IMA II - Lösungen (Version 1.04) 1

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1 IMA II - Lösungen Version.04 Übungsserie Aufgabe Ableitung über Differenzenquotient Der Differenzenquotient, auch bekannt als mittlere Änerungsrate, wir gebilet urch Betrachtung von Sekantensteigungen m. Dabei weren ie Koorinaten er zwei Schnittpunkte einer Sekante mit einer Funktion f, R zur Berechnung von m verwenet. Damit kann er Wert er ersten Ableitung f an er Stelle = 0 über en Differenzenquotienten bestimmt weren. Abbilung : Differenzenquotient geometrisch mit = 0 + wir f y 0 = m = lim 0 = lim f 0 + f a f = für > 0 f 0 = lim erweitern mit 3. bin. Formel f 0 = lim f 0 = lim = vgl. Kurveniskussion ganzrationaler Funktionen: Zur Etremwertberechnung waren iejenigen Tangenten gesucht, ie keinen Anstieg m=0 besitzen. Daher istf = m = 0 ie notwenige Beingung zur Bestimmung von Etremwerten. FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

2 IMA II - Lösungen Version.04 2 b f = + 3 für > 3 f 0 = lim f = lim f 0 = lim = c f = 2 für R f = lim f 2 0 = lim f = lim 0 f 0 = lim = 2 0 Aufgabe 2 Aufstellen von Tangentengleichungen Eine Tangente ist ein Polynom er Form t 0 = f 0 + f 0 0. Sie berührt eine Funktion f an nur einer Stelle 0. Die Bestimmung er Tangentengleichung ist über ie Beziehung f 0 = m vgl. Abb. un en bekannten Punkt P 0 ; f 0 urchzuführen. a f = 3 3 in 0 = f = 2 f 0 = = 3 3 = 3 un f 0 = = 2 = in Gl. : t 0 = 3 + = 2 3 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

3 IMA II - Lösungen Version.04 3 b f = cos in 0 = π 2 f = sin f 0 = π = cos = 0 un f 0 = π 2 2 t 0 = 0 π = + π 2 2 π = sin = in Gl. : 2 c f = in 0 = f = waagerechte Tangenten besitzen en Anstieg m = 0, also sin ie Nullstellen von f gesucht f = = = 0 = 3 2 = Die Funktion f besitzt in = 3 un 2 = waagerechte Tangenten. Aufgabe 3 Aufstellen von Funktionsgleichungen a f = a 3 + b 2 + c + f = 3a 2 + 2b + c f 0 = 0 c = 0 I f 0 = 2 = 2 II f = 6 3a 2 + 2b = 6 III f 2 = a b 2 = 2 IV Gleichungssystem: III 3a 2b = 6 IV 8a + 4b = 4 a = 2, b = 5 Die Lösung es LGS entspricht en gesuchten Koeffizienten: f = b f = ae b f = abe b Gleichungssystem: f 2 = abe 2b = I f 2 = 3 ae 2b = 3 II a = 3e 2 3, b = 3 Die Lösung es LGS entspricht en gesuchten Koeffizienten: f = 3 3 e 2 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

4 IMA II - Lösungen Version.04 4 Aufgabe 4 Ableitungsregel für Mehrfachproukte f = n f = n n Beweis: Der Differentialquotient liefert ie Ableitung von f über ie Grenzwertbetrachtung f + n n 0 = lim 0 2 Nebenrechnung: + n = = = n k=0 n n k k binom. Lehrsatz mit k n 0 n n! 0! n 0! n + n n n!! n! n n = k n n n n n = n + n n n n! k! n k! n! n! n n! n n n + n = n + n n n in Gl. 2 f n + n n n n 0 = lim 0 f 0 = lim 0 nn n f = n n Alternative: f = n =... }{{} n Faktoren f =... = }{{} n Summanen mit jeweils n Faktoren, a = f = n n FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

