Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen

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1 Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten haben. Deshalb versucht man markante Punkte des Ausgangsfunktionsgraphen zu ermitteln, indem man die "leichtere" Ableitungsfunktion untersucht. f( ). Alle Hoch- und Tiefpunkte haben eine gemeinsame Eigenschaft: a) Welche Steigung hat der Graph zu f dort? b) Prüfe das am f '()-Graphen.. Begründe, ob die Steigungsangabe in. sicher auf eine Etremstelle führt (Hinweis: "Stelle" steht für -Wert; Etremstelle also für den -Wert eines Hoch- oder Tiefpunktes). a) Prüfe alle 3 Nullstellen des f '()-Graphen. b) Wie ist am f '()-Graphen zu erkennen, ob tatsächlich im f()-graphen eine Etremstelle vorliegt? f '() f ''() 3. Versuche die Ergebnisse aus. und. jeweils als Antwortsatz zu den folgenden Fragen zu formulieren. a) Welche Bedingung muss mindestens erfüllt sein für eine Etremstelle von f() (s..)? b) Wie kann man sicher unter den potentiellen Etremstellenkandidaten (aus./3. a) die tatsächlichen herausfinden (s..)? c) Wann liegt bei einem -Wert sicher ein Hoch- und wann ein Tiefpunkt von f() vor? 4. Mathematiker nennen Bedingungen, die auf jeden Fall erfüllt sein müssen, "notwendige Bedingung". Aus einer notwendigen Bedingung für eine Etremstelle muss jedoch nicht zwangsläufig eine Etremstelle folgern. Kann man jedoch sicher auf eine Etremstelle schließen, so redet man von "hinreichender Bedingung". a) Formuliere die notwendige Bedingung für die Eistenz einer Etremstelle. b) Formuliere die hinreichende Bedingung für die Eistenz einer Etremstelle. 5. Den Verlauf des f '-Graphen in der Umgebung einer Etremstelle kann man zusätzlich auch mit dem f ''-Graphen beschreiben. Formuliere den Satz in 4b neu unter Rückgriff auf f ''( E ).

2 Arbeitsblatt 5: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Wendestellen-Bedingungen Hoch- und Tiefpunkte sind an einem Funktionsgraphen leicht abzulesen, wenn er vorliegt. Liegt nur die Funktionsgleichung vor, so greift man auf der Suche nach den Etremstellen auf die leichter bearbeitbare Ableitungsfunktion zurück. Neben Etrempunkten gibt es auch noch sogenannte Wendepunkte. Das sind anschaulich solche Punkte: Wenn man z.b. theoretisch den Graphen entlang Fahrrad fahren würde, so ist ein Wendepunkt die Stelle, an der man mit dem Lenker von Rechts nach Links schwenkt und umgekehrt. Die Suche nach Wendepunkten ist etwas schwieriger: Im Funktionsgraphen lassen sie sich nicht genau ablesen, allenfalls in etwa abschätzen. Um sie genauer zu bestimmen, ist man wieder auf die Untersuchung der Ableitungsfunktionen angewiesen. f (). Lies die Koordinaten der Wendepunkte am Graphen zu f ab so gut es geht.. Zur genaueren Bestimmung der Wendestellen: a) Prüfe und erläutere den Graphen- Verlauf zu f '() an den Wendestellen von f(). b) Erläutere den Zusammenhang: Die Wendestellen von f sind die Etremstellen von f '. f '() 3. Wie man Etremstellen einer Funktion genauer bestimmt das ist auf AB4 hergeleitet worden. Formuliere Sätze zur notwendigen und hinreichenden Bedingung für Etremstellen beim f '-Graphen. 4. Mit den Ergebnissen aus b und 3: Versuche Sätze zu den notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Eistenz einer Wendestelle zu formulieren. f ''()

