Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f ( x) = x + 2x + 1

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Birgit Schräder
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1 R. Brinkmann Seite Lösungen Text- und Anwendungsaufgaben II en: A A A Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f ( x) = x + x + a) Berechnen Sie die Scheitelpunktform. b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. c) Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y Achse liegt durch den Punkt P ( - - ) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel? d) Wo schneiden sich beide Parabeln? e) Zeichnen Sie beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem. a) Scheitelpunktform: f ( x) = x + x + f ( x) = ( x 4x ) f( x) = ( x 4x+ ) f( x) = ( x ) 4 f( x) = ( x ) f( x) = ( x ) + S( ) b) Achsenschnittpunkte: f( x) = x + x+ f( 0) = Py ( 0 ) f( x) = 0 x + x+ = 0 ( ) x 4x = 0 p x = + x/ = ± D p = 4;q= x = p D = q = ( ) + = 4 + = Px ( + 4,4 0 ) P 0,4 0 x ( ) Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :0 Seite von

2 R. Brinkmann Seite A A c) Der Punkt der Parabel, der auf der y- Achse liegt, ist P y ( 0 ). Dieser soll zum Punkt P ( - - ) verschoben werden. P 0 P y ( ) ( ) Verschiebung 0 : Verschiebung un Einheiten nach links. : Verschiebung um Einheiten nach unten. Wenn ein Punkt der Parabel diese Verschiebung erfährt, dann erfährt jeder Punkt der Parabel diese Verschiebung, also auch der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) wird um Einheiten nach links und um Einheiten nach unten verschoben, so dass daraus der Scheitelpunkt der verschobenen Parabel wird. S S ( ) ( ) EH nach links und EH nach unten g( x) = ( x+ ) + g( x) = ( x + x+ ) + = x x+ d) Parabelschnittpunkt: f( x) = g( x) x + x+ = x x + + x x + = x + + x ys = f( xs) = f x + = ys = + + x = : ys = + x = xs = ys = + = Parabelschnittpunkt: S 0,7 0, 7 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :0 Seite von

3 R. Brinkmann Seite A e) 4 f( x) g( x) x A Ein biologischer Versuch zeigt benötigte Zeit in h folgende Messwerte bei der Untersuchung einer Zellkultur: Anzahl der Zellteilungen a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung. b) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. c) Nach welcher Zeit haben 00 Zellteilungen stattgefunden? d) Wie lange dauert es, bis 800 Teilungen erfolgt sind? A a) Zeit in h Zellteilungen Funktionsgleichung: f x ( ) = x Die Funktionsgleichung kann durch probieren gefunden werden. b) f( x) x c) f( x) = 00 x = 00 x = 400 x = 0 00 Teilungen nach 0 h d) f ( x) = 800 x = 800 x = 00 x = Teilungen nach 0 h Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :0 Seite von

4 R. Brinkmann Seite A Die Parallele zur x Achse mit der Funktionsgleichung f(x) = a für 0 < a < schneidet die Gerade g im Punkt B und die Gerade h im Punkt C. Die Koordinaten von Punkt A sind A ( 0 ). y g h Die Punkte A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Wie ist a zu wählen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks den größtmöglichsten Wert besitzt? Koordinatenpunkte der beiden Geraden können abgelesen werden. B C f(x) = a A x A g x = x;h x = x+ a ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) P 0:h = + a = 0 a = hx = x+ 0 0 gh BCa Dreieckfläche: A = = Die x Koordinaten der Punkte B und C sind zu bestimmen. a a B: Schnitt g( x ) mit f ( x ): g( x) = f ( x) x = a x = B a ( ) ( ) ( ) = ( ) C: Schnitt h x mit f x : h x f a a x x+ = a x = C a a a a Abstand BC : = a a BC a Flächeninhalt: A = = = a + a = A ( a ) Parabel nach unten geöffnet 8 Nullstellen : a a + 0 a 0 ; a = = = a + a. Scheitelkoordinate: 9 = = =, Scheitelkoordinate: A = =, 0 Für a =,8 ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal und zwar, FE Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :0 Seite 4 von

5 R. Brinkmann Seite A4 A4 Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt: K(v) = 0,00 v 0,8 v + 8, für v > 40 Dabei bedeuten: K(v) der Kraftstoffverbrauch in Liter/00 km und v die Geschwindigkeit in km/h. a) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7 Liter auf 00 km? b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten? a) K(v) = 0,00v 0,8v + 8, für v > 40 K(v) = 7 0,00v 0,8v + 8, = 7 v 90v + 77 = 0 p = 90 ; q = 77 D = 0 v = , b) v = 4 0 9, scheidet aus wegen v > 40 Bei einer Geschwindigkeit von 80, km/h ist der Verbrauch 7 Liter/00 km. Scheitelpunkt ist Minimum v+ v vs = = = 4 K(4) = 0,0 4 0,8 4+ 8, = 4, Bei einer Geschwindigkeit von 4 km/h ist der Verbrauch mit 4, Liter/ 00 km am geringsten. A Für eine 8 m lange Brücke werden in m Abstand Stützpfeiler benötigt. Berechnen Sie die Länge aller Pfeiler. 8 m 4, m A Der Koordinatenursprung wird in den Scheitelpunkt des Brückenbogens gelegt. f(x) = a x mit P 9 4, folgt: ( ) f(9) = 8a = 4, a = und f(x) = x 8 8 Die Abstände der Pfeiler vom Scheitelpunkt sind: ± ; ± ; ± ; ± 7 ; ± 9 f() = f( ) = 0,0 ; f() = f( ) = 0, ; f() = f( ) =,89 f(7) = f( 7) =,7 ; f(9) = f( 9) = 4, Pfeilerlängen für je Pfeiler: 0,0 m ; 0, m ;,89 m ;,7 m ; 4, m Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :0 Seite von

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