Zweidimensionale Exploration mittels Gravimetrie

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1 Zweidimensionale Exploration mittels Gravimetrie Dipl. Math. Sandra Möhringer TU Kaiserslautern Fraunhofer ITWM Geothermiekongress 2012 Karlsruhe 13. November 2012

2 Sicht der Mathematik: Kaiserslauterer Modell Seismische Gravitations- Geomagnetische Geologische Messdaten aus Daten daten Daten Informationen Bohrungen T I E F E G E O T H E R M I E Seismische Erkundung S. Möhringer (2D), C. Blick (3D) Migration und Inversion Postprocessing Gravitation/Geomagnetik S. Möhringer (2D), C. Blick (3D) Modellierung von Dichte und Magnetisierung Detektion von Hotspots/Plumes Transportvorgänge S. Eberle, H. Nutz Wärmefluss Fluidfluss Transport chemischer Stoffe Transport von Tracern Spannungsfeld M. Augustin Stimulation von Brüchen Ausbreitung von Brüchen Erdbebenwellen Mikroseismizität

3 Überblick Allgemeines Newton Integrale Übergang von 3D zu 2D Potentialen Postprocessing Singuläre Integrale Kerne mit lokalem Träger Multiskalen-Zerlegung Poisson Gleichung Ausblick lokales Postprocessing des Gravitationspotentials in Kombination mit dem darauf angewendeten Laplace Operator Inversion

4 Das Newton Potential stellt den Zusammenhang zwischen Dichte und Gravitation dar: V (x) = S(x, y)f (y) dv (y), G Allgemeines Newton Integral x R q und y G. Die Funktion S(x, y) ist die Fundamentallösung zum Laplace Operator { x y 2 q S(x, y) := (q 2)ω q, q 2, 1 2π ln x y, q = 2, ω q = 2πq/2 Γ(q/2)

5 Allgemeines Übergang von 3D zu 2D Potentialen Punkt x liegt in x 1 x 2 -Ebene, d.h. x 3 = 0 Dichte F (x 1, x 2, x 3 ) = F (x 1, x 2 ) nur konstant in x 3 -Richtung

6 V (x) = G = 1 4π = 1 4π 1 F (y) dv (y) 4π x y S S ε ε Allgemeines Übergang von 3D zu 2D Potentialen 1 (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + y 2 3 F (y 1, y 2 )dy 3 ds(y 1, y 2 ) ( ) (x1 y 1 ) F (y 1, y 2 ) ln 2 + (x 2 y 2 ) 2 + ε 2 + ε ds(y 1, y 2 ) (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + ε 2 ε Neu-Definition von 2D Potentialen: Ṽ (x) = 1 [ ( ) (x1 y 1 ) F (y 1, y 2 ) ln 2 + (x 2 y 2 ) 2 + ε 2 + ε 4π S (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + ε 2 ε ( )] 1 + ε2 + ε ln ds(y 1, y 2 ) 1 + ε2 ε lim Ṽ (x) = 1 F (y R 2) ln ( x R 2 y R 2 ) ds(y R 2) ε 2π S

7 Überblick Allgemeines Newton Integrale Übergang von 3D zu 2D Potentialen Postprocessing Singuläre Integrale Kerne mit lokalem Träger Multiskalen-Zerlegung Poisson Gleichung Ausblick lokales Postprocessing des Gravitationspotentials in Kombination mit dem darauf angewendeten Laplace Operator Inversion

8 Postprocessing Singuläre Integrale Definition Sei G ein reguläres Gebiet im R q, q N und sei {K h ( x )} h>0, x R q, eine Menge von Funktionen in L 2 (G), die folgende Eigenschaften erfüllen 0 K h ( x ) L 2 (G), G K h( x y ) dv (y) = 1. Dann heißen die beschränkten linearen Operatoren {I h } h>0 mit I h (F )(x) := (K h F )(x) = K h ( x y )F (y) dv (y) Singuläre Integrale. Die Funktionen {K h ( x )} h>0, x R q sind die Kerne der Singulären Integrale. Wenn zusätzlich für den Bereich x y > h gilt, dass K h ( x y ) = 0, dann werden {K h ( x )} h>0 lokal kompakte Kerne genannt. G

9 Postprocessing Singuläre Integrale Definition Die Singulären Integrale {I h } h>0 sind Approximierende Identitäten in L 2 (G) bezüglich der Skalierungsfunktionen {K h } h>0, wenn ( 1/2 lim F I h(f ) L h 0 2 (G) = lim (F (x) (K h F )(x)) dx) 2 = 0 h 0 G für alle F L 2 (G), d.h. die Faltung I h (F ) approximiert die Funktion F in der L 2 -Norm.

10 Postprocessing Singuläre Integrale Theorem Für eine Menge von diskreten Punkten {F (y k )} k=1,...,n in einem Gebiet G konvergiert der Operator I h (F )(y k ) punktweise gegen F (y k ), d.h. lim I h(f )(y k ) α(y k )F (y k ) = 0 h 0 für alle y k G, k = 1,..., N, wobei α(y k ) der Raumwinkel ist, der von der Position der Punkte y k abhängt.

11 Postprocessing Kerne mit lokalem Träger Haar Kern K h ( x y ) = { 1, πh 2 x y < h, 0, else. B-Splines Mit t i = ( 2i 1) h 2, i = 0,..., k und h (0, 1] k ( ) B k ( h 2, h 2 ; t 2 k k ) = t k 1 i i i= k 2 +1 ( 1) k i 1 ( ) k ( 1) k i k (t i t 2 ) k 1 +. i i=0 Dann K h ( x y ) = c 1 h B k ( h 2, h 2 ; x z 2 )B k ( h 2, h 2 ; y z 2 ) dv (z) G

12 Postprocessing Kerne mit lokalem Träger B 2 ( h 2, h 2 ; x y 2 ) = {1 x y 2 h, 2 0 x y 2 h 2, 0, else ( ) 1 3 x y 2 2 B 3 ( h 2, h 2 ; x y 2 h, 0 x y 2 < h2, ) = 3 2h (h 2 x y 2 ) 2 1, 4 3 h2 x y 2 h 2, 0, else.

13 Postprocessing Kerne mit lokalem Träger

14 Postprocessing Kerne mit lokalem Träger

15 Approximation einer Funktion F : F h (x) = I h (F )(x) = G K h ( x y )F (y) dv (y) Postprocessing Multiskalen-Zerlegung Für eine monoton fallende Folge {h j } j N von Skalierungsparametern können über die diskrete Skalierungsgleichung (WK) j ( x y ) = K j+1 ( x y ) K j ( x y ) Waveletfunktionen (WK) j definiert werden, wobei K hj = K j. F J (x) = G K 0 ( x y )F (y) dv (y) J 1 + (WK) k ( x y )F (y) dv (y) k=1 G

16 Postprocessing Multiskalen-Zerlegung Quelle: F. Billette, S. Brandsberg-Dahl. The 2004 BP Velocity Benchmark. In: 67th Annual Internat. Mtg., EAGE, Expanded Abstracts, page B035, 2005

17 + Postprocessing Multiskalen-Zerlegung

18 = Postprocessing Multiskalen-Zerlegung

19 Überblick Allgemeines Newton Integrale Übergang von 3D zu 2D Potentialen Postprocessing Singuläre Integrale Kerne mit lokalem Träger Multiskalen-Zerlegung Poisson Gleichung Ausblick lokales Postprocessing des Gravitationspotentials in Kombination mit dem darauf angewendeten Laplace Operator Inversion

20 Poisson Gleichung Innerhalb G unterliegt das Newton Integral der Poissongleichung x V (x) = F (x), x G. Multiskalen-Zerlegung des Gravitationspotentials im Inneren von G: V J (x) = K 0 ( x y )V (y) dv (y) G J 1 + (WK) k ( x y )V (y) dv (y) k=1 G Kombination liefert F J (x) = x V J (x) = x K 0 ( x y )V (y) dv (y) G J 1 + x (WK) k ( x y )V (y) dv (y) k=1 G

21 Poisson Gleichung

22 Poissongleichung + =

23 Überblick Allgemeines Newton Integrale Übergang von 3D zu 2D Potentialen Postprocessing Singuläre Integrale Kerne mit lokalem Träger Multiskalen-Zerlegung Poisson Gleichung Ausblick lokales Postprocessing des Gravitationspotentials in Kombination mit dem darauf angewendeten Laplace Operator Inversion

24 Entwicklung der Dichtefunktion mit lokal kompakten Kernen Ausblick Inversion F (y) = Einsetzen in Newton Integral N a n K h ( y z n ) n=0 N V (x) = a n S( x y )K h ( y z n ) dv (y), x R q \G n=0 G führt zu linearem Gleichungssystem Ma = v mit Koeffizienten a n als Unbekannte.

25 [1] Freeden, W. and Gervens, T. and Schreiner, M.:Constructive Approximation on the Sphere (With Applications to Geomathematics), Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 1998 [2] Freeden, W. and Schreiner, M.: Spherical Functions of Mathematical Geosciences: A Scalar, Vectorial, and Tensorial Setup, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009 [3] Schaffeld, H.-J.: Eine Finite-Elemente-Methode und ihre Anwendung zur Erstellung von Digitalen Geländemodellen, Geodätisches Institut der RWTH Aachen, PhD Thesis, 1988 [4] Walter, W.: Einführung in die Potentialtheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1971

26 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!