5 IMA II - Lösungen Version.04 5 Aufgabe 5 Anwenung von Ableitungsregeln Seien u = u, v = v ifferenzierbare Funktionen. Ihre grunlegenen Ableitungsverfahren sin in er folgenen Übersicht argestellt: Funktionstyp Verfahren Ableitung f = u ± v Summen-/Differen- f = u ± v zenregel f = u v Prouktregel f = u v + u v f = u v Quotientenregel f = u v u v v 2 f = u v Kettenregel f = u v v Je nach Art er zu ifferenzierenen Funktion u, v folgen araus ie nachstehenen Ableitungsregeln: Polynomfunktionen f = n f = n n Eponentialfunktionen f = ae b f = ae b b Trigonometr. Funktionen f = sin n f = n sin n cos f = cos n f = n cos n sin a f = f = b f = e + sin f = e + cos c f = a cos 2 + e + f = a sin 2 + e f = lg + tan f = ln 0 + cos 2 e f = sin cos f = cos 2 sin 2 f f = e cos f = e cos sin g f = ln cosh f = cosh h f = 2 arcsin f = 2 arcsin + + ln sinh 2 2 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

6 IMA II - Lösungen Version.04 6 i f = 2 e cos f = 2e cos sin + cos j f = + cos sin f = sin + cos sin 2 k f = arctan e f = e + 2 arctan l f = ln f = ln 2 m f = 2 ln 3 2 f = n f = log a 3 2 f = ln a 3 2 o f = arctan 2 + f = p f = f = q f = e f = e r f = e sin f = e sin sin + cos Aufgabe 6 Ableitungen an bestimmten Stellen a f = e 2 sin f = e 2 4 cos sin f = e 2 6 cos sin f 0 = 4 4 cos sin 5 b f = ln f = ln + f = f = 2 f = FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

7 IMA II - Lösungen Version.04 7 Aufgabe 7 Implizites Differenzieren Liegt eine Funktion vom Typ f, y in impliziter Form eine Gleichung in un y vor, so können beie Seiten ieser Gleichung unmittelbar nach ifferenziert weren. i f, y = y 2 = 25 für 0 = 4 un y 0 = y 0 > y 2 2y + = y 2 2y + } {{}} {{} = 25 }{{} y 2 y = 0 auflösen nach y : y = 2 y einsetzen von 0 = 4 in Ausgangsgleichung: y,2 = ± 2 y 2 = 2 < 0 entfällt mit y = + 2 un 0 = 4 wir y zu: y = = 2 2 Der Anstieg er Tangente in P 0 0 = 4, y 0 = + 2 an f, y beträgt 2. 2 ii Differenziere implizit : a f, y = 2 + y y 2 = y y y 2 = y 2 }{{}}{{}} {{} y yy y yy = 2yy auflösen nach y : y = y 2 2 2y y b f, y = y 3 2y 2 = y 3 } {{} 2y 2 } {{} = }{{} 3y 2 y 2 y 2 + 2yy = 2 auflösen nach y : y = 2y2 2 3y 2 4y FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

8 IMA II - Lösungen Version.04 8 Aufgabe 8 Logarithmisches Differenzieren Ein Spezialfall er impliziten Differentiation ist as logarithmische Differenzieren einer Funktion f. Für > 0 sin abei zunächst beie Seiten er Gleichung zur Basis e zu logarithmieren, bevor nach ifferenziert weren kann vgl. Aufgabe 7. Anschließen wir wieer nach f aufgelöst. Die folgene, im weiteren Verlauf es Semesters noch viel hilfreicher werene Formel finet abei Verwenung: ln f = f f 3 Alternativ können Funktionen es Typs f g = e lnf g auch mit er Kettenregel ifferenziert weren. a f = cos ln ln f = cos ln f f = cos sin ln f f = cos cos sin ln, ann Gl. 3 b f = sin cos ln ln f = cos ln sin f f = cos cos sin ln sin f sin f = sin cos cos 2 sin sin ln sin, ann Gl. 3 c f = ln ln f = ln f = 3 ln f f = ln , ann Gl. 3 f FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