3 Arbeitsblatt 6: KD - Etrem- und Wendestellen Etremstellen Wendestellen Notwendig für die Eistenz einer Etremstelle E ist f '( E ) = 0. Hinreichend für die Eistenz einer Etremstelle E ist f '( E ) = 0 und f ''( E ) 0. Oder: f '( E ) = 0 mit Vorzeichenwechsel. Notwendig für die Eistenz einer Wendestelle W ist f ''( W ) = 0. Hinreichend für die Eistenz einer Wendestelle W ist f ''( W ) = 0 und f '''( W ) 0. Oder: f ''( W ) = 0 mit Vorzeichenwechsel. Aus der Gleichung lassen sich alle potentiellen Etremstellen ermitteln. Sie sind noch nicht sicher, aber weitere gibt es nicht. Die oben berechneten E -Werte werden geprüft durch Einsetzen in f ''(). Ist f ''( E ) 0, so handelt es sich um eine Etremstelle. Ist f ''() = 0, so prüft man, ob ein Vorzeichenwechsel bei f '( E ) vorliegt. Ergibt sich f ''( E ) > 0, so liegt ein Tiefpunkt vor. Ist f ''( E ) < 0, so liegt ein Hochpunkt vor. Aus der Gleichung lassen sich alle potentiellen Wendestellen ermitteln. Sie sind noch nicht sicher, aber weitere gibt es nicht. Die oben berechneten W -Werte werden geprüft durch Einsetzen in f '''(). Ist f '''( W ) 0, so handelt es sich um eine Wendestelle. Ist f '''( W ) = 0, so prüft man, ob ein Vorzeichenwechsel bei f ''( W ) vorliegt.. Begründe unter Verwendung der Graphen zu f ', f '' und f ''', wo die Etrem- und Wendestellen zu f liegen.. Berechne und prüfe rechnerisch die E - und W -Werte: f() = ³ + 3² f () f ''() 0 0 f '() f '''() 0 0

4 Arbeitsblatt 7: Ausführliche Kurvendiskussion I Hat man von einem Funktionsgraphen die Nullstellen (dort schneidet der Graph die -Achse), die Hoch/Tiefpunkte und Wendepunkte, so lässt er sich schnell skizzieren. Hier in Kurzfassung das Verfahren zur Ermittlung der markanten Punkte. Nullstellen Etempunkte Wendepunkte f f ' f '' f '''. N -Werte bestimmen durch f() = 0. Punkte notieren: N (.0); N (.0) 3. Für sichere E -. Mögliche E -Werte. Prüfung der E - Werte aus den bestimmen aus Werte aus durch y E -Wert berechnen f '() = 0. Einsetzen in f ''(). durch f( E ). f ''( E ) > 0 T Punkte notieren: f ''( E ) < 0 H H(..); T(..) 3. Für sichere W - Werte aus den y W -Wert berechnen durch f( W ). Punkte notieren: W (..); W (..). Mögliche W -Werte bestimmen aus f ''() = 0.. Prüfung der W - Werte aus durch Einsetzen in f '''(). f '''( W ) 0? Da die Nullstellen bei Polynomen 3. Grades schwierig zu bestimmen sind, sind sie in den folgenden Beispielen angegeben. Prüfe, ob sie stimmen. Zur ersten Funktion sind zur Überprüfung der Rechnung noch einmal die Ableitungsgraphen skizziert. Skizzieren Sie mit Hilfe der Etrem- und Wendepunkte jeweils den Graphen zu f(). a) f a () = 3³ + 9² N,8; N 0,; N3-4,9 b) f b () = ³ - 3² N = -; N = ; N3 = 3 c) f c () = ³ + 0,5² - 3,5-3 N = -; N = -,5 N3 = d) f d () = ³ - 7² N = ; N = -0,5; N3 = 3 f a '() 0 f a ''() 0 e) f e () = 4 ³ ² N = -3; N = -; N3 =,5 f) f f () = ³ -,5² N = 4; N = -0,5; N3 = - f a '''() 0

5 Lösungen zu AB7 f a () = 3³ + 9² f b () = ³ - 3² f a () f b () 0 N (,80); N (0,0); N 3 (-4,90) H(-384); T(-); W(-36) N (-0); N (0); N 3 (30) H(-0,63,08); T(,5-3,08); W(0) f c () = ³ + 0,5² - 3,5-3 f d () = ³ - 7² N (-0); N (-,50); N 3 (0) H(-,60,0); T(0,93-5,0); W(-0,7-,4) N (0); N (-0,50); N 3 (30) H(0,63,5); T(,8-5,9); W(,7-,0) f e () = 4 ³ ² f f () = ³ -,5² N (-30); N (-0); N 3 (,50) H(-,0,3); T(,-3,0); W(-0,50-0,94) N (40); N (-0,50); N 3 (-0) H(-,30,97); T(,30-0,47); W(0,5-8,75)

