Approximation flächenhaft harmonischer Funktionen mittels bikubisch finiter Elemente

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1 . Session 6: Theoretische Geodäsie Approximation flächenhaft harmonischer Funktionen mittels bikubisch finiter Elemente 1 Jessica Franken Institut für Geodäsie und Geoinformation Professur für Theoretische Geodäsie Universität Bonn 9. Oktober 2013

2 Gliederung 1 Motivation 2 Grundlagen Gravitations- und Störpotential Simulationsstudie Finite Elemente in 1- und 2D 2 3 Umsetzung Referenzfläche Gesamtausgleich Implementation der Laplace-Gleichung Ergebnisse 4 Ausblick

3 Motivation Einsatzgebiet es werden genaue Kenntnisse über Schwereanomalien für alle Anwendungen benötigt, welche z.b. mit Satelliten-Orbits globalen Höhenreferenzsystemen oder der Definition der Meeresoberflächenhöhe arbeiten. Datengrundlage homogen verteilte Datenmengen aus historischen und aktuellen Satellitenmissionen (CHAMP, GRACE, GOCE) Schwereanomalie GOCE im Orbit 3

4 Motivation Einsatzgebiet es werden genaue Kenntnisse über Schwereanomalien für alle Anwendungen benötigt, welche z.b. mit Satelliten-Orbits globalen Höhenreferenzsystemen oder der Definition der Meeresoberflächenhöhe arbeiten. Datengrundlage homogen verteilte Datenmengen aus historischen und aktuellen Satellitenmissionen (CHAMP, GRACE, GOCE) Schwereanomalie GOCE im Orbit 3

5 Grundlage Gravitationspotential U, Normalpotential V und Störpotential T stehen über die Gleichung T = U V in Zusammenhang sie erfüllen alle die Laplace-Gleichung Quellenfrei im Aussenraum 4 U = 0, T = 0, V = 0 (in 2D-kartesischen Koordinaten) ist definiert als = 2 x y 2

6 Grundlage Gravitationspotential U, Normalpotential V und Störpotential T hier: nach oben gerichtete Fortsetzung des potentiellen Feldes Lösung des Randwert-Problems für die Laplace-Gleichung mit dem Dirichlet-Problem { Φ = 0 in Ω } Φ = ϕ in Ω 5 Bedeutung für die finite Elemente-Methode nur Messwerte auf dem Rand die Laplace-Bedingung sollte innerhalb der Fläche erfüllt sein es müssen genug Bedingungen vorliegen, um eine Unterbestimmung innerhalb des Gitters zu verhindern

7 Grundlage Gravitationspotential U, Normalpotential V und Störpotential T hier: nach oben gerichtete Fortsetzung des potentiellen Feldes Lösung des Randwert-Problems für die Laplace-Gleichung mit dem Dirichlet-Problem { Φ = 0 in Ω } Φ = ϕ in Ω 5 Bedeutung für die finite Elemente-Methode nur Messwerte auf dem Rand die Laplace-Bedingung sollte innerhalb der Fläche erfüllt sein es müssen genug Bedingungen vorliegen, um eine Unterbestimmung innerhalb des Gitters zu verhindern

8 Simulationsstudie harmonische Funktion implementieren, an welcher Modell-Beobachtungen an der Fläche abgegriffen werden können Beobachtungen auf dem Rand der rechteckigen Fläche generieren (an einer oder mehreren Seiten) Approximation der Fläche mit kubisch finiten Elementen über die Modell-Beobachtungen und unter Einbringung der Stetigkeits- und Laplace-Bedingungen Analyse der Güte der Rekonstruktion (Vorteil der modellhaften Referenzfläche nutzen) 6

9 Finite Elemente in 1D Ansatz: kubische Polynome f(x) = a 0 + a 1 (x x a ) + a 2 (x x a ) 2 + a 3 (x x a ) 3 Parameterübergang f(x) = C 0 (x)f(x a )+C 1 (x)f (x a )+C 3 (x)f(x e )+C 4 (x)f (x e ) Bedingungen für die zweite Ableitung 7 Lösung des Gleichungssystems führt zu einer in der zweiten Ableitung stetigen Approximation

10 Finite Elemente in 2D ähnliches Vorgehen mit zusätzlicher Variable y Gitter mit Rechteckelementen, Rechteckelement = Bogner-Fox-Schmit-Element Parameterübergang in Funktionswert, dessen Ableitung in x-, y- und xy-richtung in den Knotenpunkten 4 Unbekannte pro Knoten 8

11 Referenzfläche Die Funktion soll Laplace-Gleichung erfüllen harmonische Funktion f 1 (x) = e 10x sin(10y) + e 10+10x sin(10 10y) f 2 (x) = e 10+10x sin(10 10y) 9

12 Gesamtausgleich Berechnung Modell l + v = Ax B T x = b Σ{L} = Σ Gesamtausgleich (hier b = 0) [ A T Σ 1 ] ] A B [ x B T 0 k [ A = T Σ 1 ] l b 10 Vorteil: Der Rangdefekt der Designmatrix kann durch die Ergänzung mit der Bedingungsmatrix aufgehoben werden

