Trainingsblatt Bestimmung von Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen

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1 Bestimmung von Potenzunktionen und ganzrationalen Funktionen. Bestimme durch geschicktes Probieren jeweils a und n so, dass der Graph G der Potenzunktion a n durch die eingezeichneten Punkte geht. Skizziere dann G mithile einiger geeigneter Werte. a) b) c) ( ) ( ) () = () = () =. Vom Graphen einer Potenzunktion a n sind jeweils Punkte gegeben. Berechne a und n und skizziere den Graphen von G. a) ( ) b) c) (,) (,8) (,) ( ) (I) (II) aus (I) in (II) a n = a n = a= n n = n = a= 6 (I) (II) aus (I) in (II) a n =, a n =, a=, n, n =, n = a= (I) (II) aus (I) in (II) n ungerade a () n = a n =,8 a= () n = n n =,8 n = a=. k g t Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsvorschrit? Begründe jeweils kurz. Ergänze den ehlenden Graphen bzw. Funktionsterm. ++ k + g + Begründungen G h einziger Graph mit geradem Grad ; G g und s + h t + h s G k von links oben nach rechts unten, wobei G g ür große steiler ist; G t bzw. G um in -Richtung verschoben, wobei () =. Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.

2 Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen Ordne den gegebenen Funktionsvorschriten den richtigen Funktionsterm zu. Begründe jeweils kurz ( ) mögliche Begründungen ür alle 6 + = ( ) ( + ) (Faktorzerlegung), also Nullstellen ; ( +) + ( +) ( + ) höchste Potenz, also von links unten nach rechts unten () = 9 7 ( +), also von links oben nach rechts oben, 7 () = ; 7 () 9, also von links oben nach rechts oben, 9 () = ( ) ( ) () = 9 ( + )+, also von links unten nach rechts oben ( ) ( ) genau Nullstellen, davon eine doppelt Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.

3 Polnomdivision.. Wiederhole zunächst das schritliche Dividieren. Gehe dabei schrittweise vor und ergänze den Lückentet geeignet. 9 7 = Führe nun in ähnlicher Weise die olgende Polnomdivision durch und ergänze die Beschreibung der einzelnen Schritte. (6 + ) ( ) = + ( 6 ) ( ) 6 ( 6 ) ( ) Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens 9 beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz aus 9 und wird gebildet und eine weitere Zier von 9 herunter geholt. Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz von und wird gebildet und eine weitere Zier von 9 herunter geholt. Die größtmögliche Zier wird gesucht, deren Produkt mit 7 höchstens 8 beträgt. Dieses Produkt aus und 7 wird berechnet. Die Dierenz beträgt und es kann keine weitere Zier herunter geholt werden Die Division ist ertig. 6 wird durch geteilt. Das Ergebnis wird mit ( ) multipliziert. Die Dierenz von 6 + und 6 wird gebildet und ein weiterer Summand des Polnoms (Dividend) herunter geholt. 6 wird durch geteilt. Das Ergebnis wird mit ( ) multipliziert. Die Dierenz beträgt. Die Division ist ertig.. a) ( + ) ( ) = + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) b) ( 8) ( + ) 8 ( 8 ) ( ) = + ( ) ( ). ( + ) ( + ) = + 6 ( + ) ( + ) ( ) ( + ) 6 + ( 6 + ) ( + ). ( + ) ( ) = + 6 ( 6 ) 6 ( 6 ) + ( + ) Beachte hier die Schreibweise des Dividenden mit einer Lücke. Woür wird sie benötigt? Bei der Probe ( ) entsteht ein quadratischer Term. Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.