9 IMA II - Lösungen Version.04 9 f = log ln ln f = 2 ln log f f = 2 ln log log ln f = log ln log , ann Gl. 3 f 2 3 log ln e f = sin ln ln f = ln sin, ann Gl. 3 f f = 2 ln sin + sin + cos sin f = 2 sin + cot ln sin f f f = ln e ln ln f = ln ln e f f = f = e + 0 e ln e e e + 0 f, ann Gl. 3 Aufgabe 9 Taylorpolynome Die Entwicklung von Taylorpolynomen beruht auf em Potenzreihen-Ansatz. Sie bieten als Polynome n-ter Ornung T n in er Umgebung bestimmter Stellen 0 oftmals gute Annäherungslösungen für kompliziertere analytische Ausrücke f. Das hier ebenfalls zu bestimmene Restglie R n beschreibt, in welchem Maße T n von f abweicht. Aufgrun ieser qualitativen Beurteilungsmöglichkeit un er verstänlichen Darstellung von T n weren Taylorpolynome in en Ingenieurwissenschaften verwenet. In er Physik gilt z.b. für kleine Winkel : sin. Ist ie Ornung n, ie Entwicklungsumgebung 0 un ie Funktion f bekannt, so weren T n un R n mit folgenen Formeln bestimmt : T n = n k=0 f k 0 k! 0 k R n = f n+ c n +! 0 n+ c, 0 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

10 IMA II - Lösungen Version.04 0 a f = sin 0 = π, n = 3 k = 0: f = sin f 0 = π = π sin π = 0 k = : f = sin + cos f 0 = π = sin π + π cos π = π k = 2: f = 2 cos sin f 0 = π = 2 cos π π sin π = 2 k = 3: f = 3 sin cos f 0 = π = 3 sin π π cos π = π k = 4: f 4 = 4 cos + sin f 4 = c = 4 cos c + c sin c T 3 = 0 π0 π π 2 π2 + π π3 } 0! {{}}! {{}} 2! {{}} 3! {{} T 3 = 0 π π π 2 + π π3 6 R 3 = c sin c 4 cos c 4! π 4 = c sin c 4 cos c π 4 24 b f = e 2 0 = 0, n = 4 k = 0: f = e 2 f 0 = 0 = e 0 = k = : f = 2e 2 f 0 = 0 = 0e 0 = 0 k = 2: f = 2e f 0 = 0 = 2e 0 = 2 k = 3: f = 4e f 0 = 0 = 4e 0 0 = 0 k = 4: f 4 = 4e f 4 0 = 0 = 4e 0 3 = 2 k = 5: f 5 = 8e T 4 = R 4 = e c2 5 c c c5 c f = tan 0 = π 4, n = 4 k = 0: f = tan f 0 = π 4 = k = : f = + tan 2 f 0 = π 4 = 2 k = 2: f = 2 tan + 2 tan 3 f 0 = π 4 = 4 k = 3: f = tan tan 4 f 0 = π 4 = 6 k = 4: f 4 = 6 tan + 40 tan tan 5 f 4 0 = π 4 = 80 k = 5: f 5 = tan tan tan 6 T 4 = + 2 π + 2 π π π R 4 = tan 6 c + 2 tan 4 c tan2 c + 2 π FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

11 IMA II - Lösungen Version.04 f = ln + 0 = 0, n = 5 k = 0: f = ln + f 0 = 0 = 0 k = : f = + f 0 = 0 == k = 2: f = + 2 f 0 = 0 = k = 3: f 2 = + 3 f 0 = 0 = 2 k = 4: f 4 6 = + 4 f 4 0 = 0 = 6 k = 5: f 5 = k = 6: f 6 = f 5 0 = 0 = 24 6 T 5 = R 5 = 6 c + e f = ln 0 =, n = 5 k = 0: f = ln f 0 = = 0 k = : f = ln + f 0 = = k = 2: f = f 0 = = k = 3: f = 2 f 0 = = k = 4: f 4 = 2 3 f 4 0 = = 2 k = 5: f 5 = 6 4 f 5 0 = = 6 k = 6: f 6 = T 5 = R 5 = 6 30c 5 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

12 IMA II - Lösungen Version.04 2 Aufgabe 0 Grenzwertberechnungen mit Regeln von L Hospital Ausruck vom Typ Vorgehen Lösungshinweis 0 0 f g 0 0 f g e ln f g g f f g 4 i lim = lim }{{ 2 } 6 = lim 2 = 3 Die Anwenung er Regeln von L Hospital ist hier nicht erlaubt, a ieser Ausruck keinem Typ zugeornet weren kann! Korrekte Berechnung: lim = 2 2 ii Berechnung einiger Grenzwerte: a lim 0 tan b lim 0 cos 0 cos 2 = sin = 0 0 e e + e c lim 0 e 0 e n a n lim a a n n a = = na n FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

13 IMA II - Lösungen Version.04 3 ln e lim 2 2 = lim 2 2 = 0 f lim π 3 tan sin 2 g lim 0 ln + h lim 0 cos e i lim 0 cosh sin 2 π cos 2 2 cos 2 = = sin e sinh sin 2 cos 0 e = 0 cosh 2 cos 2 = j lim e e 2 6 4e 2 6 8e 2 = 0 tanh k lim cosh 2 2 = lim 0 cosh 2 = l lim lim m lim ln = lim 2 ln 3 ln 2 ln 2 2 ln + 2 ln n lim a ln ln 3 lim ln 2 2 ln o lim + + = 0 a ln ln a 2 = lim + = 0 e 0 = ln = lim a ln ln a = ln a o2 lim ln ln = lim 0 + = 0 e 0 = lim + = lim = e = e FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

14 IMA II - Lösungen Version.04 4 Aufgabe Etremwerte un Wenepunkte Die Untersuchung von Funktionen auf Etremwerte un Wenepunkte erfolgt jeweils unter Berücksichtigung er notwenigen un er hinreichenen Beingung. Dabei weren ie Nullstellen er Ableitungsfunktionen von f bestimmt un anschließen charakterisiert. Etremstellen: notwenige Beingung f = 0 E hinreichene Beingung f 0 E2 Wenestellen: notwenige Beingung f = 0 W hinreichene Beingung f 0 W 2 a f = 3e e 3 E 3e + 3e 3 = 0 e 2 = E = 0 E2 f E = 3e E 9e 3 E = 3 9 = 6 < 0 Maimum in 0; 2 W 3e 9e 3 = 0 e 2 = 3 W = 2 ln 3 W 2 f W = 3e W + 27e 3 W 2 = Wenepunkt in 2 ln 3 ; e e 3 b f = e E e 2 = 0 2 = 0 E = 2 E2 f E = e E E 3 = e 2 < 0 Maimum in 2; e 2 W e 3 = 0 3 = 0 W = 3 W 2 f W = e W 4 W = e 3 0 Wenepunkt in 3; 2 e 3 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

15 IMA II - Lösungen Version.04 5 c f = 2 e E e = = 0 E = + 2, E2 = 2 E2 f E = e E 4 E + 2 E = 2 2 e + 2 < 0 Maimum in + 2 ; e + 2 f E2 = e E 2 4 E2 + 2 E 2 = 2 2 e + 2 > 0 Minimum in 2 ; 2 2 e 2 W e = = 0 W = 2 + 3, W2 = 2 3 W 2 f W = e W W 2 W = 2 3 e Wenepunkt in ; f W2 = e W W2 2 W 2 = 2 3 e Wenepunkt in 2 3 ; e e 2 3 f = ln E = ln 2 = 0 ln = E = e E2 f E = 2 ln E 3 3 E = e 3 < 0 Maimum in e; e W 2 ln 3 3 = 0 2 ln = 3 W = e 3 2 W 2 f W = 6 ln W 4 W = e e 6 0 Wenepunkt in ; 2 e 3 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

16 IMA II - Lösungen Version.04 6 Aufgabe 2 Anwenung er Etremwertberechnung V = l π h Abbilung 2: Volumen V links, Oberfläche O rechts Zielfunktion: O = f r, h = 2πrh + πr 2 min Nebenbeingung: V = f r, h = πr 2 h 2 mit 2 : h = V πr 2 in folgt: O r = 2V r + πr2 notw. Be. für Etremstellen: hinr. Be. für Etremstellen: O r = 2V V r 2 + 2πr = 0 r E = 3 π O r = 4V r 3 + 2π O r E = 4V 3 + 2π = 6π > 0 3 V π r E r min in 2 : h = r min = 3 V π = 0 3 π cm Für h min = r min = 0 3 π wir er Materialverbrauch minimal. O min = π cm 2 FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng

17 IMA II - Lösungen Version.04 7 Aufgabe 3 Anwenung er Etremwertberechnung n S = k 2 k= min S n = 2 k = 0 k= n n k = 0 k= n n n n k = k = n k k= k= k= k= E = n k n k= 2 S 2 = n 2 = 2n > 0 E min k= Die Summe er quaratischen Differenzen wir minimal, wenn en arithmetischen Mittelwert arstellt: min = n k n k= FH SWF Meschee SS 205 A. Münzberg B.Eng