1 Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

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1 Schülerbuchseite 8 9 Lösungen vorläufig Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate S. 8 a) Da der dargestellte Graph keine Gerade ist, verläuft die Temperaturzunahme nicht gleichmäßig. Temperaturzunahme zwischen Uhr und 7 Uhr C, zwischen 7 Uhr und 8 Uhr aber C. b) Zwischen Uhr und 8 Uhr: 9 C C = C h h Zwischen 7 Uhr und 0 Uhr: 8 C C = C h h Zwischen 9 Uhr und Uhr: C C =,7 C h h c) Es fällt auf, dass die beiden Geraden parallel verlaufen. Die Temperaturzunahme ist im Mittel gleich. S. 9 f (0) f ( ) a) D f = R; m = = + 0 ( ) = ; m = ; m = ; m = b) D f = R; m = 9; m = 7; m = ; m = c) D f = [ ; + [ m = ,; m = ,; m = ,; m = , d) D f = R \{ } m = ; m = ; m = 0,8; m =, e) D f = R; m = m = m = m = f) D f = R; m = ; m = ; m = ; m = 7, a) Steigung durch P (0 0) und Q ( -0,): m = 0, größte Steigung: Steigung durch P (0 0) und Q (,): m = 0, Sekante durch P Steigung durch P (0 0) und Q ( 7,): m =, und Q kleinste Steigung: Steigung durch P ( 0,9) und Q ( 7,): m =, Sekante durch P Steigung durch P ( 0,9) und Q (,): m = 0, und Q b). Möglichkeit: Berechnung. Möglichkeit: Skizze des Graphen = 0, = 0, erstellen und die Punkte P, P, P und Q, Q, Q, Q markieren. Es wird deutlich, dass nur die Steigung der Sekante durch P und Q negativ ist und somit die kleinste Steigung ist. Die Sekante durch P und Q hat die größte Steigung. c) Sekante : = 0, ; Sekante : = 0, ; Sekante : =, ; Sekante : =, ; Sekante : = 0, +, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

2 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläufig S. 0 a) Der Zeitraum umfasst 9 Monate. 9 8 m S = 9 0, die Anzahl der offenen Stellen nimmt im Mittel monatlich um 0 zu m A = 9 0, die Anzahl der Arbeitslosen nimmt im Mittel monatlich um 0 ab. b) Der Unterschied verändert sich im Mittel um = pro Monat. c) Mögliche Zeiträume: Januar 00 März 00; Januar 007 Februar 007; Januar 00 bis zu beliebigem Monat vor November 007 d) Mögliche Zeiträume: Juni 00 Dezember 00; Januar 007 Juli 007, Mai 00 November = realistischer Graph in km Der Wagen fährt durchschnittlich mit km min, so sind 00 km h. Während der ersten 0 km ist die Steigung des realistischen Graphen nie größer als km min, danach eigentlich immer t in min Die beiden Graphen schneiden sich in Punkten. Zwischen je zwei -Werten der Schnittpunkte haben f und g dieselbe Änderungsrate. ( ) = 0,8 + = 0,8,8 + = 0 (,8 + ) = 0 f() = 0; / =,8 ± ,,8 ± = g(),8;, Ø =[0 ;,]; Ø =[, ;,8]; Ø = [0 ;,8] 7 a) 0 t < s: der Fahrstuhl beschleunigt aus dem Stillstand. (aufwärts) t < s: der Fahrstuhl fährt mit konstanter Geschwindigkeit. t < s: der Fahrstuhl bremst bis zum Stillstand. t < s: der Fahrstuhl steht still. t < 9 s: der Fahrstuhl beschleunigt. (abwärts) 9 ª t < s: der Fahrstuhl fährt mit konstanter Geschwindigkeit. t < s: der Fahrstuhl bremst bis zum Stillstand. (0 0) m b) [0; ]: ( 0) s = 0, m 0) m s ; [; ]: (0 ( ) s = 0 m 0) m s ; [ ; ]: ( ( ) s = 0, m s Die Werte geben jeweils die durchschnittliche Geschwindigkeit des Fahrstuhls im angegebenen Intervall an. Der negative Wert drückt aus, dass sich der Fahrstuhl nach unten bewegt. c) Der Fahrstuhl braucht weniger als 80 s, da er nur einmal beschleunigt und einmal bremst. Ines berücksichtigt bei ihren Überlegungen je fünf Beschleunigungs- und Bremsphasen. In diesen Phasen ist die durchschnittliche Geschwindigkeit jeweils geringer als mit konstanter Geschwindigkeit. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

3 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläufig d) 0. Stock:, m 0 = 0 m Strecke Der Fahrstuhl beschleunigt s (š, m) und bremst s (š, m), also fährt er 0 m (, +,) m = m mit konstanter Geschwindigkeit v = 7 m s. Für die m braucht er m s. 7 m s = Insgesamt braucht er s + s + s = s. 8 r Ø = (,, ) a), b) 0,78 ( ( ) ) f() c) Individuelle Lösungen. d) Länge : [ 0,;,] Länge : [,;,] Länge : [ ; ] f() 9 Steigung der Strecke [AB]: m = + = Steigung der Senkrechten: m = Mittelpunkt der Strecke [AB]: M ( ) Gerade durch M mit Steigung m : = + t t = Gleichung der Mittelsenkrechten: = + Differentialquotient und lokale Änderungsrate S. a) Da der Graph von B eine Gerade ist, legt B in gleich langen Zeitintervallen immer die gleich lange Strecke zurück und fährt somit mit konstanter Geschwindigkeit. V B = 00 m 0 s =, m s = km h Da der Graph von A immer flacher wird, legt A in gleich langen Zeiten immer geringere Strecken zurück, somit wird die Geschwindigkeit von A immer geringer. b) Der Graph von A ist beim ersten Treffen steiler. A überholt B und ist somit schneller. c) Bei etwa 0 s. d) Man könnte eine Tangente an den Graphen von A in dem Punkt legen, in dem sich A und B treffen. Die Steigung dieser Tangente ist dann ein Maß für die Geschwindigkeit von A. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

