Interpolation und Approximation von Funktionen

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1 Kapitel 6 Interpolation und Approximation von Funktionen Bei ökonomischen Anwendungen tritt oft das Problem auf, dass eine analytisch nicht verwendbare (oder auch unbekannte) Funktion f durch eine numerisch nutzbare Funktion ˆf approximiert werden muss, wobei die Informationen über f begrenzt sind Der erste Schritt bei diesem Interpolationsproblem ist zunächst die analytische Form der Näherungsfunktion zu bestimmen Am einfachsten ist es, sich auf Funktionen zu beschränken, welche sich als Linearkombinationen eines Satzes von n bekannten linear unabhängigen Basisfunktionen φ 1 (x),, φ n (x) schreiben lassen, dh n (61) ˆf(x) = a j φ j (x), j=1 wobei die Koeffizienten a 1,, a n zu bestimmen sind In der Regel verwendet man Polynome mit ansteigender Ordnung als Basisfunktionen, grundsätzlich sind aber auch andere Typen von Basisfunktionen (zb Splines, su) möglich Die Anzahl der unabhängigen Basisfunktionen bestimmt den Grad der Interpolation Im zweiten Schritt muss festgelegt werden, welche Eigenschaften der eigentlichen Funktion f durch die Näherungsfunktion ˆf abgebildet werden sollen Da es n unbekannte Koeffizienten gibt, benötigt man mindestens n Bedingungen, um die Näherungsfunktion zu fixieren Am einfachsten (und deshalb auch am häufigsten so angewandt) ist es deshalb zu fordern, dass die Näherungslösung die originalen Funktionswerte f(x 1 ),, f(x n ) an den Stützstellen x 1,, x n genau replizieren kann Wenn dann n Stützstellen für die Interpolation ebenso wie n Basisfunktionen gegeben sind, lassen sich die Koeffizienten a i ganz einfach mit Hilfe des linearen Gleichungssystems (62) n a j φ j (x i ) = f(x i ) i = 1, 2,, n j=1 bestimmen In Matrixnotation lässt sich dieses System als Φa = y schreiben, wobei a den Koeffizientenvektor, y den Vektor der Funktionswerte an den Stützstellen der Interpolation und Φ ij = φ j (x i ) das Element der Interpolationsmatrix Φ bezeichnet, wenn die j te Basisfunktion an der Stützstelle x i evaluiert wird Wir unterstellen dabei, dass die Interpolationsmatrix Nicht-singulär ist und sich invertieren lässt Dann erhalten wir a = Φ 1 y Die Interpolation kann auch als Spezialfall des Kurvenanpassungsproblems interpretiert werden Letzteres ergibt sich immer dann, wenn weniger Basisfunktionen als Stützstellen 33

2 ! N zur Verfügung stehen In diesem Fall kann nicht an jeder Stützstelle die Interpolationsbedingung genau erfüllt werden Eine Approximation wird dadurch erreicht, indem man die Summe der quadrierten Fehlerterme e i = f(x i ) n a j φ j (x i ) minimiert Dieses Verfahren führt zum bekannten Kleinste-Quadrat Schätzer j=1 a = (Φ Φ) 1 Φ y Die folgende Abbildung verdeutlicht die beiden unterschiedlichen Verfahren für die Stützstellen (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )), (x 3, f(x 3 )), (x 4, f(x 4 )) Abbildung 61: Interpolation vs Approximation " 1 J A H F = J E ) F F H N E = J E N N N N! " Grundsätzlich sollte das Interpolationsverfahren so gewählt werden, dass: 1 Die originale Funktion f möglichst genau approximiert wird, dh die Güte steigt mit der Anzahl der Basisfunktionen und Stützstellen 2 Die Koeffizienten schnell und genau ermittelt werden können, dh die Interpolationsgleichung (61) sollte zu einer möglichst einfachen Matrix Φ führen 3 Die approximierte Funktion ˆf sollte einfach zu handhaben sein, dh die Basisfunktionen φ j sollten einfach zu evaluieren, zu differenzieren und zu integrieren sein Im Folgenden unterscheiden wir zwischen Polynominterpolation und der stückweisen Polynominterpolation Erstere benutzt Basisfunktionen, welche im gesamten Definitionsbereich der zu approximierenden Funktion positiv sind Letztere verwendet Basisfunktionen, welche in Subintervallen des Definitionsbereiches positiv sind 61 Polynominterpolation Nach dem Weierstraß-Theorem lässt sich jede im Intervall [a, b] stetige Funktion f(x) bis zu einer beliebigen Genauigkeit durch eine Polynomfunktion approximieren Deshalb ist 34

