Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform. y 2 x 2x 3 2 ausklammern. Binom.

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Uwe Helmuth Ackermann
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1 Parabel zeichnen Parabel zeichnen chritt für chrittanleitungen unter Klasse, GeoGebra) Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in cheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform y x 4x 6 mit Wertetabelle zeichnen y y y usw. y x 4x 6 y x x 3 ausklammern y x x 3 quadr. ergänzen Binom y x 4 Binom bilden y x 8 8, A mit cheitel und treckfaktor A zeichnen y x 4x 6 0 : x x 3 0 faktorisieren od. Forme y N x x 3 0 x x 3 x x 3 0, N 3 0, A mit Nullstellen und treckfaktor A zeichnen l Vorteil: funktioniert immer Nachteil: aufwendig Vorteil: funktioniert immer Nachteil: cheitelform muss hergeleitet werden Vorteil: schnell, falls Faktorzerlegung funktioniert Nachteil: funktioniert nicht wenn Nullstellen fehlen!

2 Funktionsgleichung aus Punkten berechnen Funktionsgleichung aus Punkten berechnen gegeben gesucht: y = Ax + Bx + C Ansatz Vorgehen/Bemerkungen drei Punkte P(x; y), Q(x; y) und R(x; y) y Ax Bx C Die x- bzw. y-koordinaten jedes Punktes in die Funktionsgleichung y = Ax + Bx + C einsetzen. Es entsteht ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Die Auflösung des Gleichungssystems liefert als Ergebnis die Parameter A, B und C. die Nullstellen x bzw. x und P(x; y) x x y A x x Die Nullstellen x bzw. x und die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung y = A (x x ) (x x ) einsetzen. Die Auflösung liefert den Parameter A. Danach den Parameter A und die Nullstellen in die Funktionsgleichung y = A (x x ) (x x ) einsetzen und den Term ausmultiplizieren. cheitel (x ; y ) und P(x; y) x y A x y Die Koordinaten des cheitels x bzw. y und die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung y = A (x x ) + y einsetzen. Die Auflösung liefert den Parameter A. Danach den Parameter A und die Koordinaten des cheitels in die Funktionsgleichung y = A (x x ) + y einsetzen, den Term ausmultiplizieren und zusammenfassen.

3 Transformation von Funktionen (siehe Frommenwiler auf den eiten 63 und 64) Transformation von Funktionen (siehe Frommenwiler auf den eiten 63 und 64) Transformationsregel Graph (Beispiele) Bemerkungen d = 3 d = 5 f x gx x f x d Verschiebung um d in y-richtung d > 0 Verschiebung nach oben d < 0 Verschiebung nach unten Tipp: Kontrolle mit Nullstelle! b = 4 b = 3 Achtung! b wird zuerst im Argument addiert, erst danach wird quadriert! x fxb f x gx Verschiebung um b in x-richtung b > 0 Verschiebung nach links b < 0 Verschiebung nach rechts Tipp: Kontrolle mit Nullstelle! 3

4 Transformation von Funktionen (siehe Frommenwiler auf den eiten 63 und 64) Transformationsregel Graph (Beispiele) Bemerkung c = c = / f x gx x c f x c = c = / treckung/ tauchung um c in y-richtung c > treckung 0 < c < tauchung c < treckung/piegelung < c < 0 tauchung/piegelung Wichtig: Die Transformationsregeln lassen sich auf alle Funktionen übertragen! 4

5 5 5. cheitelform bestimmen (über die Nullstellen). Gegeben sind folgende Funktionen: y x x 3 und y x 4 a. Berechnen ie die Nullstellen der beiden Funktionen. b. Berechnen ie die Koordinaten des cheitelpunktes der Parabel. c. Berechnen ie die chnittpunkte der beiden Funktionen. d. Zeichnen ie die Graphen der beiden Funktionen in das Koordinatensystem ein. Geg: y x x 3, y x 4 Ges: a. N u. N : y (x) 0, N : y (x) 0 b.? 3 c. A?, B? (wenn y y ) Lösung: a. y x x x 8x x, x.95 x 9.95 N.95; 0, N 9.95; 0 y x 0 x x N ; 0 3 xx b. x 4 ys y x 3 7 4; c. y y x x 3 x 4 4 x 8x x 4 x 4 x 6x 6 0 x 8 x x 8 x A 8; 3, B; 5