4 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig S.,,9,99,999 0 =,00,0,, a) 0, 0,,7,7,97,997,,00,0,, b) 0, 0,,7,,90,99,7,7009,7090,79,7 c) + 8 d) 0,,,787,7,77,77,77,78,87,7 e) ( ) f) sin 0, 0,9 0,98 0,989 0,990 0,99 0,990 0,99 0,99 0,98 s () = ; s () = 8; s () = 8 t 0 0, 0,9 0,99 0,999,00,0,, t,8,98,998,00,0, t t,,9,99,999,00,0,, t 8 7 7,8 7,98 7, ,00 8,0 8, 9 0 t t,,9,99,999,00,0,, t 8 0,8,98,998,00,0, t S. a), b) c) Steigung der Tangente an G f : 0, Steigung der Tangente an G g : Individuelle Lösungen für die Steigungsdreiecke. Die Steigungen beschreiben die lokale Änderungsrate von f bzw. von g an der Stelle = g() d) Die beiden Tangenten sind zueinander senkrecht. Der Wert des Produkts ihrer Steigungen ist : f ( ) g ( ) = 0, ( ) = f() Lösungswort (von hinten gelesen): Richtig Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

5 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) Wassermenge W (t) eines Auflaufbeckens G hat Einheit m ; Volumenänderung N hat Einheit m s G ; GNG Länge einer Pflanze D hat Einheit m Ø ; Wachstumsgeschwindigkeit E hat Einheit m s B ; DIEB Konzentration K (t) eines Medikaments F hat Einheit mg E ; Konzentrationsänderung L hat ø Einheit mg ø h D ; FELD höhe h () H hat Einheit m A ; Steigung bzw. Gefälle U hat keine Einheit S ; HAUS Geschwindigkeit v (t) T hat Einheit m s E ; Beschleunigung S hat Einheit m s T ; TEST b) Die ideale Änderungsrate hat die Einheit e e. 7 Individuelle Lösungen. Lösungsidee mit Hilfe der Temperatur einer Wassermenge. Diese kühlt z. B. von 90 auf ab. Mittlere Änderungsrate m: Sie gibt an, um wieviel C sich das Wasser im Mittel pro Zeiteinheit (z. B. Sekunde) innerhalb der Zeit t t 0 abgekühlt hat. Lokale (oder im Falle der Zeit momentane) Änderungsrate m t0 : sie gibt an, wie stark die Änderung der Wassertemperatur zum festen Zeitpunkt t 0 ist. Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Änderung der Temperatur zwischen zwei unterschiedlichen Zeitpunkten. Die ideale Änderungsrate beschreibt die Änderung der Temperatur zu einem festen Zeitpunkt. Zusammenhang: Die ideale Änderungsrate m t0 ergibt sich anschaulich mit Hilfe der mittleren Änderungsrate m durch Heranrücken von t an t 0. Mathematisch geschieht dies durch Grenzwertbildung: m t0 = lim t t 0 m 8 a) V (0) = 90 0 cos ø = 90 0 ø = 70 ø b)? V () = 0 wenn = 7,9, also kann der PKW km weit fahren V() c) Vorgehensweise wie im Beispiel (Schülerbuchseite S. ). V () V () 00 km: 0 = : V (),0 m = = 8,9 in Liter km V () V () 00 km: 0 = : V (), m = = 8,7 in Liter km Interpretation: der ideale Spritverbrauch beträgt bei 00 km 8,9 Liter pro Kilometer, und bei 00 km 8,7 Liter pro Kilometer. 9 a) g () = + + g ( ) = 9; a mit Hilfe einer Tabelle kann der Wert 0 ermittelt werden. b) Die zugehörige Funktion hat für Werte für a Stellen, an denen die ideale Änderungsrate den Wert Null hat. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

6 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 0 a),,, 0, 0,,,, c) b) a) Nullstellen für = ; = ; = ; = ; Stellen, für die die ideale Änderungsrate den Wert Null hat. b) Nullstellen für = ; = ; = ; Stellen, für die die ideale Änderungsrate den Wert Null annimmt. c) Nullstellen für = ; = 0 (dreifach); = ; Stellen, für die die ideale Änderungsrate den Wert Null annimmt. S. a) h (t) = 9 t (t ) =,7 t + 9 t Mit Hilfe einer Tabelle kann die Geschwindigkeit zu den verschiedenen Zeitpunkten mit h (t) h t 0 t t0 bestimmt werden. Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 = 0 ist 9, für t = ist 9,, für t = ist 0 und für t = ist 9,. Das negative Vorzeichen drückt aus, dass der Körper nach unten fällt. A (a) A () Lokale Änderungsrate wird mit a = a a bestimmt. Ergebnis: 8. a) () V (a) = a () Im Tetraeder teilt der Fußpunkt der Tetraederhöhe h T die Höhe h G der Dreiecksgrundfläche im Verhältnis :. Somit gilt für h T = a ; G = a (gleichseitiges Dreieck). V T (a) = G h T = a a = a b) Lokale Änderungsrate an der Stelle a 0 = für (): a 7 a ; mit Hilfe einer Tabelle: 7 für (): a a ; mit Hilfe einer Tabelle: ,8 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

