5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen

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1 .. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild im wesentlichen Bereich mit LE = cm Anleitung zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten. Markiere steigende Abschnitte mit durchgezogener roter Linie und fallende Abschnitte mit durchbrochener roter Linie.. Bestimme dann die. Ableitung f (x) und ihre Nullstellen. Zeichne ihr Schaubild ebenfalls in roter Farbe in das Koordinatensystem ein.. Wie lässt sich ein Hoch- oder Tiefpunkt von f mit Hilfe des Vorzeichens von f charakterisieren? Anleitung zur Bestimmung von Wendepunkten. Markiere linksgekrümmte Abschnitte mit durchgezogener grüner Linie und rechtsgekrümmte Abschnitte mit durchbrochener grüner Linie.. Bestimme dann die. Ableitung f (x) und ihre Nullstellen. Zeichne ihr Schaubild ebenfalls in grüner Farbe in das Koordinatensystem ein.. Wie lässt sich ein Wendepunkt von f mit Hilfe des Vorzeichens von f charakterisieren? a) f(x) = x x h) f(x) = x + x b) f(x) = x x i) f(x) = x x + 6 c) f(x) = d) f(x) = (x ) j) f(x) = x + x (x ) k) f(x) = x + x + 9 e) f(x) = (x ) l) f(x) = 0 x + 6 x 9 x (keine Nullstellen verlangt!) f) f(x) = x + x m) f(x) = x x + x g) f(x) = 6 x x + x n) f(x) = 0 (x + )(x ) (Polynomdivision notwendig!) Aufgabe : gemeinsame Punkte von Kurvenscharen Zeichne die Schaubilder für die angegebenen t in ein gemeinsames Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des gemeinsamen Punktes P(x 0 y 0 ) an und belege deine Vermutung rechnerisch nach dem folgenden Kriterium: Der Punkt P(x 0 y 0 ) ist ein gemeinsamer Punkt der Kurvenschar, wenn zwei beliebige Kurven f t und f t an der Stelle x 0 den gleichen Funktionswert y 0 haben, d.h., wenn für beliebige t und t gilt: f t (x 0 ) = f t (x 0 ) = y 0. a) f t (x) = x + tx + t für t = 0, ± und ± t b) f t (x) = + für t =, 0, und x t t c) f t (x) = x + x + ( t )x + + t für t = 0, ± und ± Aufgabe : Hüllkurven von Geradenscharen Zeichne die Schaubilder für die angegebenen t in ein gemeinsames Koordinatensystem. Gib die Gleichung der Hüllkurven f(x) an und belege deine Vermutung rechnerisch nach dem folgenden Kriterium: Die Kurve f(x) ist eine Hüllkurve der Geradenschar, wenn die Geraden g t die Kurve f an der Stelle x = t berühren, d.h., wenn für beliebige t gilt f(t) = g t (t) und f (t) = g t (t). a) g t (x) = tx t für t = 0, ±, ±, ±, ± und ± b) g t (x) = t x + für t =,,,,,,, und t c) g t (x) = t x + t für t =,,,,,,, und

2 Aufgabe : Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten Bestimme für jeden Extrempunkt und für jeden Wendepunkt der Funktion f die Koordinaten in Abhängigkeit von Parameter und die Gleichung seiner Ortskurve. Die Ortskurve oder Spur eines Extrem- oder Wendepunktes ist die Kurve, die man erhält, wenn man die entsprechenden Punkte für alle möglichen Parameterwerte in das Koordinatensystem einzeichnet a) f t (x) = x(x t) mit t R g) f a (x) = x x mit a R + * a a b) f a (x) = x + 6x + a mit a R h) f t (x) = x x tx mit t R + * 6t c) f a (x) = x + ax + mit a R i) f t (x) = ax x mit a R* d) f a (x) = ax 8x mit a R j) f b (x) = x + bx mit b R + * e) f t (x) = f) f k (x) = t t x x mit t R + * k) f t (x) = t x + x + mit t > k x x 6kx mit k R + * l) f t (x) = x