2 x = 4. f(x) = ± f(x) = 1. x = x 0. (x 4) (x + 2)(x 4) x 4 + f(x) 1 6. x 2 + (x + 2)(x 4) = 3, , (x 4) (x + 2)(x 4) =
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- Pia Sophia Hochberg
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3 (x ) f (x) = (x + )(x ) f (x) = (x ) + f (x) = e x + x = x = y = 0 y = x = f(x) = a f(x) = a x x 0 x x < 0 f(x) = a f(x) = a x x + 0 x x > 0 = f(x) = f(x) = a x x 0 x x + 0 f(x) = a x x 0 f(x) = ± x x 0 f(x) = ± x x + 0 x = x 0 (x ) f (x) = D = R \ {; } (x + )(x ) x f(x), 99 0, 95, 999 0, 9, , 9, , 7 (x ) x (x + )(x ) = x (x + ) = x + f(x), 0 0, 89, 00 0, 9, 000 0,, , (x ) x + (x + )(x ) = x + (x + ) = f(x) = x x f(x) (x ), 0 00 x, (x + )(x ) =, x, , (x + ) = x + f(x), 99 00, , , , (x ) x + (x + )(x ) = x + (x + ) = (x ) + = x + x =
4 f(x) = a x ± y = a f(x) = ± x ± f (x) = x x f(x) x f(x) x = [ ] = x = [ ( ) ] = (x ) f (x) = (x + )(x ) D = R \ {; } x f(x) 0 x f(x) 0 0 0, , , , , , , , , , 0000 f (x) = (x ) (x + )(x ) = x x x = x( x ) x ( x 8 x ) x ± x( x ) x ( x 8 = x ) x ± y = 0 f (x) = (x ) + (x ) + = f (x) = e x + ex + = x ex + = y = x x = x ± x = 0 { x, x f (x) = x, x > { x, x f (x) = x, x > (x ) f (x) = (x + )(x ) x =
5 x 0 = = f(x) = f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x + 0 x 0 = f(x) = f(x) x x 0 x x + 0 { x, x f (x) = x, x > x = x x = x + f () = = = = { x 0 = x, x f (x) = x, x > x = x x = x + f () = = x 0 = f (x) = (x ) (x + )(x ) = (x + ) f (x) x + (x + ) = x (x + ) = RGW = LGW x 0 = f (x) f (x) = D = R \ {} (x + ) D = R \ {; } a x = 0 x 0 a x = ex = x = x 0 + a x 0 x = a x = 0 x ex = 0 x = x = 0 x 0 7 x = ex = x = x x 0 x = x = 0 x ex = 0 x = f(x) = f g(x) = g x x 0 x x 0 (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = f + g x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = f g x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = f g x x 0 x x 0 x x 0 f(x) g(x) 0 x x 0 g(x) = f(x) x x 0 g(x) = f x x 0 g x ± x x( x 8 x ) = 0 x ± x = 0 8 x ± x = 0 0 = x ± x ± x = 0 = 0 x( 0 0) = x ±
6 f(x) g(x) = 0 0 f(x) g(x) = ± ± f(x) g(x) = f (x) g (x) = f (x) g (x)... f(x) g(x) = 0 ± (f(x) g(x)) = 0 0 x x 0 x = x = 0 = x 0 x e = x x e = x e = x = 0 0 x x e x = e = x e = 0 x x x x x = x 0 + x 0 + = x 0 x + = x = 0 x x x = x(x ) = ( x 0 x ) x = = x x 0 x x n e x = 0 x n x = e x x n = x x n = 0 x 5 e x = 0 x x = e x x = x x = 0
7 f(x) = x P P y x f(x) = x P (x; f(x)) x y P (x 0 ; f(x 0 )) P (x; f(x)) x 0 m = y x = f(x) f(x 0) x x 0 x = h x = x 0 + h m = f(x 0 + h) f(x 0 ) h m f (x 0 ) f(x) = x P (0.5; 0, 5) P (, 5;, 5) f(x) f(x0) m = x x 0, 5 0, 5 m =, 5 0, 5 = x 0 = 0, 5 h = f(x0 + h) f(x0) m = h f(0, 5 + ) f(0, 5) m =.5 0, 5 m = = x 0 = 0, 5 h = 0, 00 f(x0 + h) f(x0) m = h f(0, 5 + 0, 00) f(0, 5) m = 0, 00 0, 500 0, 5 m = =, 00 0, 00 m f (0, 5) = f(x) f(x) x 0 f f(x) f(x 0 ) (x) = x x 0 x x 0 x = x 0 + h f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x) = h 0 h f(x) x f f(x + h) f(x) (x) = h 0 h f(x) = x x 0 = 0, 5 f (0, 5 + h) 0, 5 () = h 0 h f 0, 5 + h + h 0, 5 () = h 0 h f h( + h) () = h 0 h f () = + h = h 0 f(x) = x x f (x) = h 0 (x + h) x h f x + hx + h x (x) = h 0 h f h(x+h) (x) = h 0 h f (x) = x f (0, 5) = = h 0 x + h = x