6 AB 8: Ekurs - Nullstellenbestimmungsverfahren I Auf den vorhergehenden Arbeitsblättern war es für die Bestimmung von möglichen -Werten für Etrem- und Wendestellen immer wieder notwendig zu untersuchen, wo eine Funktion die -Achse schneidet, mit anderen Worten wo ihre Nullstelle liegt. Die folgenden Verfahren helfen dabei. A) Bei einer Funktion tauchen nur Summen von -Potenzen auf: Bearbeitung: Eine möglichst hohe -Potenz ausklammern.. Beispiele a) f() = ³ + ² - 35 Bestimme die Nullstellen. Lösung ³ + ² - 35 = 0 (² ) = 0. Fall: = 0. Fall: ² = 0 = 5 3 = -7 b) f() = ³ Bestimme die Nullstellen. Lösung: = 0 ³ (² + - 6) = 0 ³ wurde ausgeklammert = 0 Fallunterscheidung ² = 0 Fallunterscheidung = 3 = -3. Übungen A: Bestimme die Nullstellen a) f() = ³ + 4 ² + 4 b) f() = ³ - ² + 8 c) f() = ³ + ² + 7 d) f() = ³ - 54 ² wurde ausgeklammert. Jetzt gilt: In einem Produkt, das Null ergibt, ist der eine oder der andere Faktor Null. Lösung der quadratischen Gleichung z.b. mit p-q- Formel (s. Trainingsprogramm 0). B) Es kommen nur 4 -, ²- und Summanden ohne vor [biquadratische Gleichungen]. Beispiele a) f() = ² Bestimme die Nullstellen. Lösung ² + 54 = 0 : (-3) 4 4 ² - 8 = 0 Ersetze (substituiere): 4 = z², ² = z z² - 4z - 8 = 0 z 6,69 z -,69 Also: 6,69, 3,4 -,69 führt auf keine Lösung, da die Wurzel,59 aus einer negativen Zahl nicht ziehbar ist. -,59

7 b) f() = ² Bestimme die Nullstellen. Lösung ² = ² + 00 = 0 z² - 9 z + 00 = 0 z = ² z = 4 z = 5 = 4 also =, = -, 3,4 = 5 also 3 = 5, 4 = -5. Übungen B: Bestimme die Nullstellen a) f() = 4 5 ² + 44 b) f() = ² c) f() = ² - 4 d) f() = ² + 5 C) Polynome 3. Grades; eine Nullstelle ist durch Probieren zu finden Bestimme eine Nullstelle durch systematisches Probieren, setze nacheinander =,, -, - usw. ein. Dann "dividiere" durch ( - Nullstelle).. Beispiele a) f() = ³ - ² Probieren liefert: f() = 0, also N =. (³ - ² ) : ( - ) = ² (³ - ²) -² - 5 Also lässt sich die Funktion auch so schreiben: -(-² + ) f() = (² - - 6) ( - ) Der Fall: ( - ) = 0 ist oben bereits ausgewertet. - ( ) 0 Es bleibt: ² = 0 = 3 = Die Nullstellen der Funktion f() = ³ - ² liegen bei, 3, -. b) f() = ³ + Durch Probieren: N = - Tipps dazu:. Es muss durch (+) dividiert werden, da - (-) = +. Also (³ + ) : ( + ) = ² - +. Schreibe für die Polynomdivision den Funktionsterm um: ³ + = ³ + 0 ² Ergebnis: ³ + = (² - + ) ( + ). Da ² - + nicht Null wird, hat f() = ³ + nur die Nullstelle -.. Übungen C: Bestimme alle Nullstellen a) f() = ³ - 5 ² b) f() = 3 ³ - 7 ² c) f() = ³ - + d) f() = ³ - 4 ² e) Rechne Teilaufgabe b aus den Beispielen oben (b). 3

