Als Untersuchungsbeispiel diene die Funktion: f(x) = x 6x + 5

Transkript

1 R. Brinkmann Seite Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen y P y ( 0 y ) s P ( 0) S y s f() P ( 0) s Bei der Betrachtung des Graphen in nebenstehender Abbildung fallen einige Punkte besonders auf. Der Schnittpunkt mit der y Achse : Py( 0 y) Die Schnittpunkte mit der Achse : P( 0 ) und P ( 0) Der Scheitelpunkt: S y : s s Als Untersuchungsbeispiel diene die Funktion: f() = + Schnittpunkt mit der y Achse Der Graph schneidet die y Achse im Punkt P y. Für jeden Punkt, der auf der y Achse liegt, ist die Koordinate Null. Bedingung für P : f(0) y y f() = + f(0) = 0 0+ = P 0 In diesem Fall hätten wir die y Koordinate auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen können. Das ist aber nicht immer möglich, wie folgendes Beispiel zeigt. f() = (Scheitelpunktform) S = = ( ) = = P 0 y : y f(0) 0 9 P 0 y y s y Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

2 R. Brinkmann Seite Schnittpunkte mit der Achse. Der Graph schneidet die Achse in den Punkten P und P. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt, ist die y Koordinate Null. Bedingung für P : f() = 0 Der Ansatz f() = + = 0 führt auf die quadratische Gleichung + = 0 Lösung durch quadratische Ergänzung: + + = 0 9+ = 0 = 0 = = = ± = + = + = = + = + = P 0 ;P 0 Training P0: Nullstellenbestimmung über die quadratische Ergänzung Gegeben ist die Funktionsgleichung f() einer Parabel (ganzrationale Funktion. Grades). Bestimmen Sie für folgende Parabeln die Nullstellen und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunktes..) 009 f( ) = + S( 9).) 0 f( ) = + S.) 07 f( ) = S( 0).) 090 f S f = + S 8 9 f = + S 8.) 078 f( ) = + S( ).) 08 f( ) = + S( ) 7.) = + ( ) 8.) 8 f = + S 8 9.) f = S 0.) 7 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

3 R. Brinkmann Seite Ausführliches Beispiel zur Nullstellenbestimmung durch quadratische Ergänzung: Funktionsgleichung der Parabel in allgemeiner Form: f( ) = + Bedingung für Nullstellen: f( ) = 0 + = 0 Die quadratische Gleichung + = 0 soll nun mit der Methode der quadratischen Ergänzung gelöst werden. + = 0 : auf die Normalform bringen + = 0 Normalform der quadratischen Gleichung = + + = 0. binomische Formel + = 0 + quadratische Ergänzung + = Wurzel ziehen (radizieren) + = = Betrag auflösen! Fall : + = = = Fall : + = = = Die Nullstellen: = bzw. = ( ) Schnittpunkte mit der Achse : P 0 bzw. P 0 Bedingung für den Schnittpunkte mit der y Achse : ys = f 0 = 0 0+ = Py 0 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

4 R. Brinkmann Seite Bemerkungen zum Betrag Jemand gewinnt 0, wir sagen auch er gewinnt einen Geldbetrag von 0. Jemand bekommt einen Strafzettel über 0, wir sagen auch er hat einen Geldbetrag von 0 zu zahlen. In beiden Fällen handelt es sich um 0. Finanztechnisch bedeutet der Gewinn ein Plus und die Strafe ein Minus. Der Betrag einer Zahl ist mathematisch immer positiv. Soll der Betrag einer Variablen bestimmt werden, so brauchen wir eine Rechenvorschrift. Rechenvorschrift: falls 0 = falls < 0 Die Betragsgleichung + = soll gelöst werden. + falls + 0 Rechenvorschrift: + = ( + ) falls + < 0 Das führt zu einer Fallunterscheidung:. Fall = = +. Fall + < 0 + = + = = Lösungsansatz in Kurzform: + = + = ± Zu weiteren Betrachtungen zeichnen wir den Graphen unserer Beispielfunktion. f ():= + f( ) Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel, deren Scheitel in den Punkt S ( - ) verschoben wurde. Der Schnittpunkt mit der y Achse ist P y ( 0 ) Die Schnittpunkte mit der Achse sind P ( 0) und P ( 0) Die Schnittpunkte mit der Achse nennen wir Nullstellen der Funktion f(), da dort gilt: f () = 0 und f () = 0. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

5 R. Brinkmann Seite Definitions und Wertemenge Oft will man den Verlauf eines Graphen nur in einem bestimmten Bereich betrachten. Das führt zu den Begriffen Definitionsmenge und Wertemenge. Unsere Beispielfunktion soll nur im Bereich der Werte von = - bis = + auf die dort auftretenden Funktionswerte untersucht werden. { } Definitionsmenge : D = bedeutet von = bis = Die Wertemenge: Der kleinste Funktionswert (Minimum) ist der Scheitelwert, da die Parabel nach oben geöffnet ist, also min =. Nun werden die Intervallgrenzen = und = untersucht. f( ) = ( ) ( ) + = + + = f() = + = + = Damit ist die Wertemenge im Definitionsbereich: W = y y { } Merke: Die Angabe einer Wertemenge bezieht sich immer auf eine Definitionsmenge. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

6 R. Brinkmann Seite Die nebenstehende Abbildung zeigt genau den Ausschnitt des Funktionsgraphen, der durch die Definitionsmenge vorgegeben wurde. { } { } D = W = y y f ():= + f( ) Symmetriebetrachtungen Die abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitel S( s y s ) lautet = s hier = Auch die Nullstellen sind symmetrisch zur Symmetrieachse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der Wert des Scheitels berechnet werden. Scheitelpunktberechnung über die Nullstellen: f( ) g( ) Nullstellen : ; bekannt s = S( s f( s) ) + Für unser Beispiel gilt: = ; = s = = S f() Sind die Nullstellen einer quadratischen Funktion bekannt, so ist das arithmetische Mittel dieser die Koordinate des Scheitelpunktes. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von 0

7 R. Brinkmann Seite Herleitung der p q Formel Eine Möglichkeit der Nullstellenbestimmung einer Quadratischen Funktion geht über die Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. Man kann dafür auch eine Lösungsformel entwickeln. Die quadratische Gleichung + = 0 führt zur Normalform der quadratischen Gleichung: + p + q = 0 Lösung durch quadratische Ergänzung: p p + p+ + q= 0 p p p p + = q + = p p p p = q q + = p p q + = ± q Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch Diskriminante genannt. p Diskrimin ante = D = q p Die p q Formel : / = ± D Die Nullstellen unserer Beispielfunktion sollen nun über die p q Formel berechnet werden. + = 0 p = ;q= Zuerst wird die Diskriminante ausgerechnet: p D = q 9 = = = p / = ± D = ± = + = = = Diskriminante und Lösungsmenge. Quadratische Gleichungen sind nicht immer lösbar. + 0 = 0 p = ;q= 0 p D = q 0 = = p p q Formel : / = ± D = ± keine Lösung Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 7 von 0

8 R. Brinkmann Seite Hat die Diskriminante einen negativen Wert, so ist die quadratische Gleichung nicht lösbar, denn Wurzeln sind nur für positive Zahlen definiert. Quadratische Gleichungen können auch nur eine Lösung besitzen. + 9 = 0 p = ;q= 9 p D = q 9 0 = = p p q Formel : / = ± D = ± 0 = nur eine Lösung Zusammenfassung: Die Diskriminante D bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung. p p = D + = D D > 0 L = { ; } Zwei Lösungselemente D = 0 L = {} Ein Lösungselement (Doppellösung) D < 0 L = Kein Lösungselement {} Lösungsmenge und Funktionsgraph. Welche Bedeutung hat die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung auf den Verlauf des Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion? In den Beispielen hatten wir drei quadratische Gleichungen, mit jeweils zwei, keiner oder nur einer Lösung. Wir zeichnen die dazugehörigen Funktionsgraphen. f ():= + f( ) 0 f ():= + 9 f( ) 0 f ():= + 0 g ():= + 0 f( ) g( ) 0 Zwei Nullstellen Eine Nullstelle Keine Nullstelle Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 8 von 0

9 R. Brinkmann Seite Bei zwei Nullstellen schneidet der Funktionsgraph die Achse zweimal. Bei einer Nullstelle berührt der Funktionsgraph die Achse mit dem Scheitel. Liegt keine Nullstelle vor, so liegt der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der Achse, der Scheitel einer nach unten geöffneten Parabel unterhalb der Achse. Der Satz von Vieta Sind und Lösungen der quadratischen Gleichung + p + q = 0, dann gilt der Wurzelsatz von Vieta: + = p und = q. Der Beweis folgt durch direkte Rechnung: Addiere und p p + = + D + D p p + = + D D p p + = = p + = p Multipliziere und p p = + D D. Binomische Formel ( D) p p = D p p q q = = q Dieser Satz ist ganz nützlich für die Ergebniskontrolle der Lösung einer quadratischen Gleichung. + = 0 p = ; q = Lösung: = ; = + = + = = p ( w) = = = q w Nullstellen und Linearfaktoren Nach Vieta gilt: + = p = q Eingesetzt in die Normalform mit p = : + p+ q= 0 + ( ) + = 0 + = 0 = 0 = 0 Linearfaktor Linearfaktor Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 9 von 0

10 R. Brinkmann Seite Eine quadratische Gleichung von der die Nullstellen bekannt sind, kann auch als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden. Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Für die quadratische Gleichung unserer Beispielfunktion bedeutet das: + = 0 p = ; q = Lösung: = ; = + = 0 = 0 Nun können wir selber quadratische Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen konstruieren: Es soll eine quadratische Funktion mit den Nullstellen = - und = entwickelt werden, die nach unten geöffnet ist und den Formfaktor ¾ besitzt. = ; = f() = ( + )( ) 9 = ( ) = s = = = 9 7 ys = f = + + = 7 S f( ) f () + 9 := + 0 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : 0 von 0