Lösen einer Gleichung

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1 Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in Betracht kommen. Es kann sein, dass für manche Elemente der Grundmenge G in der/den Gleichung(en) vorkommende Ausdrücke nicht definiert sind. Durch Entfernen jener Elemente, für die die Gleichung(en) nicht definierte Ausdrücke enthält, wir die Grundmenge zur Definitionsmenge. Die Definitionsmenge D enthält all jene Zahlen, die als Lösung in Betracht kommen. D G Lösen einer Gleichung bedeutet, alle Elemente der Definitionsmenge D finden, die die Gleichung erfüllen. Diese Elemente werden Lösungen der Gleichung genannt und bilden zusammen die Lösungsmenge L. Die Lösungsmenge G enthält all jene Elemente der Definitionsmenge Gleichung erfüllen. L D D, die die Lösungsmethoden Probieren graphische Verfahren numerische Näherungsverfahren Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen vom Typ ax b = 0 Definition: Eine Gleichung der Bauart a x b = 0, a, b R, a 0 heißt lineare Gleichung mit einer Variablen x (mit einer Unbekannten x). a x heißt lineares Glied

2 b heißt konstantes Glied Für lineare Gleichungen gilt der Satz: Satz: In R besitzt jede lineare Gleichung a x b = 0, a, b R, a 0 genau eine Lösung b a. Man kann eine solche Gleichung auch graphisch näherungsweise lösen. Dazu betrachtet man die Funktion f x = ax b. Der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung a und geht durch den Punkt 0 b. Die Lösung b dieser Gleichung ist die a Nullstelle von f x. Viele Gleichungen lassen sich durch Umformen auf Gleichungen des Typs ax b = 0 zurückführen. Für den Fall a = 0 erhält man zwei Sonderfälle: 1.) a = 0 b 0. Die Gleichung ax b = 0 wird zu b = 0. In der Definitionsmenge gibt es kein Element x,für das diese Gleichung erfüllt ist. Die Aussage ist immer eine unwahre Aussage, die Lösungsmenge L ist damit die leere Menge. Dieser Sonderfall entspricht einer Geraden, die im Abstand b parallel zur x-achse verläuft.

3 2.) a = 0 b = 0. Die Gleichung ax b = 0 wird zu 0 = 0. Diese Gleichung ist für alle Elemente x der Grundmenge erfüllt. Die Aussage ist immer eine wahre Aussage, die Lösungsmenge L ist damit die Definitionsenge. Dieser Sonderfall entspricht einer Geraden, die identisch mit der x-achse ist. Quadratische Gleichungen mit einer Variablen Eine Gleichung der Bauart ax 2 bx c = 0, a, b, c R ; a 0 heißt quadratische Gleichung mit der Variablen x. Der Ausdruck ax 2 heißt quadratisches Glied, bx heißt lineares Glied, c heißt konstantes Glied. Gleichungen vom Typ ax 2 c = 0 ax 2 c = 0 c ax 2 = c a x 2 = c a x 1,2 = ± c a Gleichungen vom Typ ax 2 bx = 0

4 ax 2 bx = 0 x ax b = 0 x = 0 ax b = 0 x 1 = 0 x 2 = b a Gleichungen vom Typ ax 2 bx c = 0 ax 2 bx c = 0 Ist die Normalform einer quadratischen Gleichung. Jede Normalform kann durch Division mit a auf die normierte Form gebracht werden: ax 2 bx c = 0 a x 2 b a x c a = 0 p = b a q = c a x 2 px q = 0 Eine quadratischen Gleichung der Form x 2 px q = 0 kann mit der Methode des Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat gelöst werden. Beispiel: x 2 10x 24 = 0 x 2 10x = 0 Ergänzung x 2 10x 25 1 = 0 Binomialform x = 0 1 x 5 2 = 1 x 5 = 1 5 x = 5 ± 1 5 x 1 = 6 x 2 = 4 Die Schwierigkeit dieser Methode besteht im Finden einer geeigneten Zahl für die quadratische Ergänzung. Dieses Problem kann gelöst werden, wenn wir dieses Verfahren

