10 Extremwerte mit Nebenbedingungen

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1 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen Punkte x durch eine Nebenbedingung gx 1,, x n = 0 eingeschränkt ist Beispiel 101 Aus einem kreisrunden Blech vom Durchmesser 1 ist ein Rechteck maximalen Flächeninhalts auszuschneiden Bezeichnen wir die Seiten dieses Rechtecks mit x und y, so suchen wir also nach dem Maximum der fx, y = xy unter der Nebenbedingung x + y 1 = 0 Um Extrema unter Nebenbedingungen zu bestimmen, gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten Die erste Methode besteht darin, dass man, falls möglich, gx 1,, x n nach einer Variablen auflöst, zum Beispiel nach x n, x n = hx 1,, x n1, und dies in die fx 1,, x n einsetzt Dann hat man eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen zu lösen: Man sucht das Extremum der fx 1,, x n1, hx 1,, x n1 Beispiel 10 So waren wir bei Beispiel 85 vorgegangen Dort suchten wir die Punkte auf der Fläche S := x y R z = z 1 xy, die dem Nullpunkt am nächsten sind, dh wir suchten die Minimalstellen der fx, y, z = x + y + z unter der Nebenbed gx, y, z = z 1 xy = 0 Wir haben die Gleichung gx, y, z = 0 nach der Variablen z aufgelöst, z = 1 xy, und in fx, y, z eingesetzt Beispiel 10 In Beispiel 101 genügt es, die Extremwerte von fx, y = xy auf dem Halbkreis y = 1 x zu bestimmen Einsetzen in fx, y ergibt die F x := x 1 x Die kritischen Punkte von F sind die Lösungen der Gleichung F x = 1 x 1 x = 0, also x0 y 0 = 1 1, 1

2 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 50 Abbildung 1: Zur Lagrange schen Multiplikatorregel Damit erhält man als mögliche Extremalpunkte auf dem Kreis x + y 1 = 0: 1 1 a =, a = 1, b =, b = 1 Da f auf dem Kreis Maximal- und Minimalstellen hat, sind wegen fa = fa = 1/ und fb = fb = 1/ die Punkte a, a Maximalstellen und b, b Minimalstellen Die Lösung der Extremwertaufgabe ist daher, wie nicht anders erwartet, ein Quadrat der Seitenlänge 1 Die zweite Methode ist die Lagrange sche Multiplikatorregel Um sie zu motivieren, versuchen wir, das Problem geometrisch zu lösen Beispiel 104 Wir betrachten wieder Beispiel 101 Wir betrachten die Höhenlinien der fx, y = xy im Verhältnis zum Kreis gx, y = x +y 1 = 0 Die Extremalstellen sind gerade die Stellen, an denen die Niveaulinien fx, y = c die Kurve gx, y = 0 berühren vgl Abb 1 An diesen Stellen sind die Vektoren grad fx, y und grad gx, y parallel, dh linear abhängig Satz 101 Die Multiplikatorregel von Lagrange Es sei U R n offen, f : U R und g : U R zwei en, die zur Klasse C 1 gehören Es sei a U, ga = 0, S := {x R n gx = 0} und grad ga 0 Hat f S in a ein Maximum oder Minimum auf S, dann gibt es eine reelle Zahl λ, so dass gilt: grad fa = λ grad ga Beweis Wegen grad ga 0 können wir nach einer eventuellen Umnummerierung annehmen, dass a 0

3 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 51 gilt Dann wird nach dem Satz über implizite en Satz 9 durch die Nebenbedingung gx 1,, x n = 0 in der Nähe des Punktes a eine differenzierbare implizite x n = hx 1,, x n1 erklärt Die Voraussetzung, dass f S in a ein Maximum oder Minimum auf S hat, bedeutet nun gerade, dass die fx 1,, x n1, hx 1,, x n1 für x 1 = a 1,, x n1 = a n1 ein lokales Extremum besitzt Nach Satz 81 und Satz 9 folgt daher 0 = f a + f a h a 1,, a n1 x i x i = f a f x a i a 1 i n 1 x i x n a Mit folgt die Behauptung λ := f a a Die Zahl λ heißt Lagrange-Multiplikator Aus Satz 101 ergibt sich das folgende Lösungsverfahren: Lagrange sche Multiplikatorregel 1 Schritt Man bildet die Lagrange sche Hilfsfunktion Lx 1,, x n, λ := fx 1,, x n + λgx 1,, x n und berechnet grad Lx 1,, x n, λ Schritt Man bestimmt die Lösungen x 1,, x n, λ des Gleichungssystems x 1,, x n, λ = f x 1,, x n + λ x 1,, x n = 0 x 1 x 1 x 1 x 1,, x n, λ = f x 1,, x n + λ x 1,, x n = 0 λ x 1,, x n, λ = gx 1,, x n = 0 Schritt Hat man in Schritt die Lösung x 1,, x n, λ gefunden, so untersucht man, ob x 1,, x n tatsächlich eine Extremalstelle ist Beispiel 105 Wir betrachten wieder das Beispiel Schritt Lx, y, λ = xy + λx + y 1

4 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 5 Schritt x y λ = y + λx = 0 = x + λy = 0 = x + y 1 = 0 Aus den ersten beiden Gleichungen folgt x = λ x Daraus folgt x = 0 und y = 0, was im Widerspruch zur dritten Gleichung steht, oder λ = ± 1 Daraus folgt y = ±x Wir erhalten wieder die Lösungen a =, a = 1 1, b = 1, b = 1 Wir hatten bereits bemerkt, dass im Punkt ±a das Maximum und in ±b das Minimum angenommen wird Beispiel 106 Wir berechnen das maximale Volumen eines Quaders mit einer Oberfläche von 10 m Die Kantenlängen des Quaders, in Metern gemessen, bezeichnen wir mit x, y, z Das Volumen ist die Die Nebenbedingung lautet fx, y, z = xyz gx, y, z = xy + xz + yz 10 = 0 1 Schritt Schritt Lx, y, z, λ = xyz + λxy + xz + yz 5 yz = λy + z xz = λx + z xy = λy + x xy + xz + yz = 5 Als erstes stellen wir fest, dass x 0 sein muss Denn aus x = 0 folgt yz = 5 und 0 = λz und daraus λ = 0 und yz = 0, ein Widerspruch Entsprechend zeigt man y 0, z 0, x + y 0, x + z 0 und y + z 0 Durch Elimination von λ erhält man aus den ersten beiden Gleichungen yz y + z = xz x + z und daraus x = y Entsprechend erhält man aus der zweiten und dritten Gleichung y = z Einsetzen in die letzte Gleichung liefert x = 5 Also ist x = y = z = 5 und xyz = / 5

5 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 5 die Lösung, dh in diesem Punkt wird das Maximum angenommen, während das Minimum bei 5 x = y = z = und xyz = / 5 liegt