ANGEWANDTE MATHEMATIK POLYNOMFUNKTIONEN. Autor: Wolfgang Kugler

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1 Autor: Wolfgang Kugler

2 Inhaltsverzeichnis Definition Nullstellen und Linearfaktorzerlegung 5. Einfache reelle Nullstellen 5. Reelle Nullstellen mit höherer Vielfachheit 7.3 Komplee Nullstellen. Zusammenfassung 3 3 Anwendung der Polynomfunktionen als Näherungsfunktionen Aufgaben Datum:..3 WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

3 Definition Jede Funktion P n () mit oder kurz: n n P = a + a a + a + a n n n n ( ) = P n i= a i i heißt Polynomfunktion vom Grad n. Die Werte, bei denen Pn() = ist, heißen Nullstellen der Polynomfunktion. Die Graphen der Polynomfunktionen heißen Parabeln n-ter Ordnung. Beispiel : Ein Polynom. Grades entsteht z.b, wenn man die zwei linearen Terme und die Konstante ausmultipliziert: ( ) ( +) =... = ² Man beachte, dass = + und = genau die Nullstellen der Polynomfunktion P () = ( + ) ( 5) sind. ( Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.) Man nennt ( + ) ( 5) die Linearfaktorzerlegung des Polynoms ² Der Graph: P ( ) := ( ) ( + ) 5 P () 5 P ( ) epand Beispiel : Ein Polynom 3. Grades entstehet z.b., wenn man die folgenden linearen Terme ausmultipliziert: ( + ) ( + ) ( 3) =...= ³ + ² WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

4 Man beachte, dass =, = und 3 = 3 genau die Nullstellen der Polynomfunktion P 3 () = ³ + ² sind. Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren Null ist. Es gibt also hier genau drei Nullstellen. Man nennt ( + ) ( + ) ( 3) die Linearfaktorzerlegung des Polynoms ³ + ². Der Graph: P 3 () := 3 + P 3 () Beispiel 3: Genauso bildet sich durch Ausmultiplizieren der folgenden Linearfaktoren ein Polynom. Grades: 3 P = + + = = Aus der LFZ des P () können wir hier unmittelbar drei unterschiedliche Nullstellen ablesen: =, = und 3 =. P () := P () 5 Man beachte das Verhalten der Funktion in der Nähe der Nullstelle =. WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 3 /

5 Beispiel : Gehen wir von folgendem P () aus: P () = ( ² + ) ( + ) ( 3 ) Natürlich ergibt sich durch Ausmultiplizieren ein Polynom. Grades in gewohnter Form. Kurz: ( ² + ) ( + ) ( 3 ) =...= ( + ) ( 3) epand, Hier können wir jedoch nur zwei (reelle) Nullstellen ablesen, nämlich = und = 3. Der quadratische Term + ist nicht weiter in zwei (reelle) Linearfaktoren zerlegbar, da + = komplee Lösungen besitzt. Der Graph: + P () := + ( 3) P () Es stellt sich die Frage: Kann man umgekehrt ein Polynom n ten Grades immer in ein Produkt von genau n Linearfaktoren zerlegen? Diesen Vorgang nennt man auch in Linearfaktoren zerfällen. Wie erfolgt diese Zerlegung? Wir wollen uns den Antworten dieser beiden Fragestellungen schrittweise nähern. WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

6 Nullstellen und Linearfaktorzerlegung Für Polynomfunktionen gilt: Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. Lässt man auch komplee Nullstellen zu und zählt man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit, so besitzt jede Polynomfunktion vom Grad n genau n Nullstellen. Besitzt ein Polynom n ten Grades n verschiedene Nullstellen,,..., n, so lässt es sich in ein Produkt von n Linearfaktoren und einer Konstanten zerlegen: Pn = a n... n Hier sind,,..., n die eventuell kompleen Nullstellen, d.h. die Lösungen der algebraischen Gleichung n ten Grades P n () =. Die Frage, wie man zu einer gegebenen Polynomfunktion vom Grad n n n P = a + a +...a + a + a n n n die zugehörige Linearfaktorzerlegung findet, erfordert das Lösen einer algebraischen Gleichung n-ten Grades P n () =. Für diese Art von Gleichungen kennen wir aber nur Lösungsformeln bis zum Grad.(Quadratische Gleichung) Finden wir durch geschicktes Raten eine eventuell vorhandene ganzzahlige Nullstelle, so muss ein Linearfaktor ( ) lauten. Durch Abspalten eines bekannten Linearfaktors, kann man das Problem um einen Grad reduzieren.. Einfache reelle Nullstellen Dass die in den folgenden Beispielen angegebenen Linearfaktorzerlegungen stimmen, lässt sich sofort durch Ausmultiplizieren zeigen. Beispiel 5 : 3 3 Eine Polynomfunktion.Grades lautet: P = Sie hat vier reelle (einfache) Nullstellen: =, =, 3 =, =, Die Linearfaktorzerlegung lautet: P () = ( + ) ( + ) ( ) ( ) wie sich durch mühsames Ausmultiplizieren nachweisen lässt, oder: WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 5 /