7 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) b) Konzentration ist für t 0 = am größten; k () = ; 0 Die momentane Änderungsrate m = 0. c) m 0,7; m 8,; m 0,8 8 d) Etwa für t = 8 wird das Medikament am stärksten abgebaut. (genauer Wert: t = 7,97) G K e) Zum Beispiel für t,0 und t,8; die momentane Änderungsrate beträgt dann etwa 0, a) k(0) = 9 = 8 cm; die Kerze war zu Beginn 8 cm hoch. k (t) = 0 0,0 t + 0, = 0 (0,0 t + 0,) = 0, t + 0, = t = k () k (0) b) m = 0 = 8 cm h = 0, cm ; das negative Vorzeichen drückt das Herabbrennen aus. h c) Etwa bei t = ; (genau t =,9 ) 8 7 G K A 8 0 d) Der Graph von k wird mit zunehmenden t-werten immer flacher, also ist zum Zeitpunkt t = 0 der maimale Wert der Abbrenngeschwindigkeit vorhanden und zum Zeitpunkt t = der minimale Wert der Abbrenngeschwindigkeit. Beide Werte können mit Hilfe einer Tabelle ermittelt werden. Alternativ könnte man die Tangenten an den Graphen von k zu den Zeitpunkten t = 0 und t = einzeichnen und jeweils deren Steigung bestimmen. Randspalte Die gelbe Kerze hat am ehesten das beschriebene Abbrennverhalten, da sie kegelförmig ist. Somit nimmt die abzubrennende Wachsmenge mit steigender Brenndauer immer mehr zu. Die Abbrenngeschwindigkeit wird immer geringer. Dies entspricht der Tatsache, dass der Graph von k mit zunehmender Zeit immer flacher wird. lg,, lg b),, = ; Substition, = u u u = u = u u u = 0; u = ; u =, = = lg 8,8 lg,, = ist nicht definiert. a), 0,8 = 0, = 0,8 =, = Differenzierbarkeit S. Bei = : keine Änderung, da der Graph eine waagrechte Tangente besitzt. Bei = : die lokale Änderungsrate von f ist negativ, da die Tangente an den Graphen eine negative Steigung aufweist. Bei = : hier ist keine Aussage möglich, da man an den Graphen im Punkt P ( f ()) keine (eindeutige) Tangente anlegen kann. Bei = 7: die lokale Änderungsrate von f ist positiv, da die Tangente an den Graphen eine positive Steigung aufweist. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

8 Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläufig m = lim = lim ( ) = lim ( + ) ( ) = lim ( + ) = ( ) S. 8 a) f () = 9; b) f (0,) = ; c) f (,) = 9; d) f (a) = a a e) f (r + ) = r + r + f) f ( 0 + h) = h + h h f ( + h) = h + h + g) f () f ( 0 ) = f () f () = h) f ( 0 + h) f ( 0 ) = h + h h = 0 h + h h f ( + h) f () = 8 h + h h = h + h i) f () f ( 0) 0 = = ( ) : ( 0 ) = + 0 (Polnomdivision) f() f () = = ( ) : ( ) = + k) f ( 0 + h) f ( 0 ) = 0h + h h f ( + h) f () = h h 0 + h = h + h l) f () = ; f (0,) = ; f (,) = ; f (a) = a ; f (r + ) = r + ; f ( 0 + h) = 0 + h somit f ( + h) = + h f () f ( 0 ) = 0 = 0 0 somit f () f ( ) = + + = f ( 0 + h) f ( 0 ) = ( 0 + h) h 0 = 0 ( 0 + h) somit h f ( + h) f ( ) = h f () f ( 0 ) 0 = = f () f ( ) 0 somit + = h f ( 0 + h) f ( 0 ) 0 ( 0 + h) = = h h 0 ( 0 + h) somit f ( + h) f ( ) = h h a) Der Graph von f hat für = und für, <, eine waagrechte Tangente. b) Die Funktion f ist für folgende Punkte nicht differenzierbar: = : es eistiert offensichtlich keine (eindeutige) Tangente an den Graphen im Punkt P ( 0). Alternativ: Linksseitiger Grenzwert ( ) rechtsseitiger Grenzwert (). = : Begründung wie ; linksseitiger Grenzwert ( ) rechtsseitiger Grenzwert (,). = : Begründung wie ; linksseitiger Grenzwert (,) rechtsseitiger Grenzwert ( ). = : Begründung wie ; linksseitiger Grenzwert ( ) rechtsseitiger Grenzwert (0). =,: Begründung wie ; linksseitiger Grenzwert () rechtsseitiger Grenzwert (0).. Möglichkeit: f ( 0 ) = lim f () f ( 0) 0. Möglichkeit: f ( 0 ) = lim 0 h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h a) f () = b) f ( ) =, c) f () = 0 d) f = e) f () = a) lim h 0 h + = lim h h 0 (h + ) = lim h (h + ) h = lim h 0 h (h + ) h 0 h + = b) Die Tangente im Punkt A (,) hat die Gleichung = 0,7 +. a A 7 8 f() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