13 Das Gitter und seine Parameter Betrachtete Knotenparameter 11

14 Das Gitter und seine Parameter 11

15 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 12

16 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 12

17 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 12

18 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 12

19 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 13

20 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 13

21 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 13

22 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 14

23 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 14

24 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 15

25 Die Laplace-Gleichung als Bedingung 15

26 Die Laplace-Gleichung als Bedingung es besteht eine lineare Abhängigkeit innerhalb der Laplace-Bedingungen singuläre Bedingungsmatrix es sind nur 3 Bedingungen pro Knoten zu implementieren 16 um eine Unterbestimmung zu verhindern sind 4 Bedingungen notwendig Ersatz der 4. Bedingung durch Restriktionen zur Stetigkeit der Fläche in der zweiten Ableitung 4. Bedingung: Differenz der gemischten zweiten Ableitungen (Differenz der zweiten Ableitungen ergäbe wieder eine lineare Abhängigkeit zu den Laplace-Bedingungen)

27 Die Laplace-Gleichung als Bedingung es besteht eine lineare Abhängigkeit innerhalb der Laplace-Bedingungen singuläre Bedingungsmatrix es sind nur 3 Bedingungen pro Knoten zu implementieren 16 um eine Unterbestimmung zu verhindern sind 4 Bedingungen notwendig Ersatz der 4. Bedingung durch Restriktionen zur Stetigkeit der Fläche in der zweiten Ableitung 4. Bedingung: Differenz der gemischten zweiten Ableitungen (Differenz der zweiten Ableitungen ergäbe wieder eine lineare Abhängigkeit zu den Laplace-Bedingungen)

28 Ergebnisse Die approximierte Fläche Approx. Nr. 1, Darstellung: approx. Fläche 17 Referenzfläche 1

29 Ergebnisse Anzahl der Flächenelemente Approx. Nr. 3, Darstellung: Differenzbild Approx. Nr. 2, Darstellung: approx. Fläche 18 Approx. Nr. 4, Darstellung: Differenzbild

30 Ergebnisse modifizierte Beobachtungen Approx. Nr. 5, Darstellung: approx. Fläche Approx. Nr. 7, Darstellung: approx. Fläche 19 Approx. Nr. 6, Darstellung: approx. Fläche

31 Ergebnisse Zusammenfassung Beste Approximation der Referenzfläche bisher bestes Ergebnis ohne Restriktionen, nur mit Krümmungsminimierung Vermutung: Funktionsvorgabe stimmt gut mit den Eigenschaften der Krümmungsminimierung zusammen empfindlich in Bezug auf Rauschen erfüllt nicht die Laplace-Gleichung 20 Robuste Approximation mit Restriktionen unempfindlich in Bezug auf Rauschen Approximationen schon ab einer Modellbeobachtung pro Randelement möglich Seiten ohne Modellbeobachtungen sind möglich, solange Pseudobeobachtungen den Rangdefekt auffangen (keine Rekonstruktion des eigentlichen Verlaufs) erfüllt nur in den Knotenpunkten die Laplace-Gleichung, innerhalb der Elemente ist die Laplace-Gleichung nicht erfüllt

32 Ergebnisse Zusammenfassung Beste Approximation der Referenzfläche bisher bestes Ergebnis ohne Restriktionen, nur mit Krümmungsminimierung Vermutung: Funktionsvorgabe stimmt gut mit den Eigenschaften der Krümmungsminimierung zusammen empfindlich in Bezug auf Rauschen erfüllt nicht die Laplace-Gleichung 20 Robuste Approximation mit Restriktionen unempfindlich in Bezug auf Rauschen Approximationen schon ab einer Modellbeobachtung pro Randelement möglich Seiten ohne Modellbeobachtungen sind möglich, solange Pseudobeobachtungen den Rangdefekt auffangen (keine Rekonstruktion des eigentlichen Verlaufs) erfüllt nur in den Knotenpunkten die Laplace-Gleichung, innerhalb der Elemente ist die Laplace-Gleichung nicht erfüllt

33 Ausblick Ersatz der bikubisch finiten Elemente durch stückweise harmonische Funktionen (wahlweise vollständige Polynome) Übertragung in einen Quader Anwendung auf reale Datensätze 21 Quader berührt Sphäre am Boden

34 . Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 22

35 Literatur G. Jager, A. Kunoth, W.-D. Schuh (2012). Approximate continuation of harmonic functions in geodesy: A spline based least squares approach with regularization Journal of Computational and Applied Mathematics 237(2013), Franken, J. (2012). Flächenhafte Modellierung orts - und zeitabhängiger Höhenänderungen. Bachelorarbeit, Institut für Geodäsie und Geoinformation der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn. B. Hofmann-Wellenhof, H. Moritz (2005). Physical Geodesy. Springer Wien New York, 2. Auflage. 23