Formelsammlung Analysis

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1 Formelsammlung Analysis Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit Grenzwert von f(x) für x gegen x Grenzwert von f(x) für x gegen Unendlich Stetigkeit Rechenregeln Differentialrechnung Definition Ableitung - Monotonie - Extremwerte Graph der. Ableitung Ableitung - Krümmung - Wendepunkte Graph der. Ableitung Ableitung der Grundfunktionen Ableitungsregeln Tangenten- und Normalengleichung Newtonsches Iterationsverfahren Integralrechnung Definition Integration der Grundfunktionen Integrationsregeln Graph der Stammfunktion Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Gebrochenrationale Funktion Exponentialfunktion (Basis e) Logarithmusfunktion (Basis e) Aufstellen von Funktionsgleichungen Ganzrationale Funktion

2 Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.. Grenzwert von f(x) für x gegen x0 (x ) f (x) = (x + )(x ) f (x) = ln(x ) + f (x) = e x + VA x = x = HA y = 0 HA y = VA x = Linksseitiger Grenzwert (LGW) von f(x) geht gegen eine Konstante (konvergiert) f(x) = a oder f(x) = a x x 0 x x < 0 Rechtsseitiger Grenzwert (RGW) von f(x) geht gegen eine Konstante (konvergiert) f(x) = a oder f(x) = a x x + 0 x x > 0 Grenzwert von f(x) existiert linksseitige Grenzwert = rechtsseitige Grenzwert f(x) = f(x) = a x x 0 x x + 0 f(x) = a x x 0 Linksseitiger Grenzwert von f(x) geht gegen Unendlich (bestimmt divergiert) f(x) = ± x x 0 Rechtsseitiger Grenzwert von f(x) geht gegen Unendlich (bestimmt divergiert) f(x) = ± x x + 0 vertikale Asymptote - Polstelle an der Stelle x = x 0 (x ) f (x) = D = R \ {; } (x + )(x ) Linksseitiger Grenzwert von f(x) für x gegen x f(x), 99 0, 95, 999 0, 9, , 9, , 7 (x ) x (x + )(x ) = x (x + ) = Rechtsseitiger Grenzwert von f(x) für x gegen x + f(x), 0 0, 89, 00 0, 9, 000 0,, , (x ) x + (x + )(x ) = x + (x + ) = f(x) = Stetig behebare Definitionslücke x Linksseitiger Grenzwert von f(x) für x gegen - x f(x) (x ), 0 00 x, (x + )(x ) =, x, , (x + ) = Rechtsseitiger Grenzwert von f(x) für x gegen - x + f(x), 99 00, , , , (x ) x + (x + )(x ) = x + (x + ) = ln(x ) + = x + Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Interaktive Inhalte: hier klicken

3 Analysis Grenzwert - Stetigkeit.. Grenzwert von f(x) für x gegen Unendlich Grenzwert von f(x) geht gegen eine Konstante (konvergiert) f(x) = a x ± horizontale Asymptote y = a Grenzwert von f(x) geht gegen Unendlich (bestimmt divergiert) f(x) = ± x ± Funktion: f (x) = x Grenzwert von f(x) für x gegen und gegen - x f(x) x f(x) x = [ ] = x = [ ( ) ] = (x ) f (x) = (x + )(x ) D = R \ {; } Grenzwert von f(x) für x gegen und gegen - x f(x) 0 x f(x) 0 0 0, , , , , , , , , , 0000 f (x) = (x ) (x + )(x ) = x x x = x( x ) x ( x 8 x ) x ± x( x ) x ( x 8 = x ) x ± Horizontale Asymptote: y = 0 f (x) = ln(x ) + ln(x ) + = f (x) = e x + ex + = x ex + = Horizontale Asymptote: y = x x = x ± x = 0 Interaktive Inhalte: hier klicken.. Stetigkeit stetig { x, x f (x) = x, x > unstetig { x, x f (x) = x, x > stetig behebar (x ) f (x) = (x + )(x ) x =

4 Grenzwert - Stetigkeit Ein Funktion ist an der Stelle x 0 stetig, wenn der linksseitige GW = rechtsseitige GW = Funktionswert f(x) f(x) = f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x + 0 Stetige Funktionen - Ganzrationale Funktionen - Exponentialfunktionen - Sinus- und Kosinusfunktion Stetige Funktionen, bei denen die Unstetigkeitsstellen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind: - Gebrochenrationale Funktionen - Logarithmusfunktionen - Tangensfunktion Abschnittsweise definierte Funktionen müssen an den Schnittstellen auf Stetigkeit untersucht werden. Stetig behebare Definitionslücke x 0 - linksseitige GW = rechtsseitige GW f(x) = f(x) x x 0 x x + 0 { x, x f (x) = x, x > LGW: x = x RGW: x = x + FW: f () = = LGW = RGW = FW ist stetig { an der Stelle x 0 = x, x f (x) = x, x > LGW: x = x RGW: x = x + FW: f () = = LGW RGW FW ist unstetig an der Stelle x 0 = f (x) = (x ) (x + )(x ) = (x + ) f (x) stetig in D RGW: x + (x + ) = LGW: x (x + ) = RGW = LGW stetig behebare Definitionslücke: x 0 = Stetige Fortsetzung von f (x) f (x) = D = R \ {} (x + ) D = R \ {; } Interaktive Inhalte: hier klicken.. Rechenregeln Wichtige Grenzwerte a x = 0 x 0 a x = ex = ln x = x 0 + a x 0 x = a x = 0 x ex = 0 ln x = x = 0 x 0 7 x = ex = ln x = x x 0 x = x = 0 x ex = 0 ln x = Rechenregeln f(x) = f g(x) = g x x 0 x x 0 (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = f + g x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = f g x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = f g x x 0 x x 0 x x 0 f(x) g(x) 0 x x 0 g(x) = f(x) x x 0 g(x) = f x x 0 g x ± x x( x 8 x ) = 0 Zähler: x ± x = 0 Nenner: 8 x ± x = 0 0 = x ± x ± x = 0 Zähler durch Nenner: = 0 x( 0 0) = x ±

5 Grenzwert - Stetigkeit Unbestimmte Ausdrücke Typ : f(x) g(x) = 0 0 Regel von L Hospital Typ : f(x) g(x) = ± ± Zähler und Nenner getrennt ableiten, bis man den Grenzwert berechnen kann. f(x) g(x) = f (x) g (x) = f (x) g (x)... Typ : f(x) g(x) = 0 ± - Umformen in Typ oder und danach L Hospital Typ : (f(x) g(x)) = - Brüche auf gemeinsamen Hauptnenner bringen - Faktorisieren Typ : 0 0 sin x x 0 x = cos x = cos 0 = x 0 Typ : x e = x x e = x e = = 0 Typ : 0 x x e x = e = x e = 0 x ln x x x ln x = x 0 + x 0 + = x 0 x + = x = 0 x Typ : x x = x(x ) = ( x 0 x ) x = = x x 0 x Wichtige unbestimmte Ausdrücke x n e x = 0 x n ln x = e x x n = ln x x n = 0 x 5 e x = 0 x ln x = e x x = ln x x = 0 5