9 Schülerbuchseite 8 9 Lösungen vorläufig 7 a) lim 0 0, = 0, ; lim 0 0, = 0, > < f ist für = 0 nicht differenzierbar, da die Grenzwerte unterschiedlich sind. b) lim = ; lim ( ) = > < f ist für = nicht differenzierbar, da die Grenzwerte unterschiedlich sind. c) lim 0 + = lim 0 + = ; lim 0 + = lim 0 + = > > < < f ist für = 0 differenzierbar, da die Grenzwerte gleich sind. ( ), falls < d) z. B. f: = {, falls c) a) b) S. 9 8 a) m T = lim = lim ( ) ( + ) = lim ( + ) = ; = + t t = ( ) Tangente t: = m n = ; = + t t =,; Normale n: = +, Schnittwinkel Tangente mit -Achse: α = 7,0 Schnittwinkel Normale mit -Achse: α =,0 b) Fehler im Schülerbuch: Es muss heißen: P 0 ( I 0,) Tangente t: = 0, + 0,; Schnittwinkel mit -Achse: α =, Normale n: =,; Schnittwinkel mit -Achse: α =,. c) Tangente t: = ; Schnittwinkel mit -Achse: α = 78,7. Normale n: = ; Schnittwinkel mit -Achse: α =,. d) Tangente t: = +,; Schnittwinkel mit -Achse: α = 9,. Normale n: = 7; Schnittwinkel mit -Achse: α = 80,. 9 a) b) tan α = α = 7,9 9 c) QR = + QR = , d) a ist die Höhe im Dreieck RQ; 8 a somit gilt: QR a = A RQ a = a = e) m n = ; = + t t =, n: = 0, +, f) 0, +, = + 0,, = 0 mit Lösungsformel ergibt sich = ; =, und somit S (,,0). α = 7,9 g) A = (+ +,) = 8, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

10 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläufig 0 Das Fahrzeug bewegt sich entlang der Tangente t mit der Gleichung t: = + ; es verlässt die Fahrbahn im Punkt P ( ). Mögliche Strategien: ) Gleichsetzen von Tangenten- und Parabelgleichung: m + = 0, + + 0, + m + = 0 / = m ± m ; m = 0 für m = ; m = ist hier nicht möglich, also = + somit ergibt sich für den Schnittpunkt P ( ). ) Lösen durch Probieren, evtl. auch mit dem Computer. a) lim g () = lim ( ) + = lim () = lim g ( ) + = < < > > b) g ist für 0 = nicht differenzierbar, da die Funktion an der Stelle 0 eine Sprungstelle besitzt. Tangente: = f ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ) Normale: = f ( 0 ) ( 0) + f ( 0 ) = m ( 0 ) + 0 = m ( 0) + 0 = m m = m n ( 0 ) + 0 ; m n = m = t = m + t = m n + t a) Ansatz: 0, = + r 0, r = 0 die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn Diskriminante D = 0, also + r = 0 r = Berührpunkt: für =, also B ( ); g: = b) Gesucht ist die Steigung m im Punkt ( ) an den Graphen von = 0,. m = lim 0, = lim 0, ( + ) ( ) = lim 0, ( + ) = ; = + t t = ( ) somit t: = ; dies ist G f. a) 9 b) = m + 0 = m + ; die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen (und damit zwei Schnittpunkte), wenn D > 0; 8 D = 9 + m; D > 0 wenn m > 7 c) + k = + 0 = + (k ) + k = 0 a die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn D = 0, also (k ) ( k) = 0 b k = ; k = f (k ) = ; f (k ) = c Y Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

11 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläufig a) c c c = c c c = c b) a b b a = a b = (a b) b a c) = = d) z 7 z z = z 7 z z = Ableitungsfunktion S. 0 a) Steigung für einen allgemeinen Wert 0 : f ( 0 ) = lim = lim ( + 0) ( 0 ) 0 = lim 0 00 ( + 0) = 0 0 ; 0 0 > wenn 0 > 0 b) f ( 0 ) = für 0 = 0; f (0) = ; das Fahrzeug erreicht eine Höhe von m. S. a) f () = ; = für = 0,; Steigung im Punkt P (0, 0,) b) f () = 8 ; 8 = für = 0,; Steigung im Punkt P ( 0, 0,) c) f () = 0; kein Punkt P hat die Steigung d) f () = ; alle Punkte haben die Steigung ( * R) e) f () = ; kein Punkt P hat die Steigung f) f () = ; = für = ; Steigung im Punkt ( 0). zu a) zu b) zu c) f () f() f() f () f () f() zu d) f () f() zu e) f() f () zu f) f() f () Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

12 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) f ( 0 ) = lim 0 0 = lim = 0 ; 0 = 0 =, ; B (,,) 0 Tangentengleichung:, = (,) + t t =,; t: =, b) Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse:, = 0 =, A =,, =,90 a) f () = lim 0 0 = lim ( + 0) ( 0) h() = lim + 0 = 0 0 analog: g () = h () = g() f() b) f 0 () = lim c 0 c 0 = lim = 0 0 () falsch; es eistieren bereits Nullstellen (eine doppelte Nullstelle bei (0 0). Mehr Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion vierten Grades nicht besitzen und somit kann der Graph die -Achse nicht mehr kreuzen. () richtig; der Graph der Funktion hat an der Stelle 0 = 0 eine waagrechte Tangente, somit f (c) = 0 () richtig; der Grad von f () ist und somit kann f () maimal Nullstellen haben, f hat genau drei Nullstellen, weil f an drei Stellen waagerechte Tangenten besitzt. () richtig; f () hat eine weitere Nullstelle für *] 0 ; [, also gibt es in diesem Intervall auch einen negativen Bereich für f. () falsch; der Graph von f () verläuft bis unterhalb der -Achse. Die beiden Graphen schneiden sich im III. Quadranten. S. Individuelle Lösungen a) keine Nullstelle: z. B. f () = (f () = ) eine Nullstelle: z.b. f () = (f () = ) zwei Nullstellen: z.b. f () = + (f () = + ) b) z. B. f () = (f () = ) c) z. B. f () = sin (f () = cos ) d) z. B. f () = + (f () = + ) fa 8 fa fc fb fa 0 fd 7 Der hellblaue Graph scheidet aus, da der Wasserstand erst abnimmt (~ t = ), dann bis ungefähr t =, ansteigt und anschließend bis ungefähr t = 8 wieder abnimmt. Der Anstieg von p ist an der Stelle, etwa 0,7. Der orangefarbene Graph spiegelt die Pegelstandsänderung am genauesten wieder. 8 Individuelle Lösungen Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

