung eingeführt. Damit haben wir die alten bekannten Bessel-Funktionen, insbesondere die Bessel-Funktion zweiter Gattung, in einer ganz einfachen Weise hergeleitet.

12 Literatur ] Kuang-lai Chao Analytische Lösungen der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen für die transsonische Strömung in physikalischen Räumen DFVLR - FB 86-4 Translation: Analytical solutions of the nonlinear partial differential equations for transonic flow in physical spaces ESA-TT-009, December 986 ] Kuang-lai Chao Integral-Iterationsverfahren und die eakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Internet, ] Frederick S. Woods Advanced Calculus Ginn and Company, Boston 96 4] E. L. Ince Die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen Bibliographisches Institut, Mannheim Hochschultaschenbücher-Verlag, Band 67, 956 5] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (Editor) Handbook of Mathematical Functions Dover Publications, New York 964