8 AB 9: Ekurs - Nullstellenbestimmungsverfahren II A) Polynome. Allgemeine Hinweise Definition: Eine Funktion des Typs f() = a n n + a n- n a ² + a + a 0 n N, a i R (z. B. f() = ,³ + π² ) heißt Polynom n-ten Grades (Beispiel: Polynom sechsten Grades). Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Z. B. hat eine lineare Funktion höchstens eine Nullstelle. Z. B. hat eine Parabel [Graph zu einem Polynom. Grades] höchstens Nullstellen. Z. B. hat f() = ³ - [Polynom 3. Grades wegen 3 ] höchstens 3 Nullstellen; tatsächlich bei = -; = 0; 3 =. Z. B. hat das Polynom oben [f() = ] höchstens 6 Nullstellen. Mehr als n Nullstellen kann ein Polynom n-ten Grades nicht haben. Für jede Lösung kann ich den Faktor ( - ) "ausklammern" durch Polynomdivision, der Rest ist dann vom Grade n-. So kann ich ein Polynom schrittweise in höchstens n Faktoren zerlegen; etwa: f() = ( - ) ( - ) ( - 3 )... ( - n ). Z. B. ist f() = ² - 4 = (-) (+) mit den Nullstellen ; -. Z. B. ist f() = ² = (-) (+3) mit den Nullstellen ; -3. Z. B. ist f() = ³ - = (+) (-) mit den Nullstellen 0; -,. Z. B. ist f() = 4-34² + 5 = (-3) (+3) (-5) (+5).... Ein Polynom n-ten Grades kann weniger als n Nullstellen haben, u.a. auch keine. Z. B. hat f() = ² + keine Nullstellen. Z. B. hat f() = ³ + ² = (² + + 8) (-) nur eine Nullstelle:. Z. B. hat f() = keine Nullstellen. Z. B. hat f() =, , keine Nst, da alle Summanden nur positive Beiträge liefern, (oder 0). Ein Polynom mit ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle. Z. B.: f() - ³ + 7² - 4, Z. B.: f() = 7 +. Für genügend große -Werte ist f() positiv*, für genügend kleine -Werte (negativ) ist f() negativ*. "Dazwischen" muss der Funktionsgraph irgendwo die -Achse schneiden. Also gibt es mindestens eine Nullstelle. Vielleicht mehr s.o.. [* oder umgekehrt, falls vor der höchsten Potenz ein negativer Koeffizient steht]. Übungen A. Handelt es sich um ein Polynom? Falls ja, welchen Grades? 5 a) f() = π d) f() = ³ + 4² b) f() = - ³ e) f() = 7² c) f() = 3 4-5,³ +,9 5 f) f() = 4³

9 . Entscheide ohne Rechnung, wie viele Nullstellen vorliegen. Falls das nicht ersichtlich ist, entscheide zumindest, wie viele Nullstellen mindestens und höchstens vorliegen. a) f() = ² + 3 d) f() = 7 + 4,3 b) f() = 5-3³ + 7² + e) f() = ² + 3 c) f() = f) f() = -³ + 5² + 4, B) Näherungsverfahren - nicht nur für Polynome!. Allgemeine Aussagen Falls kein Standardverfahren eine Nullstelle liefert, aber klar ist, dass es eine gibt, ermittelt man die näherungsweise. Voraussetzung: es sind -Werte bekannt (probieren!), für die die Funktion verschiedenes Vorzeichen hat. Dann liegt "dazwischen irgendwo" die Nullstelle. Z. B. f() = ³ + 7² - 4 hat mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ist (s.o.). Bestimme sie auf Nachkommastellen genau. f(0) = -4 Die Nullstelle liegt zwischen 0 und. f() = 4 Berechne den Funktionswert für die Mitte: f(0,5) = 0,375 Die Nullstelle liegt zwischen 0 und 0,5, wegen der Vorzeichen. Wähle wieder die Mitte: f(0,5) -,9 Die Nullstelle liegt zwischen 0,5 und 0,5 wegen des Vorzeichenwechsels. Wähle wieder die Mitte. f(0,375) -,55 Die Nullstelle liegt zwischen 0,375 und 0,5. f(0,4375) - 0,66 Die Nullstelle liegt zwischen 0,4375 und 0,5. f(0,46875) - 0,6 Die Nullstelle liegt zwischen 0,46875 und 0,5. f(0,484375) 0,0 Die Nullstelle liegt zwischen 0,46875 und 0, f(0,476565) - 0,03 Die Nullstelle liegt zwischen 0, und 0, Damit ist die Nullstelle bis auf die. Nachkommastelle genau bestimmt 0,48. Das Verfahren heißt Intervallhalbierungsverfahren.. Übungen B Bestimme eine Nullstelle auf eine Nachkommastelle genau. a) f() = ³ + 8 Beginne mit folgenden Werten: = ; = b) M(d) = d 4 + 0,908 d³ ,796 d ,54 = 0; = ,5 c) m(b) = 8,64 b + 8,4-3 = 7; = 8 b b d) f() = -³ + 3,² = 0; =

10 Lösungen zu AB8 und AB9 Übungen A) a) ³ + 4² + 4 = 0 (² ) = 0. Fall = 0. Fall ² = 0,3 = - ± 4 4 = Die Nullstellen liegen bei 0 und - (doppelte Nullstelle). b) ³ - ² + 8 = 0 (² ) = 0. Fall = 0 = 0. Fall ² = 0,3 = 3 ± 9 9 = 3 Die Nullstellen liegen bei 0 und 3 (doppelte Nullstelle). c) ³ + ² + 7 = 0 (² + + 7) = 0. Fall = 0. Fall ² = 0,3 = - ± 7 4 Keine Lösung, da 5,75 nicht eistiert. Nur in = 0 liegt eine Nullstelle. d) 3 4-6³ - 54² = 0 3² (² + - 8) = 0. Fall 3² = 0 = 0. Fall ² = 0,3 = - ± + 8 3,36 3 5,36 Die Nullstellen liegen bei 3,36, -5,36 und 0 (doppelte Nullstelle). Übungen B) a) 4-5² + 44 = 0 Setze z = ² z² - 5z + 44 = 0 z, =,5± 56,5 44 =,5±3,5 z = 6 z = 9 Rückübersetzt ergibt sich dann: = 6, = 4 = 4 = 9 3,4 = 3 3 = 3 Die Nullstellen der Funktion liegen bei 4, -4 und 3, b) ² = ² + 5 = 0 Setze z = ² z² - 74z + 5 = 0 z, = 37± = 37± z = 49 z = 5 Rückübersetzt ergibt sich dann: = 49, = 7 = 5 3,4 = 5 = 7 4 = 5 Die Nullstellen der Funktion liegen bei 7, -7 und 5, -5. 3

11 c) ² - 4 = 0 Setze: z = ² z² + 3 z - 4 = 0 z, = -,5±,5 + 4 = -,5±,5 z = z = -4 Rückübersetzt ergibt sich dann:, = = = = -4 3,4 hat keine Lösung. Die Nullstellen der Funktion lauten und -. d) ² + 5 = ² + 3 = 0 Setze: z = ² z² + 3z + 3 = 0 z, = -,5±,5 3 = -,5± 0,75 Es eistiert keine Lösung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstellen. Übungen C) a) ³ - 5 ² = 0 Probieren liefert: = (-Nullstelle) = + ; also: (³ - 5 ² - + 4) : (+) = ² (³ + ²) - 7² - -(-7² - 4) Also gilt: (² ) ( + )= 0. Fall: ² = 0, 3 = 3,5±,5 = 3,5±0,5 = 4 = 3. Fall: + = 0 s.o. Probieren. Die Nullstellen liegen bei -, 3 und 4. 3 b) 3 ³ - 7 ² = 0 ³ - 9 ² = 0 Probieren liefert: = (³ - 9 ² ):(+) = ² (³ + ²) - 0² - 5 -(-0² - 0) (5 + 5) 0 Also gilt: (² ) ( + )= 0. Fall: ² = 0, 3 = 5± 5 5 = 5. Fall: + = 0 s.o. Probieren. Die Nullstellen lauten - und 5 (doppelte Nullstelle).