13 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 9 a) b), =, = 0 8 = ,; = , (mit Lösungsformel),,9 c) A ( 0 7 )A ((, 0,)) d) f () > 0 wenn, > 0 (, ) > 0 Der Graph der Funktion steigt für < 0 oder > 8. f'() f() e) f () > wenn, > 0 Die Steigung der Graphen ist für < oder > größer als. 0 a) Gleichung der Rampe: m R = tan 0,; R: = 0, + Die Rampe endet im Gelände bei =. (R( ) = 0) Die Rampe trifft auf die Böschung, wenn beide die gleiche Steigung haben: = 0, = 0, = b) L = 8 + ø = 8, also ungefähr m lang. A : Ableitung hat Nullstelle bei = ; sie ist negativ für < und positiv für >. B : Ableitung hat keine Nullstelle; sie steigt stetig an; C : Ableitung hat Nullstelle bei = ; D : Ableitung hat zwei Nullstellen; E : Polstelle bei = ; keine Nullstellen; Individuelle Lösungen a) z. B. f () = b) f () = c) f () = + S. a) h (t) = 0 sin (π t); h (t) = 0 π (cos π t) b) h (t) beschreibt die Geschwindig- keit des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit. c) Z. B. die Schwingung eines Gewichtstückes an einem Federpendel h in cm t 0 a) f a () > 0 * R; f a () = 0, b) f b () = 0 für = und = f b () > 0 für * R \ [ ; ] f b () < 0 für * ] ; [ c) f c ()= 0 für = ; = 0 und = f c () > 0 für * ] ; 0 [ ± ] ; + [ f c () < 0 für * ] ; [ ± ] 0 ; [ f b f a f c Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

14 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig d) f d () = 0 für = 0,7 f d () > 0 für > 0,7 f d () < 0 für < 0,7 e) f e () = 0 für = 0 und =, f e () > 0 für * ] 0 ;, [ f e () < 0 für * R \ [ 0 ;, ] f) f f () = 0 für = und = 0,7 f f () > 0 für > 0,7 f f () < 0 für * ] ; 0,7 [ \ { } f e f f f d g) f g () = 0 für = 0 f g () > 0 für > 0 f g () < 0 für < 0 h) f h () = 0 für = 0, und = 0,7 f h () > 0 für * ] ; 0, [ ± ] 0,7 ; + [ f h () < 0 für * ] 0, ; 0,7 [ i) f i () > 0 für alle * R f g f i ZP = ( u) + u ø (u) = u + u u + Minimaler Abstand: ø min =,77, Mögliche Strategie: Computereinsatz P Z n tan = h, 7 ( ) n 0,99 h* h =, tan =, cm cos =, h* h* =, cos =,7 cm V = G h = cm, cm =,7 cm = G + Seitendreiecke = cm + ( cm,7 cm ) = cm + 7 cm = 8 cm ( ) n 0,0 lg 0,0 n =, lg 0, Die Laplace-Münze muss mindestens 7 Mal geworfen werden. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

15 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig Stammfunktionen S. Der Graph von f hat seine Nullstellen bei und, für * ] ; [ sind die Funktionswerte negativ, d. h. der Graph von f muss bei und waagrechte Tangenten haben und für * ] ; [ monoton fallen. Deswegen kann nur der blaue oder orange Graph zur Funktion f gehören. S. a) F () = lim 0, 0, 0 = lim 0, ( ) = 0 = f () 0 b) F () = lim = lim = f () 0 c) F () = lim = lim ( ) = 0 = f () 0 d) F () = lim = lim ( ) = 0 = f () 0 e) F () = lim = lim F ist Stammfunktion. F ist keine Stammfunktion. F ist Stammfunktion. F ist Stammfunktion. = lim = 0 f () F ist keine Stammfunktion. a) F: roter Graph (Parabel); f: blauer Graph (Gerade) b) F: orangefarbener Graph; f: brauner Graph f () = 0; f () < 0 für > F hat an der Stelle = eine waagrechte Tangente, F ist monoton fallend für > nur Graph C möglich g () = g () = 0; g () > 0 für * ] ; [ G hat an den Stellen = und = waagrechte Tangenten und ist monoton steigend. A und G möglich. a) b) f (0,8) =, 0,8 = 0,9 Die Steigung im Punkt F (0,8 0,) beträgt 0,9. f() 0,9 =, = 0,8, = 0,8 c) Individuelle Lösungen z. B. G: 0, + h: 0, H() d) Je zwei der drei Graphen können durch Verschiebung in -Richtung ineinander übergeführt werden. e) K () = 0, + C K () = 0, + C = C = 7 somit K () = 0, + 7 G() F() Individuelle Lösungen a) z. B. f () = ( ) ( + ) b) z. B. f () = + (Graph schneidet -Achse im Punkt ( 0) und -Achse im Punkt (0 )). c) z. B. f () = ( ) ( + ) ( + ) ( ) d) z. B. f () = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