6 Koordinatensystem für Aufgabe : 6

7 5. cheitelform einer Parabel ist durch drei Punkte bestimmt (A, x s und y s ). Berechnen ie x und y so, dass der Graph von y = (x x ) + y durch die Punkte P ( 3 5) und Q (5 5) geht. Variante mit Gleichungssystem, P bzw. Q in cheitelform einsetzen: Geg: P 3 5, Q 5 5, y x x y Ges: x?, y? : 5 9 6x x y a : 5 5 0x x y a + : 0 6 6x damit: x 3 Lösung: P eingesetzt: 5 3 x y 5 9 6x x y Q eingesetzt: 5 5 x y 5 5 0x x y 3 in : 5 3 y 5 6 y damit: y und: y x 7

8 Variante mit Ausnutzung der ymmetrie P(y) = Q(y): Geg: P 3 5, Q 5 5, y x x y Ges: x?, y? Lösung: ehr eleganter Lösungsweg, Prinzip muss aber zuerst erkannt werden. x muss in der Mitte der x-koordinate von P und Q liegen (wegen ymmetrie). damit: x Px Q Q u. x einsetzen: 5 5 y x 35 somit: y 5 6 und y x 8

9 5.3 Eine Parabel ist durch 3 Punkte bestimmt (A, B und C) 3. Gemäss einem Testbericht in der Automobil Revue zeigt der Personenwagen Nissan Primera die untenstehende Abhängigkeit des Benzinverbrauches y von der Geschwindigkeit x. Die fünf Messungen ergeben einen Graphen, der dem Ausschnitt aus einer Parabel ähnlich sieht. Verwenden ie die Punkte P (60;5), P (00;6.4), P 3 (40;9.) und bestimmen ie die Funktionsgleichung y = Ax + Bx + C der Parabel, welche durch diese drei Punkte verläuft. Hinweis: Das Gleichungssystem kann natürlich mit dem TI gelöst werden! Geg: P 60 5, P , P Ges: A?, B?, C? Lösung: Ansatz: y Ax Bx C die drei Punkte in die Gleichung eingesetzt: P : 5.0 A 60 B 60 C x y P : 6.4 A 00 B 00 C 3 x y P : 9. A 40 B 40 C 4 x y 9

10 C ersetzen aus und 3, durch Gleichsetzen C = C: 5.0 3'600A 60B 6.4 0'000A 00B C C 6'400A 40B.4 5 C ersetzen aus 3 und 4, durch Gleichsetzen C = C: 6.4 0'000A 00B 9. 9'600A 40B C C 9'600A 40B.8 6 B ersetzen aus 5 und 6, durch Additionsverfahren: 6 : 9'600A 40B.8 5a : 6'400A 40B.4 5 mit multipliziert 3'00a A '00 6'000 7 in 5 : 40B.4 6' 400A.4 6'400A 7 B u. 8 in : C 5.0 3'600A 60B somit: y x 0.035x 5.55 Kontrolle : Einsetzen der drei Punkte in die berechnete Funktionsgleichung! 0

11 5.4 chnittpunkte von Funktionen 4. Gegeben sind die Parabel y = x + 4x + 5 und die Gerade y = x +. Bestimmen ie: a. den cheitelpunkt der Parabel. b. die chnittpunkte A und B der Parabel mit der Geraden. c. den y-achsenabschnitt b der Geraden y = x + b so, dass die Gerade die Parabel berührt. Wie heissen die Koordinaten des Berührungspunktes C? d. Zeichnen ie die Graphen in das folgende Koordinatensystem ein. Geg: y x 4x 5, y x Ges:?, A?, B?, y x b, C? 3 Lösung: a) Berechnung cheitelform: y x 4x 5 x 4x 5 x 9 x somit: ( 9 ) 9 b) chnittpunkte A und B x x 4x 5 x x x x 4 0 y x y x, A B B 4AC x.4 oder x kt B y x x und y x x somit: Punkt A und Pun c) Ansatz: y x y x und Diskriminante 0 x 4x 5 x b x x 5 b 0 B 4AC b b 0 4b 4 4b 0 4 4b 0 4b 4 b 6 somit: Der y-achsenabschnitt b muss 6 sein, y x x 6! Ansatz für Berührungspunkt C: y x y x und Diskriminante 0 x 4x 5 x 6 x 3 x 0 B B 4AC B 0 x x y3 x 6 8 A A somit: Der Berührungspunkt C hat die Koordinaten 8! 3