12 c) ³ - + = 0 Durch Probieren: = (³ + 0 ² - + ) : ( - ) = ² + - -(³ - ²) ² - -(² - ) - + -(- + ) 0 Also lässt sich schreiben: (² + - ) ( - ) = 0. Fall: ² - - = 0,3 = - ± + 4,3-0,5 ±, 0,6,6 3. Fall: - = 0 s. o. Probieren Die Nullstellen liegen bei, etwa 0,6 und -,6. d) ³ - 4 ² = 0 Durch Probieren: = (³ + 4 ² + 9-0) : ( - ) = ² (³ + ²) ² + 9 -( ² + 4 ) 5-0 -(5-0 0 Also gilt: (² - + 5) ( - ) = 0. Fall: ² = 0,3 = + ± eistiert nicht. Fall: = 0 s. o. Probieren Die einzige Nullstelle liegt bei. e) ³ + = 0 Durch Probieren: = (³ + 0 ² ) : ( + ) = ² - + -(³ + ²) ² + 0 -(-² - ) + -( + ) 0 Man kann die Gleichung aus so schreiben: (² - + ) ( + ) = 0. Fall: ² - + = 0,3 = ± eistiert nicht. Fall: + = 0 s. o. Probieren Die einzige Nullstelle liegt bei -.

13 Lösungen zu AB9 A). a) Polynom vom Grad 5 d) kein Polynom, da -4 b) kein Polynom, da / e) kein Polynom, da / c) Polynom vom Grad 5 f) Polynom vom Grad 99. a) Keine Nullstelle, da ² > 0 und damit ² + 3 > 0. b) Mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ist, höchstens 5 Nullstellen, da der Grad 5 ist. c) Keine Nullstelle, da -5 6 < 0 und damit < 0. d) Mindestens eine (ungerader Grad), höchstens 7 Nullstellen. e) Nullstellen, da der Graph zu -² + 3 durch (0/3) geht und eine nach unten geöffnete Parabel ist. f) Mindestens eine Nullstelle (ungerader Grad), höchstens 3. B) a) g() = ³ + 8 g() = -6 N liegt zwischen und, abgekürzt N (/). g() = + g(,5) = - 3,5 N (,5/) g(,75) - 0,89 N (,75/) g(,875) 0,47 N (,75/,875) g(,85) - 0,3 N (,85/,875) g(,84375) 0, N (,85/,84375) Also: N,8 b) M(d) = d 4 + 9,908 d³ ,796 d ,54 M(0) = ,54 d N liegt zwischen 0 und 00; M(00) abgekürzt d N (0/00). M(50) d N (50/00) M(75) d N (50/75) M(6,5) d N (6,5/75) M(68/75) d N (68,75/75) M(7,875) d N (7,875/75) M(73,4375) d N (7,875/73,4375) M(7,6565) d N (7,6565/73,4375) M(73,046875) 44 7 d N (7,6565/73,046875) M(7,85565) d N (7,85565/73,046875) M(7,9499) 5 89 d N (7,85.../7,9...) Also: d N 7, c) m(b) ,5 = 8,64 b + 8,4-3 m(7) - 7,5 b N liegt zwischen 7 und 8, abgekürzt b N (7/8). m(8), m(7,5) -,5 b N (7,5/8) m(7,75) 5,6 b N (7,5/7,75) m(7,65),8 b N (7,5/7,65) m(7,55) -0,06 b N (7,55/7,65) Also: b N 7,6 d) f() = - ³ + 3,² f(0) = 3 N liegt zwischen 0 und, d.h. N (0/). f() = - 4, f() =, N (/) f(,5) = 0,45 N (,5/) f(,75) -,4 N (,5/,75) f(,65) -0,38 N (,5/,65) f(,565) 0,06 N (,565/,65) Also: N,6 b

14 AB 0 Ausführliche Kurvendiskussion II 0 f '() 50 f ''(). Bestimme Nullstellen, Etrem- und Wendepunkte zu f() = Zur E - und W -Bestimmung nutze die Skizzen der Ableitungsfunktionen (Abb. Links) ohne Rechnung. Notiere aber die Begründungen.. Bestimme Nullstellen, Etrem- und Wendepunkte. Skizziere den Graphen. a) f() = b) f() = c) f() = -, ,5-4 d) f() = 0,5 3 +,05-3,95-4,5 e) f() = 0, ,5-5, Überlege Symmetrieeigenschaften. Sie vereinfachen die Arbeit; ansonsten wie. a) f() = 0, 3-0,8 b) f() = c) f() = d) f() = -0, e) f() = 6 - f) f() = 0, g) Prüfe die Symmetrieeigenschaften der Funktionen aus Nr. und. Liegen in der Kurvendiskussion die typischen Symmetrie-Eigenschaften vor? f '''() Verfahre wie in 3. Falls sich nur wenige Punkte ergeben, lege vor der Skizzierung des Graphen eine ergänzende Wertetabelle an. a) f() = 5-6 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() =

15 Lösungen zu AB0. f() = f () N (-30); N (00); N 3 (0) T (-,46-88,0); T (,63-,09) H(00); W (-,9-57,37); W (,5-7,80) a) Nullstellen: N 6 + N 5-6 N 4 = 0 N4 ( N + N - 6) = 0. Fall: N = 0;.Fall: N + N - 6 = 0 N = ; N3 = - 3 b) Etrempunkte: ) f '(-,5) = 0 und f ''(-,5) > 0 zu E = -,5 gehört ein Tiefpunkt mit f(-,5) -88; also T(-,5-88) ) f '(0) = 0 und Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen f'()-werten zu E = 0 gehört ein Hochpunkt H(00), da f(0) = 0. 3) f '(,6) = 0 und f ''(,6) > 0 zu E =,6 gehört ein Tiefpunkt mit f(,6) -, also T (,6-). c) Wendepunkte: ) f ''(-,9) = 0 und f '''(-,9) 0 W (-,9-57); da f(-,9) -57 ) f ''(,5) = 0 und f ''(,5) 0 W (,5-7,8), da f(,5) -7,8 3) f ''(0) 0 liefert keine Wendestelle, da dort eine Etremstelle liegt, s. o. a) f() = b) f() = f () f () 5 0 N (-0); N (00); N 3 (30) H(-0,54,76); T(,87-,3); W(0,67-5,9) N (-30); N (30); N 3 (-0); N 4 (0) T (-,4-48); T (,4-48); H(07) W (-,9-4,67); W (,9-4,67) c) f() = -, ,5-4 d) f() = 0,5 3 +,05-3,95-4,5 f () f () 50 5 N (-40); N (40); N 3 (-0); N 4 (0) H (-,984,4); H (,984,4); T(0-4) W (-,6836,); W (,6836,) N (-3,60); N (-0); N 3 (-,50) H(-,474,3); T(,07-6,9); W(-0,7-,4)

16 Ausführliche Lösung zu AB0, Nr. e f() = 0, ,5-5, Nullstellen: f() = 0 durch Probieren. (0, ,5-5,75 + 5) : ( - ) = 0,5 + 0,75-5 -(0,5 3-0,5 ) 0,75-5,75 -(0,75-0,75) (-5 + 5) 0. Fall: 0,5 + 0,75-5 = = 0 = -,5-0,5-6,; 3 3, Also: N (0); N (-6,0); N 3 (3,0) Etrempunkte: Notwendig für eine Etremstelle E ist f '( E ) = 0. f '() = 0,75 + 5,75 0,75 E + E 5,75 = 0 E -3,5; E,8 Bei 3,5 und,8 liegen evtl. Etremstellen, aber nur da. Hinreichend für die Eistenz einer Etremstelle E ist f '( E ) = 0 und f ''( E ) 0. f ''() =,5 + Zu prüfen bleibt für E und E von oben der Wert der. Ableitung: f ''(-3,5) =,5 (-3,5) + = -4,8 < 0 H f ''(,8) = 4,7 > 0 T In -3,5 und,8 liegen tatsächlich Etremstellen vor. Die Koordinaten der Etrempunkte: f(-3,5) 0,5 (-3,5) 3 + 0,5 (-3,5) 5,75 (-3,5) + 5 0,53 f(,8) -,57 Der Graph hat einen Hochpunkt in H(-3,50,53) und einen Tiefpunkt in (,8-,57). Wendepunkte: Notwendig für die Eistenz einer Wendestelle w ist f ''( w ) = 0.,5 W + = 0 W = - 3 Bei - 3 liegt evtl. eine Wendestelle, sonst aber nirgendwo. Hinreichend für die Eistenz einer Wendestelle W ist f ''( W ) = 0 und f '''( W ) 0. f '''() =,5 0 für alle -Werte. Beide Bedingungen des hinreichenden Kriteriums sind erfüllt. Deshalb liegt bei W = - 3 eine Wendestelle vor. Die Koordinaten des Wendepunktes: f(- ) 0,5 (- 3 3 )3 + 0,5 (- 3 ) - 5,75 (- 3 ) + 5 8,89 Der Graph hat einen Wendepunkt W(- 3 8,98). f() = 0, ,5-5, f () 0

17 Lösungen zu AB0, Nr. 3 3a) f() = 0, 3-0,8 3 d) f() = -0, f () f () Der Graph zu f ist punktsymmetrisch, da nur ungerade Eponenten vorkommen, also f(-) = -f(). Dann gibt es immer N (00) und symmetrische weitere Nullstellen N (-0); N 3 (0). Die Etrempunkte wechseln in beiden Koordinaten das Vorzeichen und die Art: T(,5-0,6); H(-,60,6). Immer gibt es einen Wendepunkt W(00). Für (hier nicht vorhandene) weitere Wendepunkte gilt dasselbe wir für die Etrempunkte. Der Graph zu f ist achsensymmetrisch, da nur gerade Eponenten vorkommen, also f() = f(-). Die Nullstellen kommen symmetrisch vor: N (-,380); N (,380) und N 3 (-0,600); N 4 (0,600) oder es gibt keine. Auf der y-achse liegt immer ein Etrempunkt, hier T(0-). Die anderen Etrempunkte wechseln im -Wert das Vorzeichen bei gleichem y-wert und gleicher Art: H (-,73+3,5); H (,73+3,5). Für Wendpunkte gilt das gleiche wie für die weiteren Etrempunkte: W (-,5); W (,5). 3 b) f() = (punktsymmetrisch) 3 e) f() = 6 - (achsensymmetrisch) f () f () 0,5 N (00); N (-,30); N 3 (,30) T(-,04-,0); H(,04,0) W (00); W (-0,85-0,68); W 3 (0,850,68) N (-,730); N (,730); H(06); W 3 c) f() = (punktsymmetrisch) 3 f) f() = 0, (achsensymmetrisch) f () f () 0,5 0,5 N (00); N (-0,930); N 3 (0,930) T(-0,6-,49); H(0,6,49); W(00) N ; H(0); T (-,580,75); T (,580,75) W ((-0,9,3); W (0,9,3)

18 Lösungen zu AB0, Nr. 4 4a) f() = 5-6 Besonderheit: hinreichende Bedingung bei = 0 f () 4b) f() = Besonderheit: Polynomdivision f () 0,05 0,5 N (00); N (/0); H(0,830,07) W (00); W (0,670,04) 4c) f() = Besonderheit: biquadratische Gleichung f () N (0); N (-,60); N 3 (0,60) H(-,375,9); T(,37-,9); W(0) 4d) f() = Besonderheit: Sattelpunkte f () 5 N (4,470); N (-4,470), N 3 (0); N 4 (-0) T(-3,46-8); T (3,46-8); H(00) W (-0); W (0); achsensymmetrisch N(00); H/T W (00); W (0,5); W 3 () W und W 3 sind Sattelpunkte ( Wendepunkte mit waagerechter Tangente) 4e) f() = Besonderheit: die Stelle = f () N(00); T/00); W Der Graph ist für negative -Werte steiler, da dort alle 3 Summanden positive Beiträge liefern im Gegensatz zu > 0. f '() = ; f '' () = Nullstellen: ( ) = 0 N = 0 Die Klammer hat keine reellen Nullstellen. Etrempunkte: 4 E( E - 6 E + ) = 0 E = 0 Die Klammer hat keine reellen Nullstellen. f ''(0) = 3 > 0 T(00) Wendepunkte: 3 4 W - 3 W + 3 = 0 w = f '''() = 3-3; f '''() = 0! f ''() hat bei = keinen Vorzeichenwechsel, da bei (0) der Scheitelpunkt der Parabel liegt. Also kein Wendepunkt bei = und auch sonst nirgendwo. Da nur der Punkt T(00) ermittelt wurde, ist eine ergänzende Wertetabelle nötig: - -0,5 0 0,5,5 f(),06 0,44 0 0,3,06,00 3

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