Übungsaufgaben mit Lösungen zur Analysis und linearen Algebra

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1 Übugsaufgabe mit Lösuge zur ud lieare Algebra

2 Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe ) Bilde Sie die. Ableitug der folgede Fuktioe: a) f (x) = (x 7 + 5x + 4) 0 = f (x) = 0(x 7 + 5x + 4) 9 (x x ) b) f (x) = 5e x4 +x+0 = f (x) = 5e x4 +x+0 (4x + ) c) f (x) = l(x 4 + x 6 + ) = f (x) = (8x + 8x 5 ) x 4 + x 6 + d) f (x) = (9x + x lx)e 5x = f (x) = (7x + 4x lx + x)e 5x + (9x + x lx)e 5x ( 0x) e) f (x) = (x + 5x)l(x ) = f (x) = (x + 5)l(x ) + (x + 5x) x ( ) x x f) f (x) = + x = = + x f (x) = ( ) x ( ) ( ) ( + x) ( x) x ( ) + x ( + x) = + x ( + x) ) Bestimme Sie folgede Grezwerte: e x ( + x) 0 a) lim x 0 x 0 = lim e x x 0 x e x e b) lim x x 0 c) lim x lx x 0 0 = lim x = +, x > x = 0 0 = lim e x x 0 = ) Gegebe sei die Folge (a ) N mit de Folgeglieder:,6,9,... [bzw.,4,7,...] aa) Wie lautet das Folgeglied a?, 6, 9,..., a ab) Bilde Sie die Folgeglieder s, s ud s der Reihe (s ) N. s = a = ; s = a + a = + 6 = 9; s = a + a + a = = 8 ac) Wie lautet das Folgeglied s? Formelsammlug: s = d +d +d + +d = d ad) Schreibe Sie das Folgeglied s mit dem Summezeiche. s = ( + ) ( + ) ; hier: d = = s = i= ae) Berechee Sie das Folgeglied s 0 mit der Formel aus c). s 0 = 0 = 65 i

3 Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe ba) Wie lautet das Folgeglied a?, 4 +, 7 +, 0 +,..., a +( ) bb) Bilde Sie die Folgeglieder s, s ud s der Reihe (s ) N. s = a = ; s = a + a = + 4 = 5; s = a + a + a = = bc) Wie lautet das Folgeglied s? Formelsammlug: s = +(+d)+(+d)+(+d)+ +[+( )d] = +d hier: d = = s = + ( ) bd) Schreibe Sie das Folgeglied s mit dem Summezeiche. s = i= [ + (i )] be) Berechee Sie das Folgeglied s 0 mit der Formel aus c). s 0 = = 45 4) Gegebe sei die Folge (a ) N mit de Folgeglieder:, 9, 7,... a) Wie lautet das Folgeglied a? ( ) ( ) ( ),,..., a, a a a b) Bilde Sie die Folgeglieder s, s ud s der Reihe (s ) N. s = a = ; s = a + a = + 9 = 4 9 ; s = a + a + a = = 7 ; c) Wie lautet das Folgeglied s? Formelsammlug: s = q + q + q + + q = q q+ q hier: q = = s = ( ) + für q < d) Schreibe Sie das Folgeglied s mit dem Summezeiche. s = e) Berechee Sie das Folgeglied s 5 mit der Formel aus c). s 5 = f) Bestimme Sie de Grezwert der Reihe (s ) N für. Formelsammlug: q i = lim = q q hier: q = i= = lim s = q i i= s = i= ( ) i ( ) 6 = 0,498 ( ) ;

4 Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe 5) Approximiere Sie die Fuktio lx a der Stelle x 0 = durch ei Taylor sches Polyom. Formelsammlug: P(x) = f (x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) + 4! f (4) (x 0 )(x x 0 ) 4 + 5! f (5) (x 0 )(x x 0 ) 5 + hier: x 0 = = P(x) = f () +! f ()(x ) +! f ()(x ) +! f ()(x ) + 4! f (4) ()(x ) 4 + 5! f (5) ()(x ) 5 + f (x) = lx = f () = l = 0, f (x) = x = x = f () = = 0!, f (x) = x = x = f () = =!, f (x) = x = x = f () = =! f (4) (x) = 6x 4 = 6 x 4 = f (4) () = 6 =!, f (5) (x) = 4x 5 = 4 x 4 = f (5) () = 4 = 4! = P(x) = 0 + 0!! (x )!! (x ) +!! (x )! 4! (x )4 + 4! 5! (x )5 + = (x ) (x ) + (x ) 4 (x )4 + 5 (x )5 + a) Stelle Sie das Taylor sche Polyom te Grades mit dem Summezeiche dar. ( ) i+ P(x) = (x ) i i i= b) Bestimme Sie l(, ) mit dem Taylor sche Polyom. Grades ud vergleiche Sie Ihr Ergebis mit dem durch de Tascherecher berechete Wert. P(,) = (, ) (, ) = 0,095, Tascherecher: l(,) = 0, ) Gegebe sei die Fuktio f (x) = x x. Bestimme Sie x 6 a) de Defiitiosbereich ud die Nullstelle D( f ) = R \ {}, x, = ± 4 + = ± = x =, x = Nullstelle. b) Extrema ud Wedepukte (Alterativ köte gleich zu Begi ausgeklammert werde!) f (x) = (x )(x 6) (x x ) (x 6) = 4x 4x + 6 x + x + 4 (x 6) = x x + 0 (x 6) f (x) = (4x )(x 6) (x x + 0) (x 6) (x 6) 4 = 8x 48x + 7 8x + 48x 40 (x 6) = 0 für alle x D( f ) = es ex. kei Wedepukt. (x 6) f (x) = 0 (x 6x + 5) = 0 x, = ± 9 5 = x = 5, x = f (5) = (0 6) = 64 = > 0 = TP(5 9 ) f () = ( 6) = 64 = < 0 = HP( )

5 Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe 4 c) Grezwerte x x lim x + x 6 x x lim x + x 6 x x lim x x 6 4 x x 0 + = +, lim x x 6 = lim x x + = lim x x + d) de Graph (Asymptote g(x) = x + ) 4 0 = +, = =, e) die Itervalle, i dee f (x) streg mooto steiged bzw. falled, kovex bzw. kokav ist s.m.s. auf (,] ud [5, ), s.m.f. auf [,) ud (,5], kokav auf (,), kovex auf (, ). 7) Bestimme Sie a) die Stammfuktio xe x dx mit der partielle Itegratio. Formelsammlug: f (x)g (x)dx = f (x)g(x) f (x)g(x)dx f (x) = x = f } (x) = = xe x dx = xe x ( e x )dx = xe x e x + c g (x) = e x = g(x) = e x b) die Stammfuktio (x ) dx mit der Substitutiosmethode. u(x) = x = u (x) = du dx = = dx = du = (x ) dx = u du = u du = 4 u4 = (x )4 + c

6 Fuktioe mit mehrere uabhägige Variable 5 c) die Fläche, die vo der Fuktio f (x) = 7 x5 ud der x-achse eigeschlosse wird, im Itervall [,6]. 0 A = 7 x5 dx + 6 [ 7 x5 dx = 7 ] 0 [ 6 x6 + 7 ] 6 6 x6 0 0 = ( ) = = 585 FE 8) Bestimme Sie für die folgede Fuktioe alle partielle Ableituge. Ordug: a) f (x,y) = x + 5xy + y = f x = 6x + 5y, f y = 5x + 4y b) f (x,y) = x + y 6x 4 + = f x = (6x4 + ) (x + y ) 4x y (6x 4 + ), f y = 6x 4 + c) e y (4x + 7y) = f x = e y (4x + 7y) 4, f y = e y y (4x + 7y) + e y (4x + 7y) 7 9) Bestimme Sie die lokale Extremwerte vo f (x,y) = x + 6y x + xy y + 4. Überprüfe Sie auch die hireichede Bediguge. f x = x + y = 0 () f y = 6 + x y = 0 () () = 6 4x + y = 0 ( ) ( )+() = x = 0 = x = 4 (4) (4)i() = 8 + y = 0 = y = 5 (5) f xx f yy f xy = ( )( ) = > 0 = Extremum f xx = < 0 = Maximum f (x,y) hat i (x 0,y 0 ) = (4,5) ei lokales Maximum f (4,5) = = 5. 0) Gegebe sei die Fuktio z = f (x,y) = x y. Bestimme Sie das Maximum vo z uter der Nebebedigug x + y =. L(x,y,λ) = x y + λ(x + y ) = L x = x y + λ = 0 () L y = 4 x y + λ = 0 () = x y 4 x y = λ λ = y y x x = = y = 4 = y = 4x (4) x L λ = x + y = 0 () (4)i() = x + 4x = = x = (4) = y = 8 = Max((;8)/0,08).

7 Matrize ud Vektore 6 ) Gegebe sei die Fuktio z = f (x,y) = x y. a) Bestimme Sie die partielle Elastizitäte vo f (x,y) bzgl. x ud y. η f,x = x x y = x y, η f,y = 4 x y y = x y b) Überprüfe Sie, ob f (x,y) homoge ist ud we ja, vo welchem Grad. f (λx,λy) = (λx) (λy) = λ x λ y = λ x y = λ f (x,y) = f (x,y) ist homoge vom Grade r =. ) Gegebe seie die Matrize A = 4 Bereche Sie ud B = a) A T + B, A B, (B A) T, A T B T A T + B = 4 + A B = 4 (B A) T = A T B T = = = b) die Matrix X für A + X = B T ud für (A X) T = B X = B T A = 4 4 (A X) T = B A X = B T X = A B T = 4 4 = = = Lieare Algebra

8 4 Löse vo lieare Gleichugssysteme mit dem Gauß sche Algorithmus 7 ) Gegebe sid die Matrix A ud der Vektor b: A = 0, 7 0, 0, 9 7, b = 4 7. Bestimme Sie die Lösug des lieare Gleichugssystems A x = b. 0,7 ( ) ( 0,9) 0, 4 + 0, ,7 0 5,8, 9 5, 5,8 0 5,,7 8, + 0,7 0 5,8, ,88 6,8655 Aus der letzte Zeile folgt: 0,88x = 6,8655 = x = 70. Da folgt aus der vorletzte Zeile: 5,8x +, 70 = 9 = x = 0. Daach folgt aus der vorvorletzte Zeile: x + 0 0,7 70 = = x = 0. 4) Bestimme Sie die iverse Matrix A der Matrix A = 4. 5 A = = 0 α = = α = 4 5 = α = 4 5 = α = = 4 α = 5 = 4 α = 5 = 8 α = = α = 4 = α = 4 = 7 = A = A A ad = Lieare Algebra

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