8 x 0 f (x) = x + x + x f (x) = x + x + f (x) = x + f (x) = x x f (x) = x x f(x 0 ) x 0 m = f (x 0 ) f (x) = x x f (x) = x = x = m = f () = 7 8 x = f () = 8 (x + )(x ) x 0 f(x 0 ) f (x) = m f (x) = 0 f (x) = x x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x =
9 f (x) 0 f (x) > 0 f (x) 0 f (x) < 0 x = m = f () = 7 8 > 0 x = f () = 8 < 0 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x f (x) + 0 f (x) x < x < x f (x) 0 + x < x < x f (x) x < x < x f (x) 0 f (x) = x x f (x) = x = (x + )(x ) f (x) = x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = f (x) x < < x < < x f (x) Graph sms HP smf T P sms (/) (/ ) x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 x ] ; [ f (x) < 0 f (x) = x x f (x) = x (x ) x (x ) = ( x x ) x (x ) = x x (x ) = 0 x (x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0 / + x = x 0 = 0; x = ; x = f (x) x < 0 < x < < x < < x smf T EP smf smf HP sms (0/0) ( / ) 8 x ] ; 0[ ]0; [ ] ; [ f (x) < 0 x ] ; [ f (x) > 0
10 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) > 0(LK) x 0 f (x 0 ) < 0(RK) x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 f (x) = x x f (x) = x = f (x) = x f (x) = x = 0 x = 0 / + x = / : (x + )(x ) x = x = ± x = x = f () = < 0 (/) f () = > 0 (/ ) f (x) = x, 5x f (x) = 0,5x x f (x) = x.5 f (x) = x,5x (x ) f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) < 0
11 f(x) f (x) f (x) = 0 f (x) = f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = ± x x 0 (x) = 0 x ± f (x) = x, 5x f (x) = x.5 f (x) f (x) x = x = x = x = x = 0 x = 0 x < f(x) > 0 x < f (x) = x x f (x) = x x f(x 0 ) x 0 f (x) < 0 f (x) > 0
12 f (x) = 0 x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 f (x) = x x f (x) = x f (x) = x f (x) = x = 0 x = 0 x < 0 < x f (x) 0 + (0/0) x ]0; [ f (x) > 0 x ] ; 0[ f (x) < 0 f (x) = x f (x) == x x (x ) f (x) = (x x + )x (x ) x(x x + ) = 0 x = 0 x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x / = + ± x 9 = 0; x 0 = ; x < 0 < x < < x f (x) (0/ ) x = x ] ; 0[ ]; [ f (x) > 0 x ]0; [ f (x) < 0 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) 0 f (x) = x x f (x) = x = f (x) = x f (x) = f (x) = x = 0 x = 0 f (0) = 0 (0/0) (x + )(x )
13 f (x) = x x f (x) = x x f (x) = x f (x) = x x +x (x ) f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) < 0 f(x) f (x) f (x) = 0 f (x) > 0 f (x) < 0
14 f (x) = x n f (x) = nx n f (x) = x f (x) = f (x) = ax n f (x) = nax n f (x) = ax f (x) = a f (x) = a f (x) = 0 (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) f (x) = x 5 f (x) = 5x 5 = 5x f (x) = 8x 5 f (x) = 8 5x 5 = 0x f (x) = x f (x) = f (x) = 5 f (x) = 0 f 5 (x) = x 5 + x + x + f 5 (x) = 5x + x + f 5 (x) = 0x + x f (x) = e x f (x) = e x f (x) = ae x f (x) = ae x f (x) = ae x + b f (x) = ae x f (x) = e x + f (x) = e x f (x) = x f (x) = x f (x) = a x f (x) = a x f (x) = a x + b f (x) = a x f (x) = x + 5 f (x) = x f (x) = a x f (x) = a x a f (x) = x f (x) = x f (x) = a x f (x) = x a f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x f (x) = x + x f (x) = x + x (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) f (x) = x 5 + x + x + f (x) = 5x + x + f (x) = 0x + x f (x) = x + x f (x) = x + x
15 (c f(x)) = c f (x) f (x) = 5e x + x f (x) = 5e x + x f (x) = 5 x + x f (x) = 5 x + x (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) f (x) = e x e (..) x f (x) = e x = e x f (x) = 5x sin(..) 5x f (x) = 5x 5 = 5 5x f (x) = 5e x e x f (x) = 5e x 9x = 5x e x f (x) = (x x) 7 (...) 7 x x f (x) = 7(x x) (x ) = (x 7)(x x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) f (x) = x e x f (x) = x e x + x e x f (x) = xe x ( + x) f (x) = (x x + ) e x f (x) = ( x ) e x + (x x + ) e x f (x) = e x (x + x x + ) f (x) = e x (x x ) ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) f (x) = x f (x) = x (x ) x x (x ) f (x) = x (x x) x f (x) = x +x (x ) f (x) = x(x ) x f (x) = (x ) x f (x) = x + x
16 x 0 g(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) y 0 = f(x 0 ) m t = f (x 0 ) y = m x + t m t, x 0, y 0 t = y 0 m t x 0 m t, t y = m t x + t f (x) = x f (x) = x x 0 = f( ) = f ( ) = g(x) = f (x 0)(x x 0) + f(x 0) g(x) = f ( )(x ) + f( ) g(x) = (x ) + g(x) = x + g(x) = x x 0 g(x) = f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ) y 0 = f(x 0 ) m t = f (x 0 ) m n = m t y = m x + t m n, x 0, y 0 f (x) = x f (x) = x x 0 = f( ) = f ( ) = g(x) = f (x 0 (x x0) + f(x0) ) g(x) = (x ) + f( ) f ( ) g(x) = (x ) + g(x) = x + + g(x) = x + t = y 0 m n x 0 m n, t y = m n x + t
17 x n+ = x n f(x n) f (x n ) x 0 x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) x = x f(x ) f (x ) f (x) = x f (x) = x x n+ = x n f(xn) f (x n) x 0 = f() = f () = x = f() f () x = x =, 5 f(, 5) = f (, 5) = x =, 5 f(, 5) f (, 5) x = x =, 05 f(, 05) = f (, 05) = x =, 05 x =, 05 x =, 00 f(, 05) f (, 05)
18 f (x) = 0, 5x +, 5x f (x) = x x A > 0 A > 0 A < 0 A < 0 F (x) = f(x) F (x) f(x) F (x) f(x) f (x) = ax n F (x) = n+ axn+ + c F (x) = x + F (x) = x F (x) f(x) = x F (x) = x + F (x) = x F (x) f(x) = x f(x) = x F (x) = x + c F (x) = f (x) = F (x) + c f (x) = x F (x) = x = x+ + c F (x) = x + c F (x) = ( x + x + 5) = x + x + 5x + c
19 A = b a f (x) = [F (x)] b a = F (b) F (a) A > 0 A < 0 f (x) = x + x F (x) = x + x A < 0 0 ( A = x + ) [ x dx = x + ] 0 x = ( 0 + 0) ( () + ()) = (0) ( ) = A > 0 ( A = 0 x + ) [ x dx = x + ] x 0 = ( + ) ( 0 + 0) = ( ) (0) = ( A = x + ) [ x dx = x + ] x = ( + ) ( () + ()) = ( ) ( ) = A = A + A = ( ) + = f (x) = x x = x(x + )(x ) x = x = 0 x = A = 0 ( x x ) dx = [ x x ] 0 = ( 0 0 ) ( () () ) = (0) () = A = 0 ( x x ) dx = [ x x ] ) = ( ) ( = () (0) = A = A + A = + = 8 F (x) = x k f (t) dt = [F (t)] x k = F (x) F (k) F (k) = 0 F (x) = x ( t + t ) dt = [ t + t ] x = ( x + x ) ( () + () ) = x + x F () = 0 F (x) = x n = n+ xn+ + c F (x) = x = x + c F (x) = ax n = a n+ xn+ + c F (x) = a = ax + c f(x) + g(x) = f(x) + g(x) F (x) = = x + c F (x) = ( x + x + 5) = F (x) = x+ + x+ + 5x + c F (x) = x + x + 5x + c
20 F (x) = e x = e x + c F (x) = ae x = ae x + c F (x) = ae x + b = ae x + bx + c F (x) = e x + = e x + x + c F (x) = x = x x x + c F (x) = a x = a(x x x) + c F (x) = a x + b == a(x x x) + bx + c F (x) = 7 x + == 7(x x x) + x + c F (x) = x = x + c F (x) = F (x) = ax+b = a ax + b + c x+ = x + + c F (x) = = x + + c x+ F (x) = x = x + c F (x) = x = x + c f(x) + g(x) = f(x) + g(x) c f(x) = c f(x) b f(x) = a a b f(x) b f(x) + c f(x) = c a b a f(x) f (x) f(x) = f(x) + c x x x +5 = x + c x +5x = x + 5x + c
21 g (x)f(g(x)) = F (x) + c x(x ) = 5 (x ) 5 + c xe x = e x + c x (x ) = (x ) + c (x x)e x x = e x x + c f(ax + b) = a F (x) + c (x ) = (x 5 )5 + c = (x 0 )5 + c e x = ex + c (x ) = (x ) + c = 5x + + c 5x+ 5 f (x) = x.5 f (x) = x,5x (x ) f(x) > 0 f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) < 0 f(x) > 0 f(x) < 0 F (x) = x, 5x + c F 0(x) = F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x x, 5x + F (x) = 0,5x x + c F (x) = 0,5x x F (x) = 0,5x F 0(x) = 0,5x x + x F (x) = 0,5x x
22 f(x) F (x) f(x) = f(x) > 0 f(x) < 0 f (x) = x.5 F (x) = x.5 = x.5x + c F (x) = x, 5x + F (x) = x, 5x F (x) = x, 5x F 0(x) = x, 5x f (x) F (x) x = x = x = x = x = 0 x = 0 f(x) > 0 x < x <
23 f (x) =, 5 x + 5 x f (x) = (x ) f (x) = x + x + f (x) = 0, x(x + )(x ) f 5(x) = 0, 0(x + ) (x ) f (x) = (x + ) f 7(x) = 0, 05(x )(x ) f 8(x) = x (x ) f(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 f(x) = ax n + bx n + cx n... f(x) = a(x x )(x x )(x x )... x, x, x... (x x ), (x x )... f(x) = ax + b f(x) = ax + bx + c f(x) = a(x x )(x x ) f(x) = ax + bx + cx + d f(x) = a(x x )(x x )(x x ) f(x) = ax + bx + cx + dx + e f(x) = a(x x )(x x )(x x )(x x ) f(x) = ax 5 + bx + cx + dx + ex + f f(x) = a(x x )(x x )(x x )(x x )(x x 5 ) f (x) = x + 5x = x(x ) f (x) = x + x + = (x + ) (x ) f (x) = 0 x x = 0 5 x( 0 x ) = 0 5 x = 0 0 x = 0 5 x = x = = f (x) = 0, x(x + )(x ) f 7(x) = 0 x x + = 0 5 u = x u = x 0 u u + = 0 5 u / = + ± ( ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x = x = f 7 (x) = (x + )(x )(x + )(x ) 0 f (x) = (x )(x )(x ) = (x ) f (x) = x x x 8 f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) = 0, x x 5 f (x) = (x + ) = x + x + x + x + f 7(x) = 0, 05(x )(x ) = 0, 05x x + 5 f 8(x) = x (x ) = x x
24 D = R W = R W = [ [ W =] ; ] f (x) = x + 5x (/5) D = R W =], 5[ f (x) = x + x + D = R W = R f 5 (x) = 0, x x D = R W = R 5 f 7(x) = 0, 05x x + 5 D = R W = [, [ 5 f ( x) = f (x) f (x) f ( x) = f (x) f (x) f ( x) = ( x) + 5 ( x) f ( x) = ( x) + ( x) + f (x) = 0, x x 5 f ( x) = 0, ( x) ( x) 5 f ( x) = ( 0, x x) 5 f ( x) = f (x) f 7(x) = 0, 05x x + 5 f 7 ( x) = 0 ( x) ( x) + 5 f 7 ( x) = 0 x x + 5 f 7 ( x) = f (x)
25 f (x) = 0 ax n + bx n + cx n... = 0 0 a(x x )(x x )(x x )... = 0 x, x, x... f (x) = (x ) x = f 5(x) = 0, 0(x + ) (x ) x = x = f (x) = x + 5x = 0 x( x + 5) = 0 x = 0 x + 5 = 0 x + 5 = 0 x = x = 0 x = f (x) = x(x ) f (x) = x + x + = 0 x = ( x +x + ) : (x + ) = x + x + ( x x ) x +x + (x +x) x + (x +) 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) x = x = ( ) f (x) = (x + ) (x ) f (x) = 0 x x = 0 5 x( 0 x ) = 0 5 x = 0 x = x = 0 x = 0 5 = f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) f 7(x) = 0 x x + = 0 5 u = x u = x 0 u u + = 0 5 u / = + ± ( ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x = x = f 7 (x) = (x + )(x )(x + )(x ) 0
26 x < x < x f(x) f (x) = x + 5x x < 0 < x < < x f(x) x ]0; [ f(x) > 0 x ] ; 0[ ]; [ f(x) < 0 f (x) = x + x + x < < x < < x f(x) x ] ; [ ] ; [ f(x) > 0 x ]; [ f(x) < 0 f 5 (x) = 0, x(x + )(x ) x = 0 x = x = 5 < f 5( 5) =, 5 x < < x < 0 < x < < x f(x) x ] ; 0[ ]; [ f(x) > 0 x ] ; [ ]0; [ f(x) < 0 f(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 f(x) = ± f(x) = ± x a n an n = an n = an n = an n = a n x an ( )n = x an ( )n = x an ( )n = x an ( )n = f (x) = x + 5x x f (x) = [ ] = x f (x) = [ ( ) ] = f (x) = x + x + x f (x) = [ ] = x f (x) = [ ( ) ] =
27 f(x) = a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 f (x) x f (x) x f (x) = x + 5x = x(x ) f (x) = x + 5 f (x) = f (x) = 0 f (x) = x + x + = (x + ) (x ) f (x) = x + = (x + )(x ) f (x) = x = x f (x) = f (x) = a n n x n +a n (n ) x n...+a x +a f (x) = ax n f (x) = nax n f(x) = ax + b f (x) = a f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b f(x) = ax + bx + cx + d f (x) = ax + bx + c f(x) = ax + bx + cx + dx + e f (x) = ax + bx + cx + d f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) > 0(LK) x 0 f (x 0 ) < 0(RK) x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 f (x) = x + 5 = 0 x + 5 = 0 / 5 x = 5 / : ( ) x = 5 x = f () < 0 (/5) f (x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ( ) x = x = ± x = x = f ( ) = > 0 ( /0) f () = f () < 0 (/)
28 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x f (x) + 0 f (x) x < x < x f (x) 0 + f (x) = x + 5 x < < x f (x) + 0 x ] ; [ f (x) > 0 x ]; [ f (x) < 0 f (x) = x + x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 x < x < x f (x) x < x < x f (x) 0 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) 0 f (x) = 0 f (x) = x = 0 x = 0 f (0) = f (0) 0 (0/)
29 f (x) = 0 x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 f (x) = x x < 0 < x f (x) + 0 x ] ; 0[ f (x) > 0 x ]0; [ f (x) < 0 f (x) = ax n F (x) = n+ axn+ + c F (x) = f (x) dx = F (x) + c F (x) = ( x + 5x)dx = 5 x + x + c F (x) = ( x + x + ) dx = x + x + x + c A = x x f (x) dx = [F (x)] x x = F (x ) F (x ) A = ( 0 x + 5x ) dx = [ 5 x + x] 0 = ( 5 + ) ( ) = ( ) (0) = A = ( x + x + ) dx = [ x + x + x ] = ( + + ) ( ( ) + ( ) + ( ) ) = () ( ) =
30 f (x) = x + x = x = f (x) = x +x+ x f (x) = x x x =, 5 y = 0 y = x = y = x + f(x) = Z(x) N(x) = a nx n + a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 b m x m + b m x m + b m x m... + b x + b x + b 0 Z(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 N(x) = b m x m +b m x m +b m x m...+b x +b x +b 0 f (x) = x + x + x Z(x) = x + x + N(x) = x f (x) = (x+) (x+)(x) f (x) = x x f (x) = x + + x f(x) = a (x z )(x z )(x z )... (x n )(x n )(x n )... z, z, z... n, n, n... N(x) = 0 n, n, n... D = R \ {n 0, n, n..} f (x) = (x + ) D = R \ {} f (x) = x + x + x x = 0 x = 0 / + x = ± x = x = D = R \ {; } f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)
31 Z(x) = 0 z, z, z... f (x) = x + x + x x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x = x = x = ; f(x) = ± x f(x) = ± a n b m ( )n ( ) = ± m a n x b m ( )n ( ) = ± m x ± f (x) = ± f (x) = a n x ± b m y = a n b m f (x) = 0 x ± y = 0 x ± x + = 0 y = 0 x + x + = x = y = x ± f (x) = x x ( ) = ( ) x ( ) = ( ) x ( x ) x( = x ) x x ( x ) = x( x ) P olynomdivision : (x ) : (x ) = x + (x x) x ( x ) f (x) = x + + x y = x +
32 D = R \ {x 0, x..} x 0, x.. f(x) = x x 0 x = x 0 x + (x + ) = x (x + ) = x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = x = (x + ) x + (x + )(x ) = (x + ) x (x + )(x ) = x = f (x) = Z (x) N(x) Z(x) N (x) (N(x)) f (x) x f (x) x f (x) = 0 (x+) (x+) = 0 (x+) = (x+) = (x+) f (x) = 0 (x +x+) ( ) (x+) (x +x+) = 0 (x) (x +x+) x+ = (x +x+) x+ (x +x+) = (x + ) = (x + ) = (x + ) f (x) = x +x+ x f (x) = (x+) (x ) (x +x+) x (x ) = (x +x 8x 8) (x +x +x) (x ) = x 0x 8 (x ) f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) > 0(LK) x 0 f (x 0 ) < 0(RK) x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0 f (x) = x 0x 8 x 8x + = 0 x 0x 8 = 0 x / = +0 ± ( 0) () ( 8) () x / = +0 ± x / = 0 ± x = 0 + x = 0 x = x = f () = > 0 (/ ) f ( ) = f ( ) < 0 ( /0)
33 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x f (x) + 0 f (x) x < x < x f (x) 0 + (x+) f (x) = = 0 x = ; x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [f (x) < 0 x < x < x f (x) x < x < x f (x) 0 f (x) = 0 x 0, x.. x 0, x.. f (x 0 ) 0
34 f (x) = 0 x 0, x.. f (x) f (x) x < x < x x < x < x f (x) + 0 f (x) 0 + x < x < x x < x < x f (x) f (x) 0 f (x) = (x + ) Zaehler = 0 x = ; x < < x f (x) 0 + x ] ; [ f (x) > 0 x ] ; [ f (x) < 0 y = y = 0 y = y = y = 0 f (x) = e x f (x) = e x+ f (x) = e x + f (x) = e x f 5(x) = e x + f(x) = e x f(x) = ae b(x c) + d f (x) = e x+ f (x) = e x f 5(x) = e x +
35 f(x) = e x D = R W = R + f(x) = ae b(x c) + d D = R a > 0 W = [d; [ a < 0 W =] ; d] f (x) = e x+ D = R W = [; [ f (x) = e x D = R R + f 5(x) = e x + D = R W =] ; ] f(x) = e x f(x) = ae (b(x c)) + d ae b(x c) + d = 0 ae b(x c) = d e b(x c) = d a d a > 0 b(x c) = x = ( ) d a b d a e x > 0 / : a / ( ) d a + c / d 0 / : b / + c f (x) = e x+ e (x+) = 0 e (x+) = 0 / + e (x+) = + / : e (x+) = / x + = () / x = f (x) = e x + e x + = 0 / e x = < 0 f(x) = e x ex = + x ex = 0 f(x) = ae b(x c) + d aeb(x c) + d b > 0 a > 0 b( c) = e = a + d = b( c) = x x e = 0 a 0 + d = d y = d + aeb(x c) + d = aeb(x c) + d = aeb(x c) + d = d y = d aeb(x c) + d = d y = d x aeb(x c) + d = d x aeb(x c) + d = d x aeb(x c) + d = x aeb(x c) + d = y = d y = d f (x) = e x+ ex+ + = ex+ = x ex+ e = x 0 = x ex+ = ( + ) = HA : y = f (x) = e x e x = 0 HA : y = 0 x e x = + f 5(x) = e x + e x + = HA : y = x e x + = + = x e = 0 f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e bx f (x) = be bx f (x) = b e bx f (x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) f (x) = a b e b(x c) f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f 5(x) = e x + f 5(x) = e x f (x) = e x + f (x) = e x f (x) = e x
36 f (x) = e x f (x) = e x e x > 0 f(x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) e b(x c) > 0 a b > 0 a b < 0 f (x) = e x+ > 0 f (x) = e x < 0 f 5(x) = e x > 0 f (x) = e x > 0 f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e ax f (x) = ae ax f (x) = ae b(x c) + d f (x) = a be b(x c) f (x) = e x+ f (x) = e x+ f (x) = e x f (x) = e x f 5(x) = e x + f 5(x) = e x f (x) = e x f (x) = e x e x > 0 f(x) = ae b(x c) + d f (x) = a b e b(x c) e b(x c) > 0 a > 0 a < 0 f f f (x) = e x+ > 0 (x) = e x > 0 5 (x) = e x < 0 f (x) = e x > 0 f (x) = e x F (x) = e x + k f (x) = ae b(x c) F (x) = a b eb(x c) + k f (x) = e x+ F (x) = e x+ x + c f (x) = e x F (x) = e x + c f 5(x) = e x + F 5(x) = e x + x + c f (x) = e x + F (x) = e x + x + c = e x + x + c
37 x = x = 0 x = 0 x = f (x) = (x) f (x) = (x) + f (x) = (x + ) + f (x) = ( x) + f 5(x) = (x ) + f (x) = 0, 5 (x + ) f(x) = x f(x) = a (b(x c)) + d f (x) = (x) f (x) = (x) + f (x) = (x + ) + f (x) = ln( x) + f 5(x) = (x ) + f (x) = 0, 5 (x + ) f(x) = x W = R D = R + f(x) = a b(x c) + d W = R bx c > 0 b > 0 D =]c; [ b < 0 D =] ; c[ f (x) = (x) D = R + f (x) = (x) + D = R + f (x) = (x + ) + D =] ; [ f (x) = ( x) + D = R f 5(x) = (x ) + D =]; [ f (x) = 0, 5 (x + ) D =] ; [ f(x) = (x) (x) = 0 /e x = e 0 x = f(x) = a (b(x c)) + d a (b(x c)) + d = 0 / d a (b(x c)) = d / : a (b(x c)) = d /e a b(x c) = e ( d a ) / : b / + c d e( a ) x = + c b f (x) = (x + ) + (x + ) + = 0 (x + ) + = 0 / (x + ) = /e.. x + = e / x = e x =, 95 f (x) = 0, 5 (x + ) (x + ) = 0 (x + ) = 0 / + (x + ) = + / : (x + ) = /e.. x + = e / x = e x =, 98
38 f(x) = (x) (x) = x = 0 x 0 + (x) = f(x) = a (b(x c)) + d b > 0 a > 0 b( c) = = a + d = b(c+ c) = = x c + x 0 + a ( ) + d = x = c x 0 + ± a b(x c) + d = a b(x c) + d = a b(x c) + d = x a b(x c) + d = x c x a b(x c) + d = x c + a b(x c) + d = x c + a b(x c) + d = x c a b(x c) + d = x c = c = c = c = c f 5(x) = (x ) + D =]; [ (x ) + = = (x ) + = (x ) + x + ) = 0 + x +(+ ( ) = x + 0+ = x + (x ) + = V A : x = x + f (x) = ( x) + D = R ( x) + = x ( x) + = V A : x = 0 x 0 + = f (x) = (x) f (x) = x = x f (x) = x = x f (x) = bx f (x) = x = x f (x) = b bx = x f (x) = a (b(x c)) + d f (x) = a b b(x c) f a b (x) = (b(x c)) f (x) = (x) + f (x) = x = x f (x) = x = x f (x) = (x + ) + f (x) = = (x + ) x + f (x) = (x + ) = (x + ) f (x) = ln( x) + f (x) = x = x f (x) = x = x f 5(x) = (x ) + f 5 (x) = = (x ) (x ) f 5 (x) = (x ) = (x ) f (x) = (x) f (x) = x = x D = R+ x f (x) = a (b(x c)) + d f (x) = a b b(x c) b(x c) > 0 f (x) = x > 0 f (x) = x + > 0 f 5 (x) = (x ) < 0
39 f (x) = (x) x f (x) = x = x < 0 f (x) = a (b(x c)) + d f (x) = (b(x c)) > 0 a > 0 a < 0 a b (b(x c)) f (x) = x = x < 0 f (x) = (x + ) = (x + ) < 0 f 5 (x) = (x ) = (x ) > 0 f (x) = (x) F (x) = x (x) x + c
40 f(x) = 0, 5x 0, 75x, 5x +, 75 HP ( /) W P (/0) f(x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 (a n, a n.., a 0 f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b f(x) = ax + bx + cx + d f (x) = ax + bx + c f (x) = ax + b f(x) = ax + bx + cx + dx + e f (x) = ax + bx + cx + d f (x) = ax + bx + c f (x) = a x + b x + c x + d f (x) = a x + b x + c f (x) = a x + b x = f () = 0 a + b = 0 P ( /) f ( ) = a ( ) + b ( ) + c ( ) + d = x 0 = f ( ) = 0 a ( ) + b ( ) + c = 0 x 0 = f () = 0 a + b + c + d = 0 a + b = 0 a + b c + d = a b + c = 0 a + b + c + d = 0 a = b = c = d == f (x) = x x x +
41 P (x 0 /y 0 ) f(x 0 ) = y 0 x 0 f(x 0 ) = 0 y 0 f(0) = y 0 x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 x 0 x 0 y = mx + t x 0 y = mx + t x 0 f(x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 y 0 = mx 0 + t f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = m y 0 = mx 0 + t f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = m x 0 f (x 0 ) = 0 x 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 x 0 (x 0 /y 0 ) (x 0 /y 0 ) (x 0 /y 0 ) y = mx + t x 0 f (x 0 ) = m f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = 0 f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = 0 y 0 = mx 0 + t f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = m f (x 0 ) = 0 (x 0 /y 0 ) f(x 0 ) = y 0 f (x 0 ) = m f(x) = f( x) f(x) = f( x)
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