t mit t R x Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen Bestimme die Gleichung der folgenden Funktionen: a) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Es berührt dort die Gerade mit der Gleichung y = x und schneidet die x-achse bei x =. b) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades hat den Extrempunkt E( ) und den Wendepunkt W(0 ). c) Eine ganzrationale Funktion. Grades hat an der Stelle x 0 = 0 die Steigung 0. Die Wendetangente im Wendepunkt W( ) ist die. Winkelhalbierende. d) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades schneidet die x-achse im Punkt N( 0), hat den Hochpunkt H( 7) 7 und den Tiefpunkt T( ). e) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades hat den Wendepunkt W( ). Es schneidet das Schaubild der Parabel g(x) = x x an der Stelle x 0 = und hat im Schnittpunkt die Steigung. f) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades ist symmetrisch zur y-achse. Ein Wendepunkt ist W( ) und die zugehörige Wendetangente geht durch den Ursprung O(0 0). g) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades hat im Wendepunkt W( 0) eine horizontale Wendetangente. Die Normale im Ursprung des Koordinatensystems hat die Steigung m = 8. h) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Im Wendepunkt W( f()) 6 hat es eine horizontale Wendetangente, die die y-achse bei y = schneidet. i) Die Schaubilder einer Schar kubischer Parabeln f t gehen alle durch den Ursprung und haben dort eine Tangente mit der Steigung m t = t. Die Parabeln dieser Schar berühren außerdem die x-achse in N(t 0). j) Die Schaubilder einer Schar von Parabeln. Ordnung sind punktsymmetrisch zum Ursprung und gehen alle durch den gemeinsamen Punkt P( ). Aufgabe 6: Extremwertaufgaben a) Die Senkrechte x = u sei für 0 u frei verschiebbar und schneidet die x-achse im Punkt P und das Schaubild der Parabel f(x) = (x x ) im Punkt Q. Die Parabel schneidet die positive x-achse im Punkt R. Für welches u wird der Flächeninhalt des Dreieckes PQR maximal? b) Die Senkrechte x = u schneidet f(x) = (x ) im Punkt B und g(x) = (x ) + im Punkt C. Außerdem ist der Punkt A( ) gegeben. Für welches u mit u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal?

3 Aufgabe 7: Extremwertaufgabe mit Abstand und Fläche zwischen zwei Schaubildern Die Senkrechte mit der Gleichung x = u ist in dem Raum, der von den Schaubildern der Funktionen f und g eingeschlossen wird, frei beweglich. Sie schneidet das Schaubild von f im Punkt P und das Schaubild von g im Punkt Q. O(0 0) ist der Koordinatenursprung.. Für welches u wird der Abstand PQ maximal?. Für welches u wird die Fläche des Dreiecks OPQ maximal? a) f(x) = x 6x und g(x) = x b) f(x) = x und g(x) = x(x ) Aufgabe 8: Extremwertaufgabe mit selbstgewählten Koordinaten a) In den Raum, der durch die beiden Koordinatenachsen und die Parabel f(x) = x + begrenzt wird, soll ein Rechteck maximaler Fläche gelegt werden. b) Gegeben sei die Funktion f(x) = x x 0. In die Fläche zwischen x-achse und Schaubild soll ein Rechteck maximaler Fläche einbeschrieben werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. c) Gegeben ist die Parabel f(x) = x und der Punkt A( ). Gesucht ist das Dreieck ABC maximaler Fläche, dessen Grundseite BC parallel zur x-achse verläuft und