6 Analysis Differentialrechnung. Differentialrechnung.. Definition Sekantensteigung Tangentensteigung f(x) = x P P y x f(x) = x P (x; f(x)) x y Sekantensteigung Eine Grade schneidet eine Funktion in den Punkten P (x 0 ; f(x 0 )) und P (x; f(x)). Steigung der Sekante an der Stelle x 0 m = y x = f(x) f(x 0) x x 0 x = h x = x 0 + h m = f(x 0 + h) f(x 0 ) h Sekantensteigung = Differenzenquotient = Mittlere Änderungsgrate Für kleine h ist die Sekantensteigung Tangentensteiung m f (x 0 ) f(x) = x Die Sekantensteiung m durch die Punkte P (0.5; 0, 5) P (, 5;, 5) f(x) f(x0) m = x x 0, 5 0, 5 m =, 5 0, 5 = Die Sekantensteiung m an der Stelle x 0 = 0, 5 und h = f(x0 + h) f(x0) m = h f(0, 5 + ) f(0, 5) m =.5 0, 5 m = = Die Sekantensteigung m an der Stelle x 0 = 0, 5 und h = 0, 00 f(x0 + h) f(x0) m = h f(0, 5 + 0, 00) f(0, 5) m = 0, 00 0, 500 0, 5 m = =, 00 0, 00 m f (0, 5) =. Ableitung - Differentialqoutient Die Ableitung von f(x) ist die Steigung des Graphen der Funktion f(x) an der Stelle x 0. f f(x) f(x 0 ) (x) = x x 0 x x 0 x = x 0 + h f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x) = h 0 h. Ableitung = Steigung der Tangente = Steigung der Funktion f(x)=lokale (momentane) Änderungsrate Die Ableitung von f(x) an einer beliebigen Stelle x f f(x + h) f(x) (x) = h 0 h Die. Ableitung von f(x) = x an der Stelle x 0 = 0, 5 f (0, 5 + h) 0, 5 () = h 0 h f 0, 5 + h + h 0, 5 () = h 0 h f h( + h) () = h 0 h f () = + h = h 0 Die Ableitung von f(x) = x an einer beliebigen Stelle x f (x) = h 0 (x + h) x h f x + hx + h x (x) = h 0 h f h(x+h) (x) = h 0 h f (x) = x f (0, 5) = = h 0 x + h = x

7 Analysis Differentialrechnung.Ableitung Die Ableitung der. Ableitung ist die.ableitung. Die.Ableitung gibt die Krümmung einer Funktion f(x) an der Stelle x 0 an. f (x) = x + x + x f (x) = x + x + f (x) = x + Interaktive Inhalte: hier klicken... Ableitung - Monotonie - Extremwerte f (x) = x x f (x) = x x HP(-/) HT sms smf sms TP(/-) HT HT smf smf sms TEP(0/-) TP(,5/,75) HT sms - streng monoton steigend; smf - streng monoton fallend; VZW - Vorzeichenwechsel; NST - Nullstelle ; HP - Hochpunkt (Maximum); TP - Tiefpunkt (Minimum) ; HT - horizontale Tangente; TEP - Terrassenpunkt; Steigung von f(x 0 ) an der Stelle x 0 m = f (x 0 ) Funktion f (x) = x x. Ableitungen f (x) = x = Steigung an der Stelle x = m = f () = 7 8 Steigung an der Stelle x = f () = 8 (x + )(x ) Stelle x 0 an der f(x 0 ) die Steigung m besitzt f (x) = m Bei horizontalen Tangenten ist die Steigung Null. f (x) = 0. Ableitungen f (x) = x Horizontale Tangente x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = 7

8 Differentialrechnung Monotonieverhalten monoton steigend f (x) 0 streng monoton steigend sms f (x) > 0 monoton fallend f (x) 0 streng monoton fallend smf f (x) < 0 Monotonieverhalten an der Stelle x = m = f () = 7 8 > 0 sms Monotonieverhalten an der Stelle x = f () = 8 < 0 smf Das Monotonieverhalten kann sich nur an den Extremstellen und an den Rändern des Definitionbereich (Definitionslücken) ändern. Extremwerte und das Monotonieverhalten Extremwerte sind Hochpunkte (Maxima) bzw. Tiefpunkte (Minima) der Funktion. In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Zur Unterscheidung werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Hochpunkt (HP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton steigend (sms) nach streng monoton fallend (smf). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus. x < x < x f (x) + 0 Graph sms HP smf Tiefpunkt (TP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton fallend (smf) nach streng monoton steigend (sms). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Minus nach Plus. x < x < x f (x) 0 + Graph smf TP sms Terrassenpunkt (TEP) Monotonoieverhalten ändert sich nicht. Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung. x < x < x f (x) Graph sms TEP sms x < x < x f (x) 0 Graph smf TEP smf Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Funktion f (x) = x x. Ableitungen f (x) = x = (x + )(x ) f (x) = x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = Vorzeichentabelle von f (x) x < < x < < x f (x) Graph sms HP smf T P sms Hochpunkt:(/) Tiefpunkt:(/ ) Monotonieverhalten x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 sms x ] ; [ f (x) < 0 smf Funktion f (x) = x x. Ableitungen f (x) = x (x ) x (x ) = ( x x ) x (x ) = x x (x ) Zaehler = 0 x (x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0 / + x = x 0 = 0; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx = f (x) x < 0 < x < < x < < x Graph smf T EP smf smf HP sms TEP(0/0) TP( / ) 8 Monotonieverhalten x ] ; 0[ ]0; [ ] ; [ f (x) < 0 smf x ] ; [ f (x) > 0 sms 8

9 Analysis Differentialrechnung Extremwerte und die.ableitung In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) > 0(LK) Tiefpunkt (Minimum) bei x 0 f (x 0 ) < 0(RK) Hochpunkt (Maximum) bei x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Terrassenpunkt Funktion f (x) = x x. Ableitungen f (x) = x =. Ableitungen f (x) = x f (x) = x = 0 x = 0 / + x = / : (x + )(x ) x = x = ± x = x = f () = < 0 HP(/) f () = > 0 TP(/ ) Interaktive Inhalte: hier klicken.. Graph der. Ableitung Funktion f (x) = x, 5x HP sms smf sms HT Funktion f (x) = 0,5x x smf smf sms TP HT HT TP HT TEP Ableitung f (x) = x.5 Ableitung f (x) = x,5x (x ) f (x) > 0 NST TP f (x) < 0 f (x) > 0 NST f (x) < 0 HP+NST NST f (x) > 0 f (x) < 0 sms - streng monoton steigend; smf - streng monoton fallend; VZW - Vorzeichenwechsel; NST - Nullstelle ; HP - Hochpunkt (Maximum); TP - Tiefpunkt (Minimum) ; HT - horizontale Tangente; TEP - Terrassenpunkt; VA - vertikale Asymptote; HA - horizontale Asymptote; LK - Linkskrümmung; RK - Rechtskrümmung; WP - Wendepunkt; 9

10 Analysis Differentialrechnung Funktion -. Ableitung f (x) Funktion f(x) Ableitung f (x) Extremwert NST f (x) = 0 HT NST f (x) = 0 HP NST und VZW von + nach TP NST und VZW von nach + TEP WP sms smf NST ohne VZW Extremwert f (x) > 0 (positiv) f (x) < 0 (negativ) VA VA f (x) = ± x x 0 HA HA (x) = 0 x ± f (x) = x, 5x f (x) = x.5 f (x) f (x) Extremwert: x = NST x = HP:x = VZW von + nach - x = WP: x = 0 Extremwert: x = 0 sms: x < f(x) > 0 x < Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph -... Ableitung - Krümmung - Wendepunkte f (x) = x x f (x) = x x LK RK WP(0/0) LK HT LK TEP(0/-) RK VZW - Vorzeichenwechsel; NST - Nullstelle ; HT - horizontale Tangente; TEP - Terrassenpunkt; VA - vertikale Asymptote; HA - horizontale Asymptote; LK - Linkskrümmung; RK - Rechtskrümmung; WP - Wendepunkt; Krümmung von f(x 0 ) an der Stelle x 0 Rechtskrümmung RK f (x) < 0 Linkskrümmung LK f (x) > 0 Das Krümmungsverhalten kann sich nur an den Nullstellen der. Ableitung und an den Rändern des Definitionbereichs (Definitionslücken) ändern. 0

11 Differentialrechnung Wendepunkte und das Krümmungsverhalten Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Zur Unterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. Wendepunkt (WP) Das Krümmungsverhalten ändert sich von rechtsgekrümmt (RK) nach linksgekrümmt (LK) oder von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt. Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus. x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + Graph LK WP RK Graph RK WP LK Flachpunkt (FP) Krümmungsverhalten ändert sich nicht Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 Graph LK FP LK Graph RK FP RK Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Funktion f (x) = x x f (x) = x. Ableitungen f (x) = x f (x) = x = 0 x = 0 x < 0 < x f (x) 0 + Graph RK WP LK WP(0/0) x ]0; [ f (x) > 0 LK x ] ; 0[ f (x) < 0 RK Funktion f (x) = x f (x) == x x (x ). Ableitungen f (x) = (x x + )x (x ) Zähler =0 x(x x + ) = 0 x = 0 x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x / = + ± Diskriminante negativ keine Lösung x 9 = 0; -fache Nullstelle Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x 0 = ; -fache Nullstelle x < 0 < x < < x f (x) Graph RK WP LK RK WP(0/ ) kein WP x = x ] ; 0[ ]; [ f (x) > 0 LK x ]0; [ f (x) < 0 RK Wendepunkte und die.ableitung Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) 0 Wendepunkt Funktion f (x) = x x. Ableitungen f (x) = x =. Ableitungen f (x) = x. Ableitungen f (x) = f (x) = x = 0 x = 0 f (0) = 0 Wp(0/0) (x + )(x ) Interaktive Inhalte: hier klicken

12 Analysis Differentialrechnung..5 Graph der. Ableitung f (x) = x x f (x) = x x LK RK WP(0/0) LK HT LK TEP(0/-) RK. Ableitung f (x) = x. Ableitung f (x) = x x +x (x ) f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) < 0 sms - streng monoton steigend; smf - streng monoton fallend; VZW - Vorzeichenwechsel; NST - Nullstelle ; HP - Hochpunkt (Maximum); TP - Tiefpunkt (Minimum) ; HT - horizontale Tangente; TEP - Terrassenpunkt; VA - vertikale Asymptote; HA - horizontale Asymptote; LK - Linkskrümmung; RK - Rechtskrümmung; WP - Wendepunkt; Funktion -. Ableitung f (x) Funktion f(x). Ableitung f (x) WP NST f (x) = 0 mit VZW LK f (x) > 0 RK f (x) < 0 TEP NST mit VZW VA VA HA HA Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph -

13 Differentialrechnung.. Ableitung der Grundfunktionen Polynomfunktion f (x) = x n f (x) = nx n Die Ableitungen bildet man durch:exponent vorziehen und vom Exponenten abziehen f (x) = x f (x) = f (x) = ax n f (x) = nax n f (x) = ax f (x) = a Konstanter Faktor a bleibt erhalten f (x) = a f (x) = 0 (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) Bei Summen wird jeder Summand einzeln abgeleitet f (x) = x 5 f (x) = 5x 5 = 5x f (x) = 8x 5 f (x) = 8 5x 5 = 0x f (x) = x f (x) = f (x) = 5 f (x) = 0 f 5 (x) = x 5 + x + x + f 5 (x) = 5x + x + f 5 (x) = 0x + x Exponentialfunktion Basis e f (x) = e x f (x) = e x f (x) = ae x f (x) = ae x f (x) = ae x + b f (x) = ae x f (x) = e x + f (x) = e x Logarithmusfunktion Basis e f (x) = ln x f (x) = x f (x) = a ln x f (x) = a x f (x) = a ln x + b f (x) = a x f (x) = ln x + 5 f (x) = x Exponentialfunktion allgemein f (x) = a x f (x) = a x ln a f (x) = x f (x) = x ln Logarithmusfunktion allgemein f (x) = log a x f (x) = x ln a f (x) = log x f (x) = x ln Trigonometrische Funktionen f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = tan x f (x) = cos x f (x) = x + sin x f (x) = x + cos x Interaktive Inhalte: hier klicken..7 Ableitungsregeln Ableiten von Summen und Differenzen (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) f (x) = x 5 + x + x + f (x) = 5x + x + f (x) = 0x + x f (x) = x + sin x f (x) = x + cos x

14 Differentialrechnung Ableiten mit konstantem Faktor (c f(x)) = c f (x) f (x) = 5e x + ln x f (x) = 5e x + x f (x) = 5 cos x + sin x f (x) = 5 sin x + cos x Kettenregel (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) äußere Funktion f() ableiten innere Funktion g(x) unabgeleitet abschreiben mit der Ableitung der inneren Funktion g(x) multiplizieren (nachdifferenzieren) f (x) = e x äußere Funktion: e (..) innnere Funktion: x f (x) = e x = e x f (x) = sin 5x äußere Funktion: sin(..) innnere Funktion: 5x f (x) = cos 5x 5 = 5 cos 5x f (x) = 5e x äußere Funktion: e innnere Funktion: x f (x) = 5e x 9x = 5x e x f (x) = (x x) 7 äußere Funktion: (...) 7 innnere Funktion: x x f (x) = 7(x x) (x ) = (x 7)(x x) Produktregel (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x). Faktor f(x) ableiten mal. Faktor g(x) unabgeleitet plus. Faktor f(x) unabgeleitet mal. Faktor g(x) abgeleitet f (x) = x e x f (x) = x e x + x e x f (x) = xe x ( + x) f (x) = (x x + ) e x f (x) = ( x ) e x + (x x + ) e x f (x) = e x (x + x x + ) f (x) = e x (x x ) Quotientenregel ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) Zähler f(x) ableiten mal Nenner g(x) unabgeleitet minus Zähler f(x) unabgeleitet mal Nenner g(x) abgeleitet durch Nenner g(x) im Quadrat f (x) = x f (x) = x (x ) x x (x ) f (x) = x (x x) x f (x) = x +x (x ) f (x) = x(x ) x f (x) = (x ) x f (x) = x + x

15 Differentialrechnung..8 Tangenten- und Normalengleichung Tangentengleichung Tangente an der Stelle x 0 : g(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) oder y 0 = f(x 0 ) m t = f (x 0 ) Geradengleichung: y = m x + t m t, x 0, y 0 einsetzen und nach t auflösen t = y 0 m t x 0 m t, t einsetzen y = m t x + t Funktion f (x) = x f (x) = x Tangente an der Stelle x 0 = f( ) = f ( ) = g(x) = f (x 0)(x x 0) + f(x 0) g(x) = f ( )(x ) + f( ) g(x) = (x ) + g(x) = x + g(x) = x Normalengleichung Normale an der Stelle x 0 : g(x) = f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ) oder y 0 = f(x 0 ) m t = f (x 0 ) Steigung der Normalen m n = m t Geradengleichung: y = m x + t m n, x 0, y 0 einsetzen und nach t auflösen Funktion f (x) = x f (x) = x Normale an der Stelle x 0 = f( ) = f ( ) = g(x) = f (x 0 (x x0) + f(x0) ) g(x) = (x ) + f( ) f ( ) g(x) = (x ) + g(x) = x + + g(x) = x + t = y 0 m n x 0 m n, t einsetzen y = m n x + t Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph - hier klicken 5

16 Differentialrechnung..9 Newtonsches Iterationsverfahren Nullstelle einer Funktion mit dem Newtonsches Iterationsverfahren x n+ = x n f(x n) f (x n ) Startwert x 0 wählen x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) x = x f(x ) f (x )... Funktion f (x) = x f (x) = x x n+ = x n f(xn) f (x n) Startwert: x 0 = f() = f () = x = f() f () x = x =, 5 f(, 5) = f (, 5) = x =, 5 f(, 5) f (, 5) x = x =, 05 f(, 05) = f (, 05) = x =, 05 x =, 05 x =, 00 f(, 05) f (, 05) Interaktive Inhalte: hier klicken

17 Integralrechnung. Integralrechnung.. Definition f (x) = 0, 5x +, 5x f (x) = x x A > 0 A > 0 A < 0 A < 0 Hauptsatz der Integralrechnung F (x) = f(x) Die Ableitung von F (x) ist f(x) F (x) ist Stammfunktion von f(x) Die Menge aller Stammfunktionen erhält man durch das Addieren einer Konstanten c. f (x) = ax n F (x) = n+ axn+ + c F (x) = x + F (x) = x F (x) ist Stammfunktion von f(x) = x F (x) = x + F (x) = x F (x) ist Stammfunktion von f(x) = x Die Menge aller Stammfunktionen von f(x) = x F (x) = x + c Unbestimmtes Integral F (x) = f (x) dx = F (x) + c Die Stammfunktion zu einer Funktion f(x) ist das unbestimmte Integral. f (x) = x F (x) = x dx = x+ + c F (x) = x + c F (x) = ( x + x + 5) dx = x + x + 5x + c 7

18 Integralrechnung Bestimmtes Integral Flächenbilanz A = b a f (x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a) A ist der Flächeninhalt unter einer Kurve der Funktion f(x) im Integrationsbereich von a bis b. Fläche oberhalb der x-achse A > 0 Fläche unterhalb der x-achse A < 0 Flächen unterhalb und oberhalb der x-achse Summe der Teilflächen Fläche zwischen dem Graphen und der x-achse - Nullstellen berechnen - Flächen zwischen den Nullstellen berechnen - Beträge der Flächen addieren Funktion f (x) = x + x Stammfunktion F (x) = x + x Fläche unterhalb der x-achse A < 0 0 ( A = x + ) [ x dx = x + ] 0 x = ( 0 + 0) ( () + ()) = (0) ( ) = Fläche oberhalb der x-achse A > 0 ( A = 0 x + ) [ x dx = x + ] x 0 = ( + ) ( 0 + 0) = ( ) (0) = Fläche unterhalb und oberhalb der x-achse Summe der Teilflächen (Flächenbilanz) ( A = x + ) [ x dx = x + ] x = ( + ) ( () + ()) = ( ) ( ) = A = A + A = ( ) + = f (x) = x x = x(x + )(x ) Nullstellen: x = x = 0 x = A = 0 ( x x ) dx = [ x x ] 0 = ( 0 0 ) ( () () ) = (0) () = A = 0 ( x x ) dx = [ x x ] ) = ( ) ( = () (0) = Fläche zwischen dem Graphen und der x-achse: A = A + A = + = 8 Integralfunktion F (x) = x k f (t) dt = [F (t)] x k = F (x) F (k) Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle. F (k) = 0 F (x) = x ( t + t ) dt = [ t + t ] x = ( x + x ) ( () + () ) = x + x F () = 0 Interaktive Inhalte: hier klicken hier klicken.. Integration der Grundfunktionen Polynomfunktion F (x) = x n dx = n+ xn+ + c Zum Exponenten addieren, durch den Exponenten dividieren F (x) = x dx = x + c F (x) = ax n dx = a n+ xn+ + c Konstanter Faktor a bleibt erhalten F (x) = a dx = ax + c f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x)dx Bei Summen wird jeder Summand einzeln integriert F (x) = dx = x + c F (x) = ( x + x + 5) dx = F (x) = x+ + x+ + 5x + c F (x) = x + x + 5x + c 8

19 Integralrechnung Exponentialfunktion Basis e F (x) = e x dx = e x + c F (x) = ae x dx = ae x + c F (x) = ae x + b dx = ae x + bx + c F (x) = e x + dx = e x + x + c Logarithmusfunktion Basis e F (x) = ln x dx = x ln x x + c F (x) = a ln x dx = a(x ln x x) + c F (x) = a ln x + b dx == a(x ln x x) + bx + c F (x) = 7 ln x + dx == 7(x ln x x) + x + c Rationale Funktion mit linearer Funktion im Nenner F (x) = x dx = ln x + c F (x) = F (x) = ax+b dx = a ln ax + b + c x+ dx = ln x + + c F (x) = dx = ln x + + c x+ Trigonometrische Funktionen F (x) = sin x dx = cos x + c F (x) = cos x dx = sin x + c Interaktive Inhalte: hier klicken.. Integrationsregeln Integration von Summen und Differenzen f(x)dx + g(x)dx = f(x) + g(x)dx Integration mit konstanten Faktor c f(x)dx = c f(x)dx Integration mit vertauschten Grenzen b f(x) dx = a a b f(x) dx Integrationsgrenzen zusammenfassen b f(x) dx + c f(x)dx = c a b a f(x) dx Ableitung des Nenners im Zähler f (x) f(x) dx = ln f(x) + c x x x +5 dx = ln x + c x +5x dx = ln x + 5x + c 9

20 Analysis Integralrechnung Innere Funktion ist abgeleiteter Faktor g (x)f(g(x)) dx = F (x) + c x(x ) dx = 5 (x ) 5 + c xe x dx = e x + c x sin(x ) dx = cos(x ) + c (x x)e x x dx = e x x + c Innere Funktion ist eine lineare Funktion f(ax + b) dx = a F (x) + c (x ) dx = (x 5 )5 + c = (x 0 )5 + c e x dx = ex + c cos(x ) dx = sin(x ) + c dx = ln 5x + + c 5x+ 5.. Graph der Stammfunktion Funktion f (x) = x.5 Funktion f (x) = x,5x (x ) f(x) > 0 f(x) > 0 NST NST TP f(x) < 0 f(x) < 0 HP+NST NST f(x) > 0 f(x) < 0 Stammfunktion F (x) = x, 5x + c HT HP sms smf sms NST NST F 0(x) = F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x x, 5x + TP TP HT Stammfunktion F (x) = 0,5x x + c HT smf smf sms TP TEP F (x) = 0,5x x F (x) = 0,5x F 0(x) = 0,5x x + x F (x) = 0,5x x sms - streng monoton steigend; smf - streng monoton fallend; VZW - Vorzeichenwechsel; NST - Nullstelle ; HP - Hochpunkt (Maximum); TP - Tiefpunkt (Minimum) ; HT - horizontale Tangente; TEP - Terrassenpunkt; VA - vertikale Asymptote; HA - horizontale Asymptote; LK - Linkskrümmung; RK - Rechtskrümmung; WP - Wendepunkt; HT 0

21 Integralrechnung Zu jeder Funktion f(x) gibt es eine Menge von Stammfunktionen F(x), die um c in y-richtung verschoben sind. Funktion f(x) NST f(x) = 0 VZW von + nach VZW von nach + NST ohne VZW Extremwert f(x) > 0 (positiv) f(x) < 0 (negativ) Stammfunktion F (x) Extremwert (HT) HP TP TEP WP sms smf f (x) = x.5 F (x) = x.5 dx = x.5x + c F (x) = x, 5x + F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x F 0(x) = x, 5x f (x) F (x) NST x = Extremwert: x = VZW von + nach - x = HP:x = Extremwert: x = 0 WP: x = 0 f(x) > 0 x < sms: x < Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph -

22 Kurvendiskussion. Kurvendiskussion.. Ganzrationale Funktion f (x) =, 5 x + 5 x f (x) = (x ) f (x) = x + x + f (x) = 0, x(x + )(x ) f 5(x) = 0, 0(x + ) (x ) f (x) = (x + ) f 7(x) = 0, 05(x )(x ) f 8(x) = x (x ) Formen der Polynomfunktion - ganzrationalen Funktion Summendarstellung der Polynomfunktion f(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 oder f(x) = ax n + bx n + cx n... Die höchste Potenz (n) gibt den Grad der Polynomfunktion an. Produktdarstellung (faktorisierte Form) der Polynomfunktion Ist der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der (reellen)nullstellen, kann man die Funktion in faktorisierter Form schreiben. f(x) = a(x x )(x x )(x x )... Nullstellen: x, x, x... Linearfaktoren: (x x ), (x x )... a=koeffizient der höchsten Potenz Grad : Lineare Funktion f(x) = ax + b Grad : Quadratische Funktion f(x) = ax + bx + c f(x) = a(x x )(x x ) Grad : Kubische Funktion f(x) = ax + bx + cx + d f(x) = a(x x )(x x )(x x ) Grad : Biquadratische Funktionen f(x) = ax + bx + cx + dx + e f(x) = a(x x )(x x )(x x )(x x ) Grad 5: f(x) = ax 5 + bx + cx + dx + ex + f f(x) = a(x x )(x x )(x x )(x x )(x x 5 ) Summen- in Produktdarstellung f (x) = x + 5x = x(x ) f (x) = x + x + = (x + ) (x ) f (x) = 0 x x = 0 5 x( 0 x ) = 0 5 x = 0 0 x = 0 5 x = x = Grad der Funktion = Anzahl der Nullstellen = Faktorisierte Form: f (x) = 0, x(x + )(x ) f 7(x) = 0 x x + = 0 5 u = x u = x 0 u u + = 0 5 u / = + ± ( ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x = x = Faktorisierte Form: f 7 (x) = (x + )(x )(x + )(x ) 0 Produkt- in Summendarstellung f (x) = (x )(x )(x ) = (x ) f (x) = x x x 8 f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) = 0, x x 5 f (x) = (x + ) = x + x + x + x + f 7(x) = 0, 05(x )(x ) = 0, 05x x + 5 f 8(x) = x (x ) = x x

23 Kurvendiskussion Definitions- und Wertebereich Definitionsbereich D = R Wertebereich - höchster Exponent ungerade: W = R - höchster Exponent gerade: W = [absoluter Tiefpunkt; [ W =] ;absoluter Hochpunkt] f (x) = x + 5x absoluter Hochpunkt: (/5) höchster Exponent (gerade) D = R W =], 5[ f (x) = x + x + höchster Exponent (ungerade Zahl) D = R W = R f 5 (x) = 0, x x D = R W = R 5 f 7(x) = 0, 05x x + 5 absoluter Tiefpunkt aus der Kurvendiskussion D = R W = [, [ 5 Symmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung: f ( x) = f (x) f (x) hat nur ungerade Exponenten Achsensymmetrie zur y-achse: f ( x) = f (x) f (x) hat nur gerade Exponenten f ( x) = ( x) + 5 ( x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung f ( x) = ( x) + ( x) + keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung f (x) = 0, x x 5 f ( x) = 0, ( x) ( x) 5 f ( x) = ( 0, x x) 5 f ( x) = f (x) Symmetrie zum Ursprung f 7(x) = 0, 05x x + 5 f 7 ( x) = 0 ( x) ( x) + 5 f 7 ( x) = 0 x x + 5 f 7 ( x) = f (x) Symmetrie zur y-achse

24 Kurvendiskussion Schnittpunkte mit der x-achse - Nullstellen Funktionsterm gleich Null setzen und die Gleichung lösen. ( siehe Algebra-Gleichungen) f (x) = 0 ax n + bx n + cx n... = 0 höchster Exponent ungerade Anzahl der Nullstellen Grad des Polynoms höchster Exponent gerade 0 Anzahl der Nullstellen Grad des Polynoms Faktorisierte Polynomfunktion Nullstellen aus faktorisierten Polynom ablesen. a(x x )(x x )(x x )... = 0 Nullstellen: x, x, x... Nullstellen aus faktorisierten Polynom ablesen. f (x) = (x ) x = -fache Nullstelle f 5(x) = 0, 0(x + ) (x ) x = -fache Nullstelle x = -fache Nullstelle Funktionsterm gleich Null setzen. f (x) = x + 5x = 0 x( x + 5) = 0 x = 0 x + 5 = 0 x + 5 = 0 x = x = 0 x = Faktorisierte Form: f (x) = x(x ) f (x) = x + x + = 0 Nullstelle für Polynmomdivision erraten:x = ( x +x + ) : (x + ) = x + x + ( x x ) x +x + (x +x) x + (x +) 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) x = x = ( ) Faktorisierte Form: f (x) = (x + ) (x ) f (x) = 0 x x = 0 5 x( 0 x ) = 0 5 x = 0 x = x = 0 x = 0 5 Grad der Funktion = Anzahl der Nullstellen = Faktorisierte Form: f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) f 7(x) = 0 x x + = 0 5 u = x u = x 0 u u + = 0 5 u / = + ± ( ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x = x = Faktorisierte Form: f 7 (x) = (x + )(x )(x + )(x ) 0

25 Kurvendiskussion Graph oberhalb/unterhalb der x-achse Bei ganzrationalen Funktionen kann sich das Vorzeichen nur an den Nullstellen ändern. Einen beliebigen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen des Funktionswerts in die Tabelle eintragen. Vorzeichentabelle mit f(x) x < x < x f(x) + 0 Graph oberhalb 0 unterhalb + f(x)>0 Graph oberhalb der x-achse - f(x)<0 Graph unterhalb der x-achse f (x) = x + 5x x < 0 < x < < x f(x) x ]0; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse f (x) = x + x + x < < x < < x f(x) x ] ; [ ] ; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ]; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Faktorisierte Form: f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) Nullstellen:x = 0 x = x = 5 < f 5( 5) =, 5 x < < x < 0 < x < < x f(x) x ] ; 0[ ]; [ f(x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]0; [ f(x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwert - Verhalten im Unendlichen f(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 f(x) = ± f(x) = ± x Das Vorzeichen des Glieds mit der höchsten Potenz und der Grad des Polynoms bestimmen das Vorzeichen des Grenzwerts. Grenzwert gegen plus Unendlich a n Grad Grenzwert + gerade an n = + ungerade an n = - gerade an n = - ungerade an n = Grenzwert gegen minus Unendlich a n Grad Grenzwert + gerade x an ( )n = + ungerade x an ( )n = - gerade x an ( )n = - ungerade x an ( )n = f (x) = x + 5x Glied mit der höchsten Potenz: x f (x) = [ ] = x f (x) = [ ( ) ] = f (x) = x + x + Glied mit der höchsten Potenz: x f (x) = [ ] = x f (x) = [ ( ) ] = 5

26 Kurvendiskussion Ableitung f(x) = a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 Die Ableitungen bildet man durch: Exponent vorziehen und vom Exponenten abziehen. Die erste Ableitung f (x) gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an. Die zweite Ableitung f (x) gibt die Krümmung der Funktion an der Stelle x an. f (x) = x + 5x = x(x ) f (x) = x + 5 f (x) = f (x) = 0 f (x) = x + x + = (x + ) (x ) f (x) = x + = (x + )(x ) f (x) = x = x f (x) = f (x) = a n n x n +a n (n ) x n...+a x +a f (x) = ax n f (x) = nax n Grad : Lineare Funktion f(x) = ax + b f (x) = a Grad : Quadratische Funktion f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b Grad : Kubische Funktion f(x) = ax + bx + cx + d f (x) = ax + bx + c Grad : Biquadratische Funktionen f(x) = ax + bx + cx + dx + e f (x) = ax + bx + cx + d Extremwerte und die.ableitung In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) > 0(LK) Tiefpunkt (Minimum) bei x 0 f (x 0 ) < 0(RK) Hochpunkt (Maximum) bei x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Terrassenpunkt f (x) = x + 5 = 0 x + 5 = 0 / 5 x = 5 / : ( ) x = 5 x = f () < 0 Hochpunkt: (/5) f (x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = ± x = x = f ( ) = > 0 Tiefpunkt: ( /0) f () = f () < 0 Hochpunkt: (/)

27 Kurvendiskussion Extremwerte und das Monotonieverhalten Extremwerte sind Hochpunkte (Maxima) bzw. Tiefpunkte (Minima) der Funktion. In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Zur Unterscheidung werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Hochpunkt (HP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton steigend (sms) nach streng monoton fallend (smf). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus. x < x < x f (x) + 0 Graph sms HP smf Tiefpunkt (TP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton fallend (smf) nach streng monoton steigend (sms). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Minus nach Plus. x < x < x f (x) 0 + Graph smf TP sms f (x) = x + 5 x < < x f (x) + 0 streng monoton steigend x ] ; [ f (x) > 0 streng monoton fallend x ]; [ f (x) < 0 f (x) = x + x < < x < < x f (x) streng monoton steigend x ] ; [ f (x) > 0 streng monoton fallend x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 Terrassenpunkt (TEP) Monotonoieverhalten ändert sich nicht. Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung. x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 Graph sms TEP sms Graph smf TEP smf Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Wendepunkte und.ableitung Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) 0 Wendepunkt f (x) = 0 kein Wendepunkt f (x) = x = 0 x = 0 f (0) = f (0) 0 Wendepunkt: (0/) 7

28 Kurvendiskussion Wendepunkte und das Krümmungsverhalten Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Zur Unterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. Wendepunkt (WP) Das Krümmungsverhalten ändert sich von rechtsgekrümmt (RK) nach linksgekrümmt (LK) oder von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt. Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus. x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + Graph LK WP RK Graph RK WP LK Flachpunkt (FP) Krümmungsverhalten ändert sich nicht Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 Graph LK FP LK Graph RK FP RK Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. f (x) = x x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 linksgekrümmt x ]0; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Stammfunktion von f(x) Stammfunktionen bildet man durch: zum Exponent addieren, durch den Exponenten dividieren. f (x) = ax n F (x) = n+ axn+ + c Unbestimmtes Integral: F (x) = f (x) dx = F (x) + c F (x) = ( x + 5x)dx = 5 x + x + c F (x) = ( x + x + ) dx = x + x + x + c Bestimmtes Integral A = x x f (x) dx = [F (x)] x x = F (x ) F (x ) A = ( 0 x + 5x ) dx = [ 5 x + x] 0 = ( 5 + ) ( ) = ( ) (0) = A = ( x + x + ) dx = [ x + x + x ] = ( + + ) ( ( ) + ( ) + ( ) ) = () ( ) = Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph - Kurvendiskussion - 8

29 Kurvendiskussion.. Gebrochenrationale Funktion f (x) = x + x = x = f (x) = x +x+ x f (x) = x x x =, 5 y = 0 y = x = y = x + Formen der gebrochenrationalen Funktion Summendarstellung der gebrochenrationale Funktion f(x) = Z(x) N(x) = a nx n + a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 b m x m + b m x m + b m x m... + b x + b x + b 0 Zählerpolynom vom Grad n Z(x) = a n x n +a n x n +a n x n...+a x +a x +a 0 Nennerpolynom vom Grad m: N(x) = b m x m + b m x m + b m x m... + b x + b x + b 0 f (x) = x + x + x Zählerpolynom:Z(x) = x + x + Zählergrad: Nennerpolynom:N(x) = x Nennergrad: Faktorisierte Form: f (x) = (x+) (x+)(x) f (x) = x x Funktion nach der Polynomdivision: f (x) = x + + x Produktdarstellung (faktorisierte Form) der gebrochenrationale Funktion f(x) = a (x z )(x z )(x z )... (x n )(x n )(x n )... z, z, z... Nullstellen des Zählers n, n, n... Nullstellen des Nenners Definitions- und Wertebereich Definitionsbereich: Nullstellen des Nennerpolynoms ausschließen. Nennerpolynom: N(x) = 0 n, n, n... Nullstellen des Nenners (Definitionslücken) D = R \ {n 0, n, n..} (siehe Algebra - Gleichungen) Wertebereich: Bestimmung nur nach Kurvendiskussion möglich. f (x) = (x + ) D = R \ {} f (x) = x + x + x Nenner Null setzen x = 0 x = 0 / + x = ± x = x = D = R \ {; } Symmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung: f ( x) = f (x) Achsensymmetrie zur y-achse: f ( x) = f (x) 9

30 Kurvendiskussion Schnittpunkte mit der x-achse - Nullstellen Zählerpolynom gleich Null setzen. Zählerpolynom: Z(x) = 0 z, z, z... Nullstellen des Zählers (siehe Algebra - Gleichungen) f (x) = x + x + x Zählerpolynom gleich Null setzen: x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Verhalten im Unendlichen - Grenzwert - Asymptoten Zählergrad>Nennergrad f(x) = ± x f(x) = ± Das Vorzeichen der Glieder mit der höchsten Potenzen und der Grad der höchsten Exponenten, bestimmen das Vorzeichen des Grenzwerts. Grenzwert gegen plus Unendlich a n b m ( )n ( ) = ± m Grenzwert gegen minus Unendlich a n x b m ( )n ( ) = ± m Zählergrad=Nennergrad+ x ± f (x) = ± Polynomdivision - schiefe Asymptote Zählergrad=Nennergrad f (x) = a n x ± b m horizontale Asymptote y = a n b m Zählergrad<Nennergrad f (x) = 0 x ± horizontale Asymptote y = 0 Zählergrad < Nennergrad x ± x + = 0 Horizontale Asymptote: y = 0 Zählergrad = Nennergrad x + x + = x = Horizontale Asymptote: y = x ± Zählergrad = Nennergrad+ f (x) = x x ( ) = ( ) x oder ( ) = ( ) x ( x ) x( = x ) x x ( x ) = x( x ) P olynomdivision : (x ) : (x ) = x + (x x) x ( x ) f (x) = x + + x Schiefe Asymptote: y = x + 0

31 Kurvendiskussion Verhalten an den Definitionslücken - Grenzwert - Asymptoten D = R \ {x 0, x..} x 0, x.. sind Definitionslücken von f(x) f(x) = x x 0 Vertikale Asymptote: x = x 0 x + (x + ) = x (x + ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = Vertikale Asymptote (Polstelle): x = Ableitung Die Ableitungen bildet man durch die Quotientenregel, f (x) = Z (x) N(x) Z(x) N (x) (N(x)) Die erste Ableitung f (x) gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an. Die zweite Ableitung f (x) gibt die Krümmung der Funktion an der Stelle x an. f (x) = 0 (x+) (x+) = 0 (x+) = (x+) = (x+) f (x) = 0 (x +x+) ( ) (x+) (x +x+) = 0 (x) (x +x+) x+ = (x +x+) x+ (x +x+) = (x + ) = (x + ) = (x + ) f (x) = x +x+ x f (x) = (x+) (x ) (x +x+) x (x ) = (x +x 8x 8) (x +x +x) (x ) = x 0x 8 (x ) Extremwerte und die. Ableitung In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) > 0(LK) Tiefpunkt (Minimum) bei x 0 f (x 0 ) < 0(RK) Hochpunkt (Maximum) bei x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 Terrassenpunkt f (x) = x 0x 8 x 8x + = 0 x 0x 8 = 0 x / = +0 ± ( 0) () ( 8) () x / = +0 ± x / = 0 ± x = 0 + x = 0 x = x = f () = > 0 Tiefpunkt: (/ ) f ( ) = f ( ) < 0 Hochpunkt: ( /0)

32 Kurvendiskussion Extremwerte und das Monotonieverhalten Extremwerte sind Hochpunkte (Maxima) bzw. Tiefpunkte (Minima) der Funktion. In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente (HT). f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). In diesen Nullstellen (x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt) besitzen. Zur Unterscheidung werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Hochpunkt (HP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton steigend (sms) nach streng monoton fallend (smf). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus. x < x < x f (x) + 0 Graph sms HP smf Tiefpunkt (TP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton fallend (smf) nach streng monoton steigend (sms). Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Minus nach Plus. x < x < x f (x) 0 + Graph smf TP sms (x+) f (x) = Zaehler = 0 keine Lösung Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [f (x) < 0 smf Terrassenpunkt (TEP) Monotonoieverhalten ändert sich nicht. Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung. x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 Graph sms TEP sms Graph smf TEP smf Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Wendepunkt und die.ableitung Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung (Hinreichende Bedingung) f (x 0 ) 0 Wendepunkt

33 Kurvendiskussion Wendepunkte und das Krümmungsverhalten Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f (x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen (x 0, x..). Zur Unterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung) Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f (x) in die Tabelle eintragen. Wendepunkt (WP) Das Krümmungsverhalten ändert sich von rechtsgekrümmt (RK) nach linksgekrümmt (LK) oder von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt. Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung f (x) von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus. x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + Graph LK WP RK Graph RK WP LK Flachpunkt (FP) Krümmungsverhalten ändert sich nicht Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der.ableitung x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 Graph LK FP LK Graph RK FP RK Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Kruemmung f (x) = (x + ) Zaehler = 0 keine Lösung Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen x = ; -fache Nullstelle x < < x f (x) 0 + x ] ; [ f (x) > 0 linksgekrümmt x ] ; [ f (x) < 0 rechtsgekrümmt Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph - Kurvendiskussion -.. Exponentialfunktion (Basis e) y = y = 0 y = y = y = 0 f (x) = e x f (x) = e x+ f (x) = e x + f (x) = e x f 5(x) = e x + Formen der Exponentialfunktion Exponentialfunktion f(x) = e x Allgemeine Exponentialfunktion f(x) = ae b(x c) + d (siehe Funktionen - Exponentialfunktion) f (x) = e x+ f (x) = e x f 5(x) = e x +

34 Kurvendiskussion Definitions- und Wertebereich f(x) = e x D = R W = R + f(x) = ae b(x c) + d D = R a > 0 W = [d; [ a < 0 W =] ; d] f (x) = e x+ D = R W = [; [ f (x) = e x D = R R + f 5(x) = e x + D = R W =] ; ] Schnittpunkte mit der x-achse - Nullstellen f(x) = e x f(x) = ae (b(x c)) + d ae b(x c) + d = 0 ae b(x c) = d e b(x c) = d a d a > 0 b(x c) = ln x = ln ( ) d a b d a e x > 0 keine Nullstellen / : a / ln ( ) d a + c / d 0 keine Nullstellen / : b / + c f (x) = e x+ e (x+) = 0 e (x+) = 0 / + e (x+) = + / : e (x+) = / ln x + = ln () / x = f (x) = e x + e x + = 0 / e x = < 0 keine Nullstellen Grenzwert - Asymptoten f(x) = e x ex = + x ex = 0 horizontale Asymptote y=0 f(x) = ae b(x c) + d aeb(x c) + d Schrittweise Berechnung für b > 0 und a > 0: b( c) = e = a +d = b( c) = x x e = 0 a 0 + d = d HA: y = d a b Grenzwert + Asymptote + + aeb(x c) + d = keine - + aeb(x c) + d = keine + - aeb(x c) + d = d y = d - - aeb(x c) + d = d y = d a b Grenzwert Asymptote + + x aeb(x c) + d = d - + x aeb(x c) + d = d + - x aeb(x c) + d = - - x aeb(x c) + d = y = d y = d keine keine f (x) = e x+ ex+ + = ex+ = x ex+ e = x 0 = x ex+ = ( + ) = HA : y = f (x) = e x e x = 0 HA : y = 0 x e x = + f 5(x) = e x + e x + = HA : y = x e x + = + = x e = 0 Ableitung f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x Ableitung mit der Kettenregel f (x) = e bx f (x) = be bx f (x) = b e bx f (x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) f (x) = a b e b(x c) f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f 5(x) = e x + f 5(x) = e x f (x) = e x + f (x) = e x f (x) = e x

35 Kurvendiskussion Monotonieverhalten f (x) = e x f (x) = e x e x > 0 streng monoton steigend f(x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) e b(x c) > 0 a b > 0 streng monoton steigend (sms) a b < 0 streng monoton fallend (smf) a b Monotonieverhalten + + sms - + smf + - smf - - sms f (x) = e x+ > 0 sms f (x) = e x < 0 smf f 5(x) = e x > 0 sms f (x) = e x > 0 sms Ableitung f (x) = e x f (x) = e x Ableitung mit Kettenregel f (x) = e ax f (x) = ae ax f (x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x f (x) = e x f 5(x) = e x + f 5(x) = e x Krümmungsverhalten f (x) = e x f (x) = e x e x > 0 linksgekrümmt (LK) f(x) = ae b(x c) + d f (x) = a b e b(x c) e b(x c) > 0 a > 0 linksgekrümmt (LK) a < 0 rechtsgekrümmt (RK) f f f (x) = e x+ > 0 LK (x) = e x > 0 LK 5 (x) = e x < 0 RK f (x) = e x > 0 LK Stammfunktion von f(x) - unbestimmtes Integral f (x) = e x F (x) = e x + k f (x) = ae b(x c) F (x) = a b eb(x c) + k f (x) = e x+ F (x) = e x+ x + c f (x) = e x F (x) = e x + c f 5(x) = e x + F 5(x) = e x + x + c f (x) = e x + F (x) = e x + x + c = e x + x + c Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph - 5

36 Kurvendiskussion.. Logarithmusfunktion (Basis e) x = x = 0 x = 0 x = f (x) = ln(x) f (x) = ln(x) + f (x) = ln(x + ) + f (x) = ln( x) + f 5(x) = ln(x ) + f (x) = 0, 5 ln(x + ) Formen der Logarithmusfunktion Logarithmusfunktion f(x) = ln x Allgemeine Logarithmusfunktion f(x) = a ln(b(x c)) + d (siehe Funktionen - Logarithmusfunktion) f (x) = ln(x) f (x) = ln(x) + f (x) = ln(x + ) + f (x) = ln( x) + f 5(x) = ln(x ) + f (x) = 0, 5 ln(x + ) Definitions- und Wertebereich f(x) = ln x W = R D = R + f(x) = a ln b(x c) + d W = R Definitionsbereich: bx c > 0 b > 0 D =]c; [ b < 0 D =] ; c[ f (x) = ln(x) D = R + f (x) = ln(x) + D = R + f (x) = ln(x + ) + D =] ; [ f (x) = ln( x) + D = R f 5(x) = ln(x ) + D =]; [ f (x) = 0, 5 ln(x + ) D =] ; [ Schnittpunkte mit der x-achse - Nullstellen f(x) = ln(x) ln(x) = 0 /e x = e 0 x = f(x) = a ln(b(x c)) + d a ln(b(x c)) + d = 0 / d a ln(b(x c)) = d / : a ln(b(x c)) = d /e a b(x c) = e ( d a ) / : b / + c d e( a ) x = + c b f (x) = ln(x + ) + ln (x + ) + = 0 ln (x + ) + = 0 / ln (x + ) = /e.. x + = e / x = e x =, 95 f (x) = 0, 5 ln(x + ) ln (x + ) = 0 ln (x + ) = 0 / + ln (x + ) = + / : ln (x + ) = /e.. x + = e / x = e x =, 98

37 Kurvendiskussion Grenzwert - Asymptoten f(x) = ln(x) ln(x) = vertikale Asymptote: x = 0 x 0 + ln(x) = f(x) = a ln(b(x c)) + d Schrittweise Berechnung für b > 0 und a > 0: b( c) = ln = b(c+ c) = 0 + ln 0+ = x c + x 0 + a ( ) + d = VA: x = c + x 0 a b Grenzwert ± Asymptote keine + + a ln b(x c) + d = - + a ln b(x c) + d = + - a ln b(x c) + d = x - - a ln b(x c) + d = x a + d = a b Grenzwert c Asymptote x + + a ln b(x c) + d = x c a ln b(x c) + d = x c a ln b(x c) + d = x c - - a ln b(x c) + d = x c = c = c = c = c f 5(x) = ln(x ) + D =]; [ ln(x ) + = ln = ln(x ) + = ln(x ) + x + ) = 0 + x +(+ ( ) = x + ln 0+ = x + ln(x ) + = V A : x = x + f (x) = ln( x) + D = R ln( x) + = x ln( x) + = V A : x = 0 x 0 + = Ableitung f (x) = ln(x) f (x) = x = x f (x) = x = x Ketten- und Quotientenregel : f (x) = ln bx f (x) = x = x f (x) = b bx = x f (x) = a ln(b(x c)) + d f (x) = a b b(x c) f a b (x) = (b(x c)) f (x) = ln(x) + f (x) = x = x f (x) = x = x f (x) = ln(x + ) + f (x) = = (x + ) x + f (x) = (x + ) = (x + ) f (x) = ln( x) + f (x) = x = x f (x) = x = x f 5(x) = ln(x ) + f 5 (x) = = (x ) (x ) f 5 (x) = (x ) = (x ) Monotonieverhalten f (x) = ln(x) f (x) = x = x streng monoton steigend D = R+ x f (x) = a ln(b(x c)) + d f (x) = a b b(x c) b(x c) > 0 a b Monotonieverhalten + + sms - + smf + - smf - - sms f (x) = x > 0 sms f (x) = x + > 0 sms f 5 (x) = (x ) < 0 smf 7

38 Kurvendiskussion Krümmungsverhalten f (x) = ln(x) x f (x) = x = x < 0 rechtsgekrümmt (RK) f (x) = a ln(b(x c)) + d f (x) = (b(x c)) > 0 a > 0 rechtsgekrümmt (RK) a < 0 linkssgekrümmt (LK) a b (b(x c)) f (x) = x = x < 0 RK f (x) = (x + ) = (x + ) < 0 RK f 5 (x) = (x ) = (x ) > 0 LK Stammfunktion von f(x) - unbestimmtes Integral f (x) = ln(x) F (x) = x ln(x) x + c Interaktive Inhalte: Graph (JS) - Graph - 8