4 Methoden der Faktorisierung Um die Linearaktoren eines Funktionsterms (und damit die Nullstellen der Funktion) zu bestimmen, sind verschiedene Methoden hilreich.. Ausnutzen der binomischen Formeln Beispiel () = + + = (+) a) g () = = (+) b) h() = + 6 = (6) c) k() = 9 = ( 7) ( +7). Lösen einer quadratischen Gleichung. Beispiel u() = +6+ = / = 6 ± 6 = 6 ± 6 = 6 ± = ; = u() = + + (Beachte den Faktor.) a) v() = 7 + = / = 7 ± 9 = ; = v () = ( ) b) w() = +, = / = ± (,) = ; = w () = + = 7 ± = 7 ± 6 6 = ± 9 = ±. Raten der Linearaktoren, wenn bekannt ist, dass alle Nullstellen ganzzahlig sind. Versuch einer Faktorisierung Probe durch Ausmultiplizieren Beispiel () = ++ (+) ( + 7) = ++7+ = () a) g () = 8+ () ( ) = + = g () b) h() = + ( + ) ( ) = + = h() c) k() = ( 7) ( +) = 7+ = k(). Substitution, wenn nur bestimmte Potenzen vorkommen und so der Grad kleiner wird. binom. Formel Beispiel r() = + Setze z = ; z z+ = (z ) = z = ; z = / = ± ; / = ± r () = () ( +) ( ) ( + ) Lösen quadr. Gleichung a) s() = + Setze z = ; z z + = z / = Raten der Linearaktoren ± 6 = ± z = ; z = / = ± ; / = ± s () = () ( +) + b) t() = + Setze z = ; z z+ = (z7) (z) z = 7 ; z = / = ± 7 ; / = ± t () = Ausklammern von (oder Potenzen davon), alls möglich. Dann ist (gg. mehrache) Nullstelle. Beispiel () = = () = a) g () = 9 = ( 9) = ( 7) ( +7) b) h() = 6 = ( ) c) k() = + = ( +) = ( ) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.

5 Nullstellen und Faktorisierung Die olgend augeührten Methoden werden ür dieses Trainingsblatt benötigt (BINOM) Ausnutzen der binomischen Formeln z.b. 6 = (6) ( + 6) (LÖSEN) Lösen einer quadratischen Gleichung z.b. a + + c = / = ± ac a (RATEN) Raten, alls Nullstellen ganzzahlig sind z.b = (+) ( + ) (SUBST) Substitution, um Grad zu verkleinern z.b. 8; Setze z = ; Löse erst z 8 = (AUSKL) Ausklammern, alls möglich z.b. + = (+) = + (POLDIV) Polnomdivision durch bereits bekannte z.b. ( 9+8) () = 9 Linearaktoren (benutze ür die Polnomdivision gg. ein seperates Blatt). Zerlege in Linearaktoren. Nenne die verwendete Methode, soweit sie nicht angegeben ist a) () = = (+7) ( + ) b) () = = ( 7) c) () = + (LÖSEN) () = / = ± 9 + = + ± 9 = ± 7 = ; = () = ( ) ( + ) d) () = +, +8,; bekannte Nullstelle ; (POLDIV) ( +, + 8,) ( ) =,7 () = ( ) (,7 ),7 +8, e) () = + (BINOM),7 +8,. Häuig müssen mehrere dieser Methoden angewendet werden, um den Funktionsterm vollständig zu zerlegen. Nenne die verwendeten Methoden, soweit sie nicht angegeben sind. (BINOM) a) () = (SUBST) Setze z = z 6z+9 = (z ) z = z = = ; = ; = ; = ; () = b) () = + 7 = ( + 7 ) ; (LÖSEN) + 7 = 7 ± 7 + / = = 7 ± 6 = 7 ± 7 () = +7 7 c) () = + +6 Alle Nullstellen sind ganzzahlig, eine davon lautet. (POLDIV) (RATEN) () = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( 6) d) () = (SUBST) z = ; z 7 z + 6z = z(z z+) (RATEN) (AUSKL) = z (z) (z) z = ; z = ; z = / = ; / = ± ; / = ± () = e) Bekannte Nullstellen sind und. () = = ( ) (POLDIV) ( ) ( ) = +6+9 = (+) () = ( ) ( + ) ( + ) (RATEN) (BINOM) (AUSKL) (AUSKL.) (AUSKL) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.

6 Nullstellenbingo Lösungsbogen Funktionenliste () = Faktorzerlegung ( ) ( +) Nullstellen ; ; () = + 6 ( +) () ; () = + ( ) (+) ; () = + + keine () = () ( 9) ( ) ( ) (+) ; ; 6 () = ( +6) () ( +6) () ; 7 () = 6 ( ) (+) ; 8 () = + ( +) ( ) (+) ; 9 () = + ( ) ( +) () = + ( ) (+) () (+) ; ; ; () = 9 ( ) ; () = + + ( +) ; () = + 8 ( +) ( +) ; () = ++ ( +) ; () = + 9 ( ) (+) () (+) ; ; ; 6 () = + ( ) ( +) Als Kopiervorlage ür den Unterricht reigegeben. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart.