Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I

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Hartmut Bauer
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1 Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle des Nenners: 4x + 5 = 0 x = 5 4 = 1,5 D = IR \ 5 4 Ableitung von f bestimmt sich mit Hilfe der Quotientenregel zu: (4x + 5) (x + 3) 4 f '(x) = = (4x + 5) (4x + 5) Aufgabe F(x) = 1 4 x (ln x 1) Es ist zu zeigen, dass gilt: F'(x) = f (x) F'(x) = 4 x (ln x 1)+ 1 4 x ( 1 x 0) = x ln x 1 x + 1 x = x ln x = f (x) Term derjenigen Stammfunktion, die in x = 1 eine Nullstelle hat. Eine beliebige Stammfunktion F C (x) von f (x) lautet: F C (x) = 1 4 x ( ln x 1)+ C Damit sie bei x = 1 eine Nullstelle hat, muss gelten: F C (1) = (ln1 1)+ C = 0 Da ln(1) = 0, folgt: C = 0 C = 1 4 Die Stammfunktion F 1 4 (x) = 1 4 x ( ln x 1)+ 1 4 besitzt an der Stelle x = 1 eine Nullstelle. Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 1/7

Aufgabe 3 N(x) = N 0 e k ( x 000) N(000) = 6,1 10 9 N(010) = 6,9 10 9 Es folgt damit: N(000) = N 0 e k (000 000) = N 0 e k 0 = N 0 1= N 0 = 6,1 10 9 und N(010) = 6,1 10 9 e k (010 000) = 6,1 10 9 e k

2 Aufgabe 3 N(x) = N 0 e k ( x 000) N(000) = 6, N(010) = 6, Es folgt damit: N(000) = N 0 e k ( ) = N 0 e k 0 = N 0 1= N 0 = 6, und N(010) = 6, e k ( ) = 6, e k 10 = 6, Damit folgt für k: 6, e k 10 = 6, :6, e k 10 = 6, , e k 10 = ln 10k = ln :10 k = 1 69 ln ,013 Damit lautet die Exponentialfunktion: N(x) = 6, ,013 ( x 000) e Aufgabe 4 π sin(x) dx = 0 0 Die linke, blaue Fläche und die rechte, rote Fläche sind gleich groß. Die blaue Fläche liegt oberhalb der x-achse und wird positiv gerechnet, während die rote Fläche unterhalb der x- Achse liegt und negativ gerechnet wird. b) π 0 sin(x) dx = 1 π cos(x) = 1 cos(π)+ 1 cos(0) = = 0 0 Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 /7

Teil f : x : x + 3 Aufgabe 1 a) Begründung der Definitionsmenge: Da der Term unter der Wurzel nicht negativ sein darf, muss gelten: x + 3 0 x 3 Somit gilt für die Definitionsmenge: D = [ 3; + ]

3 Teil f : x : x + 3 Aufgabe 1 a) Begründung der Definitionsmenge: Da der Term unter der Wurzel nicht negativ sein darf, muss gelten: x x 3 Somit gilt für die Definitionsmenge: D = [ 3; + ] Verschiebung des Graphen der Wurzelfunktion: Verschiebt man den Graphen der Wurzelfunktion g(x) = x Achse nach links, so erhält man den Graphen der Funktion f (x) = x + 3 f x um drei Einheiten auf der b) Die Entfernung des Punktes Q(x x + 3) vom Punkt P(1,5 0) berechnet sich mithilfe des Satzes des Pythagoras wie folgt: PQ = (x 1,5) + ( x + 3 0) = x 3x +,5 + x + 3 = x x + 5,5 c) Den kleinsten Abstand erhält man durch eine Extremwertuntersuchung der Abstandsfunktion: PQ = d(x) = x x + 5,5 d'(x) = 1 (x x + 5,5) 1 (x ) = Notwendige Bedingung: d'(x) = 0 x 1= 0 x =1 x x x + 5,5 = x 1 x x + 5,5 Untersuchung der Art des Extrempunktes mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums: Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 3/7

Da der Nenner der Ableitung der Abstandsfunktion immer größer Null ist, folgt: - für 3 < x <1 gilt d'(x) < 0 - für x >1 gilt d'(x) > 0 Somit findet an der Stelle x =1 ein Vorzeichenwechsel von nach +

4 Da der Nenner der Ableitung der Abstandsfunktion immer größer Null ist, folgt: - für 3 < x <1 gilt d'(x) < 0 - für x >1 gilt d'(x) > 0 Somit findet an der Stelle x =1 ein Vorzeichenwechsel von nach + statt und es liegt an dieser Stelle ein Minimum vor. Also lauten die Koordinaten des Punktes Q E der von P den kleinsten Abstand hat: Q E (1 ) d) Damit sich die Strecke [ PQ E ] und die Tangente an G f im Punkt Q E senkrecht schneiden, muss für ihre Steigungen gelten: m PQE m t = 1 Die Steigung der Strecke [ PQ E ] berechnet sich wie folgt: m PQE = y Q E y P x QE x P = 0 1 1,5 = 0,5 = 4 Für die Steigung der Tangente t gilt: m t = f '(x QE ) = f '(1) Mit der Ableitung f '(x) = 1 (x + 3) 1 = m t = f '(1) = x + 3 folgt: Da m PQE m t = 4 1 = 1 schneiden sie sich senkrecht. 4 Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 4/7

e) Für die Fläche gilt: 1 A = A blau + A rot = x + 3 dx + 1 0,5 = 3 3 (x + 3) 3 = 3 (1+ 3) 3 3 (( 3)+ 3) 3 + 1 = 3 ( 4 )3 3 (0) 3 + 1 = 16 3 + 1 = 35 6 1 3 + 1

Näherungsweise kann man die Ableitung bestimmen, indem man eine Gerade, die die Kurve an dieser Stelle berührt, einzeichnet und deren Steigung abliest.

5 e) Für die Fläche gilt: 1 A = A blau + A rot = x + 3 dx + 1 0,5 = 3 3 (x + 3) 3 = 3 (1+ 3) 3 3 (( 3)+ 3) = 3 ( 4 )3 3 (0) = = Aufgabe a) Die Ableitung g von g an der Stelle x = 1 entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen G g an dieser Stelle bzw. im Punkt P 1 0 ( ). Näherungsweise kann man die Ableitung bestimmen, indem man eine Gerade, die die Kurve an dieser Stelle berührt, einzeichnet und deren Steigung abliest. Da die Tangente durch die Punkte P 1 0 damit für die Ableitung an der Stelle x = 1: m = y y Q P = 0 x Q x P 0 +1 = ( ) und Q( 0 ) geht, gilt für ihre Steigung und Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 5/7

Aufgrund der Gleichung der schrägen Asymptoten y = 1 x 1 folgt für das Verhalten der Ableitung g für x + und x : lim x ± g'(x) = 1 Daraus folgt, dass der Graph der Ableitung eine waagrechte Asymptote

6 Aufgrund der Gleichung der schrägen Asymptoten y = 1 x 1 folgt für das Verhalten der Ableitung g für x + und x : lim x ± g'(x) = 1 Daraus folgt, dass der Graph der Ableitung eine waagrechte Asymptote y = 1 besitzt. Um den Graphen der Ableitung skizzieren zu können, braucht man weitere Eigenschaften: - wie der Graph der Funktion g besitzt auch der Graph der Ableitung eine Definitionslücke an der Stelle x =1. Betrachtet man die Steigung des Graphen rechts und links von der Definitionslücke, erkennt man, dass es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus handelt. - der Graph der Funktion g hat bei x 4 einen Tiefpunkt, somit hat der Graph der Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle, bei der die Werte von minus nach plus wechseln. Mithilfe dieser Eigenschaften erhält man folgende Skizze der Ableitungsfunktion: b) Die Funktionsgleichung der Form I kommt nicht in Frage, da ihre schiefe Asymptote die Gleichung y = x 1 besitzt. Die Funktionsgleichung der Form II kommt nicht in Frage, da es sich bei der Polstelle an der Stelle x = 1 um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel handelt. Dem Graphen der Abbildung aus der Aufgabenstellung kann man jedoch entnehmen, dass es sich dort um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel handelt. Somit kommt nur die Funktionsgleichung der Form III in Frage. Bestimmung des Parameters a: Da an der Stelle x = 1 eine Nullstelle vorliegt, muss gelten: Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 6/7

7 g( 1) = 1 a ( 1) 1+ ( 1 1) = 0 Daraus ergibt sich für a: 3 + a 4 = a 4 = 3 4 a = 6 Somit lautet die Funktionsgleichung des Graphen aus der Abbildung : g(x) = 1 x 1+ 6 (x 1) c) h(x) = ln(g(x)) = ln( 1 x 1+ 6 (x 1) ) Definitionsmenge: Da der natürliche Logarithmus nur für positive x Werte definiert ist, ist die Funktion h(x) nur für g(x) > 0 definiert. Der Abbildung der Aufgabenstellung entnimmt man somit für die Definitionsmenge der Funktion h(x): D h = 1;+ ] [\ {1} Verhalten von h an den Grenzen der Definitionsmenge: Nähert man sich von rechts der Stelle x = 1, so folgt: - für x 1 und x > 1 gilt: h(x), da g(x) 0 geht. - für x +1 und x <1 gilt: h(x) +, da g(x) + geht. - für x +1 und x >1 gilt: h(x) +, da g(x) + geht. - für x + gilt: h(x) +, da g(x) + geht. Nullstelle: Da ln(1) = 0 gilt, hat die Funktion h(x) eine Nullstelle, wenn g(x) =1. Dem Graphen der Abbildung aus der Aufgabenstellung, entnimmt man, dass g(x) den Wert 1 nur einmal annimmt, nämlich bei ungefähr x 0,6. Somit hat die Funktion h(x) nur eine Nullstelle, bei x 0,6. Klett Lerntraining GmbH, Stuttgart 01 7/7

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