außerdem zwischen der Parabel und der x-achse liegt. d) Gegeben seien die Funktionen f(x) = x und g(x) = x 6. In die Fläche zwischen den Schaubildern soll ein Rechteck mit maximaler Fläche gelegt werden, dessen Seiten parallel zu den Achsen verlaufen. Aufgabe 9: Extremwertaufgabe mit Verschiebungen a) Gegeben sei die Funktion f(x) = x + x. Zeige zunächst, dass f symmetrisch ist zur Achse x =. In die Fläche zwischen x-achse und Schaubild soll ein Dreieck maximaler Fläche einbeschrieben werden. Dabei soll die Spitze C auf der x-achse liegen und die Grundseite AB parallel zur x-achse verlaufen. b) In den Raum, der durch die beiden Koordinatenachsen und die Parabel f(x) = x + x begrenzt wird, soll ein Rechteck maximaler Fläche gelegt werden. Aufgabe 0: Extremwertaufgabe mit Kurvenschar Gegeben seien die Funktionen f t (x) = x (x t). Bestimme das u t, für das in Abhängigkeit von t das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken A(u 0), B(t 0) und C(u f t (u)) einen maximalen Flächeninhalt bekommt. Aufgabe : Anwendungsaufgaben a) Die Herstellungskosten für eine Kaffeemaschine belaufen sich auf. Die Marketingabteilung ermittelt bei einem Verkaufspreis von eine Absatzpotenzial von Geräten. Außerdem prognostiziert die Marketingabteilung für jede Verminderung des Verkaufspreises um eine Absatzsteigerung von Geräten. Bei welchem Verkaufspreis ist der Gewinn maximal? b) Ein Bauer möchte mit einem 00 m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche abzäunen. Welche Maße muss die Fläche haben? c) Ein Bauer möchte eine 00 m große rechteckige Fläche mit möglichst wenige Zaun eingrenzen. Welche Abmessungen muss die Fläche haben? d) In ein beliebiges Dreieck mit der Basislänge 8 cm und der Höhe 6 cm soll ein Rechteck mit möglichst großer Fläche gelegt werden. Hinweis: Verwende den Strahlensatz oder das Prinzip von Cavalieri. e) Bei einer rechteckigen Glasscheibe ist beim Transport an einer Ecke ein Stück mit einer fast geraden Bruchkante abgesprungen. Wie kann man aus dem Reststück eine möglichst große neue rechteckige Platte zurechtschneiden? f) Die Tragfähigkeit eines Balkens von rechteckigem Querschnitt ist gegeben durch T = kxy, wobei x die Breite, y die Höhe und k eine Materialkonstante bedeuten. Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r = cm soll ein Balken mit maximaler Tragfähigkeit gesägt werden. g) Einer Kugel von Radius R = cm soll ein Zylinder maximalen Volumens einbeschrieben werden. Ein Zylinder der Höhe h mit Radius r hat das Volumen V = π r h. h) Eine Fabrik stellt zylinderförmige Konservendosen für einen Inhalt von Liter her. Wie müssen Radius r und Höhe h gewählt werden, damit der Blechbedarf minimal wird? 0 cm 60 cm 80 cm Aufgabe : Newton-Verfahren Gib die ersten Näherungswerte des Newton-Verfahrens zum gegebenen Startwert x 0 an a) f(x) = x x + für x 0 = b) f(x) = x x + für x 0 = c) f(x) = x x für x 0 = 0 cm

4 Schaubilder zu Aufgabe Aufgabe a) y 0 x Aufgabe b) y 0 x

5 Schaubilder zu Aufgabe Aufgabe a) y x Aufgabe b) y 0 x

