Beweise zum Ableiten weiterer Funktionen

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Johanna Messner
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1 Arbeitsblatt A: Eponentialfunktionen Satz (Ableitung von Eponentialfunktionen) Für alle gilt: () f () = e f ' () = e () f () = a f ' () = a ln (a) mit a + f() = e grafisches Differenzieren: Ergänze die Tabelle: Berechne an den angegebenen Stellen den Funktionswert oder lies ihn aus der Grafik ab. Zeichne für die jeweilige Tangente ein geeignetes Steigungsdreieck ein und lies den ungefähren Tangentenanstieg in der Grafik ab. Stelle Funktionswert f () Tangentenanstieg an der Stelle f ' () 0,5 0 0,5 Übertrage den ermittelten Wert für f ' an der jeweiligen Stelle in das leere Koordinatensystem und stelle die Ableitungsfunktion dar, indem du die einzelnen Punkte verbindest. Welche Funktion ergibt sich? 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7

2 Beweis zu Regel (): Für den Beweis wird die Reihendarstellung von e (vgl. Abschnitt Eine besondere Eponentialfunktion in Dimensionen Mathematik 6) benötigt. Subtrahiere auf beiden Seiten. Dividiere beide Seiten durch. Auf der rechten Seite erfolgt die Division für jeden Summanden. Bilde den Grenzwert, wenn sich unbegrenzt der Zahl 0 nähert. Nähert sich unbegrenzt der Zahl 0, dann nähert sich e der Zahl. Für die weitere Beweisführung wird durch Δ ersetzt. Bilde die Ableitung von e laut Definition mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten. Nach den Regeln für das Rechnen mit Potenzen ergibt sich: Die Ableitung kann für jede reelle Zahl gebildet werden. stellt eine feste Zahl dar und daher auch e. Es gilt der folgende Grenzwertsatz: lim (k a n) = k lim an für jede reelle Zahl k, n n wobei in diesem Fall k = e ist. Δ e Wegen lim = gilt: Δ 0 Δ Daher stimmt die Ableitung von e mit der Funktion selbst überein. 3 4 e = ! 3! 4! 3 4 e = ! 3! 4! 3 e = ! 3! 4! 3 e lim ! 3! 4! 0 e lim = Δ 0 Δ = e lim Δ f( +Δ) f() f'() Δ 0 Δ +Δ e e Δ 0 Δ Δ e e e Δ 0 Δ Δ e ( e ) Δ 0 Δ Δ e e Δ 0 Δ e lim = Δ 0 = e Δ e Δ f'() = e f '() = f() Beweis zu Regel (): f() = a = e = e Wende den Zusammenhang a = e an. f'() = e Leite mithilfe der Kettenregel ab. ( e ) = ln( a) = a 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7

3 Arbeitsblatt B: Logarithmusfunktionen Satz (Ableitung von Logarithmusfunktionen) Für alle + gilt: () f () = ln () f ' () = () f () = a log () f ' () = mit a + \ {} Beweis zu Regel (): Der Beweis wird mithilfe grafischer Überlegungen geführt. Die Funktion f () = ln () ist die Umkehrfunktion von g () = e. Grafisch erhältst du die Umkehrfunktion, indem du e an der. Mediane spiegelst. Für den Beweis wird eine beliebige Stelle 0 betrachtet und der Funktionswert ln () gebildet. Der Punkt P ( 0 ln ( 0 )) ist ein Punkt des Graphen von ln (). Da e die Umkehrfunktion von ln () ist, gibt es einen entsprechenden Punkt Q auf dem Graphen von e. Der Punkt Q auf dem Graphen von e hat die Koordinaten Q (ln ( 0 ) 0 ). 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 3

4 Im Punkt Q wird eine Tangente an den Graphen gelegt und das entsprechende Steigungsdreieck eingezeichnet. Da g () = e abgeleitet g ' () = e ist, gilt für die Steigung k der Tangente im Punkt Q: k = g ' (ln ( 0 )) = g (ln ( 0 )) = 0. Die Steigung der Tangente entspricht dem Funktionswert im Punkt Q. Die Tangente im Punkt P liegt symmetrisch zur Tangente im Punkt Q bezüglich der. Mediane. Als Steigungsdreieck ergibt sich ebenfalls durch Spiegelung ein Dreieck mit der waagrechten Kathete der Länge 0 und mit der senkrechten Kathete der Länge. Das Steigungsdreieck mit den Kathetenlängen 0 und ist ähnlich zum Steigungsdreieck mit den Kathetenlängen und f ( 0 ). Es gilt: f ' ( 0 ) : = : 0 f ' ( 0 ) = Daher gilt für jede positive reelle Zahl : 0 f () = ln () f ' () = Beweis zu Regel (): Wende den Zusammenhang a ln() log() = an. Leite ab. a ln() f() = log() = = ln() f'() = = 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 4

5 Arbeitsblatt C: Potenzfunktionen Satz (Ableitung von Potenzen mit negativen Eponenten) Für alle und n * gilt: f() = n = f ' () = n n n = n n + Beweis: Die Regel wird mithilfe der Quotientenregel und den Regeln für das Rechnen mit Potenzen auf das Ableiten von Potenzen mit natürlichen Eponenten zurückgeführt. f() = n = n n n n 0 n n (n ) n f'() = = = n n n n (n+ ) = n = n = n n+ Satz (Ableitung der Quadratwurzelfunktion) Für alle + gilt: f() = f ' () = Beweis: Die Regel wird mithilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten und der binomischen Formel a b = (a b) (a + b) bewiesen. +Δ ( +Δ ) ( +Δ + ) f '() Δ 0 Δ Δ 0 Δ +Δ + +Δ +Δ Δ 0 Δ 0 Δ +Δ + Δ +Δ + Δ = Δ 0 Δ 0 Δ +Δ + +Δ + + = Mithilfe der Ableitung von e und ln () kann die Ableitung von Potenzen auf reelle Eponenten erweitert werden. Satz (Ableitung von Potenzen mit reellen Eponenten) Für alle + und r gilt: f () = r f ' () = r r Beweis: Die Regel wird mithilfe des Zusammenhangs = e ln(), mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregeln von e und ln() hergeleitet. f () = r = (e ln() ) r = e r ln() f ' () = e r ln() r = (eln() ) r r = r r = r r 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 5

6 Arbeitsblatt D: Winkelfunktionen Satz (Ableitung von Winkelfunktionen) Für alle gilt: () f () = sin () f ' () = cos () () f () = cos () f ' () = sin () 3 π π π 3 π Für alle \ {,,,,, } gilt: (3) f () = tan () f ' () = tan () cos () = + Beweis zu Regel (): Die Ableitung von Sinus und Cosinus lässt sich durch grafisches Differenzieren begründen. Überprüfe und begründe! Ein eakter Beweis ist sehr aufwändig und wird hier nicht durchgeführt. f () = sin () f ' () = cos () Beweis zu Regel (): f () = cos () f ' () = sin() 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 6

7 Beweis zu Regel (3): Die Regel kann mithilfe der Quotientenregel hergeleitet werden. sin() f() = tan() = cos() cos() cos() sin() [ sin()] cos () + sin () f'() = = cos () = oder cos () cos () cos () sin () = + = + tan () cos () cos () f'() = = + tan () cos () 0 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 7

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