16 Schülerbuchseite 7 8 Lösungen vorläufig Die Ableitung der Funktion n (n * Z) S. 7 a) n b) Vermutung für f: n : f () = n n f () = n c) Individuelle Lösungen f () S. 8 a) f () = b) f () = c) f () = 9 8 d) f () = e) f () = f) f () = g) f () = 8 9 h) f () = a) f () = k k b) f () = n n c) f () = ( k + ) k d) f () = ( m) m e) f () = ( n + ) n + f) f () = ( n) n g) f () = m m h) f () = (n + ) n a) f () = ( ) = ; f () = (Potenzgesetz) b) f () = ( ) = ; f () = 7 (Potenzgesetz) c) Ableitung nicht möglich, da + Z. d) f () = ( 9 ) = ; f () = (Potenzgesetz) e) Ableitung nicht möglich, da Z. f) Ableitung nicht möglich, da, + Z. g) g (r) = (r ), = r 0 ; g (r) = 0 r 9 (Potenzgesetz) h) Ableitung nicht möglich, da 0, + Z. f () = ; f () = Graph h g () = ; g () = Graph h a) f () = ; f () = = = ; f ( ) = ; Tangente t: = ( ) + t t = ; t: = Vorgehensweise bei den anderen Teilaufgaben analog! b) t : = + oder t : = c) t : = oder t : = d) t: = + e) t: = + 7 f) t: = 0 7 a) f () = ; m = tan 0 = 0,8 f() A,,,,0 0,8 0, 0, 0, F() B 0, 0, 0, 0,8,0, a b = = ,; = , Vorgehensweise für Teilaufgaben b), c), d) analog. b) = , c) = ,77; = ,77 d) = tan, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

17 Schülerbuchseite 8 9 Lösungen vorläufig 8 a) m = 0 m s ; m gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [ 0 ; 0 ] an. b) s (t) = t; t = t = 7,; Zum Zeitpunkt t = 7, s hat das Auto die Momentangeschwindigkeit. 9 a) f () = ; f ( ) = ( ) = = f () Der Graph von f ist achsensmmetrisch bezüglich der -Achse. b) n ungerade n = k + (k + Z) f () = k + f () = ( k + ) k f ( ) = ( k + ) ( ) k = ( k + ) (( ) ) k = ( k + ) ( ) k = ( k + ) k = f () c) Es gilt für gerade Eponenten n: Der Graph der Ableitung von f: n ist punktsmmetrisch zum Ursprung. n gerade n = k (k * Z) f () = k f () = k k f ( ) = k ( ) k = k ( ) k ( ) = k (( ) ) k ( ) = k ( ) k = k k = f () 0 a) Tangente t in B ( ): m = h () = = ; = + t t = t: = Schnittpunkt: = + = 0 Lösen der Gleichung führt auf den Schnittpunkt P ( 8). b) m = a ; a = a a + t t = a t a : = a a Individuelle Lösungen a) z. B. f () = ; g () = + f () = g () = b) z. B. f () = ; g () = f () = (); g () = c) z. B. f () = ; g () = f () = 8 (); g () = d) z. B. f () = ; g () = f () = ; g () = a) Amplitude = a; Periode = π ; keine Phasenverschiebung b b) Amplitude = ; Periode = π b ; Phasenverschiebung c b a) = = = = b) = = = 0 8 = Summenregel und Faktorregel S. 9 g () = ; h () = f ( 0 ) = lim = lim = lim 0 ( 0 ) ( + 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = lim = also folgt: f () = g () + h () für beliebige. Ablesen der Steigungen zeigt: g () =, f () = 0, und g () =, f () = also ist die Steigung des Graphen von g in beiden Punkten doppelt so groß. f ( 0 ) = lim 0 0 ( 0 = lim ) 0 ( 0) ( + 0 ) = lim 0 0 ( + 0) = 0 g ( 0 ) = lim 0 ( ( 0) ( + 0 ) 0 = lim ) 0 0 = lim 0 0 ( ( + 0) ) = 0 = f ( 0 ) somit folgt: g () = f () für beliebige. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

18 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig S. a) f () = b) g () = + c) f () = 8 z d) f () = e) g (u) = 8 u 9 u f) f () = 0 g) f () = h) f () = 0 i) g () = k) h () = a) f () = 0 ; f (0) =, Graph fällt; f () = b) f () = ; f (0) = 0, keine Steigung; f () = c) f () =,, + a; f (0) = a, Graph fällt für a < 0; f () = 0, + a Graph steigt für a > 0; d) f () = + ; Funktion und somit auch die Ableitungsfunktion sind für = 0 nicht definiert. f () = e) f () = +,; f (0) =,, Graph fällt; f () =, f) f () = a ; f (0) = 0, keine Steigung; f () = a g) f () = ; f (0) =, Graph steigt; f () = a) g hat den Grad und somit h den Grad. h kommt somit nicht in Frage. An der Stelle = 0 fällt der Graph, daher kommt h wegen h (0) > 0 nicht in Frage. Da g für betragsmäßig große steigt, muss h für betragsmäßig große positiv sein; damit scheidet h aus und es bleibt h übrig. b) Der Grad von k muss sein, somit scheidet k aus. k () scheidet aus, weil k (0) = 0 ist. K scheidet aus, weil für große k () negativ sein müsste. Es bleibt k. (Anmerkung: k bleibt als einzige Funktion übrig, erfüllt aber auch die Bedingung nicht.) a) h () = b) f (a) = a c) g () = d) h (a) = a e) f (t) = t a f) g () = 0 g) h () = h) f (z) = z z i) f (t) = t t k) h () = l) g () = 7,8 7 a) f () = 0, also f () = 0 = 0 ebenso ist g () = 0 und h () = 0 Die Ableitung jeder konstanten Funktion ist die Nullfunktion. b) f () = ; g () = ; h () = m Die Ableitung jeder linearen Funktion ist der Steigungsfaktor an. 8 Funktionsterm Ableitungsfunktion Stammfunktion f () = + f () = R F () = Z f () =, f () =,8 E F () = 0,8 0 K f () = f () = 0 B F () = N f () = f () = A F () = T f () = f () = L F () = + M f () = f () = R F () = D Es bleiben bei den roten Kärtchen H und und bei den grünen Kärtchen S und E übrig. Lösungswort: HSE Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