5 allgemein durchrechnen: x 2 px q = 0 q x 2 px = q x 2 px p 2 2 p 2 2 x 2 px p 2 quadr.ergänzung 2 2 p 2 Binomialform x p 2 2 x p 2 2 x p 2 p 2 2 = q = q = q p 2 2 = p 2 2 q = ± p 2 2 q p 2 x 1,2 = p 2 ± p 2 2 q x 2 px q = 0 x 1,2 = p 2 ± p 2 2 q Diskriminante Auch für die allgemeine Form (Normalform) der quadratischen Gleichung ax 2 bx c = 0 kann mit Hilfe der Methode der Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat eine Lösungsformel gefunden werden:

6 ax 2 bx c = 0 c ax 2 bx = c ax 2 bx b2 4a b2 4a quadr. Ergänzung ax 2 bx b2 4a b2 4a Binomialform a x a x a x 1,2 b 4a b 4a b 4a 2 b2 2 4a = c = c = c b2 4a = b2 4a c = ± b2 4a c b 4a a x 1,2 = b 4a ± b2 4a c x 1,2 = b 4a ± b 2 2 a 4a 4ac = 2 4 = b 2a ± b2 4ac = 4 x 1,2 = b 2a ± b2 4ac 2a ax 2 bx c = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a D = 4acDiskriminante Sowohl für die Normalform als auch die normierte Form der quadratischen Gleichung ist die Anzahl der Lösungen durch die Diskriminante bestimmt: D 0 zwei Lösungen D = 0 eine Lösung D 0 keine Lösung

7 Man kann eine solche Gleichung auch graphisch näherungsweise lösen. Dazu betrachtet man die Funktion f x = ax 2 bx c. Der Graph von f ist eine Parabel deren Achse parallel zur y- Achse verläuft. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen von f x. Der Fall, dass die Diskriminante D 0 ist, entspricht einer Parabel, die entweder vollständig ober/ oder vollständig unterhalb der x-achse verläuft. Ist die Diskriminante D = 0, dann berührt der Graph die x-achse in einem Punkt. Der Fall, dass die Diskriminante D 0 ist, bedeutet, dass die Parabel sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-achse verläuft. Es gibt dadurch zwei Nullstellen. Die Satzgruppe von VIETA Produktgleichungen Wir setzten x 1 = p 2 D, x 2 = p 2 D mit D = p2 4 q 0 und berechnen das folgende Produkt: x x 1 x x 2 = = x 2 x 1 x x 2 x x 1 x 2 = = x 2 x 1 x 2 x x 1 x 2 = = x 2 p 2 D p 2 D x p 2 D p 2 D = Binomialform a b a b = x 2 p x p2 4 D = = x 2 p x p2 4 p2 4 q = = x 2 p x q Mit obiger Termumformung Gleichungen gezeigt: haben wir die Satzgruppe von VIETA für quadratische Satz:

8 Hat die Gleichung x 2 px q = 0 in R zwei Lösungen oder eine Doppellösung, so gilt: 1. x 1 x 2 = p 2. x 1 x 2 = q 3. x x 1 x x 2 = x 2 px q : Zerlegung des Gleichungsterms in ein Produkt aus zwei Linearfaktoren Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Definition: Eine Gleichung der Bauart ax by = c, a, b, c R, a, bnicht zugleich 0 heißt lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y. Im Falle c = 0 heißt die Gleichung homogen, im Fall c 0 inhomogen. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen können als implizite Darstellung eines linearen Zusammenhanges zwischen x und y betrachtet werden. Die Gleichung ax by = c lässt sich zu y = a b x c b umformen. Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade mit der Steigung k = a b, die durch den Punkt 0 c b geht. Definition: Ein lineares Gleichungssystem in zwei Unbekannten hat die Form: x y = c x y = c Definition: ein Zahlenpaar x y heißt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen des Gleichungssystems erfüllen. Graphisches Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen

9 Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems besteht aus allen Zahlenpaaren x y, die sowohl die erste als auch die zweite Gleichung des Gleichungssystems erfüllen. All jene Zahlenpaare, die die erste Gleichung erfüllen, liegen auf dem Graphen g 1 der Funktion der ersten Gleichung. Im Falle linearer Gleichungen ist dieser Graph ist eine Gerade. Entsprechend liegen alle Zahlenpaare, die die zweite Gleichung erfüllen, auf dem Graphen g 2 der Funktion für die zweite Gleichung. Die Graphen g 1 und g 2 haben die Funktionsgleichungen: g 1 : y = x c 1 g 2 : y = x c 2 Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird also durch all jene Zahlenpaare gebildet, die sowohl auf dem Graphen g 1 der ersten, als auch auf dem Graphen g 2 der zweiten Funktion liegen. Die Lösungsmenge wird also durch den Schnittpunkt S der beiden Graphen gebildet. Je nach Verlauf der Graphen ergeben sich die folgenden Fälle: Hauptfall Sonderfälle k 1 k 2 eindeutig lösbar k 1 = k 2 = d 1 d 2 c 1 c 2 g 1 g 2 unlösbar k 1 = k 2 = d 1 = d 2 c 1 c 2 = g 1 g 2 mehrdeutig lösbar

10 Algebraisches Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Das Komparationsverfahren (Gleichsetzungsverfahren) Beim Gleichsetzungsverfahren werden zu den Gleichungen des Gleichungssystem die Gleichungen der Funktionsgraphen wie folgt bestimmt: x y = c 1 g 1 : y = x c 1 x y = c 2 g 2 : y = x c 2 Im nächsten Schritt werden die beiden Graphen g 1 und g 2 miteinander geschnitten, d.h. wir berechnen x c 1 = x c 2 Löst man diese Gleichung nach x auf, erhält man:

11 x c 1 = x c 2 x x c 1 = c 2 c 1 x = c 2 c 1 x = b c b c b 2 x = c 2 c 1 x = c 2 c 1 Den Wert für die y-koordinate erhält man, indem man die x-koordinate in eine fer beiden Funktionsgleichungen g 1 oder g 2 einsetzt. Beispiel: I : 4x 2y = 24 II : 7x y = 33 Durch Umformung der Gleichungen erhalten wir: I : y = 2x 12 II : y = 7x 33 Diese beiden Gleichungen können nun gleich gesetzt werden: 2x 12 = 7x 33 7x 12 9x = 45 9 x = 5 Aus Gleichung I erhalten wir dann für y: y = 2x 12 = = = = 2 Die Lösungsmenge lautet damit: L = {5 2}

12 Das Substitutionssverfahren (Einsetzungsverfahren) Beim Substitutionssverfahren wird, kurz gesagt, Gleiches durch Gleiches ersetzt. Dazu wird aus einer der beiden Gleichungen eine der Variablen x oder y explizit ausgerechnet. Der so erhaltene Ausdruck wird dann in die zweite Gleichung eingesetzt. x y = c 1 {y = x c 1 x = y c 1 Beispiel: I : 4x 2y = 24 II : 7x y = 33 Durch Umformung der Gleichung I erhalten wir: I : y = 2x 12 Wir setzen nun in Gleichung II für y ein und erhalten: 7x y = 33 7x 2x 12 = 33 = y 9x 12 = x = 45 9 x = 5 Aus Gleichung I erhalten wir dann für y : y = 2x 12 = = = = 2 Die Lösungsmenge lautet damit: L = {5 2}

13 Das Eliminationssverfahren (GAUSS'sches Eliminationssverfahren) Gleichung I wird mit -2 multipliziert. Damit hat die Variable y in beiden Gleichungen den selben Koeffizienten, allerdings mit unterschiedlichem Vorzeichen. I : 4x 2y = 24 II : 7x y = 33 2 Durch Addition der beiden Gleichungen erhalten wir eine lineare Gleichung mit einer Variablen I : 4x 2y = 24 { II : 14x 2y = 66 Die lineare Gleichung wird nach x aufgelöst y erhält man durch Einsetzen in Gleichung oder II I 18x = x = 5 4x 2y = y = y = y = 4 2 y = 2 Diese Methode lässt sich wie folgt verallgemeinern: x y = c 1 x y = c 2 x y = c 1 x y = c 2 x = c 1 c 2 x = c 1 c 2

14 x y = c 1 x y = c 2 x y = c 1 x y = c 2 y = c 1 c 2 y = c 1 c 2 Die Lösungsmenge lautet damit: L = { c 1 c 2 c 1 c 2 2} b