3 die sog Polynominterpolation der intuitivste Ansatz für die Approximation von Funktionen Die Vorgehensweise wurde im Prinzip bereits skizziert Angenommen man hat i = 1,, n Stützstellen (x i, y i = f(x i ) zur Approximation der Funktion Dann kann das Polynom (63) p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c n 1 x n 1 vom Grade n 1 genau durch diese Stützstellen gelegt werden Für die n Beobachtungen erhält man genau n Gleichungen c 0 + c 1 x 1 + c 2 x c n 1 x n 1 1 = f(x 1 ) c 0 + c 1 x 2 + c 2 x c n 1 x2 n 1 = f(x 2 ) c 0 + c 1 x n + c 2 x 2 n + + c n 1 x n 1 n = f(x n ) In Matrixschreibweise erhält man folglich 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n x n x 2 n x n 1 n c 0 c 1 c n = f(x 1 ) f(x 2 ) f(x n ) Mit der sog Vandermonde Matrix als Interpolationsmatrix können die Koeffizienten c jedoch nur scheinbar einfach ermittelt werden In der Praxis ergeben sich häufig Rundungsfehler und andere Probleme, welche die Invertierung der Vandermonde Matrix erschweren Deshalb können die gesuchten Koeffizienten oft nur mit großer Mühe ermittelt werden Als Ausweg verwendet man deshalb andere Polynomfunktionen (zb Chebychev Polynome) Darauf soll aber im Folgenden nicht weiter eingegangen werden Wir wenden uns lieber einem anderen Problem zu, nämlich der Wahl der Stützstellen x i mit i = 1,, n Am einfachsten könnte man äquidistante Stützstellen nach der Formel (64) x i = a + i 1 (b a) i = 1,, n n 1 ermitteln Allerdings ergeben sich daraus auch oft schlechte Approximationen Es gibt sogar glatte Funktionen, bei denen der Approximationsfehler bei äquidistanten Stützstellen nicht abnimmt, sondern sogar sprunghaft Ansteigt mit der Anzahl der Stützstellen Das klassische Beispiel ist hier die Rungefunktion f(x) = x 2 bei der der Approximationsfehler exponential steigt (vgl Aufgabenblatt) Ursächlich sind dafür vor allem Approximationsfehler an den Rändern des Definitionsbereichs Deshalb lassen sich die Funktionen häufig besser approximieren, wenn die Stützstellen an den Rändern des Definitionsbereichs dichter gestreut sind als in der Mitte Nach diesem Prinzip werden die sog Chebychev-Stützstellen (65) x i = a + b 2 + b a 2 cos( n i + 05 π) i = 1,, n n 35

4 Abbildung 62: Chebychev-Stützstellen N N N! = N " N N N # $ % > konstruiert Diese sind symmetrisch zur Mitte des Definitionsbereichs, aber reduzieren stetig den Abstand in Richtung beider Ränder In Abbildung 62 gibt es im Definitionsbereich n = 7 Stützstellen x 4 ist genau in der Mitte von [a, b], die Abstände [x 3, x 4 ] und [x 4, x 5 ], etc sind symmetrisch Es lässt sich zeigen, dass die Chebychev-Stützstellen bestimmte Optimalitätseigenschaften hinsichtlich des Approximationsfehlers aufweisen Dies soll uns jedoch nicht weiter interessieren Eine Polynominterpolation kann mit Hilfe des Moduls polynomial durchgeführt werden Ein Beispiel dazu liefert unten stehendes Programm program polynomial_test! Module die verwendet werden sollen use polynomial use ESPlot! Daten zu Interpolation und Zeichnung real *8 :: xi (0:5), yi (0:5) real *8 :: xplot (0:100), yreal (0:100), yint (0:100)! Interpolationsdaten xi = grid_cons_cheb (0 d0, 1 d0, 5) yi = xi **025 d0! Daten zum Zeichnen xplot = grid_cons_equi (0 d0, 1 d0, 100) yreal = xplot **025 d0 yint = poly_interpol ( xplot, xi, yi)! Zeichne call plot ( xplot, yreal, x ^025 ) call plot ( xplot, yint, Interpolation ) call execplot () end program polynomial_test 36

5 N 62 Stückweise Polynominterpolation (Splines) Eigentlich ist es nahe liegend, die Funktion f(x) nicht im gesamten Definitionsbereich [a, b] mit einem Polynom zu approximieren, sondern in den Teilintervallen [x i, x i+1 ] jeweils spezielle Polynome zu definieren Man spricht dann allgemein von Splines, welche in ganz unterschiedlicher Form und Dimension auftreten können Im Folgenden werden wir jedoch nur zwei Formen von Splines kennen lernen, welche in der Praxis am häufigsten verwendet werden Die sog linearen Splines verknüpfen Geradensegmente zu einer stetigen Funktion, während die kubischen Splines Segmente mit kubischen Polynomen zu einer zweimal differenzierbaren Funktion verbinden Abbildung 63 zeigt beide Alternativen im Fall von n = 4 Stützpunkten Zu beachten ist, dass bei der stückweisen Approximation immer automatisch für die Randpunkte a = x 1 und b = x n gilt Abbildung 63: Lineare vs kubische Splines N N N N! " Lineare Splines sind sehr einfach zu konstruieren Deshalb werden sie auch sehr häufig verwendet Sie definieren die Approximationsfunktionen ˆf i (x) = a i + b i x im Intervall [x i, x i+1 ] Wenn man mit den äquidistanten Stützpunkten x i = a + (i 1)h wobei h = b a n 1 approximiert, denn erhält daraus über den gesamten Definitionsbereich die die Näherungsfunktion ˆf(x) = (x x i)f(x i+1 ) + (x i+1 x)f(x i ) h sofern man sichergestellt hat, dass x sich im Intervall [x i, x i+1 ] befindet Die erste Ableitung der Näherungsfunktion ist für jeden Bereich durch ˆf (x) = f(x i+1) f(x i ) h gegeben Zu beachten ist, dass diese Ableitung an den Stützpunkten nicht stetig ist Außerdem ist die zweite Ableitung automatisch Null Lineare Splines sind zwar einfach zu konstruieren, aber gerade wegen der speziellen Eigenschaften ihrer Ableitungen haben sie auch verschiedene Nachteile, welche ihre Anwendung häufig behindert So benötigt man bei der Suche nach Extrempunkten der Funktion mit 37

6 Newton-Methoden gerade die Ableitungen der Näherungsfunktion Mit linearen Splines kommt man deshalb hier nicht allzu weit Deshalb bieten sich kubische Splines als Alternative an, wenn eine stetige erste und zweite Ableitung der Näherungsfunktion benötigt wird Ganz allgemein lautet die Formel für die Approximationsfunktion im Intervall [x i, x i+1 ] ˆf i (x) = a i + b i x + c i x 2 + d i x 3 Insgesamt gibt es bei n Stützpunkten genau n 1 Intervalle und damit 4 (n 1) Parameter zu bestimmen Die dazu nötigen Gleichungen ergeben sich durch folgende Bedingungen An den den Randpunkten x i, x i+1 der Teilintervalle muss gelten a i + b i x i + c i x 2 i + d i x 3 i = f(x i ) i = 1,, n 1, a i + b i x i+1 + c i x 2 i+1 + d i x 3 i+1 = f(x i+1 ) i = 1,, n 1 Außerdem sollen die erste und die zweite Ableitung an den (inneren) Stützstellen von beiden Seiten übereinstimmen, dh b i + 2c i x i + 3d i x 2 i = b i+1 + 2c i+1 x i + 3d i+1 x 2 i i = 2,, n 1 2c i + 6d i x i = 2c i+1 + 6d i+1 x i i = 2,, n 1 Insgesamt ergeben sich damit 4 (n 1) 2 Bedingungen um die n 1 Koeffizienten a i, b i, c i, d i zu ermitteln Die beiden fehlenden Bedingungen kann man auf unterschiedliche Weise hinzufügen In der Regel wird die Bedingung für den sog natural Spline verwendet, welche besagt, dass die zweite Ableitung an den Randpunkten des Definitionsbereiches Null sein soll, also 2c 1 + 6d 1 x 1 = 0 2c n + 6d n x n = 0 Dies impliziert, dass die Splinefunktion außerhalb des Definitionsbereichs eine Gerade ist Natürlich gilt auch bei der Stückweisen Interpolation, dass die Wahl der Stützpunkte ganz entscheidend die Güte der Näherungsfunktion verbessern kann Gerade wenn die zu approximierenden Funktionen viele Kurven aufweisen, bleibt eigentlich nur eine stückweise Interpolation, wobei an den Wendepunkten möglichst viele Stützstellen angesetzt werden sollten Splines sind in der Regel ziemlich aufwendig zu berechnen Eine einfache Lösung existiert jedoch für äquidistante Stützstellen Dieser Lösung ist im Modul splines implementiert Dessen Verwendung zeigt nachfolgendes Programm program splines_test! Module die verwendet werden sollen use splines use ESPlot! Daten zu Interpolation und Zeichnung real *8 :: xi (0:5), yi (0:5) real *8 :: xplot (0:100), yreal (0:100), yint (0:100) 38

7 ! Interpolationsdaten xi = grid_cons (0d0, 1d0, 5) yi = xi **025 d0! Daten zum Zeichnen xplot = grid_cons (0 d0, 1 d0, 100) yreal = xplot **025 d0 yint = spline ( xplot, yi, 0d0, 1d0)! Zeichne call plot ( xplot, yreal, x ^025 ) call plot ( xplot, yint, Interpolation ) call execplot () end program splines_test 39