19 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 9 a) f () = 7 ; f ( ) = f () = ; f (0) = Der Graph der Funktion steigt an den Stellen = und = sehr stark an, während er an der Stelle = 0 fällt. b) f () = n n n für n gerade f () = n; f (0) = 0 ; f ( ) = n für n ungerade b der Graph an der Stelle = steigt oder fällt, hängt davon ab, ob n positiv oder negativ und gerade oder ungerade ist. An der Stelle = 0 ist die Steigung immer 0, d. h. der Graph der Funktion hat dort eine waagrechte Tangente. S. 0 a) Vorgehensweise b) wie im Schülerbuch auf S. 7 f () f'() f() 8 0 f'() f () = 8 + f hat den Grad g () = (f ) () = 8 8 g hat den Grad a) f () = Nullstelle bei = 9 0 b) f () = + Nullstellen bei = und = c) f () = Nullstellen bei = und = d) f () = 9 Nullstellen bei = und = e) f () = Nullstellen bei = 0, =, = f) f () = keine Nullstellen a) f ( ) = ( ) ( ) = = f () G f ist achsensmmetrisch zur -Achse b) f () = 8 c) f ( ) = 8 ( ) ( ) = 8 + = (8 ) = f ( ) G f ist punktsmmetrisch zum Ursprung. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

20 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig d) e) Für ganzrationale Funktionen gilt, dass die Ableitung jeder geraden Potenz eine ungerade Potenz ergibt und umgekehrt. Somit wird aus einer Summe von gewichteten geraden Potenzen eine Summe von gewichteten ungeraden Potenzen und umgekehrt. f() Allgemein gilt: bei achsensmmetrischen Funktionen sind die Funktionswerte in gleichem Abstand von der -Achse gleich, somit sind die Tangentensteigungen in gleichem Abstand von der -Achse gleich, somit sind die Tangentensteigungen in gleichem Abstand betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen. Daher ist die abgeleitete Funktion punktsmmetrisch. f'() Bei punktsmmetrischen Funktionen unterscheiden sich die Funktionswerte in gleichem Abstand von der -Achse nur durch das Vorzeichen, somit haben die Tangentensteigungen gleiche Vorzeichen. Die abgeleitete Funktion ist achsensmmetrisch. a) f () = 0 ( ) = 0 = 0; = ; = f () = ; f (0) = ; f ( ) = 8; f () = 8 b) f () = 0 = 0 = ; = 0,7; f () = 8 ; f () = 7; f ( 0,7) = 7; f (0) = c) f () = 0 + = 0 = (Probieren); ( + ) : ( ) = + = ; = f () = ; f (0) = ; f () = 0; f ( ) = 9 d) f() = 0 = 0 = ; = f () = ; f ( )= ; f ( )= ; f (0) = 0 e) f () = 0 = 0 ( ) = 0 = = 0; = ; = f () = ; f (0) = 0; f ( )= ; f ( )= ; f) f () = 0 + = 0; Substition = u u u + = 0 u =, u = = ; = ; = ; = f () = 0 ; f (0) = 0; f () = ; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = a) f () = 0 9 = 0 ( 9 )= 0 = 0; = ; = f () = ; f (0) = ; Schnittwinkel α: tan α = α =, f ( )= f ( )= ; Schnittwinkel α: tan α = α = g () = = 0 ( 8 + ) = 0 = 0; = ; = g () = + ; g (0) = ; Schnittwinkel α: tan α = α =, g () = g ( ) = ; Schnittwinkel α: tan α = α = 0,0 b) f () = g () 9 = 8 + 8, = 0 ( 8, ) = 0 S (0 0); S (,); S (,) f (0) = α =, ; g (0) = α =, also Schnittwinkel γ =,, = 90 f ( ) =, α = 79,7 ; g ( ) = α =,7 Schnittwinkel γ =, f () =,; g () = Schnittwinkel φ =, c) waagrechte Tangente heißt Steigung gleich Null g () = 0 + = 0 = ; = g ( )= 8 ( ) = ; Gerade h geht durch den Punkt P ( ) und hat Steigung 0 h () = 0 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

21 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig C Bedingung: A ABC = A A B C A E B h c A D B AB u AB CE = ; ED = + = h c somit: AB h c A B = A B AB h c = A B () h c = A B AB nach dem Strahlensatz gilt: A B = AB h c somit gilt für (): h c = h c h c = h c = h c = da h c = + gilt: + = = = f () = ; Graph von g erhält man aus f durch Streckung in -Richtung mit dem Faktor : g () = ( ) ( ) = 0,, Nullstellen von f (): = ; = 0, Nullstellen von g (): = ; = 8 Produkt- und Quotientenregel S. a) u () =, v () = b) f () = ( ) ( ) = + ; f () = c) u () v () = ( ) = 7 8 f () Die Gleichung f () = u () v () stimmt nicht. Eigenschaften von f (): f hat bei = ebenfalls eine senkrechte f() Asmptote und geht links und rechts der Asmptote gegen +. (Pol. rdnung; Nenner ( + ) ) f () f besitzt keine Nullstelle und muss wegen der -Achse als Asmptote den Zählergrad kleiner haben, also Zähler vermutlich konstant. Vermutung: f () = ( + ) ; tatsächlich ist f () = ( + ). S. Berechnung analog Schülerbuch, Seite, Beispiel a) f () = + b) f () = 7, 8 + c) f () = + d) f () = e) f () = f) f () =, , + g) f () = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