7 ( + ) ( + ) ( ) ( ) P () epand, := P () 6 Beispiel 6: Die Polynomfunktion 3.Grades : P = Nullstellen: =, = und 3 = 3 besitzt die drei reellen einfachen Die Linearfaktorzerlegung lautet: aufgeschrieben: 3 = ( + )( )( ) P 3 oder einfacher P 3 () := ( + ) ( 3) P 3 () WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 6 /

8 . Reelle Nullstellen mit höherer Vielfachheit Beispiel 7 : Tritt in der Linearfaktorzerlegung ein Linearfaktor zweimal auf, z.b.: P ( ) = ( + )( + )( 3) = ( + ) ( 3) 3 so sagt man, dass zwei Nullstellen gleich sind. Man spricht dann von einer Doppelnullstelle oder einer Nullstelle mit der Vielfachheit zwei. P 3 () := ( + ) ( 3) Doppelnullstelle P 3 () 3 3 Einfachnullstel Vergleichen Sie in der Zeichnung das unterschiedliche Aussehen einer einfachen Nullstelle mit dem einer Doppelnullstelle. Beispiel 8 : Die Linearfaktorzerlegung von 3 P = lautet WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 7 /

9 P ( ) := ( ) ( + ) ( + 3) P () Tritt ein Linearfaktor k mal auf, spricht man von einer Nullstelle mit der Vielfachheit k. Wir können daher P n () allgemein so schreiben: i = ( ) k ( ) k ( ) k ( ) P a n n i m Hier sind k,k,...,k m die jeweiligen Vielfachheiten der unterschiedlichen Nullstellen. Es muss natürlich k +k k m = n sein. Die Summe der Vielfachheiten aller Nullstellen ergibt stets den Grad des Polynoms. Beispiel 9: m i= Kurz: k = n i k m 3 Die Linarfaktorzerlegung eines Polynoms lautet: P() 6 = 3( + )( + ) ( ) Die ausmultiplizierte Form und der Graph der Polynomfunktion 6. Grades: P 6 () := Einfache Nullstelle Zweifache Nullstelle 5 P 6 () Dreifache Nullstelle WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 8 /

10 Den Zeichnungen der Polynomfunktionen lässt sich entnehmen: Das Vorzeichen der Funktionswerte in der unmittelbaren Nähe einer Doppelnullstelle, oder allgemein einer Nullstelle von gerader Ordnung, bleibt gleich. Das Vorzeichen der Funktionswerte in der unmittelbaren Nähe einer einfachen Nullstelle, oder allgemein einer Nullstelle von ungerader Ordnung, ändert sich. WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 9 /

11 .3 Komplee Nullstellen Beispiel : 3 3 Die Polynomfunktion P() 3 = 3 besitzt nun überhaupt nur eine reelle Nullstelle, nämlich =. Wir können P 3 () so schreiben: P3 3 = ( )( + ) wie sich durch ausmultipizieren sofort nachweisen lässt. Der quadratische Term ² + 3 lässt sich nicht weiter in zwei reelle Linearfaktoren zerlegen, denn ² + 3 = besitzt die konjugiert kompleen Lösungen: = + j und = j. Der Graph von P 3 (): P 3 () := P 3 () Natürlich könnten wir P 3 () komple zerlegen: Ausmultipliziert ergibt = ( ) ( + ) ( ) P3 j j WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

12 + j j = j + j = 3 = j = + j = = + Man spricht in einem derartigen Fall von kompleen Nullstellen. Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. Lässt man auch komplee Nullstellen zu und zählt man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit, so besitzt jede Polynomfunktion vom Grad n genau n Nullstellen. Ist eine Nullstelle komple, so ist auch die dazu konjugiert komplee Zahl eine Nullstelle. n * n P z = P z = Komplee Nullstellen treten stets paarweise auf. Lässt man in der Produktform von P n () nur reelle Faktoren zu, so ergibt das Produkt zweier Linearfaktoren mit konjugiert kompleen Nullstellen z = a + jb und z* = a jb ausmultipli ziert einen quadratischen Term der Form + p + q a + jb a jb = a jb a + jb = = a jb = a + b = a+ a + b = = p q = + + p q Für zwei konjugiert komplee Nullstellen steht in der LFZ also ein in R nicht mehr zerlegbarer quadratischer Term + p + q. Streng genommen dürfte man bei der reellen Faktorzerlegung eines Polynoms mit kompleen Nullstellen von keiner Linearfaktorzerlegung sprechen, da + p + q ja eben kein Linearfaktor mehr ist. Beispiel : = + + lautet: Die Linearfaktorzerlegung von P5 ( ) ( ) WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

13 P 3 () := ( ) ( + 3) P 3 () Die kompleen Nullstellen sind natürlich nicht sichtbar. Beispiel : 9 P ( = ) besitzt nur eine reelle Nullstelle, nämlich =. Die Linearfaktorzerlegung lautet in diesem Beispiel: P 3 () := 3 ( + ) P 3 () 3 Zuletzt soll noch erwähnt werden, dass auch komlpee Nullstellen mit höherer Vielfachheit auftreten können. Beispiel 3: Die folgende Poynomfunktion 5. Grades besitzt zwei reelle Nullstellen mit der Vielfachheit und zwei konjugiert komplee Nullstellen mit der Vielfachheit. WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

14 P 5 () := ( ) ( + ) + P 5 () 3. Zusammenfassung Der allgemeinste Fall einer Faktorzerlegung eines Polynomns n-ten Grades lässt sich so aufschreiben: l m P ( ) a ( )... ( ) ( p q )... ( p q ) k k lr n = n m r + r = ˆ einer reellen Nst. = ˆ einer reellen Nst. = ˆ zwei konj.kompl. Nst = ˆ zwei konj.kompl. Nst mit Vielfachheit k mit Vielfachheit km mit Vielfachheit l mit Vielfachheit lr Für die Summe der Vielfachheiten muss gelten: m i i= i= r k + l = n Jede Polynomfunktion ungerader Ordnung muss mindestens eine reelle Nullstelle besitzen. i WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 3 /

15 3 Anwendung der Polynomfunktionen als Näherungsfunktionen Allgemein gilt: Eine Polynomfunktion n ten Grades ist durch n + Wertepaare ( i, f( i )) i =,..., n eindeutig bestimmt. Geometrischer Aspekt: Man kann durch n + Punkte mit unterschiedlichen Abszissen genau eine Parabel n ter Ordnung legen. Bedeutung findet diese Tatsache bei der parabolischen Interpolation. Beispiel : Gegeben sei folgende Messtabelle: U/V I/mA,,5 3,5 7 3, Durch die Angabe von vier Messwerten lässt sich genau eine Polynomfunktion dritten Grades finden, die diese Messwerte als Funktionswerte enthält, denn im Ansatz: I = a U + a U + a U+ a 3 3 sind die vier Polynomkoeffizienten a, a3 unbekannt. Durch Einsetzen der vier Meßwerte wird man auf ein lineares Gleichungssystem von vier Gleichungen in den vier Unbekannten a, a3 geführt: 3 = a + a + a + a 3,5 = a + a + a + a 3 3 3, 5 = a + a + a + a , = a a 7 + a 7 + a WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /

16 a + a + a + a = 3 8 a + a + a + a =,5 3 6 a + 6 a + a + a = 3, a + 9 a + 7 a + a = 3, 3 Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet: a3 = a = a = a = Damit ist die Polynomfunktion vierten Grades eindeutig bestimmt: I = U + U U Die graphische Darstellung und die Probe: IU IU U3 + 5 U 3 U 79 := Probe: U :=.. 7 IU = U Mit Hilfe dieser Berechnungsformel für I(U) können wir nun Funktionswerte für U Werte berechnen, die nicht gemessen wurden. Diese berechneten Werte müssen natürlich nicht mit den tatsächlichen I Werten übereinstimmen. Wenn aber wir annehmen, dass die Natur keine Sprünge macht, stellt diese Formel die Beschreibung für den vernüftigsten Verlauf von I(U) für die nicht gemessennen Werte dar. Eine bessere Interpolation lässt sich mit den gegebenen Werten nicht finden. Wir finden so z.b.: I(.8) =.66 WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 5 /

17 Beispiel : Approimation einer Sinuskurve im Bereich [, ]durch eine Polynomfunktion zweiten Grades. An den Stellen = /8 und = 3/8 ist jeweils der absolute und der relative Fehler anzugeben. Als Stützstellen sollen verwendet werden: Lösung: P ( ) / / Ansatz: P = a + a+ a Werden die drei Wertepaare der Stützstellen eingesetzt, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen in den drei Unbekannten a, a und a 3.: = a + a + a = a + a + a = a + a + a = a + a ( ) 6 = a + a = a + 8 = a 8 Elimination von a a Aus der ersten Gleichung folgt sofort: a = ( ) 8 = Zurückeingesetzt in eine Gleichung, die außer a noch a enthält: 8 = + a ( ) = a = a WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 6 /

18 a = Damit lautet das gesuchte Polynom zweiten Grades: Probe: 8 P = + Zur Probe kann man schnell nachrechnen, ob dieses Polynom auch wirklich an den Stützstellen die geforderten Werte liefert: 8 = + = P 8 = + = + = = P 8 P = + = ( ) + ( ) = + = 3 Der absolute und relative Fehler bei = : Näherungswert NW: P =, = Wahrer Wert WW: si n =, Absoluter Fehler AF = NW WW =,855 AF Relativer Fehler RF = % =, % WW WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 7 /

19 Beispiel 3: 3 Approimation einer Kosinuskurve im Bereich [, ] durch eine Polynomfunktion zweiten Grades. An der Stelle = 3/ ist der absolute und der relative Fehler anzugeben. Als Stützstellen sollen verwendet werden: Lösung: P () / 3/ Ansatz: P () = a + a + a Werden die drei Wertepaare der Stützstellen eingesetzt, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen in den drei Unbekannten a, a und a 3.: = a + a + a = a + a + a 3 3 = a + a + a = a + a + a = a + a + a 9 3 = a + a + a Elimination von a = a + a 9 3 = a + a 3 = a a 5 = a + a Elimination von a WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 8 /

20 a = = a Zurückeingesetzt in eine Gleichung, die außer a noch a enthält: = a 3 = a 8 a = Wir setzen nun in eine Gleichung ein, die außer a und a noch a enthält: 8 = + a a = 3 Damit lautet das gesuchte Polynom zweiten Grades: 8 P ( ) = + 3 Zur Probe kann man schnell nachrechnen, ob dieses Polynom auch wirklich an den Stützstellen die geforderten Werte liefert: 8 P = 3 + = + 3= 8 P ( ) = + 3= 8+ 3= P = 3 + = 9 + 3= 3 Der absolute und relative Fehler bei = : Näherungswert NW: P = 3 + = 6+ 3= Wahrer Wert WW: 3 cos = Absoluter Fehler AF = NW WW =,3 AF Relativer Fehler RF = % = 6, 7% WW WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: 9 /

21 Aufgaben. Wie lautet jenes Polynom 3.Grades, das bei = den Wert, bei = den Wert 6 und bei = den Wert 6 annimmt und bei = eine Doppelnullstelle besitzt? Lsg.: P3 ( ) = Wie lautet jenes Polynom 3.Grades, das bei = 3 eine Doppelnullstelle besitzt, bei = den Wert 6 und bei = den Wert annimmt? Lsg.: P3 ( ) = Zerlegen Sie P = in das Produkt seiner reellen Linearfaktoren. Lsg.: P ( ) ( )( )( 5) = + +. Berechnen Sie die reelle Linearfaktorzerlegung von P = , wobei eine komplee Nullstelle + j ist. Lsg.: 3 5 P 9 = + ( + + 5) 3 3 WOLFGANG KUGLER TGM SEITE: /