12 Koordinatensystem für Aufgabe 4:

13 5. Eine Parabel geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Der zweite chnittpunkt der Parabel mit der x-achse, sowie der cheitelpunkt liegen auf der Geraden y = 3x + 4. a. Berechnen ie die. Nullstelle und die Koordinaten des cheitels der Parabel. b. Wie heisst die Funktionsgleichung der Parabel? c. tellen ie die Gerade und die Parabel graphisch dar (K-ystem auf nächster eite). Geg: y 3x 4, N 0 0,, N y Ges: N?,?, y A x x y Lösung: a) Berechnung der zweiten Nullstelle: y 0 3x 4 3x 4 x 8 somit: N (8 0) Berechnung von : x x 8 0 x 4 y y somit: (4 ) b) Be rech nung von y A x x y (4 ) und N (8 0) einsetzen: 3 0 A A A somit: y (x 4) (x 8x 6) y x 6x 4 b) Bestimmung von treckfaktor A anschauliche Variante : aus Graph ersichtlich: x 4 und y y 3 damit: y A x A x somit: y (x 4) (x 8x 6) y x 6x 4 3

14 Koordinatensystem für Aufgabe 5: 4

15 6. Die quadratische Funktion y = Ax + Bx + 3 (x, A, B R) besitzt den cheitelpunkt (;y ) und es gilt y(4) = 5. a. Berechnen ie A, B und y. Bestimmen ie anschliessend die Nullstellen und skizzieren ie den Graphen (K-ystem folgt auf den nächsten eiten). b. Wie lautet die Gleichung der Geraden, welche durch den cheitelpunkt und die grössere der beiden Nullstellen geht? Geg: y Ax Bx 3, x, P 4 5, P 0 3 C 3 Ges: A?, B?, y?, N?, N?, y? Lösung: a) P 4 5 und P 0 3 und x in cheitelform y A x x y einsetzen: 5 A 4 y 9A y 3 A 0 y A y : 5 9A y : 3 A y a a : 8 8A A 3 3 in : 3 y y 4 somit : y x 4 y x x 4 x x 4 y x x 3 Nullstellen berechnen: y x x 3 x x 3 3 somit: N 0 N 3 0 b) Berechnung von y : y 4 m x 4 in y einsetzen somit: y x 6 : b 4 6 5

16 Variante über ABC-Form: Geg: y Ax Bx 3, x, P 4 5, P 0 3 Ges: A?, B?, y?, N?, N?, y? wegen ymmetrie zu x : P3 5 Lösung: a) Berechnung von A und B: P 4 5 eingesetzt: 5 6 A 4 B 3 P3 5 eingesetzt: 5 4 A B 3 Gleichung : 0 8 A 4 B 6 a + a : 5 4A 9 damit: 4 A in : B damit: B 4 4 somit: y x x 3 y berechnen: y y x 3 4 somit: 4 Nullstellen berechnen: y x x 3 x x 3 3 somit: N 0 N 3 0 y 4 b) Berechnung von y : m x 4 in y einsetzen: b 4 6 somit: y x 6 6

17 Zweite Variante über die cheitelform (kompliziert): Lösung: a) cheitelform berechnen: y Ax Bx 3 0 B 3 y A x x A A B B B 3 y A x x A A A A B B 3 B B A y A x A x A 4A A A 4A 4A B A B B A B y A x A x A 4A A 4A x B damit: B A A P 4 5 u. in 0 : 5 A 4 A A 8A 3 53 A 8 in : B A somit: y x x 3 7

18 Koordinatensystem für Aufgabe 6: 8

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