22 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) f () = ( + ) b) g () = ( + ) c) f (z) = z z (z + ) d) f (t) = t t (t ) e) g () = ( + ) ( ) f) h (z) = 8 z + 8 z + 0 ( z + ) f () = 0 ( = ) = oder: f () = f () = = (vgl. LE ) S. a) f () = sin + cos b) f () = ( ) ( ) c) f () = sin ( ) cos ( ) d) f () = e) f () = sin cos f) Wegen = = ( ) = sollte vorausgesetzt werden. Dann ist f () = a) f () = f () = + b) f () = f () = c) (mit Quotientenregel) f () = 8 8 ( ) d) f () = 9 f () = + e) f () = + f () = f) (mit Quotientenregel) f () = ( + ) 8 f ( ) =,; f (0) = ; f (,) = ; f (,) = ; f () = 0, f () = ( ) (Quotientenregel); f ( ) = 0,; f (0) = ; f (,) = 8; f (,) = 8; f () = 0, 8 7 f () f() 9 a) g () = b) f () = a + ( a) + a c) f () = a ( + ) d) f (a) = + e) g () = ( + ) f) h () = + t t ( + ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

23 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 0 a) b) f() f'() f () f'() a) f () = ; = = = = ; = b) f () = ; = = = = ; = c) f () = ( + ) ; = ( + ) + = 0 = 7 ; = Fehler im Schülerbuch: Es muss heißen: An welchen Stellen stimmen die Funktionswerte von f und g überein. Das bedeutet geometrisch, dass an den berechneten Stellen die Tangenten an den beiden Graphen paralell sind. a) f () = ; g () = = = = ; = c d f() b a g() Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

24 Schülerbuchseite 7 Lösungen vorläufig b) f () = ( + ) ; g () = ( ) ; ( + ) = ( ) ( ) = ( + ) = 0 a b f() g() 8 c) f () = + ; g () = ( ) ; 8 + = ( ) + 0 = 0 ( + 8) = 0 = 0 ( + 8 wird nicht Null) b a g() f() S. 7 a) f () = ; f () = ( + ) ; f () = = + t t = t: = + f () = ; f () = 9 ; = 9 + t t = 9 t: = b) f () = f () = 8 + ; f () = 0 = 0 + t t = 8 ; t: = 0 8 f () = ; f () =, ; =, + t t = 8; t: =, 8 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

25 Schülerbuchseite 7 Lösungen vorläufig Fehler im Schülerbuch: Es sollten eigentlich die Tangenten bestimmt werden, die durch den Punkt P ( f ()) gehen. Dabei sind die Lösungen: a) f () = ( ) ; f () = ; = ( ) + t t = ; t: = + b) f () = ( ) ; f () = ; = ( ) + t t = 7; t: = + 7 Für die Aufgabenstellung des Schülerbuchs ist die Tangente von einem Punkt außerhalb des Graphen an den Graphen zu legen. Dazu ist zunächst die Berührungsstelle zu berechnen und danach die Gleichung der Tangente. a) B = ( ) und B = ( ) t : = 0,078 +,078 bzw. t : =,9 +,98 b) B = t: = + 7 Hinweis: Man sollte eventuell mit der leichteren Teilaufgabe b) beginnen. Da der Graph von f in der Umgebung der beiden Asmptoten fallend verläuft, müssen die Ableitungen negativ sein. Somit kommt nur der vierte Graph in Frage. + f () = (wegen Nullstelle bei = und zwei senkrechte Asmptoten für = ( + ) ( ) und = ) f () = ( + + ) ( + ) ; Graph von f muss Graph sein. a) f (t) = 0, t (t + ) f (0) = 0,0; f () = 0,008; f () = 0,00 f () f (0) mittlere Änderungsrate = 0 = 0,0 = 0,00 b) Der Graph von f nimmt 0,8 für *[ 0 ; ] leicht zu, erst für *[ ; ] gehen die Werte langsam zurück. f'(t) 0, 0, 0, 0,0 0,08 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,08 0,0 0, 0, 0, 0,8 0,0 f(t) 7 Individuelle Lösung für das Beispiel: f () = ; f () = ( ) Wird eine gebrochen rationale Funktion abgeleitet, muss die Quotientenregel angewandt werden. Der Linearfaktor im Nenner wird quadriert. Somit besitzt die Ableitungsfunktion an derselben Stelle einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. 8 I = m + t m = t II = m ( ) + t I in II: = m + m m = 7 ; t = 7 7 = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

26 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläufig Thema: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen S. 9 G f : Er lässt sich ohne Absetzen des Zeichenstiftes zeichnen, somit ist f im gesamten gezeichneten Bereich stetig. Da der Graph an den Stellen = und = einen Knick hat, ist er dort nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen ist f differenzierbar. G g : Die Funktion g ist für = 0 nicht definiert. Für < 0 und für > 0 ist g stetig und differenzierbar. Der Auf- und Abstieg am nächsten Tag können durch stetige Funktionen f und g wie in der Skizze? veranschaulicht werden. g f Es gilt: f (8) < g (8) und f () > g (). Es muss also eine Stelle geben, an der er zur gleichen Zeit vorbeikommt, weil sich die Graphen schneiden müssen. 8 0 t 0 t a) Die Aussage ist wahr. Der Graph einer in 0 stetigen Funktion kann dort einen Knick haben. Dann ist f in 0 nicht differenzierbar. Beispiel: f: in 0 = 0. b) Die Aussage ist wahr. Ist f differenzierbar, so eistiert lim f () f ( 0) 0. 0 Dazu ist notwendig, dass lim f () = f ( 0 ) eistiert, d. h. auch der Zähler im Differenzenquotienten gegen Null strebt 0 0. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN