7 Anwendungen der Linearen Algebra

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1 7 Anwenungen er Linearen Algebra 7.1 Extremwertaufgaben mit Nebenbeingungen Bemerkung 7.1. Wir behaneln as Problem: Gegeben ist eine zweimal stetig ifferenzierbare Funktion f : R n R un ein stetig ifferenzierbares Vektorfel g : R n R m, wobei m < n. Gesucht sin Maximal-/Minimalstellen x von f, wobei g(x) = 0 (Maximierungs-/Minimierungsproblem mit Nebenbeingungen): Minimiere/Maximiere f(x) wobei g(x) = 0. (O) In MaI, Kap. 8.4 wuren Extremwertaufgaben ohne Nebenbeingungen behanelt. In en Übungen traten auch Ungleichungsnebenbeingungen auf, wenn ie Menge, über ie man minimiert oer maximiert hat, abgeschlossen war (z.b. Aufgabe 12.2). In iesem Abschnitt sin nur Gleichheitsnebenbeingungen g(x) = 0 erlaubt. In MaI, Satz 8.24 steht ie notwenige Beingung für eine Extremalstelle: Wenn x 0 R n eine lokale Extremalstelle von f ist, ann ist f(x 0 ) = 0 (alle Punkte x mit f(x) = 0 heißen kritische Punkte). In MaI, Satz 8.26 wuren im Fall n = 1 oer n = 2 hinreichene Beingungen zweiter Ornung formuliert: Für n = 1 folgt aus f (x 0 ) < 0, ass x 0 eine Maximalstelle ist, un aus f (x 0 ) > 0 folgt, ass x 0 eine Minimalstelle ist. Für n = 2 hatten wir eine Beingungen für ie gemischten zweiten Ableitungen (.h., für ie Einträge er Hesse-Matrix) aufgeschrieben. Das Ziel in iesem Abschnitt ist es (i) Beingungen erster un zweiter Ornung für Minimierungs-/Maximierungsprobleme mit Nebenbeingungen zu formulieren. (ii) Die hinreichenen Beingungen zweiter Ornung aus Ma1, Satz 8.26 für beliebige n N zu verallgemeinern, 53

2 7 Anwenungen er Linearen Algebra Satz 7.2. (Notwenige Beingung erster Ornung) Es seien f : R n R un g : R n R m stetig ifferenzierbar, un x 0 R n erfülle g(x 0 ) = 0 (Zulässigkeit), Rang( g(x 0 )) = m. Wenn x 0 eine Lösung es Optimierungsproblems (O) ist, ann muss f(x 0 ) L( g(x o )) (K) gelten,.h. es müssen Zahlen ˆλ 1,..., ˆλ m existieren, so ass f(x 0 ) = m ˆλ k g k (x 0 ). Beispiel 7.3. Definition 7.4. Die Funktion L : R n+m R,, λ) = 1, x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ m ) = f(x) + m λ k g k (x) heißt Lagrange-Funktion zum Optimierungsproblem (O). Punkte x 0 R n, ie zulässig sin (.h. g(x 0 ) = 0) un ie Beingung (K) erfüllen, heißen kritische Punkte, un ie zugehörigen Koeffizienten λ 1,... λ m heißen Lagrange-Multiplikatoren von (O) in x 0. Die Zahlen λ k entsprechen jeweils ˆλ k aus Satz

3 7.1 Extremwertaufgaben mit Nebenbeingungen Bemerkung 7.5. (i) Die Beingungen g(x 0 ) = 0, f(x 0 ) + m λ k g k (x 0 ) bilen ein System von n + m Gleichungen mit n + m Unbestimmten x 0 = (x 0,1,..., x 0,n ), λ = (λ 1,..., λ m ). Diese Gleichungen sin typischerweise nicht linear! (ii) Mit er Lagrangefunktion, λ) aus Def. 7.4 kann man ie notwenigen Beingungen aus Satz 7.2 kompakt schreiben als, λ) = 0 R n+m. (iii) Extremwertaufgaben ohne Nebenbeingungen sin als Spezialfall von O mit m = 0 zu verstehen. Die Beingung aus Satz 7.2 liefert ann 0 f(x 0 ) = ˆλ k g k (x 0 ) = 0, un as ist genau ie Beingung aus Ma1 Satz 8.26 (s.o.). Satz 7.6 (Hinreichene Beingung zweiter Ornung). Es seien f : R n R un g : R n R m zweimal stetig ifferenzierbar, un x 0 R n sei ein kritischer Punkt zum Optimierungsproblem (O). Wenn ie Hesse-Matrix von L bezüglich x 2 x 2 0, λ 0 ) 2 1 x 1 x 2 0, λ 0 )... 2 x 1 x n 0, λ 0 ) 2 H x 0 ) = x 2 x 1 0, λ 0 ) 2 x 2 0, λ 0 ) x 2 x n 0, λ 0 )... 2 x nx 1 0, λ 0 ) 2 x nx 1 0, λ 0 )... 2 x 2 0, λ 0 ) n positiv efinit über em Raum U = Ker( g(x 0 ) ) ist, ann ist x 0 ein striktes lokales Minimum von f, wenn sie negativ efinit über U ist, ann ist x 0 ein striktes lokales Maximum von f, un wenn sie inefinit über U ist, ann liegt in x 0 kein Extremum vor. Beispiel 7.7. Bemerkung 7.8. Die Beingungen aus Satz 7.6 liefern für m = 0 un n = 1 bzw. n = 2 genau ie Beingungen aus MaI Satz

4 7 Anwenungen er Linearen Algebra 7.2 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ornung mit konstanten Koeffizienten Definition 7.9. Gegeben sin n N, ein Zeitintervall I R, eine Matrix mit Koeffizientenfunktionen A(t) = (a ij (t)), un ein Vektorfel h(t) K n (t I). Ein System linearer Differentialgleichungen erster Ornung oer lineares Differentialgleichungssystem hat ie Form y (t) = A(t)y(t) + h(t), (S) wobei ie gesuchte Lösung y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),..., y n (t)) ein Vektor mit n Komponenten ist. Das System heißt homogen, falls h(t) = 0 ist, un mit konstanten Koeffizienten, wenn alle Koeffizientenfunktionen konstant in t sin,.h., A(t) = A hängt nicht von t ab. Beispiel Satz Die Lösungsmenge eines linearen homogenen Differentialgleichungssystems mit n Gleichungen un konstanten Koeffizienten ist ein Vektorraum er Dimension n, un besitzt somit eine Basis B = {b 1 (t), b 2 (t),..., b n (t)}. Eine solche Basis heißt Funamentalsystem er Differentialgleichung. Satz (i) Ist λ R ein Eigenwert von A un v ein zugehöriger Eigenvektor, so ist b(t) = e λt v eine Lösung von y (t) = Ay(t). (ii) Ist λ = α+βi C ein Eigenwert von A un v = a+bi ein zugehöriger Eigenvektor, ann sin b 1 (t) = e αt (cos(βt)a sin(β)b) un b 2 (t) = e αt (cos(βt)a + sin(β)b) zwei linear unabhängige reelle Lösungen von y (t) = Ay(t). (iii) Ist A iagonalisierbar, so besitzt ie Differentialgleichung y (t) = Ay(t) ein Funamentalsystem aus Lösungen er Form (i) un (ii). Beweis. 56

5 7.2 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ornung mit konstanten Koeffizienten Bemerkung Ist ein homogenes Anfangswertproblem y (t) = Ay(t), y(t 0 ) = y 0 R n zu lösen, so bestimmt man ie Koeffizienten c 1, c 2,... c n in er Linearkombination y(t) = n c kb k (t) urch Lösen es linearen Gleichungssystems n c kb k (t 0 ) = y 0. Beispiel Bemerkung 7.15 (Variation er Konstanten). Ist eine inhomogene Differentialgleichung y (t) = Ay(t) + h(t) zu lösen, so kann man wie folgt vorgehen, 1. man bestimmt zunächst ie allgemeine Lösung y h,c (t) (.h. ein Funamentalsystem B = {b 1 (t),..., b n (t)}) er zugehörigen linearen Differentialgleichung y (t) = Ay(t), 2. man setzt en Ansatz y P (t) = n c k (t)b k (t) in ie inhomogene Differentialgleichung ein. Das liefert ein lineares Gleichungssystem für ie Funktionen c k (t), 3. essen Lösung c (t) = (c 1(t), c 2(t),..., c n(t)) man mit er Kramer schen Regel aus Satz 5.17 berechnen kann. 4. Die Funktionen c k (t) bestimmt man urch Integration, amit bekommt man ie partikuläre Lösung y p (t) = n c k(t)b k (t). 5. Die allgemeine Lösung er inomogenen Gleichung ist ann y(t) = y h,c (t) + y P (t). Bemerkung Ist ein inhomogenes Anfangswertproblem y (t) = Ay(t) + h(t), y(t 0 ) = y 0 R n zu lösen, so bestimmt man ie Koeffizienten c 1, c 2,... c n in er allgemeinen Lösung y(t) = y P (t) + n c kb k (t) urch Lösen es linearen Gleichungssystems n c kb k (t 0 ) = y 0 y P (t 0 ). 57