6 .. Lösungen zu den Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion a) siehe Skript b) f(x) = x x = x (x+) (x ) Symmetrie: gerade Funktion mit f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse Achsenschnittpunkte N ( 0), N (0 0) (doppelt), N ( 0) Ableitungen: f (x) = x x = x(x ) mit NST bei x / = und x = 0, f (x) = x mit NST bei x / = f (x) = 6x Extrempunkte: f( ) =, f ( ) = 0, f ( ) = > 0 Tiefpunkte T / ( ), f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) = < 0 Hochpunkt H(0 0) Wendpunkte: f( ) = 9, f ( ) = 0, f ( ) 0 Wendepunkte W/ ( 9 ) c) f(x) = (x ) Symmetrie: f( + x) = f( x) Punktsymmetrie zu Sy (0 ) Achsenschnittpunkte: S x ( 0), S y (0 ) Ableitungen: f (x) = x, f (x) = x und f (x) = Wendepunkte: f(0) =, f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = > 0 Sattelpunkt S(0 ) d) f(x) = (x ) Symmetrie: geraden Funktion, f(x) = f( x) Achsensymmetrie zur y-achse Achsenschnittpunkte: S x/ ( 0), S y (0 ) Ableitungen: f (x) = x, f (x) = x und f (x) = 6x Extrempunkte: f(0) =, (y-wert), f (0) = 0 (dreifache NST mit VZW von nach +, d.h. Übergang von fallend nach steigend mit waagrechter Tangente), f (0) = 0 (doppelte NST ohne VZW, f (x) 0 auf ganz R, d.h. linksgekrümmt auf ganz R), f (0) = 0 Tiefpunkt T(0 ) e) f(x) = (x ) Symmetrie: f( + x) = f( x) Punktsymmetrie zu Sy (0 ) Achsenschnittpunkte: S x ( 0), S y (0 ) Ableitungen: f (x) = x, f (x) = x und f (x) = x Extrempunkte: f(0) =, (y-wert), f (0) = 0 (vierfache NST ohne VZW, f (x) 0, d.h. monoton steigend auf ganz R), f (0) = 0 (dreifache NST mit VZW von nach +, d.h. Übergang von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt), f (0) = 0 Wendepunkt W(0 ) 6

7 f) f(x) = x + x = x(x )(x + ) Symmetrie: f( x) = f(x) Punktsymmetrie zurm Ursprung Achsenschnittpunkte: S(0 0) Ableitungen: f (x) = x +, f (x) = x und f (x) = Extrema (f (x) = 0 und f (x) </> 0): rel Max( ) und rel Min( ) Inflexion points (f (x) = 0 and f (x) 0): Inf(0 0) g) f(x) = 6 x x + x = 6 x(x 9x + ) Symmetrie: keine Achsenschnittpunkte: S(0 0) Ableitungen: f (x) = x x + = (x )(x ), f (x) = x und f (x) = Extrema (f (x) = 0 und f (x) </> 0): rel Max( 0 ) und rel Min( 8 ) Inflexion points (f (x) = 0 and f (x) 0): Inf( ) h) f(x) = x + x = x (x ) Symmetrie: keine Achsenschnittpunkte: S x (0 0) (doppelt Berührpunkt/Extremum) und S x ( 0) Ableitungen: f (x) = x + x = x(x 8 ), f (x) = x + und f (x) = Extrema (f (x) = 0 und f (x) </> 0): rel Max( 8 6 ) Max(,6,7) und rel Min(0 0) 7 Inflexion points (f (x) = 0 and f (x) 0): Inf( ) Inf(,,6) 7 i) f(x) = x x + 6 = (x x + 7) Symmetrie: f( x) = f(x) Symmetrie zur y-achse Achsenschnittpunkte: S(0 6) Ableitungen: f'(x) = x x = x(x 6), f''(x) = x und f'''(x) = x Extrema: f (x) = 0 and f (x) </> 0 relative Max(0 6) and relative Min / (± 6 ) Inflexion points: f (x) = 0 and f (x) 0 Inf / (± ) j) f(x) = x + x = (x )(x ) Symmetrie: f( x) = f(x) Symmetrie zur y-achse. Achsenschnittpunkte: S y (0 ), S / (± 0), S / (± 0) Ableitungen: f (x) = x 0x = x(x ), f (x) = x 0 = (x ), f (x) = x 6 Extrema: f (x) = 0 und f (x) </> 0 Min(0 ) und Max / (± 9 ) Max /(±,8,) Inflexion points: f (x) = 0 and f (x) 0 Inf / (± ) Inf /(±0,9 0,) 7

8 k) f(x) = x + x + 9 = (x 9)(x + ) Symmetrie: f( x) = f(x) Symmetrie zur y-achse Achsenschnittpunkte: S y (0 9 ) und S x/(± 0) Ableitungen: f (x) = x + x = x(x )(x + ), f (x) = x + = (x ) und f (x) = 6x Extrema (f (x) = 0 und f (x) </> 0): rel Max / (± ) = Max /(± 6,) und rel Min(0 9 ) = Min(0,) Wendepunkte (f (x) = 0 and f (x) 0): W / (± 6 6 ) W /(±,,7) l) f(x) = 0 x + 6 x 9 x = 0 x(x 0 x + ) Symmetrie: f( x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung Achsenschnittpunkte: S(0 0) und S x/// ( 0, 0) S x/ (±,8 0) und S x/ (±,6 0) (nicht verlangt) Ableitungen: f'(x) = x + x 9 = (x 9)(x ), f''(x) = x + x and f'''(x) = x + Relative Maxima (f (x) = 0 und f (x) < 0): Max ( ) = Max (,6 ) und Max ( 8 ) = Max (,6) Relative Minima (f (x) = 0 und f (x) > 0): Min ( 8 ) = Min (,6) und Min ( ) = Min (,6 ) Wendepunkte: f (x) = 0 und f (x) 0 W (0 0) und W / (± m) f(x) = x x + x = x(x x + 0) ) W / (±,,) Symmetrie: f( x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung Achsenschnittpunkte: S (0 0) Ableitungen: f'(x) = (x x + ) = (x )(x ), f''(x) = x x = x(x ) und f'''(x) = x Relative Maxima (f (x) = 0, f (x) < 0): Max ( ) Max (, ) und Max ( 8 ) = Max (,6 ), Relative Minima (f (x) = 0, f (x) > 0): Min ( 8 ) = Min (,6 ) und Min ( ) Min (, ) Wendepunkte (f (x) = 0 und f (x) 0): W (0 0) and W / (± n) f(x) = 0 (x + )(x ) = 0 (x x + 6x + x 8) Symmetrie: keine 6 8 ) W /(±,8,) Achsenschnittpunkte: S y (0 0,8), S x ( 0), S x ( 0) (dreifach Sattelpunkt) f'(x) = 0 (x x + x + ) = 0 (x + )(x ), f''(x) = (x x + ) = (x + )(x ), f'''(x) = (x ) Extrema: f (x) = 0 und f (x) > 0 Min( 0,8) Sattelpunkt: f (x) = 0, f (x) = 0 and f (x) 0 S( 0) Wendepunkte: f (x) = 0 und f (x) 0 W( 0,06) 8

9 Aufgabe : gemeinsame Punkte von Kurvenscharen a) f t (x) = x + tx + t = (x + t) (t + ) + Normalparabeln mit S( t (t + ) + ) und S g ( ) t b) f t (x) = + x t t Hyperbeln mit Symmetriezentrum S(t t t ) und S g( 0) c) f t (x) = x + x + ( t )x + + t = (x + t)(x )(x t) mit S g ( 0) Aufgabe : Hüllkurven von Geradenscharen a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x Aufgabe : Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten a) siehe Skript b) T a ( 9+a) mit x = a a c) T a mit y = x + 6 d) T a a a mit y = x für a 0. Für a = 0 erhält man die Gerade f 0 (x) = 8x e) H t t t f) T k (k mit y = x für t 0. Für t = 0 erhält man die Gerade f0 (x) = 0 k k + ) mit y = x x + und H k ( 6k + 6) mit x = sowie W( k ( k) 6k( k) + mit y = x 6kx + g) H a a a mit y = x für x > 0 und T a a a mit y = keine Extrema. W(0 0) hat keine Ortskurve h) H t t t mit y = x und T t (t 0) mit y = 0 sowie W t (t t ) mit y = x. i) H(0 0) und T a a 7a 7 j) T b b b 6 mit y = mit y = x sowie W a a 7a x und W a ( k) T t ( t + ) mit y = t x + und H t( l) E t (t b b 6 t t t ) mit y = x, HP für t > 0 bzw. TP für t < 0 und W t(t x für x < 0, wobei jeweils a > 0. Für a < 0 existieren mit y = x mit y = x. + ) mit y = x + sowie W(0 ) 9t ) mit y = x 9

10 Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen a) f(x) = ax + bx + cx + d mit: Symmetrie zu O(0 0) b = 0 und d = 0 f() = 0 8a + b + c + d = 0 f'(0) = c = f(x) = x x c) f(x) = ax + bx + cx + d mit: f'(0) = 0 c = 0 f() = 7a + 9b + c + d = 0 f'() = 7a + 6b + c = f''() = 0 8a + b = 0 f(x) = x x 7 e) f(x) = ax + bx + cx + d mit: f() = a + b + c + d = f''() = 0 6a + b = 0 f( ) = g( ) = a + b c + d = f'( ) = a b + c = f(x) = x x x g) f(x) = ax + bx + cx + dx + e mit: f() = 0 6a + 8b + c + d + e = 0 f'() = 0 a + b + c + d = 0 f''() = 0 8a + b + c = 0 f(0) = 0 e = 0 f'(0) = 8 d = 8 f(x) = x 6x x 8x i) f(x) = ax + bx + cx + d mit: f(0) = 0 d = 0 und f'(0) = t c = t f(t) = 0: 7t a + 9t b + tc + d = 0 f'(t) = 0 7t a + 6tb + t = 0 f t (x) = x x tx 6t b) f(x) = ax + bx + cx + d mit: f( ) = 8a + b c + d = f'( ) = 0 a b + c = 0 f(0) = d = f''(0) = 0 b = 0 f(x) = x x 8 d) f(x) = ax + bx + cx + d mit: f() = 0: 6a + 6b + c + d =0 f() = 7: 8a + b + c + d = 7 f'() = 0 a + b + c = f() = a + b + c + d = f'() = 0 a + b + c= 0 9 f(x) = x x x 8 f) f(x) = ax + bx + cx + dx + e mit: Symmetrie zur y-achse b = 0 und d = 0 f() = a + b + c + d + e = f'() = 0 a + b + c + d = 0 f''() = 0 a + 6b + c = 0 f(x) = x x h) f(x) = ax + bx + cx + dx + ex + f mit: Punktsymmetrie zu O(0 0) b = d = f = 0, 6 6 f() = a + 6b + 8c + d + e + f = f'() = 0 80a + b + c + d + e= 0 f''() = 0 60a + 8b + c + d = 0 f(x) = x x x 00 j) f(x) = ax + bx + cx + d mit: Punktsymmetrie zu O(0 0) b = d = 0 und f() = 8a + b + c + d = f a (x) = ax + ( a)x Aufgabe 6: Extremwertaufgaben a) Fläche A(u) = (f(u) 0)( u) = 8 (u 7u u + 7), A (u) = 8 (u u ), A (u) = (u 7) rel Max bei u = Bereichsgrenzen A(0) = 7 8 und A() = 6 8 abs Max bei u = 0. 0

11 b) Normalparabeln mit S f ( ) und S g ( ), die sich in S g ( ) schneiden (rechte Bereichsgrenze) Fläche A(u) = g h = (u ) (f(u) g(u)) = u + 0u 8, A (u) = u + 0, A (u) = relatives Max bei u = 9 mit A( ) = mit Bereichsgrenzen: A() = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u =. Aufgabe 7: Extremwertaufgaben mit Abstand und Fläche zwischen zwei Schaubildern a) Abstand PQ(u) = g(u) f(u) = u + 6u, PQ (u) = u + 6, PQ (u) = relatives Max bei u = (außerhalb) mit PQ( ) =, und Bereichsgrenzen: PQ(0) = 0 und PQ() = absolutes Max bei u =. Fläche A(u) = g h = (u 0) (g(u) f(u)) = u + u, A (u) = u + 6u, A (u) = 6u + 6 relatives Max bei u = mit A() = (außerhalb) und Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = abs Max bei u =. b) g(x) = x(x ) hat HP( ) und TP(0 ). Schnittpunkte bei x = 0, x = und x = Bereiche: 7 Bereich 0 u : Abstand PQ(u) = g(u) f(u) = u u + u, PQ (u) = u 0u +, PQ (u) = 6u 0 rel Max bei u = 9 0,6 mit PQ(0,6) 0,88 und Bereichsgrenzen: PQ(0) = 0 und PQ() = 0 abs Max bei u 0,6. Fläche A(u) = g h = (u 0) (g(u) f(u)) = u u + u, A (u) = u u + u, A (u) = 6u u + relatives Max bei u = Max bei u 0,6. Bereich u : 97 0,6 mit A(0,6) 0, und Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes 8 6 Abstand PQ(u) = f(u) g(u) = u + u u, PQ (u) = u + 0u, PQ (u) = 6u + 0 rel Max bei u = +,87 mit PQ(,87) 6,06 und Bereichsgrenzen: PQ() = 0 und PQ() = 0 abs Max bei u,87. 9 Fläche A(u) = g h = (u 0) (f(u) g(u)) = u + u u, A (u) = u + u u, A (u) = 6u + u relatives Max bei u = Max bei u,. 97 +, mit A(,) 9,08 und Bereichsgrenzen: A() = 0 und A() = 0 absolutes 8 6 Aufgabe 8: Extremwertaufgaben mit selbst gewählten Koordinaten a) Fläche A(u) = g h = (u ( u)) (f(u) 0) = u + 8u, A (u) = 6u + 8, A (u) = u relatives Max bei u =, mit A(,) 6,6 und Bereichsgrenzen: A( ) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u,. (= Abstand rechte bzw. linke Seite zur y-achse x = 0) b) Fläche: A(u) = b(u) h(u) = u ( f(u)) = u + 0u + 0u, A (u) = 0u + 0u + 0, A (u) = 0u + 60u relatives Maximum bei u = und Bereichsgrenzen:, u mit b = und h = 0) und A(,76) = 0 abs Max bei u =. 0,76 mit A( ) = 0 89, (Rechteck c) Fläche A(u) = g h = (u ( u)) ( f(u)) = u + u, A (u) = u +, A (u) = 6u relatives Max bei u =, mit A(,), mit Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u =.

12 d) Schnittpunkte (f(x) = g(x)): S / (± ) Fläche: A(u) = b(u) h(u) = u [f(u) g(u)] = u [9 u ] = u + 8u relatives Max bei u = mit A( ) =. und Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u = Aufgabe 9: Extremwertaufgaben mit Verschiebungen a) f(x + ) = x +. Fläche: A(u) = g h = u f( + u) = u + u, A (u) = u + und A (u) = 6u relatives Max bei u = mit A( ) = mit Bereichsgrenzen: A() = 0 und A(0) = 0 abs Max für u = b) Fläche A(u) = g h = (+u ( u)) (f(+u) 0) = u + 8u, A (u) = 6u + 8, A (u) = u relatives Max bei u =, mit A(,) 6,6 und Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u,. Aufgabe 0: Extremwertaufgabe mit Kurvenschar Fläche: A t (u) = g h = (t u) (0 f t(u)) = (t u) u (u t) = u tu + t u mit A t (u) = u tu + t u rel Max bei u = t mit At ( t t ) = und Grenzen: A t(0) = A t (t) = 0 abs Max bei u = t Aufgabe : Anwendungsaufgaben a) Absatz A(x) = (x ) = x mit x = Verkaufspreis in Gewinn G(x) = (x ) A(x) = x x = 8 000(x 7,x + ) relatives Maximum am Scheitelpunkt bei x = 7, mit A(7,) = 000 verkauften Exemplaren und Gewinn G(7,) = b) Fläche A(u) = u (00 u) = u + 00 u ist maximal bei u = 00 Die Fläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 00 m. c) Länge L(u) = u mit L (u) = ist maximal bei u = 0 Die Fläche muss quadratisch sein mit der u u Seitenlänge u = 0 m. d) Nach dem Strahlensatz gilt für ein Rechteck mit der Breite b und der Höhe h: 8 b = 6 b = 8 6 h 6 (6 h) = 8 h. Die Fläche A(h) = b h = 8h h ist maximal bei h = cm und b = cm mit dem Flächeninhalt A = cm. Nach dem Prinzip von Cavalieri oder wieder nach den Strahlensatz ändert sich dieses Ergebnis nicht, wenn man die Spitze des Dreiecks parallel zur Basis verschiebt. e) Fläche A(u) = u (80 u) = (u 60u) ist maximal mit Länge u = 80 cm und Höhe 0 cm, d.h. man kann in diesem Fall einfach den oberen Streifen wegschneiden! f) Tragfähigkeit: T(x) = k x y = k x (d x ) (Pythagoras) = k d x k x mit T (x) = kd kx rel Max bei x = T( d ) = kd und Bereichsgrenzen: T(0) = 0 und T(r) = 0 abs Max für x = d g) Zylindervolumen: V(h) = π r h = π R h h (Pythagoras) = π R h π h rel Max bei h = πr ( R) = und Grenzen: V(0) = 0 und V(R) = 0. abs. Max für h = R. h) Zylindervolumen V = π r h, Zylinderoberfläche A(r) = π rh + π r = V + π r V mit A (r) = r r d mit R mit V + πr rel Max bei r = V mit A V = V und Grenzen A(r) = lim = 0 abs Min für r = rlim V r 0, cm und h = V = r 0,8 cm. Zum Vergleich: Kugelradius r = V 6,0 cm Aufgabe : Newton-Verfahren a) x 0 =, x =, x =,7, x =,0, x =,76 b) x 0 =, x =,68, x =,07, x =,, x =,078, x 6 =,066 c) x 0 =, x =,, x =,78, x =,, x =,7